3. Własności pierwiastków

RsO0Q4n5ZHeLl

W gamie mamy 7 podstawowych tonów (c‑d-e‑f-g‑a-h). Każdy z sześciu odstępów między tonami, podzielony jest na dwie części, zwane półtonami. Zatem gama jest podzielona na 12 półtonów. Stosunek częstotliwości dźwięków różniących się o oktawę (np. dolnego i górnego c) wynosi dwa, zatem dla sąsiednich półtonów wynosi on pierwiastek dwunastego stopnia z dwóch ( gdyż dzielimy nie na części o jednakowych różnicach, ale o jednakowych ilorazach).

R5jFofQ36B3BK

Obraz siedemnastowiecznego malarza Johannesa Vermeera przedstawiający młoda kobietę grającą na gitarze. — Gitarzystka (ok. 1672), Johannes Vermeer
Źródło: *Galeria Narodowa, Londyn*, domena publiczna.

Jeżeli instrumenty nastrojone są tak, że stosunek między częstotliwościami dla kolejnych nut wynosi pierwiastek dwunastego stopnia z dwóch, to nie trzeba przestrajać instrumentów przy zmianie tonacji.

Umiejętność obliczania wartości pierwiastków i przekształcania wyrażeń zawierających pierwiastki, może się więc przydać nawet muzykom.

W tym materiale poznasz twierdzenia, dzięki którym można ułatwić obliczenia wartości wyrażeń zawierających pierwiastki. Poznasz też przykłady zastosowania tych twierdzeń oraz sprawdzisz swoje umiejętności wykonując ćwiczenia.

Przykład 1

Poznamy teraz jedną z ważnych własności pierwiastków stopnia drugiego.

RMDQ0AvNsxKdE1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kwadrat pierwiastka drugiego stopnia z dowolnej liczby nieujemnej

Własność: Kwadrat pierwiastka drugiego stopnia z dowolnej liczby nieujemnej

Dla dowolnej liczby nieujemnej $a$ zachodzą równości:

${(\sqrt{a})}^{2} = \sqrt{a^{2}} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$

Na przykład:

$\sqrt{57} \cdot \sqrt{57} = 57$

${(\sqrt{129})}^{2} = 129$

$\sqrt{698^{2}} = 698$

Przykład 2

Poznamy teraz jedną z ważnych własności pierwiastków stopnia trzeciego.

RCWFiRNv1HvAd1

Sześcian pierwiastka trzeciego stopnia z dowolnej liczby

Własność: Sześcian pierwiastka trzeciego stopnia z dowolnej liczby

Dla dowolnej liczby $a$ zachodzą równości:

${(\sqrt[3]{a})}^{3} = \sqrt[3]{a^{3}} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a} = a$

Na przykład:

$\sqrt[3]{74} \cdot \sqrt[3]{74} \cdot \sqrt[3]{74} = 74$

${(\sqrt[3]{127})}^{3} = 127$

$\sqrt[3]{6, 435^{3}} = 6, 435$

Przykład 3

Pierwiastek z iloczynu czasem wygodniej jest obliczyć, mnożąc najpierw liczby podpierwiastkowe. Niekiedy jednak postępujemy inaczej- pierwiastek z iloczynu zapisujemy jako iloczyn pierwiastków i dopiero wtedy obliczamy wartości tak otrzymanych pierwiastków.

RZSkkC48qUspY1

Zapamiętaj!

Dla dowolnych liczb nieujemnych $a$ i $b$ zachodzi równość:

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

Dla dowolnych liczb $a$ i $b$ zachodzi równość:

$\sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$

Pierwiastek z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków.

Przykład 4

Pierwiastek z ilorazu czasem wygodniej jest obliczyć, dzieląc najpierw liczby podpierwiastkowe. Niekiedy jednak postępujemy inaczej- pierwiastek z ilorazu zapisujemy jako iloraz pierwiastków i dopiero wtedy obliczamy wartości tak otrzymanych pierwiastków.

R11ko33tQGqYy1

Zapamiętaj!

