3. Mnożenie ułamka przez liczbę naturalną

RljdlT0AviCrS

Mając do wyboru tyle pizz możesz się zastanawiać, czy jeśli z każdej pizzy zjesz po jednym kawałku, czyli po $\frac{1}{8}$ każdej z nich, to w sumie zjesz więcej niż jedną pizzę czy mniej?

R1AA0q0POag6Y

Grafika przedstawia dziewięć pizz ułożonych w trzech rzędach po trzy. — Źródło: domena publiczna. Image by pch.vector on Freepik.

Analizując przykłady zawarte w tym materiale poznasz sposoby mnożenia liczb naturalnych przez ułamki zwykłe oraz przez liczby mieszane. Rozwiązując ćwiczenia – sprawdzisz ukształtowane umiejętności.

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładem mnożenia ułamków przez liczby naturalne.

RygjONgpQLqcR1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Aby pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, mnożymy jego licznik przez tę liczbę, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

Ciekawostka

Pszczoła robotnica – najlżejsza w roju – waży około $\frac{1}{9}$ grama. Truteń jest około dwa razy od niej cięższy. Królowa roju waży natomiast około $\frac{1}{6} g$ .

RwnifN3TnN27W1

Rysunek trzech pszczół. Robotnica ma długość jeden i jedna trzecia centymetra, truteń ma długość jeden i jedna druga centymetra, królowa ma długość ponad 2 centymetry. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R10bDft8pBgwq

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ROJb8vmTORlnY

Ćwiczenie 2

Ile waży mały rój pszczół złożony z

786

pszczół robotnic oraz

120

trutni? Uzupełnij poniższe zdania podanymi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną wartość. Robotnice ważą około 1.

118

, 2.

24 \frac{1}{3}

, 3.

87 \frac{1}{3}

, 4.

93 \frac{2}{3}

, 5.

114

, 6.

26 \frac{2}{3}

g

.Trutnie ważą około 1.

118

, 2.

24 \frac{1}{3}

, 3.

87 \frac{1}{3}

, 4.

93 \frac{2}{3}

, 5.

114

, 6.

26 \frac{2}{3}

g

.Cały rój waży około 1.

118

, 2.

24 \frac{1}{3}

, 3.

87 \frac{1}{3}

, 4.

93 \frac{2}{3}

, 5.

114

, 6.

26 \frac{2}{3}

g

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rfa9hQEvKqhzw

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1rzIlmGUGi85

Ćwiczenie 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RRvkAI4Wy9f0l

Ćwiczenie 5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rc86cr7D6ievS

Ćwiczenie 6

Uzupełnij poniższe równości podanymi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną wartość.

3 \cdot \frac{1}{6} =

1 \frac{2}{3}

, 2.

\frac{2}{3}

, 3.

\frac{1}{2}

, 4.

2 \frac{1}{2}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

21

, 7.

48

, 8.

11 \frac{2}{5}

\frac{1}{34} \cdot 17 =

1 \frac{2}{3}

, 2.

\frac{2}{3}

, 3.

\frac{1}{2}

, 4.

2 \frac{1}{2}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

21

, 7.

48

, 8.

11 \frac{2}{5}

15 \cdot \frac{2}{45} =

1 \frac{2}{3}

, 2.

\frac{2}{3}

, 3.

\frac{1}{2}

, 4.

2 \frac{1}{2}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

21

, 7.

48

, 8.

11 \frac{2}{5}

\frac{5}{24} \cdot 8 =

1 \frac{2}{3}

, 2.

\frac{2}{3}

, 3.

\frac{1}{2}

, 4.

2 \frac{1}{2}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

21

, 7.

48

, 8.

11 \frac{2}{5}

19 \cdot \frac{3}{5} =

1 \frac{2}{3}

, 2.

\frac{2}{3}

, 3.

\frac{1}{2}

, 4.

2 \frac{1}{2}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

21

, 7.

48

, 8.

11 \frac{2}{5}

\frac{5}{46} \cdot 23 =

1 \frac{2}{3}

, 2.

\frac{2}{3}

, 3.

\frac{1}{2}

, 4.

2 \frac{1}{2}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

21

, 7.

48

, 8.

11 \frac{2}{5}

24 \cdot \frac{7}{8} =

1 \frac{2}{3}

, 2.

\frac{2}{3}

, 3.

\frac{1}{2}

, 4.

2 \frac{1}{2}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

21

, 7.

48

, 8.

11 \frac{2}{5}

\frac{3}{4} \cdot 64 =

1 \frac{2}{3}

, 2.

\frac{2}{3}

, 3.

\frac{1}{2}

, 4.

2 \frac{1}{2}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

21

, 7.

48

, 8.

11 \frac{2}{5}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Jeżeli po pomnożeniu liczby naturalnej przez ułamek otrzymamy ułamek niewłaściwy lub skracalny, to wyłączamy całości i skracamy ułamek. Możemy to zrobić na kilka sposobów.

