10. Podsumowanie wiadomości o ułamkach zwykłych

R1MC9YYeWmjc4

R1UV2XBBW8cRB1

Grafika przedstawia równoważność: półnuta z ćwierćnutą równa jest półnucie z kropką. — Źródło: Christophe Dang Ngoc Chan (cdang), licencja: CC BY-SA 3.0. wikimedia.org.

Z działaniami na ułamkach nie spotykamy się tylko w rozważaniach matematycznych. Możemy je znaleźć także w innych dziedzinach, np. w muzyce.

Wartości rytmiczne nut określają czas trwania dźwięku, który symbolizuje dana nuta. Najdłuższą wartością rytmiczną jest cała nuta. Półnuta określa połowę tego czasu, ćwierćnuta $\frac{1}{4}$ , a ósemka $\frac{1}{8}$ . Jeśli przy nucie występuje pojedyncza kropka, to przedłuża ona trwanie tej nuty o połowę. Na przykład czas trwania ćwierćnuty z kropką jest taki sam, jak czas trwania ćwierćnuty i ósemki.

W tym materiale możesz sprawdzić swoją wiedzę o ułamkach zwykłych i umiejętności wykonywania działań na ułamkach. Spróbuj samodzielnie rozwiązać zamieszczone tu ćwiczenia. Jeśli napotkasz problemy, możesz skorzystać z podpowiedzi zawartych na fiszkach.

Polecenie 1

Zapoznaj się z fiszkami dotyczącymi operacji na ułamkach zwykłych.

R12a2uGhvyQAF

Zapoznaj się z fiszkami dotyczącymi operacji na ułamkach zwykłych. Dodawanie ułamków zwykłych Możliwe odpowiedzi: 1. Aby zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną należy zastanowić się, ile razy liczba w mianowniku mieści się w liczbie w liczniku oraz jaka reszta nam pozostaje. Liczba całości jest częścią całkowitą, reszta z dzielenia jest licznikiem części ułamkowej, a mianownik pozostaje bez zmian. Przykładowo:

\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}

, bo

23 : 7 = 3

reszty

2

., 2. Aby zamienić liczbę mieszaną na ułamek, mnożymy część całkowitą przez mianownik części ułamkowej i dodajemy licznik części ułamkowej, Tak wyznaczoną liczbę wpisujemy w liczniku ułamka niewłaściwego, a mianownik pozostaje bez zmian. Przykładowo :

4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}

., 3. Dodawanie ułamków zwykłych polega na sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika, a następnie na dodawaniu liczników do siebie w odpowiednio rozszerzonych ułamkach. Wspólnym mianownikiem jest najmniejsza wspólna wielokrotność obu liczb występujących w mianownikach ułamków. Przykładowo:

\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}

., 4. Dzielenie ułamków zwykłych polega na odwróceniu drugiego ułamka i pomnożeniu go przez pierwszy. Przykładowo:

\frac{3}{8} : \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{1} = \frac{72}{8} = 9

, 5. Odejmowanie ułamków zwykłych polega na sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika, a następnie na odjęciu liczników do siebie w odpowiednio rozszerzonych ułamkach. Wspólnym mianownikiem jest najmniejsza wspólna wielokrotność obu liczb występujących w mianownikach ułamków. Przykładowo:

\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}

, 6. Mnożenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika przez licznik oraz mianownika przez mianownik. Otrzymany ułamek można skrócić. Przykładowo:

\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}

Odejmowanie ułamków zwykłych Możliwe odpowiedzi: 1. Aby zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną należy zastanowić się, ile razy liczba w mianowniku mieści się w liczbie w liczniku oraz jaka reszta nam pozostaje. Liczba całości jest częścią całkowitą, reszta z dzielenia jest licznikiem części ułamkowej, a mianownik pozostaje bez zmian. Przykładowo:

\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}

, bo

23 : 7 = 3

reszty

2

4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}

\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}

., 4. Dzielenie ułamków zwykłych polega na odwróceniu drugiego ułamka i pomnożeniu go przez pierwszy. Przykładowo:

\frac{3}{8} : \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{1} = \frac{72}{8} = 9

\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}

, 6. Mnożenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika przez licznik oraz mianownika przez mianownik. Otrzymany ułamek można skrócić. Przykładowo:

\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}

Mnożenie ułamków zwykłych Możliwe odpowiedzi: 1. Aby zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną należy zastanowić się, ile razy liczba w mianowniku mieści się w liczbie w liczniku oraz jaka reszta nam pozostaje. Liczba całości jest częścią całkowitą, reszta z dzielenia jest licznikiem części ułamkowej, a mianownik pozostaje bez zmian. Przykładowo:

\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}

, bo

23 : 7 = 3

reszty

2

4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}

\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}

., 4. Dzielenie ułamków zwykłych polega na odwróceniu drugiego ułamka i pomnożeniu go przez pierwszy. Przykładowo:

\frac{3}{8} : \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{1} = \frac{72}{8} = 9