Dla dowolnej liczby nieujemnej $a$ i liczby dodatniej $b$ zachodzi równość:

$\sqrt{a : b} = \sqrt{a} : \sqrt{b}$

oraz

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Dla dowolnej liczby $a$ i liczby $b$ różnej od zera zachodzi równość:

$\sqrt[3]{a : b} = \sqrt[3]{a} : \sqrt[3]{b}$

oraz

$\sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$

Pierwiastek z ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków.

Powyższe wzory ułatwiają wyznaczanie pierwiastków kwadratowych i sześciennych z bardzo dużych liczb oraz ułatwiają wykonywanie działań z pierwiastkami.

Przykład 5

Obliczymy iloczyn oraz iloraz pierwiastków, wykorzystując poznane prawa działań.

R1CyPsJUUXws31

Przykład 6

Aby obliczyć pierwiastek z dużej liczby, staramy sie najpierw liczbę podpierwiastkową zapisać za pomocą iloczynu takich liczb, z których pierwiastki są liczbami wymiernymi.

RAL4JpqKfXyuo1

Przykład 7

Obliczmy wartości pierwiastków, wykorzystując prawa działań na potęgach.

$\sqrt{2^{6}} = \sqrt{2^{3 \cdot 2}} = \sqrt{{(2^{3})}^{2}} = 2^{3} = 8$
$\sqrt{2^{6}} = \sqrt{2^{3 + 3}} = \sqrt{2^{3} \cdot 2^{3}} = \sqrt{2^{3}} \cdot \sqrt{2^{3}} = 2^{3} = 8$
$\sqrt{25^{3}} = \sqrt{25^{1 + 2}} = \sqrt{25^{1}} \cdot \sqrt{25^{2}} = 5 \cdot 25 = 125$
${(\sqrt{2})}^{8} = {(\sqrt{2})}^{2 \cdot 4} = {({(\sqrt{2})}^{2})}^{4} = 2^{4} = 16$
${(\sqrt{2})}^{8} = {(\sqrt{2})}^{2 + 2 + 2 + 2} = {(\sqrt{2})}^{2} \cdot {(\sqrt{2})}^{2} \cdot {(\sqrt{2})}^{2} \cdot {(\sqrt{2})}^{2} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$
$\sqrt[3]{6^{9}} = \sqrt[3]{6^{3 \cdot 3}} = \sqrt[3]{{(6^{3})}^{3}} = 6^{3} = 216$
$\sqrt[3]{6^{9}} = \sqrt[3]{6^{3 + 3 + 3}} = \sqrt[3]{6^{3} \cdot 6^{3} \cdot 6^{3}} = \sqrt[3]{6^{3}} \cdot \sqrt[3]{6^{3}} \cdot \sqrt[3]{6^{3}} = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$
${(- \sqrt[3]{4})}^{6} = {(\sqrt[3]{4})}^{6} = {(\sqrt[3]{4})}^{3 + 3} = {(\sqrt[3]{4})}^{3} \cdot {(\sqrt[3]{4})}^{3} = 4 \cdot 4 = 16$
${(- \sqrt[3]{4})}^{6} = {(\sqrt[3]{4})}^{6} = {(\sqrt[3]{4})}^{3 \cdot 2} = {({(\sqrt[3]{4})}^{3})}^{2} = 4^{2} = 16$

Przykład 8

Analizując poniższą animację, dowiesz się, czy pierwiastek z sumy dwóch liczb jest równy sumie pierwiastków z tych liczb.

RyAY4Y0zw856m1

Zapamiętaj!

Pierwiastek z sumy nie jest równy sumie pierwiastków.

Na przykład:

$\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

$\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$

$\sqrt{9 + 16} \neq \sqrt{9} + \sqrt{16}$

Ważne!

Jeżeli liczba $a$ jest liczbą wymierną, to zwykle piszemy: $a \cdot \sqrt{b} = a \sqrt{b}$ i $a \cdot \sqrt[3]{b} = a \sqrt[3]{b}$ .

Przykład 9

Pierwiastki można dodawać lub odejmować, gdy są tego samego stopnia i mają tę samą liczbę podpierwiastkową.

