W każdym przypadku obliczamy najpierw pole podstawy ostrosłupa, a następnie mnożymy je przez jedną trzecią wysokości ostrosłupa.

1. Pole podstawy $P$ jest równe $P=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$. Objętość jest równa $V=\frac{1}{3}\cdot 12\cdot \sqrt{3}=4\sqrt{3}$.

2. Pole podstawy jest równe $4$, zatem objętość wynosi $V=\frac{4\cdot 12}{3}=16$.

3. Pole podstawy jest równe $P=6\cdot \frac{4\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}$, a zatem objętość wynosi $V=\frac{6\sqrt{3}\cdot 12}{3}=24\sqrt{3}$.

1. $V=\frac{1}{3}·4·10·18=240\mathrm{ }\left({\mathrm{cm}}^3\right)$

2. Przyprostokątne są tej samej długości równej $\sqrt{5}\mathrm{ cm}$. Pole podstawy wynosi więc $\frac{5}{2} {\mathrm{cm}}^2$.
   Objętość
   $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}·{\left(\sqrt{5}\right)}^2\cdot 18=15 {\mathrm{cm}}^3$

3. Pole podstawy jest równe $P=\frac{7\cdot 8}{2}=28 {\mathrm{cm}}^2$. Zatem objętość wynosi
   $V=\frac{1}{3}\cdot 28\cdot 18=168 {\mathrm{cm}}^3$

4. $V=\frac{1}{3}·6·4·18=144 {\mathrm{cm}}^3$

Ze wzoru na objętość ostrosłupa wyznaczymy jego wysokość.

Połowa każdej z przekątnych $p$ prostokąta ma długość, którą wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa

skąd

Krawędź boczną ostrosłupa wyznaczymy z  odpowiedniego trójkąta prostokątnego.

Jej długość jest równa $5\sqrt{2 }\mathrm{mm}$.

1. Skorzystamy ze wzoru na objętość czworościanu foremnego: $V=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3$.
   Stąd
   $\mathrm{V}=\frac{\sqrt{2}}{12}·2^3=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

2. Wysokość $h$ ściany bocznej wyraża się wzorem $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, wobec tego $3=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
   Stąd obliczamy $a=\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$. Podstawiamy wyznaczone $a$ do wzoru na objętość czworościanu.

   $V=\frac{\sqrt{2}{a}^3}{12}=\frac{\sqrt{2}{\left(2\sqrt{3}\right)}^3}{12}=2\sqrt{6}$.

3. Ściana boczna jest trójkątem równobocznym. Ze wzoru na pole trójkąta równobocznego, obliczamy długość krawędzi czworościanu.
   $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}$, więc $a=1$. Obliczamy objętość czworościanu.
   $V=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3=\frac{\sqrt{2}}{12}$.

4. Pole powierzchni jednej ściany jest równe $\frac{1}{4}·81\sqrt{3}$.
   Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, wyznaczymy długość $a$ krawędzi.
   $\frac{1}{4}\cdot 81\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, więc $a=9$. Objętość czworościanu to
   $V=\frac{\sqrt{2}}{12}\cdot 9^3=\frac{729}{12}\sqrt{2}$.

Zacznij od obliczenia pola podstawy, które jest równe polu pewnych dwóch takich samych kwadratów. Następnie oblicz objętość bryły i przyrównaj wynik do $H^3$.

Pole podstawy ostrosłupa jest równe sumie pól dwóch kwadratów o boku $H$ każdy, czyli $2·H^2$.

Objętość ostrosłupa jest więc równa:

Otrzymana bryła to ośmiościan. Jego objętość jest równa sumie objętości danych ostrosłupów. Pole podstawy takiego ostrosłupa jest równe $25 {\mathrm{cm}}^2$, a jego wysokość $20\mathrm{ cm}$. Objętość jednego ostrosłupa jest równa:

a zatem objętość ośmiościanu jest równa $\frac{1000}{3} {\mathrm{cm}}^3$.

Korzystając ze wzoru na objętość ostrosłupa, otrzymamy $125=\frac{1}{3}\cdot 25\cdot H$.

Stąd $H=15$.

Korzystając ze wzoru na objętość ostrosłupa otrzymamy związek

Stąd pole podstawy

Skorzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa.

Stąd wyznaczymy długość krawędzi podstawy $a=1 \mathrm{cm}$.

Niech $P$ oznacza pole podstawy każdej z  brył. Wówczas $8\cdot S=\frac{2}{3}\cdot S\cdot H$, stąd $H=12 \mathrm{cm}$.

Czworościan ma sześć krawędzi, więc długość jednej z nich równa jest $3\mathrm{ cm}$.

Korzystając ze wzoru na objętość czworościanu foremnego.

Niech $a$ będzie długością krawędzi podstawy, zaś $b$ długością krawędzi bocznej.

Z warunków zadania $a+b=8$, zaś $\frac{b}{a}=\frac{3}{1}$, więc $a=2 \mathrm{cm}$, $b=6 \mathrm{cm}$.

Wysokość ostrosłupa wyznaczymy z twierdzenia Pitagorasa

$H=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$. Objętość ostrosłupa wynosi:

Przekształcając wzór na objętość ostrosłupa, wyznaczamy pole jego podstawy:

Pole sześciokąta foremnego wyraża się wzorem: $P_p=\frac{6a^2\sqrt{3}}{4}$.

Zatem porównując oba wyrażenia, otrzymujemy równanie: $24\sqrt{3}=\frac{6a^2\sqrt{3}}{4}$, skąd $a=4$.

Z trójkąta prostokątnego o bokach długości $4\mathrm{ cm}, 1\mathrm{ cm}$, wyznaczamy długość krawędzi bocznej

skąd $d=\sqrt{17}$.

Z warunków zadania $P_b=4\cdot P_p$. Otrzymujmy równanie: $4\cdot \frac{6\cdot h}{2}=4\cdot 36$, skąd wysokość ściany bocznej jest równa $h=12\mathrm{ cm}$. Z trójkąta prostokątnego o bokach długości $12\mathrm{ cm}, 3\mathrm{ cm}$ i $H$ wyznaczymy wysokość $H$ ostrosłupa:

Stąd

Zatem

Zacznij od obliczenia długości przekątnych ścian prostopadłościanu, zauważ, że z tych długości można zbudować ostrosłup na dwa sposoby.

Przekątne ścian tego prostopadłościanu mają długości

Ostrosłup ma $6$ krawędzi, ale trzy z nich są krawędziami podstawy i są równe, a trzy są krawędziami bocznymi i też są sobie równe. Są dwie możliwości: albo krawędzie postawy mają długość $10$, a  krawędzie boczne $6\sqrt{2}$, albo na odwrót. W pierwszym przypadku wysokość prostopadłościanu jest równa

Zaś w drugim

Objętość ostrosłupa w tych przypadkach wynosi:

Objętość ta jest równa sumie objętości dwóch jednakowych ostrosłupów prawidłowych czworokątnych. W każdym z nich zarówno krawędzie podstawy, jak i krawędzie boczne mają długość $5\mathrm{ cm}$. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa $h=\frac{5\sqrt{3}}{2}\mathrm{ cm}$. Obliczamy wysokość $H$ ostrosłupa.

Zatem objętość ośmiościanu wynosi