\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}

, 6. Mnożenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika przez licznik oraz mianownika przez mianownik. Otrzymany ułamek można skrócić. Przykładowo:

\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}

Dzielenie ułamków zwykłych Możliwe odpowiedzi: 1. Aby zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną należy zastanowić się, ile razy liczba w mianowniku mieści się w liczbie w liczniku oraz jaka reszta nam pozostaje. Liczba całości jest częścią całkowitą, reszta z dzielenia jest licznikiem części ułamkowej, a mianownik pozostaje bez zmian. Przykładowo:

\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}

, bo

23 : 7 = 3

reszty

2

4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}

\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}

., 4. Dzielenie ułamków zwykłych polega na odwróceniu drugiego ułamka i pomnożeniu go przez pierwszy. Przykładowo:

\frac{3}{8} : \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{1} = \frac{72}{8} = 9

\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}

, 6. Mnożenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika przez licznik oraz mianownika przez mianownik. Otrzymany ułamek można skrócić. Przykładowo:

\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}

Zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną Możliwe odpowiedzi: 1. Aby zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną należy zastanowić się, ile razy liczba w mianowniku mieści się w liczbie w liczniku oraz jaka reszta nam pozostaje. Liczba całości jest częścią całkowitą, reszta z dzielenia jest licznikiem części ułamkowej, a mianownik pozostaje bez zmian. Przykładowo:

\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}

, bo

23 : 7 = 3

reszty

2

4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}

\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}

., 4. Dzielenie ułamków zwykłych polega na odwróceniu drugiego ułamka i pomnożeniu go przez pierwszy. Przykładowo:

\frac{3}{8} : \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{1} = \frac{72}{8} = 9

\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}

, 6. Mnożenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika przez licznik oraz mianownika przez mianownik. Otrzymany ułamek można skrócić. Przykładowo:

\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy Możliwe odpowiedzi: 1. Aby zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną należy zastanowić się, ile razy liczba w mianowniku mieści się w liczbie w liczniku oraz jaka reszta nam pozostaje. Liczba całości jest częścią całkowitą, reszta z dzielenia jest licznikiem części ułamkowej, a mianownik pozostaje bez zmian. Przykładowo:

\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}

, bo

23 : 7 = 3

reszty

2

4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}

\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}

., 4. Dzielenie ułamków zwykłych polega na odwróceniu drugiego ułamka i pomnożeniu go przez pierwszy. Przykładowo:

\frac{3}{8} : \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{1} = \frac{72}{8} = 9

\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}

, 6. Mnożenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika przez licznik oraz mianownika przez mianownik. Otrzymany ułamek można skrócić. Przykładowo:

\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}

\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}

, bo

23 : 7 = 3

reszty

2

4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}

\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}

., 4. Dzielenie ułamków zwykłych polega na odwróceniu drugiego ułamka i pomnożeniu go przez pierwszy. Przykładowo:

\frac{3}{8} : \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{1} = \frac{72}{8} = 9

\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}

, 6. Mnożenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika przez licznik oraz mianownika przez mianownik. Otrzymany ułamek można skrócić. Przykładowo:

\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}

\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}

, bo

23 : 7 = 3

reszty

2

4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}

\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}

., 4. Dzielenie ułamków zwykłych polega na odwróceniu drugiego ułamka i pomnożeniu go przez pierwszy. Przykładowo:

\frac{3}{8} : \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{1} = \frac{72}{8} = 9

\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}

, 6. Mnożenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika przez licznik oraz mianownika przez mianownik. Otrzymany ułamek można skrócić. Przykładowo:

\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}

\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}

, bo

23 : 7 = 3

reszty

2

4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}

\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}

., 4. Dzielenie ułamków zwykłych polega na odwróceniu drugiego ułamka i pomnożeniu go przez pierwszy. Przykładowo:

\frac{3}{8} : \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{1} = \frac{72}{8} = 9

\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}

, 6. Mnożenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika przez licznik oraz mianownika przez mianownik. Otrzymany ułamek można skrócić. Przykładowo:

\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}

\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}

, bo

23 : 7 = 3

reszty

2

4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}

\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}

., 4. Dzielenie ułamków zwykłych polega na odwróceniu drugiego ułamka i pomnożeniu go przez pierwszy. Przykładowo:

\frac{3}{8} : \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{1} = \frac{72}{8} = 9

\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}

, 6. Mnożenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika przez licznik oraz mianownika przez mianownik. Otrzymany ułamek można skrócić. Przykładowo:

\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}

\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}

, bo

23 : 7 = 3

reszty

2

4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}

\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}

., 4. Dzielenie ułamków zwykłych polega na odwróceniu drugiego ułamka i pomnożeniu go przez pierwszy. Przykładowo:

\frac{3}{8} : \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{1} = \frac{72}{8} = 9

\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}

, 6. Mnożenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika przez licznik oraz mianownika przez mianownik. Otrzymany ułamek można skrócić. Przykładowo:

\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}

\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}

, bo

23 : 7 = 3

reszty

2

4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}

\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}

., 4. Dzielenie ułamków zwykłych polega na odwróceniu drugiego ułamka i pomnożeniu go przez pierwszy. Przykładowo:

\frac{3}{8} : \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{1} = \frac{72}{8} = 9

\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}

, 6. Mnożenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika przez licznik oraz mianownika przez mianownik. Otrzymany ułamek można skrócić. Przykładowo:

\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dodawanie ułamków zwykłych

Dodawanie ułamków zwykłych polega na sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika, a następnie na dodawaniu liczników do siebie w odpowiednio rozszerzonych ułamkach. Wspólnym mianownikiem jest najmniejsza wspólna wielokrotność obu liczb występujących w mianownikach ułamków. Przykładowo:

$\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}$ .

Odejmowanie ułamków zwykłych

Odejmowanie ułamków zwykłych polega na sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika, a następnie na odjęciu liczników do siebie w odpowiednio rozszerzonych ułamkach. Wspólnym mianownikiem jest zwykle najmniejsza wspólna wielokrotność obu liczb występujących w mianownikach ułamków. Przykładowo:

$\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}$

Mnożenie ułamków zwykłych

Mnożenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika przez licznik oraz mianownika przez mianownik. Otrzymany ułamek można skrócić. Przykładowo:

$\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$

Dzielenie ułamków zwykłych

Dzielenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu dzielnej przez odwrotność dzielnika. Przykładowo:

$\frac{3}{8} : \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{1} = \frac{72}{8} = 9$

Zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną

Aby zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną należy zastanowić się, ile razy liczba stojąca w mianowniku mieści się w liczbie stojącej w liczniku oraz jaka reszta nam pozostaje. Liczba całości jest częścią całkowitą, reszta z dzielenia jest licznikiem części ułamkowej, a mianownik pozostaje bez zmian. Przykładowo:
$\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}$ , bo $23 : 7 = 3$ reszty $2$ .

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

Aby zamienić liczbę mieszaną na ułamek, mnożymy część całkowitą przez mianownik części ułamkowej i dodajemy licznik części ułamkowej, Tak wyznaczoną liczbę wpisujemy w liczniku ułamka niewłaściwego, a mianownik pozostaje bez zmian. Przykładowo :

$4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}$ .

Podstawowe wiadomości

RFlIuBfMpBBhv

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RQRBgSraUVPpP

Ćwiczenie 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RmPua9GLISs6s

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

R1TQMu8Mgcurr

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1dcH5g7dSmX2

Oś ma podziałkę co jedna ósma. Jakie współrzędne mają określone poniżej punkty? Uzupełnij luki, wpisując ułamki z ukośnikiem, na przykład 1/2 . Ułamki podawaj w wersji skróconej. Punkt

A

znajduje się jedną jednostkę na prawo od zera. Ma on więc współrzędne: Tu uzupełnij. Punkt

B

znajduje się jedną jednostkę na prawo od punktu

A

. Ma on więc współrzędne: Tu uzupełnij. Punkt

C

znajduje się cztery jednostki na lewo od jeden. Ma on więc współrzędne: Tu uzupełnij. Punkt

D

znajduje się osiem jednostek na prawo od zera. Ma on więc współrzędne: Tu uzupełnij. Punkt

E

znajduje się jedną jednostkę na lewo od jeden. Ma on więc współrzędne: Tu uzupełnij. Punkt

F

znajduje się szesnaście jednostek na prawo od zera. Ma on więc współrzędne: Tu uzupełnij.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rvv8WuMXqbqFW

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1YTUOZoNU4GZ

Ćwiczenie 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RDkx5sPGjSHu1

Ćwiczenie 5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Mja0MoGmRSU

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

R1Owgd95fsWJv

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

R19hdfNimB9Dp

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

R11or67k5ofjS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zwróć uwagę, że

minuta, to $\frac{1}{60}$ godziny (godzina ma $60$ minut),
metr, to $\frac{1}{1000}$ kilometra (kilometr ma $1000$ metrów).

Działania na ułamkach

Ćwiczenie 10

RzUq0rh20FEzv

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$1 \frac{2}{5} + 2 \frac{4}{5} = 3 \frac{6}{5} = 4 \frac{1}{5}$ ,
$2 \frac{5}{6} + 3 \frac{4}{6} = 5 \frac{9}{6} = 6 \frac{3}{6} = 6 \frac{1}{2}$ .

Ćwiczenie 11

R1axD16HnU7Tz

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$3 \frac{11}{24} - 2 \frac{7}{24} = \frac{83}{24} - \frac{55}{24} = \frac{28}{24} = \frac{7}{6} = 1 \frac{1}{6}$ ,
$6 \frac{5}{8} - 4 \frac{7}{8} = \frac{53}{8} - \frac{39}{8} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} = 1 \frac{3}{4}$ .