RBW5tkFdtgShG1

R1NtuiSsz6O5B

Ćwiczenie 1

$4$
$\frac{1}{4}$
$8$
$16$

R1SehsNfePAP0

Ćwiczenie 2

równa $30$
równa $300$
liczbą niewymierną
równa $\sqrt[3]{2700}$

R1CAqMNJXOP6x

Ćwiczenie 3

Oblicz, a następnie uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

$\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} =$ 1. $36$ , 2. $235$ , 3. $1, 9$ , 4. $656543$ , 5. $152$ , 6. $7854628$ , 7. $0, 81$ , 8. $3, 8$ , 9. $54$ , 10. $5 \frac{6}{13}$ , 11. $6$
$\sqrt{1, 9} \cdot \sqrt{1, 9} =$ 1. $36$ , 2. $235$ , 3. $1, 9$ , 4. $656543$ , 5. $152$ , 6. $7854628$ , 7. $0, 81$ , 8. $3, 8$ , 9. $54$ , 10. $5 \frac{6}{13}$ , 11. $6$
$\sqrt{5 \frac{6}{13}} \cdot \sqrt{5 \frac{6}{13}} =$ 1. $36$ , 2. $235$ , 3. $1, 9$ , 4. $656543$ , 5. $152$ , 6. $7854628$ , 7. $0, 81$ , 8. $3, 8$ , 9. $54$ , 10. $5 \frac{6}{13}$ , 11. $6$
${(\sqrt{0, 81})}^{2} =$ 1. $36$ , 2. $235$ , 3. $1, 9$ , 4. $656543$ , 5. $152$ , 6. $7854628$ , 7. $0, 81$ , 8. $3, 8$ , 9. $54$ , 10. $5 \frac{6}{13}$ , 11. $6$
${(\sqrt{54})}^{2} =$ 1. $36$ , 2. $235$ , 3. $1, 9$ , 4. $656543$ , 5. $152$ , 6. $7854628$ , 7. $0, 81$ , 8. $3, 8$ , 9. $54$ , 10. $5 \frac{6}{13}$ , 11. $6$
$\sqrt{656543^{2}} =$ 1. $36$ , 2. $235$ , 3. $1, 9$ , 4. $656543$ , 5. $152$ , 6. $7854628$ , 7. $0, 81$ , 8. $3, 8$ , 9. $54$ , 10. $5 \frac{6}{13}$ , 11. $6$
$\sqrt{235^{2}} =$ 1. $36$ , 2. $235$ , 3. $1, 9$ , 4. $656543$ , 5. $152$ , 6. $7854628$ , 7. $0, 81$ , 8. $3, 8$ , 9. $54$ , 10. $5 \frac{6}{13}$ , 11. $6$