REbzUJJzfoYCs1

Przykład: 8 razy siedem dwunastych równa się początek ułamka osiem razy siedem, mianownik 12 koniec ułamka równa się pięćdziesiąt sześć dwunastych równa się cztery całe i osiem dwunastych równa się cztery całe i dwie trzecie. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dla ułatwienia obliczeń możemy wcześniej podzielić liczbę naturalną i mianownik ułamka przez ich wspólny dzielnik.

R1JQDIvkWOD7W1

Przykład: 8 razy siedem dwunastych równa się początek ułamka osiem razy siedem, mianownik dwanaście koniec ułamka (skrócono liczby 8 w liczniku z liczbą 12 w mianowniku przez 4 i otrzymano liczbę 2 w liczniku i 3 w mianowniku) równa się czternaście trzecich równa się cztery całe i dwie trzecie. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dzielenie $8$ i $12$ przez $4$ można wykonać na samym początku.

R1Hkfp6u1dATz1

Przykład: 8 razy siedem dwunastych (po skróceniu liczb 8 i 12 przez 4) równa się czternaście trzecich równa się cztery całe i dwie trzecie. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1XcAm5WwhgIf

Ćwiczenie 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RxpyRP8dCtZSY

Ćwiczenie 8

Uzupełnij poniższe równości podanymi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną wartość.

5 \cdot 1 \frac{1}{6} =

19 \frac{7}{8}

, 2.

4 \frac{1}{7}

, 3.

13 \frac{4}{9}

, 4.

2 \frac{1}{5}

, 5.

6 \frac{1}{7}

, 6.

12 \frac{4}{5}

, 7.

4 \frac{1}{14}

, 8.

5 \frac{5}{6}

, 9.

6 \frac{4}{15}

, 10.

4 \frac{1}{5}

2 \frac{1}{14} \cdot 2 =

19 \frac{7}{8}

, 2.

4 \frac{1}{7}

, 3.

13 \frac{4}{9}

, 4.

2 \frac{1}{5}

, 5.

6 \frac{1}{7}

, 6.

12 \frac{4}{5}

, 7.

4 \frac{1}{14}

, 8.

5 \frac{5}{6}

, 9.

6 \frac{4}{15}

, 10.

4 \frac{1}{5}

2 \cdot 3 \frac{2}{15} =

19 \frac{7}{8}

, 2.

4 \frac{1}{7}

, 3.

13 \frac{4}{9}

, 4.

2 \frac{1}{5}

, 5.

6 \frac{1}{7}

, 6.

12 \frac{4}{5}

, 7.

4 \frac{1}{14}

, 8.

5 \frac{5}{6}

, 9.

6 \frac{4}{15}

, 10.

4 \frac{1}{5}

1 \frac{1}{20} \cdot 4 =

19 \frac{7}{8}

, 2.

4 \frac{1}{7}

, 3.

13 \frac{4}{9}

, 4.

2 \frac{1}{5}

, 5.

6 \frac{1}{7}

, 6.

12 \frac{4}{5}

, 7.

4 \frac{1}{14}

, 8.

5 \frac{5}{6}

, 9.

6 \frac{4}{15}

, 10.

4 \frac{1}{5}

8 \cdot 1 \frac{3}{5} =

19 \frac{7}{8}

, 2.

4 \frac{1}{7}

, 3.

13 \frac{4}{9}

, 4.

2 \frac{1}{5}

, 5.

6 \frac{1}{7}

, 6.

12 \frac{4}{5}

, 7.

4 \frac{1}{14}

, 8.

5 \frac{5}{6}

, 9.

6 \frac{4}{15}

, 10.

4 \frac{1}{5}

6 \frac{5}{8} \cdot 3 =

19 \frac{7}{8}

, 2.

4 \frac{1}{7}

, 3.

13 \frac{4}{9}

, 4.

2 \frac{1}{5}

, 5.

6 \frac{1}{7}

, 6.

12 \frac{4}{5}

, 7.

4 \frac{1}{14}

, 8.

5 \frac{5}{6}

, 9.

6 \frac{4}{15}

, 10.

4 \frac{1}{5}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R16L5NPWvz7CP1

Ćwiczenie 9

Uzupełnij poniższe równości podanymi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną wartość.

5 \cdot 1 \frac{1}{6} =

6 \frac{1}{14}

, 2.

5 \frac{5}{6}

, 3.

6 \frac{3}{14}

, 4.

21 \frac{14}{15}

, 5.

31 \frac{13}{14}

, 6.

29 \frac{1}{20}

, 7.

4 \frac{1}{7}

2 \frac{1}{14} \cdot 3 =

6 \frac{1}{14}

, 2.

5 \frac{5}{6}

, 3.

6 \frac{3}{14}

, 4.

21 \frac{14}{15}

, 5.

31 \frac{13}{14}

, 6.

29 \frac{1}{20}

, 7.

4 \frac{1}{7}

7 \cdot 3 \frac{2}{15} =

6 \frac{1}{14}

, 2.

5 \frac{5}{6}

, 3.

6 \frac{3}{14}

, 4.

21 \frac{14}{15}

, 5.