R16CZDJBkS1Ee

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RHzjVqf3hUcm4

Ćwiczenie 13

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R18mU6kKBoGtU

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RpGWAsB9DMuGw

Ćwiczenie 15

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

Kacper przeznacza codziennie $4$ godziny czasu wolnego od nauki na czytanie książki, grę na komputerze, jazdę na rowerze oraz spacer z psem. Czas przeznaczony na niektóre z tych czynności zapisał w tabeli.

Aktywność	Czas
czytanie książki	$\frac{5}{6}$ godziny
jazda na rowerze	$1 \frac{3}{6}$ godziny
spacer z psem	$\frac{2}{6}$ godziny
gra na komputerze	?

W oparciu o informacje zawarte w tabeli, odpowiedz na poniższe pytania.

RQLmcJ6IqBjTC

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1VmZn80wRwOX

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RO3rxuUh20s2h

Ćwiczenie 17

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1FiihybEaJNY

Ćwiczenie 18

Suma czterech liczb jest równa osiemnaście. Pierwsza liczba to cztery początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, druga jest od niej o jeden początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka mniejsza, a trzecia jest o początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka większa od drugiej. Jakie to liczby? Uzupełnij luki, przeciągając odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Pierwsza liczba to 1. siedem początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. trzy początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 3. dwa początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 4. cztery początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. sześć początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka, 6. trzy początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 7. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka,Druga liczba to 1. siedem początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. trzy początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 3. dwa początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 4. cztery początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. sześć początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka, 6. trzy początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 7. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka,Trzecia liczba to 1. siedem początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. trzy początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 3. dwa początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 4. cztery początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. sześć początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka, 6. trzy początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 7. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka,Czwarta liczba to 1. siedem początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. trzy początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 3. dwa początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 4. cztery początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. sześć początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka, 6. trzy początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 7. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RiVKVqsXdaJ17

Ćwiczenie 19

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 20

Roy0aLcikPKUj

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że jeżeli najdłuższy odcinek skrócimy o $1 \frac{3}{5}$ , a najkrótszy wydłużymy o $1 \frac{3}{5}$ to trasa rajdu się nie zmieni, a odcinki będą tej samej długości.

R13MwKTrFSLCn

Ćwiczenie 21

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R7VojWYHy5ZMI

Ćwiczenie 22

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RffnbNrIF061x

Ćwiczenie 23

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1KCrnhxP2iiG

Ćwiczenie 24

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RHWAW7QaSMQVZ

Ćwiczenie 25

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Działania łączne

Gdy wykonujemy obliczenia, w których jest więcej niż jedno działanie, stosujemy reguły określające właściwą kolejność wykonywania działań. Wykonując działania na ułamkach, zachowujemy taką samą kolejność wykonywania działań, jak w przypadku liczb naturalnych. Umiejętności związane z tym zagadnieniem wykorzystasz, rozwiązując poniższe ćwiczenia.

Polecenie 2

Zapoznaj się z animacją i przypomnij sobie, w jakiej kolejności wykonujemy działania.

R1cObQadf9R0m1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 26

R1OnOnKH9cuIy

Pewne równości podzielono na dwie części. Połącz w pary elementy tak, aby powstały równości prawdziwe.

(\frac{2}{5} + \frac{1}{5}) \cdot \frac{3}{4} =

Możliwe odpowiedzi: 1.

3 - \frac{17}{3} \cdot \frac{9}{34} = 3 - \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = 3 - \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{2}{5} + \frac{3}{20} = \frac{8}{20} + \frac{3}{20} = \frac{11}{20}

, 3.

1 \frac{3}{4} : 4 \frac{9}{10} = \frac{7}{4} : \frac{49}{10} = \frac{7}{4} \cdot \frac{10}{49} = \frac{5}{14}

, 4.

1 \frac{2}{3} \cdot (2 \frac{7}{6} - 2 \frac{4}{6}) = 1 \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{6} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{6}

, 5.

\frac{6}{4} \cdot 3 = \frac{18}{4} = 4 \frac{2}{4} = 4 \frac{1}{2}

, 6.

\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{20}

, 7.

2 \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}

, 8.

\frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8}

(6 \frac{3}{4} - 5 \frac{1}{4}) \cdot 3 = 1 \frac{2}{4} \cdot 3 =

Możliwe odpowiedzi: 1.

3 - \frac{17}{3} \cdot \frac{9}{34} = 3 - \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = 3 - \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{2}{5} + \frac{3}{20} = \frac{8}{20} + \frac{3}{20} = \frac{11}{20}

, 3.

1 \frac{3}{4} : 4 \frac{9}{10} = \frac{7}{4} : \frac{49}{10} = \frac{7}{4} \cdot \frac{10}{49} = \frac{5}{14}

, 4.