RmpaxuyDSSaSV

Ćwiczenie 4

Oblicz, a następnie uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2} =$ 1. $76$ , 2. $\frac{1}{27}$ , 3. $8$ , 4. $- 1 \frac{8}{43}$ , 5. $- 76$ , 6. $- 0, 65$ , 7. $0, 00019$ , 8. $4, 25$ , 9. $1 \frac{8}{43}$ , 10. $11$ , 11. $\sqrt[3]{2}$ , 12. $\frac{1}{3}$ , 13. $2$
$\sqrt[3]{- 0, 65} \cdot \sqrt[3]{- 0, 65} \cdot \sqrt[3]{- 0, 65} =$ 1. $76$ , 2. $\frac{1}{27}$ , 3. $8$ , 4. $- 1 \frac{8}{43}$ , 5. $- 76$ , 6. $- 0, 65$ , 7. $0, 00019$ , 8. $4, 25$ , 9. $1 \frac{8}{43}$ , 10. $11$ , 11. $\sqrt[3]{2}$ , 12. $\frac{1}{3}$ , 13. $2$
$\sqrt[3]{\frac{1}{27}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{27}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{27}} =$ 1. $76$ , 2. $\frac{1}{27}$ , 3. $8$ , 4. $- 1 \frac{8}{43}$ , 5. $- 76$ , 6. $- 0, 65$ , 7. $0, 00019$ , 8. $4, 25$ , 9. $1 \frac{8}{43}$ , 10. $11$ , 11. $\sqrt[3]{2}$ , 12. $\frac{1}{3}$ , 13. $2$
${(\sqrt[3]{- 76})}^{3} =$ 1. $76$ , 2. $\frac{1}{27}$ , 3. $8$ , 4. $- 1 \frac{8}{43}$ , 5. $- 76$ , 6. $- 0, 65$ , 7. $0, 00019$ , 8. $4, 25$ , 9. $1 \frac{8}{43}$ , 10. $11$ , 11. $\sqrt[3]{2}$ , 12. $\frac{1}{3}$ , 13. $2$
$\sqrt[3]{11} \cdot {(\sqrt[3]{11})}^{2} =$ 1. $76$ , 2. $\frac{1}{27}$ , 3. $8$ , 4. $- 1 \frac{8}{43}$ , 5. $- 76$ , 6. $- 0, 65$ , 7. $0, 00019$ , 8. $4, 25$ , 9. $1 \frac{8}{43}$ , 10. $11$ , 11. $\sqrt[3]{2}$ , 12. $\frac{1}{3}$ , 13. $2$
$\sqrt[3]{0, 00019^{3}} =$ 1. $76$ , 2. $\frac{1}{27}$ , 3. $8$ , 4. $- 1 \frac{8}{43}$ , 5. $- 76$ , 6. $- 0, 65$ , 7. $0, 00019$ , 8. $4, 25$ , 9. $1 \frac{8}{43}$ , 10. $11$ , 11. $\sqrt[3]{2}$ , 12. $\frac{1}{3}$ , 13. $2$
$\sqrt[3]{{(- 1 \frac{8}{43})}^{3}} =$ 1. $76$ , 2. $\frac{1}{27}$ , 3. $8$ , 4. $- 1 \frac{8}{43}$ , 5. $- 76$ , 6. $- 0, 65$ , 7. $0, 00019$ , 8. $4, 25$ , 9. $1 \frac{8}{43}$ , 10. $11$ , 11. $\sqrt[3]{2}$ , 12. $\frac{1}{3}$ , 13. $2$

RzRF9LMPJShjN

Ćwiczenie 5

Oblicz wartości wyrażeń z lewej kolumny. Połącz w pary wyrażenia i ich wartości.

\sqrt{3^{2}} + {(\sqrt{3^{2}})}^{2} + {(\sqrt{3^{2}})}^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1 \frac{3}{4}

, 2.

39

, 3.

7 \frac{1}{4}

, 4.

1 \frac{5}{11}

, 5.

- 1

, 6.

155

\sqrt[3]{5^{3}} + {(\sqrt[3]{5^{3}})}^{2} + {(\sqrt[3]{5^{3}})}^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1 \frac{3}{4}

, 2.

39

, 3.

7 \frac{1}{4}

, 4.

1 \frac{5}{11}

, 5.

- 1

, 6.

155

\frac{\sqrt{10^{2}} + \sqrt{11^{2}}}{\sqrt{12^{2}}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1 \frac{3}{4}

, 2.

39

, 3.

7 \frac{1}{4}

, 4.

1 \frac{5}{11}

, 5.

- 1

, 6.

155

\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}{\sqrt{3^{2}}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1 \frac{3}{4}

, 2.

39

, 3.

7 \frac{1}{4}

, 4.

1 \frac{5}{11}

, 5.

- 1

, 6.

155

\frac{\sqrt[3]{7^{3}} + \sqrt[3]{9^{3}}}{\sqrt[3]{11^{3}}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1 \frac{3}{4}

, 2.

39

, 3.

7 \frac{1}{4}

, 4.

1 \frac{5}{11}

, 5.

- 1

, 6.

155

\frac{\sqrt[3]{2^{3}} + {(\sqrt[3]{3^{3}})}^{3}}{\sqrt[3]{4^{3}}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1 \frac{3}{4}

, 2.

39

, 3.

7 \frac{1}{4}

, 4.

1 \frac{5}{11}

, 5.

- 1

, 6.

155

RTv9aJRCCJsSu

Ćwiczenie 6

Oblicz wartości wyrażeń z lewej kolumny. Połącz w pary wyrażenia i ich wartości.

\sqrt{36 \cdot 4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 02

, 2.

15

, 3.