31 \frac{13}{14}

, 6.

29 \frac{1}{20}

, 7.

4 \frac{1}{7}

4 \frac{3}{20} \cdot 7 =

6 \frac{1}{14}

, 2.

5 \frac{5}{6}

, 3.

6 \frac{3}{14}

, 4.

21 \frac{14}{15}

, 5.

31 \frac{13}{14}

, 6.

29 \frac{1}{20}

, 7.

4 \frac{1}{7}

Przeciągnij i upuść.

$5 \frac{5}{6}$ , $21 \frac{14}{15}$ , $6 \frac{3}{14}$ , $29 \frac{1}{20}$

a) $5 \cdot 1 \frac{1}{6} =$ ............
b) $2 \frac{1}{14} \cdot 3 =$ ............
c) $7 \cdot 3 \frac{2}{15} =$ ............
d) $4 \frac{3}{20} \cdot 7 =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RqV2HD2ebXM6a

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1IuqArHWa7ek1

Ćwiczenie 11

Poniżej przedstawiono słowny opis działań oraz ich rozwiązania. Połącz działanie z odpowiednim wynikiem. liczba

3

razy większa niż

\frac{4}{9}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1 \frac{7}{9}

, 2.

2 \frac{1}{3}

, 3.

1 \frac{1}{9}

, 4.

2 \frac{2}{3}

, 5.

1 \frac{1}{3}

liczba

10

razy większa niż

\frac{1}{9}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1 \frac{7}{9}

, 2.

2 \frac{1}{3}

, 3.

1 \frac{1}{9}

, 4.

2 \frac{2}{3}

, 5.

1 \frac{1}{3}

liczba

16

razy większa niż

\frac{1}{9}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1 \frac{7}{9}

, 2.

2 \frac{1}{3}

, 3.

1 \frac{1}{9}

, 4.

2 \frac{2}{3}

, 5.

1 \frac{1}{3}

liczba

12

razy większa niż

\frac{2}{9}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1 \frac{7}{9}

, 2.

2 \frac{1}{3}

, 3.

1 \frac{1}{9}

, 4.

2 \frac{2}{3}

, 5.

1 \frac{1}{3}

liczba

7

razy większa niż

\frac{1}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1 \frac{7}{9}

, 2.

2 \frac{1}{3}

, 3.

1 \frac{1}{9}

, 4.

2 \frac{2}{3}

, 5.

1 \frac{1}{3}

Połącz w pary.

liczba 3 razy większa niż $\frac{4}{9}$
liczba 10 razy większa niż $\frac{1}{9}$
liczba 16 razy większa niż $\frac{1}{9}$
liczba 12 razy większa niż $\frac{2}{9}$
liczba 7 razy większa niż $\frac{1}{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RU7HrvS7qdECj

Ćwiczenie 12

Poniżej przedstawiono pewne działania oraz ich rozwiązania. Połącz w pary działanie z odpowiednim wynikiem.

2 \cdot 1 \frac{1}{6} + 2 \frac{1}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

7

, 2.

15 \frac{11}{14}

, 3.

13 \frac{17}{28}

, 4.

12 \frac{3}{5}

, 5.

4 \frac{2}{3}

, 6.

8 \frac{13}{20}

2 \cdot (1 \frac{1}{6} + 2 \frac{1}{3})

Możliwe odpowiedzi: 1.

7

, 2.

15 \frac{11}{14}

, 3.

13 \frac{17}{28}

, 4.

12 \frac{3}{5}

, 5.

4 \frac{2}{3}

, 6.

8 \frac{13}{20}

\frac{1}{4} + 2 \cdot 4 \frac{1}{5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

7

, 2.

15 \frac{11}{14}

, 3.

13 \frac{17}{28}

, 4.

12 \frac{3}{5}

, 5.

4 \frac{2}{3}

, 6.

8 \frac{13}{20}

(\frac{1}{4} + 2 \frac{3}{4}) \cdot 4 \frac{1}{5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

7

, 2.

15 \frac{11}{14}

, 3.

13 \frac{17}{28}

, 4.

12 \frac{3}{5}

, 5.

4 \frac{2}{3}

, 6.

8 \frac{13}{20}

2 \cdot (1 \frac{1}{7} + 2 \frac{1}{4} \cdot 3)

Możliwe odpowiedzi: 1.

7

, 2.

15 \frac{11}{14}

, 3.

13 \frac{17}{28}

, 4.

12 \frac{3}{5}

, 5.

4 \frac{2}{3}

, 6.

8 \frac{13}{20}

(2 \cdot 1 \frac{1}{7} + 2 \frac{1}{4}) \cdot 3

Możliwe odpowiedzi: 1.

7

, 2.

15 \frac{11}{14}

, 3.

13 \frac{17}{28}

, 4.

12 \frac{3}{5}

, 5.

4 \frac{2}{3}

, 6.

8 \frac{13}{20}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2. Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

4. Obliczanie ułamka danej liczby

3. Mnożenie ułamka przez liczbę naturalną

Notatnik