1 \frac{2}{3} \cdot (2 \frac{7}{6} - 2 \frac{4}{6}) = 1 \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{6} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{6}

, 5.

\frac{6}{4} \cdot 3 = \frac{18}{4} = 4 \frac{2}{4} = 4 \frac{1}{2}

, 6.

\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{20}

, 7.

2 \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}

, 8.

\frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8}

\frac{2}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4} =

Możliwe odpowiedzi: 1.

3 - \frac{17}{3} \cdot \frac{9}{34} = 3 - \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = 3 - \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{2}{5} + \frac{3}{20} = \frac{8}{20} + \frac{3}{20} = \frac{11}{20}

, 3.

1 \frac{3}{4} : 4 \frac{9}{10} = \frac{7}{4} : \frac{49}{10} = \frac{7}{4} \cdot \frac{10}{49} = \frac{5}{14}

, 4.

1 \frac{2}{3} \cdot (2 \frac{7}{6} - 2 \frac{4}{6}) = 1 \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{6} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{6}

, 5.

\frac{6}{4} \cdot 3 = \frac{18}{4} = 4 \frac{2}{4} = 4 \frac{1}{2}

, 6.

\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{20}

, 7.

2 \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}

, 8.

\frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8}

\frac{1}{2} - (\frac{1}{8} + \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} - (\frac{1}{8} + \frac{2}{8}) =

Możliwe odpowiedzi: 1.

3 - \frac{17}{3} \cdot \frac{9}{34} = 3 - \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = 3 - \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{2}{5} + \frac{3}{20} = \frac{8}{20} + \frac{3}{20} = \frac{11}{20}

, 3.

1 \frac{3}{4} : 4 \frac{9}{10} = \frac{7}{4} : \frac{49}{10} = \frac{7}{4} \cdot \frac{10}{49} = \frac{5}{14}

, 4.

1 \frac{2}{3} \cdot (2 \frac{7}{6} - 2 \frac{4}{6}) = 1 \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{6} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{6}

, 5.

\frac{6}{4} \cdot 3 = \frac{18}{4} = 4 \frac{2}{4} = 4 \frac{1}{2}

, 6.

\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{20}

, 7.

2 \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}

, 8.

\frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8}

(1 \frac{4}{9} + 1 \frac{1}{3}) \cdot \frac{3}{5} = (1 \frac{4}{9} + 1 \frac{3}{9}) \cdot \frac{3}{5} =

Możliwe odpowiedzi: 1.

3 - \frac{17}{3} \cdot \frac{9}{34} = 3 - \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = 3 - \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{2}{5} + \frac{3}{20} = \frac{8}{20} + \frac{3}{20} = \frac{11}{20}

, 3.

1 \frac{3}{4} : 4 \frac{9}{10} = \frac{7}{4} : \frac{49}{10} = \frac{7}{4} \cdot \frac{10}{49} = \frac{5}{14}

, 4.

1 \frac{2}{3} \cdot (2 \frac{7}{6} - 2 \frac{4}{6}) = 1 \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{6} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{6}

, 5.

\frac{6}{4} \cdot 3 = \frac{18}{4} = 4 \frac{2}{4} = 4 \frac{1}{2}

, 6.

\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{20}

, 7.

2 \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}

, 8.

\frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8}

3 - 5 \frac{2}{3} : 3 \frac{7}{9} = 3 - \frac{17}{3} : \frac{34}{9} =

Możliwe odpowiedzi: 1.

3 - \frac{17}{3} \cdot \frac{9}{34} = 3 - \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = 3 - \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{2}{5} + \frac{3}{20} = \frac{8}{20} + \frac{3}{20} = \frac{11}{20}

, 3.

1 \frac{3}{4} : 4 \frac{9}{10} = \frac{7}{4} : \frac{49}{10} = \frac{7}{4} \cdot \frac{10}{49} = \frac{5}{14}

, 4.

1 \frac{2}{3} \cdot (2 \frac{7}{6} - 2 \frac{4}{6}) = 1 \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{6} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{6}

, 5.

\frac{6}{4} \cdot 3 = \frac{18}{4} = 4 \frac{2}{4} = 4 \frac{1}{2}

, 6.

\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{20}

, 7.

2 \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}

, 8.

\frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8}

1 \frac{2}{3} \cdot (3 \frac{1}{6} - 2 \frac{2}{3}) = 1 \frac{2}{3} \cdot (3 \frac{1}{6} - 2 \frac{4}{6}) =

Możliwe odpowiedzi: 1.

3 - \frac{17}{3} \cdot \frac{9}{34} = 3 - \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = 3 - \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{2}{5} + \frac{3}{20} = \frac{8}{20} + \frac{3}{20} = \frac{11}{20}

, 3.

1 \frac{3}{4} : 4 \frac{9}{10} = \frac{7}{4} : \frac{49}{10} = \frac{7}{4} \cdot \frac{10}{49} = \frac{5}{14}

, 4.