1, 5

, 4.

0, 3

, 5.

12

, 6.

3, 6

, 7.

7, 7

, 8.

78

, 9.

56

, 10.

- 2, 5

, 11.

8

, 12.

1, 8

\sqrt{49 \cdot 64}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 02

, 2.

15

, 3.

1, 5

, 4.

0, 3

, 5.

12

, 6.

3, 6

, 7.

7, 7

, 8.

78

, 9.

56

, 10.

- 2, 5

, 11.

8

, 12.

1, 8

\sqrt{9 \cdot 25}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 02

, 2.

15

, 3.

1, 5

, 4.

0, 3

, 5.

12

, 6.

3, 6

, 7.

7, 7

, 8.

78

, 9.

56

, 10.

- 2, 5

, 11.

8

, 12.

1, 8

\sqrt{0, 16 \cdot 81}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 02

, 2.

15

, 3.

1, 5

, 4.

0, 3

, 5.

12

, 6.

3, 6

, 7.

7, 7

, 8.

78

, 9.

56

, 10.

- 2, 5

, 11.

8

, 12.

1, 8

\sqrt{0, 01 \cdot 49 \cdot 121}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 02

, 2.

15

, 3.

1, 5

, 4.

0, 3

, 5.

12

, 6.

3, 6

, 7.

7, 7

, 8.

78

, 9.

56

, 10.

- 2, 5

, 11.

8

, 12.

1, 8

\sqrt{1, 44 \cdot 169 \cdot 25}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 02

, 2.

15

, 3.

1, 5

, 4.

0, 3

, 5.

12

, 6.

3, 6

, 7.

7, 7

, 8.

78

, 9.

56

, 10.

- 2, 5

, 11.

8

, 12.

1, 8

\sqrt[3]{8 \cdot 64}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 02

, 2.

15

, 3.

1, 5

, 4.

0, 3

, 5.

12

, 6.

3, 6

, 7.

7, 7

, 8.

78

, 9.

56

, 10.

- 2, 5

, 11.

8

, 12.

1, 8

\sqrt[3]{27 \cdot 0, 001}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 02

, 2.

15

, 3.

1, 5

, 4.

0, 3

, 5.

12

, 6.

3, 6

, 7.

7, 7

, 8.

78

, 9.

56

, 10.

- 2, 5

, 11.

8

, 12.

1, 8

\sqrt[3]{- 125 \cdot \frac{1}{8}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 02

, 2.

15

, 3.

1, 5

, 4.

0, 3

, 5.

12

, 6.

3, 6

, 7.

7, 7

, 8.

78

, 9.

56

, 10.

- 2, 5

, 11.

8

, 12.

1, 8

\sqrt[3]{216 \cdot 0, 027}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 02

, 2.

15

, 3.

1, 5

, 4.

0, 3

, 5.

12

, 6.

3, 6

, 7.

7, 7

, 8.

78

, 9.

56

, 10.

- 2, 5

, 11.

8

, 12.

1, 8

\sqrt[3]{- 8 \cdot (- 27) \cdot \frac{1}{64}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 02

, 2.

15

, 3.

1, 5

, 4.

0, 3

, 5.

12

, 6.

3, 6

, 7.

7, 7

, 8.

78

, 9.

56

, 10.

- 2, 5

, 11.

8

, 12.

1, 8

\sqrt[3]{0, 008 \cdot 0, 001}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 02

, 2.

15

, 3.

1, 5

, 4.

0, 3

, 5.

12

, 6.

3, 6

, 7.

7, 7

, 8.

78

, 9.

56

, 10.

- 2, 5

, 11.

8

, 12.