1 \frac{2}{3} \cdot (2 \frac{7}{6} - 2 \frac{4}{6}) = 1 \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{6} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{6}

, 5.

\frac{6}{4} \cdot 3 = \frac{18}{4} = 4 \frac{2}{4} = 4 \frac{1}{2}

, 6.

\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{20}

, 7.

2 \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}

, 8.

\frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8}

1 \frac{3}{4} : (1 \frac{1}{2} + 3 \frac{2}{5}) = 1 \frac{3}{4} : (1 \frac{5}{10} + 3 \frac{4}{10}) =

Możliwe odpowiedzi: 1.

3 - \frac{17}{3} \cdot \frac{9}{34} = 3 - \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = 3 - \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{2}{5} + \frac{3}{20} = \frac{8}{20} + \frac{3}{20} = \frac{11}{20}

, 3.

1 \frac{3}{4} : 4 \frac{9}{10} = \frac{7}{4} : \frac{49}{10} = \frac{7}{4} \cdot \frac{10}{49} = \frac{5}{14}

, 4.

1 \frac{2}{3} \cdot (2 \frac{7}{6} - 2 \frac{4}{6}) = 1 \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{6} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{6}

, 5.

\frac{6}{4} \cdot 3 = \frac{18}{4} = 4 \frac{2}{4} = 4 \frac{1}{2}

, 6.

\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{20}

, 7.

2 \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}

, 8.

\frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rce1hAKegQZb11

Ćwiczenie 27

Oblicz, a następnie uzupełnij luki odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości.

6 \frac{2}{9} + \frac{5}{8} \cdot 16 =

1 \frac{3}{5}

, 2.

\frac{1}{10}

, 3.

\frac{1}{4}

, 4.

4 \frac{1}{4}

, 5.

\frac{3}{10}

, 6.

\frac{25}{36}

, 7.

16 \frac{2}{9}

, 8.

3 \frac{5}{6}

2 \frac{1}{3} + \frac{3}{4} : \frac{1}{2} =

1 \frac{3}{5}

, 2.

\frac{1}{10}

, 3.

\frac{1}{4}

, 4.

4 \frac{1}{4}

, 5.

\frac{3}{10}

, 6.

\frac{25}{36}

, 7.

16 \frac{2}{9}

, 8.

3 \frac{5}{6}

\frac{1}{3} \cdot (\frac{3}{5} - \frac{3}{10}) =

1 \frac{3}{5}

, 2.

\frac{1}{10}

, 3.

\frac{1}{4}

, 4.

4 \frac{1}{4}

, 5.

\frac{3}{10}

, 6.

\frac{25}{36}

, 7.

16 \frac{2}{9}

, 8.

3 \frac{5}{6}

(3 \frac{4}{5} - 2 \frac{3}{5}) \cdot (4 \frac{8}{9} - 3 \frac{5}{9}) =

1 \frac{3}{5}

, 2.

\frac{1}{10}

, 3.

\frac{1}{4}

, 4.

4 \frac{1}{4}

, 5.

\frac{3}{10}

, 6.

\frac{25}{36}

, 7.

16 \frac{2}{9}

, 8.

3 \frac{5}{6}

1 \frac{2}{5} : (6 \frac{1}{3} - 1 \frac{2}{3}) =

1 \frac{3}{5}

, 2.

\frac{1}{10}

, 3.

\frac{1}{4}

, 4.

4 \frac{1}{4}

, 5.

\frac{3}{10}

, 6.

\frac{25}{36}

, 7.

16 \frac{2}{9}

, 8.

3 \frac{5}{6}

2 \frac{1}{2} \cdot 1 \frac{3}{4} - {(\frac{1}{2})}^{3} =

1 \frac{3}{5}

, 2.

\frac{1}{10}

, 3.

\frac{1}{4}

, 4.

4 \frac{1}{4}

, 5.

\frac{3}{10}

, 6.

\frac{25}{36}

, 7.

16 \frac{2}{9}

, 8.

3 \frac{5}{6}

{(2 \frac{1}{3} - 1 \frac{1}{2})}^{2} =

1 \frac{3}{5}

, 2.

\frac{1}{10}

, 3.

\frac{1}{4}

, 4.

4 \frac{1}{4}

, 5.

\frac{3}{10}

, 6.

\frac{25}{36}

, 7.

16 \frac{2}{9}

, 8.

3 \frac{5}{6}

4 \frac{1}{5} : \frac{7}{10} - 5 \frac{3}{4} =

1 \frac{3}{5}

, 2.

\frac{1}{10}

, 3.

\frac{1}{4}

, 4.

4 \frac{1}{4}

, 5.

\frac{3}{10}

, 6.

\frac{25}{36}

, 7.

16 \frac{2}{9}

, 8.

3 \frac{5}{6}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R7CiGOHidKHgr1

Ćwiczenie 28

Poniżej przedstawiono wyrażenia arytmetyczne oraz ich opis słowny. Połącz w pary działanie i jego opis. różnica liczb

1 \frac{1}{2}

\frac{2}{3}

pomnożona przez

2 \frac{1}{6}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) : 2 \frac{1}{6}

, 2.

2 \frac{1}{6} : (1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3})

, 3.

(1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) \cdot 2 \frac{1}{6}

, 4.

(1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3}) : 2 \frac{1}{6}

, 5.

(1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3}) \cdot 2 \frac{1}{6}

, 6.

2 \frac{1}{6} : (1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3})

liczba

2 \frac{1}{6}

podzielona przez różnicę liczb

1 \frac{1}{2}

\frac{2}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) : 2 \frac{1}{6}

, 2.

2 \frac{1}{6} : (1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3})

, 3.

(1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) \cdot 2 \frac{1}{6}

, 4.

(1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3}) : 2 \frac{1}{6}

, 5.

(1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3}) \cdot 2 \frac{1}{6}

, 6.

2 \frac{1}{6} : (1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3})

iloraz liczby

2 \frac{1}{6}

przez sumę liczb

1 \frac{1}{2}

\frac{2}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) : 2 \frac{1}{6}

, 2.

2 \frac{1}{6} : (1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3})

, 3.

(1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) \cdot 2 \frac{1}{6}

, 4.

(1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3}) : 2 \frac{1}{6}

, 5.

(1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3}) \cdot 2 \frac{1}{6}

, 6.

2 \frac{1}{6} : (1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3})

liczba

2 \frac{1}{6}

razy mniejsza od różnicy liczb

1 \frac{1}{2}

\frac{2}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) : 2 \frac{1}{6}

, 2.

2 \frac{1}{6} : (1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3})

, 3.

(1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) \cdot 2 \frac{1}{6}

, 4.

(1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3}) : 2 \frac{1}{6}

, 5.

(1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3}) \cdot 2 \frac{1}{6}

, 6.

2 \frac{1}{6} : (1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3})

iloraz sumy liczb

1 \frac{1}{2}

\frac{2}{3}

przez liczbę

2 \frac{1}{6}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) : 2 \frac{1}{6}

, 2.

2 \frac{1}{6} : (1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3})

, 3.

(1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) \cdot 2 \frac{1}{6}

, 4.

(1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3}) : 2 \frac{1}{6}

, 5.

(1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3}) \cdot 2 \frac{1}{6}

, 6.

2 \frac{1}{6} : (1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3})

liczba

2 \frac{1}{6}

razy większa od sumy liczb

1 \frac{1}{2}

\frac{2}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) : 2 \frac{1}{6}

, 2.

2 \frac{1}{6} : (1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3})

, 3.

(1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) \cdot 2 \frac{1}{6}

, 4.

(1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3}) : 2 \frac{1}{6}

, 5.

(1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3}) \cdot 2 \frac{1}{6}

, 6.

2 \frac{1}{6} : (1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3})

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R15O5RsjwIEQ6

Ćwiczenie 29

Przyjrzyj się dodawanym ułamkom i otrzymanym wynikom.

\frac{1}{2} + \frac{2}{1} = \frac{1}{2} + 2 = 2 \frac{1}{2}

\frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{2}{3} + 1 \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + 1 \frac{3}{6} = 1 \frac{7}{6} = 2 \frac{1}{6}

\frac{4}{5} + \frac{5}{4} = \frac{4}{5} + 1 \frac{1}{4} = \frac{16}{20} + 1 \frac{5}{20} = 1 \frac{21}{20} = 2 \frac{1}{20}

Uzupełnij poniższe luki, nie wykonując obliczeń. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź.

\frac{7}{8} + \frac{8}{7} =

2 \frac{1}{220}

, 2.

2 \frac{1}{210}

, 3.

2 \frac{1}{420}

, 4.

2 \frac{1}{36}

, 5.

2 \frac{1}{110}

, 6.

2 \frac{1}{56}

\frac{10}{11} + \frac{11}{10} =

2 \frac{1}{220}

, 2.

2 \frac{1}{210}

, 3.

2 \frac{1}{420}

, 4.

2 \frac{1}{36}

, 5.

2 \frac{1}{110}

, 6.

2 \frac{1}{56}

\frac{20}{21} + \frac{21}{20} =

2 \frac{1}{220}

, 2.

2 \frac{1}{210}

, 3.

2 \frac{1}{420}

, 4.

2 \frac{1}{36}

, 5.

2 \frac{1}{110}

, 6.

2 \frac{1}{56}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1QZcQG7TeNNI

Ćwiczenie 30

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 31

Na trzydniową wycieczkę do Zakopanego i Wieliczki pojechało $40$ uczniów i $4$ opiekunów. Całkowity koszt wycieczki wyniósł $14000 zł$ .

Tabela przedstawia cennik zwiedzania Trasy Turystycznej w Kopalni Soli „Wieliczka”.