1, 8

R11UshBHGROlk

Ćwiczenie 7

Oblicz, a następnie uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

$\sqrt{49 : 16} =$ 1. $18 \frac{2}{3}$ , 2. $1 \frac{1}{8}$ , 3. $1 \frac{1}{5}$ , 4. $1 \frac{3}{4}$ , 5. $- \frac{1}{6}$ , 6. $12$ , 7. $- 2$ , 8. $- \frac{1}{16}$ , 9. $0, 5$ , 10. $2 \frac{1}{3}$ , 11. $0, 6$ , 12. $33 \frac{1}{3}$ , 13. $2 \frac{1}{4}$ , 14. $2 \frac{1}{5}$ , 15. $40$ , 16. $\frac{1}{15}$ , 17. $4$ , 18. $- 1$ , 19. $20$ , 20. $\frac{2}{15}$
$\sqrt{64 : 0, 04} =$ 1. $18 \frac{2}{3}$ , 2. $1 \frac{1}{8}$ , 3. $1 \frac{1}{5}$ , 4. $1 \frac{3}{4}$ , 5. $- \frac{1}{6}$ , 6. $12$ , 7. $- 2$ , 8. $- \frac{1}{16}$ , 9. $0, 5$ , 10. $2 \frac{1}{3}$ , 11. $0, 6$ , 12. $33 \frac{1}{3}$ , 13. $2 \frac{1}{4}$ , 14. $2 \frac{1}{5}$ , 15. $40$ , 16. $\frac{1}{15}$ , 17. $4$ , 18. $- 1$ , 19. $20$ , 20. $\frac{2}{15}$
$\sqrt{1, 44 : 0, 09} =$ 1. $18 \frac{2}{3}$ , 2. $1 \frac{1}{8}$ , 3. $1 \frac{1}{5}$ , 4. $1 \frac{3}{4}$ , 5. $- \frac{1}{6}$ , 6. $12$ , 7. $- 2$ , 8. $- \frac{1}{16}$ , 9. $0, 5$ , 10. $2 \frac{1}{3}$ , 11. $0, 6$ , 12. $33 \frac{1}{3}$ , 13. $2 \frac{1}{4}$ , 14. $2 \frac{1}{5}$ , 15. $40$ , 16. $\frac{1}{15}$ , 17. $4$ , 18. $- 1$ , 19. $20$ , 20. $\frac{2}{15}$
$\sqrt{6, 25 : 25} =$ 1. $18 \frac{2}{3}$ , 2. $1 \frac{1}{8}$ , 3. $1 \frac{1}{5}$ , 4. $1 \frac{3}{4}$ , 5. $- \frac{1}{6}$ , 6. $12$ , 7. $- 2$ , 8. $- \frac{1}{16}$ , 9. $0, 5$ , 10. $2 \frac{1}{3}$ , 11. $0, 6$ , 12. $33 \frac{1}{3}$ , 13. $2 \frac{1}{4}$ , 14. $2 \frac{1}{5}$ , 15. $40$ , 16. $\frac{1}{15}$ , 17. $4$ , 18. $- 1$ , 19. $20$ , 20. $\frac{2}{15}$
$\sqrt{0, 36 : 81} =$ 1. $18 \frac{2}{3}$ , 2. $1 \frac{1}{8}$ , 3. $1 \frac{1}{5}$ , 4. $1 \frac{3}{4}$ , 5. $- \frac{1}{6}$ , 6. $12$ , 7. $- 2$ , 8. $- \frac{1}{16}$ , 9. $0, 5$ , 10. $2 \frac{1}{3}$ , 11. $0, 6$ , 12. $33 \frac{1}{3}$ , 13. $2 \frac{1}{4}$ , 14. $2 \frac{1}{5}$ , 15. $40$ , 16. $\frac{1}{15}$ , 17. $4$ , 18. $- 1$ , 19. $20$ , 20. $\frac{2}{15}$