Zwiedzanie grupowe Trasy Turystycznej (minimum $5$ osób)
Bilet normalny	$45$ PLN/ $1$ osoba
Bilet ulgowy	$31$ PLN/ $1$ osoba
Przewodnik	$165$ PLN - j. polski
Przewodnik	$245$ PLN - j. obcy
Zwiedzanie szkolne	$24$ PLN/ $1$ osoba

Rq1vPKIldmQ3H

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Pqt9apnskWJ

Ćwiczenie 32

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ReuEnGtC3zhcI

Ćwiczenie 33

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 34

W Kopalni Soli „Wieliczka” uczniowie dowiedzieli się, że w czasach Kazimierza Wielkiego dochody z żup krakowskich w wysokości $18000$ grzywien stanowiły $\frac{1}{3}$ wpływów skarbu państwa. Ile grzywien wpływało wtedy do skarbu państwa? Uzupełnij odpowiedź, wpisując odpowiednią wartość w puste pole.

RbsWd834aJbnL

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RE3m49oWVEtiB

Ćwiczenie 35

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R15mwawwZ7vQl

Ćwiczenie 36

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RtRSf3glj8Jx2

Ćwiczenie 37

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R18wGIm58i1MD

Ćwiczenie 38

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RbclA2NlpaCoG

Ćwiczenie 39

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1SsFPbmr2lkB

Ćwiczenie 40

Z taśmy długości

25 m

odcięto najpierw

13 \frac{2}{5} m

, a następnie dwa kawałki po

1 \frac{4}{5} m

każdy. Ile metrów taśmy zostało? Do szkoły przywieziono

3

skrzynki jabłek po

7 \frac{1}{2} kg

w każdej oraz dwa razy więcej skrzynek śliwek po

9 \frac{1}{4} kg

w każdej. Ile kilogramów owoców przywieziono do szkoły?Z

2 \frac{1}{2} kg

bananów,

\frac{1}{4} kg

jogurtu i

1 \frac{3}{4} kg

brzoskwiń Kasia zrobiła

36

jednakowych porcji deseru. Oblicz, ile ważyła jedna porcja.
Treść każdego zadania zapisz za pomocą jednego wyrażenia, oblicz jego wartość, a następnie uzupełnij luki odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę. 1.

78

, 2.

7 \frac{1}{2}

, 3.

6

, 4.

\frac{1}{8}

, 5.

25

, 6.

36

, 7.

8

, 8.

1 \frac{4}{5}

, 9.

13 \frac{2}{5}

-

78

, 2.

7 \frac{1}{2}

, 3.

6

, 4.

\frac{1}{8}

, 5.

25

, 6.

36

, 7.

8

, 8.

1 \frac{4}{5}

, 9.

13 \frac{2}{5}

- 2 \cdot

78

, 2.

7 \frac{1}{2}

, 3.

6

, 4.

\frac{1}{8}

, 5.

25

, 6.

36

, 7.

8

, 8.

1 \frac{4}{5}

, 9.

13 \frac{2}{5}

Odpowiedź: Zostało 1.

78

, 2.

7 \frac{1}{2}

, 3.

6

, 4.

\frac{1}{8}

, 5.

25

, 6.

36

, 7.

8

, 8.

1 \frac{4}{5}

, 9.

13 \frac{2}{5}

m

taśmy.

3 \cdot

78

, 2.

7 \frac{1}{2}

, 3.

6

, 4.

\frac{1}{8}

, 5.

25

, 6.

36

, 7.

8

, 8.

1 \frac{4}{5}

, 9.

13 \frac{2}{5}

+

78

, 2.

7 \frac{1}{2}

, 3.

6

, 4.

\frac{1}{8}

, 5.

25

, 6.

36

, 7.

8

, 8.

1 \frac{4}{5}

, 9.

13 \frac{2}{5}

\cdot 9 \frac{1}{4}

Odpowiedź: Do szkoły przywieziono 1.

78

, 2.

7 \frac{1}{2}

, 3.

6

, 4.

\frac{1}{8}

, 5.

25

, 6.

36

, 7.

8

, 8.

1 \frac{4}{5}

, 9.

13 \frac{2}{5}

kg

owoców.

(2 \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + 1 \frac{3}{4}) :

78

, 2.

7 \frac{1}{2}

, 3.

6

, 4.

\frac{1}{8}

, 5.

25

, 6.

36

, 7.

8

, 8.

1 \frac{4}{5}

, 9.

13 \frac{2}{5}

Odpowiedź: Jedna porcja ważyła 1.

78

, 2.

7 \frac{1}{2}

, 3.

6

, 4.

\frac{1}{8}

, 5.

25

, 6.

36

, 7.

8

, 8.

1 \frac{4}{5}

, 9.

13 \frac{2}{5}

kg

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Poniżej zamieszczone jest pole tekstowe. Możesz je wykorzystać do zapisania swoich obliczeń, notatek lub innych rzeczy, które uważasz za ważne.

RQUCbdYpiw5f7

9. Działania na ułamkach zwykłych

Działania na ułamkach zwykłych