$\sqrt[3]{216 : 125} =$ 1. $18 \frac{2}{3}$ , 2. $1 \frac{1}{8}$ , 3. $1 \frac{1}{5}$ , 4. $1 \frac{3}{4}$ , 5. $- \frac{1}{6}$ , 6. $12$ , 7. $- 2$ , 8. $- \frac{1}{16}$ , 9. $0, 5$ , 10. $2 \frac{1}{3}$ , 11. $0, 6$ , 12. $33 \frac{1}{3}$ , 13. $2 \frac{1}{4}$ , 14. $2 \frac{1}{5}$ , 15. $40$ , 16. $\frac{1}{15}$ , 17. $4$ , 18. $- 1$ , 19. $20$ , 20. $\frac{2}{15}$
$\sqrt[3]{0, 008 : (- 0, 001)} =$ 1. $18 \frac{2}{3}$ , 2. $1 \frac{1}{8}$ , 3. $1 \frac{1}{5}$ , 4. $1 \frac{3}{4}$ , 5. $- \frac{1}{6}$ , 6. $12$ , 7. $- 2$ , 8. $- \frac{1}{16}$ , 9. $0, 5$ , 10. $2 \frac{1}{3}$ , 11. $0, 6$ , 12. $33 \frac{1}{3}$ , 13. $2 \frac{1}{4}$ , 14. $2 \frac{1}{5}$ , 15. $40$ , 16. $\frac{1}{15}$ , 17. $4$ , 18. $- 1$ , 19. $20$ , 20. $\frac{2}{15}$
$\sqrt[3]{- 1000 : (- 0, 027)} =$ 1. $18 \frac{2}{3}$ , 2. $1 \frac{1}{8}$ , 3. $1 \frac{1}{5}$ , 4. $1 \frac{3}{4}$ , 5. $- \frac{1}{6}$ , 6. $12$ , 7. $- 2$ , 8. $- \frac{1}{16}$ , 9. $0, 5$ , 10. $2 \frac{1}{3}$ , 11. $0, 6$ , 12. $33 \frac{1}{3}$ , 13. $2 \frac{1}{4}$ , 14. $2 \frac{1}{5}$ , 15. $40$ , 16. $\frac{1}{15}$ , 17. $4$ , 18. $- 1$ , 19. $20$ , 20. $\frac{2}{15}$
$\sqrt[3]{\frac{8}{27} : (- 64)} =$ 1. $18 \frac{2}{3}$ , 2. $1 \frac{1}{8}$ , 3. $1 \frac{1}{5}$ , 4. $1 \frac{3}{4}$ , 5. $- \frac{1}{6}$ , 6. $12$ , 7. $- 2$ , 8. $- \frac{1}{16}$ , 9. $0, 5$ , 10. $2 \frac{1}{3}$ , 11. $0, 6$ , 12. $33 \frac{1}{3}$ , 13. $2 \frac{1}{4}$ , 14. $2 \frac{1}{5}$ , 15. $40$ , 16. $\frac{1}{15}$ , 17. $4$ , 18. $- 1$ , 19. $20$ , 20. $\frac{2}{15}$
$\sqrt[3]{343 : 27} =$ 1. $18 \frac{2}{3}$ , 2. $1 \frac{1}{8}$ , 3. $1 \frac{1}{5}$ , 4. $1 \frac{3}{4}$ , 5. $- \frac{1}{6}$ , 6. $12$ , 7. $- 2$ , 8. $- \frac{1}{16}$ , 9. $0, 5$ , 10. $2 \frac{1}{3}$ , 11. $0, 6$ , 12. $33 \frac{1}{3}$ , 13. $2 \frac{1}{4}$ , 14. $2 \frac{1}{5}$ , 15. $40$ , 16. $\frac{1}{15}$ , 17. $4$ , 18. $- 1$ , 19. $20$ , 20. $\frac{2}{15}$

Rj4WRuIuqp1fZ

Ćwiczenie 8

Oblicz, a następnie uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

$\sqrt{20} \cdot \sqrt{5} =$ 1. $16$ , 2. $18$ , 3. $11$ , 4. $9$ , 5. $60$ , 6. $15$ , 7. $17$ , 8. $22$ , 9. $6$ , 10. $5$ , 11. $31$ , 12. $50$ , 13. $10$ , 14. $28$ , 15. $4$ , 16. $8$ , 17. $10$ , 18. $20$ , 19. $14$ , 20. $2$ , 21. $33$ , 22. $24$
$\sqrt{10} \cdot \sqrt{12, 1} =$ 1. $16$ , 2. $18$ , 3. $11$ , 4. $9$ , 5. $60$ , 6. $15$ , 7. $17$ , 8. $22$ , 9. $6$ , 10. $5$ , 11. $31$ , 12. $50$ , 13. $10$ , 14. $28$ , 15. $4$ , 16. $8$ , 17. $10$ , 18. $20$ , 19. $14$ , 20. $2$ , 21. $33$ , 22. $24$
$\sqrt{7} \cdot \sqrt{28} =$ 1. $16$ , 2. $18$ , 3. $11$ , 4. $9$ , 5. $60$ , 6. $15$ , 7. $17$ , 8. $22$ , 9. $6$ , 10. $5$ , 11. $31$ , 12. $50$ , 13. $10$ , 14. $28$ , 15. $4$ , 16. $8$ , 17. $10$ , 18. $20$ , 19. $14$ , 20. $2$ , 21. $33$ , 22. $24$
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} =$ 1. $16$ , 2. $18$ , 3. $11$ , 4. $9$ , 5. $60$ , 6. $15$ , 7. $17$ , 8. $22$ , 9. $6$ , 10. $5$ , 11. $31$ , 12. $50$ , 13. $10$ , 14. $28$ , 15. $4$ , 16. $8$ , 17. $10$ , 18. $20$ , 19. $14$ , 20. $2$ , 21. $33$ , 22. $24$
$\sqrt{50} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} =$ 1. $16$ , 2. $18$ , 3. $11$ , 4. $9$ , 5. $60$ , 6. $15$ , 7. $17$ , 8. $22$ , 9. $6$ , 10. $5$ , 11. $31$ , 12. $50$ , 13. $10$ , 14. $28$ , 15. $4$ , 16. $8$ , 17. $10$ , 18. $20$ , 19. $14$ , 20. $2$ , 21. $33$ , 22. $24$
$\sqrt{8} \cdot \sqrt{32} =$ 1. $16$ , 2. $18$ , 3. $11$ , 4. $9$ , 5. $60$ , 6. $15$ , 7. $17$ , 8. $22$ , 9. $6$ , 10. $5$ , 11. $31$ , 12. $50$ , 13. $10$ , 14. $28$ , 15. $4$ , 16. $8$ , 17. $10$ , 18. $20$ , 19. $14$ , 20. $2$ , 21. $33$ , 22. $24$
$\sqrt{20} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{2} =$ 1. $16$ , 2. $18$ , 3. $11$ , 4. $9$ , 5. $60$ , 6. $15$ , 7. $17$ , 8. $22$ , 9. $6$ , 10. $5$ , 11. $31$ , 12. $50$ , 13. $10$ , 14. $28$ , 15. $4$ , 16. $8$ , 17. $10$ , 18. $20$ , 19. $14$ , 20. $2$ , 21. $33$ , 22. $24$
$\sqrt{5} \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{60} =$ 1. $16$ , 2. $18$ , 3. $11$ , 4. $9$ , 5. $60$ , 6. $15$ , 7. $17$ , 8. $22$ , 9. $6$ , 10. $5$ , 11. $31$ , 12. $50$ , 13. $10$ , 14. $28$ , 15. $4$ , 16. $8$ , 17. $10$ , 18. $20$ , 19. $14$ , 20. $2$ , 21. $33$ , 22. $24$
$\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16} =$ 1. $16$ , 2. $18$ , 3. $11$ , 4. $9$ , 5. $60$ , 6. $15$ , 7. $17$ , 8. $22$ , 9. $6$ , 10. $5$ , 11. $31$ , 12. $50$ , 13. $10$ , 14. $28$ , 15. $4$ , 16. $8$ , 17. $10$ , 18. $20$ , 19. $14$ , 20. $2$ , 21. $33$ , 22. $24$
$\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{81} =$ 1. $16$ , 2. $18$ , 3. $11$ , 4. $9$ , 5. $60$ , 6. $15$ , 7. $17$ , 8. $22$ , 9. $6$ , 10. $5$ , 11. $31$ , 12. $50$ , 13. $10$ , 14. $28$ , 15. $4$ , 16. $8$ , 17. $10$ , 18. $20$ , 19. $14$ , 20. $2$ , 21. $33$ , 22. $24$
$\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{0, 5} =$ 1. $16$ , 2. $18$ , 3. $11$ , 4. $9$ , 5. $60$ , 6. $15$ , 7. $17$ , 8. $22$ , 9. $6$ , 10. $5$ , 11. $31$ , 12. $50$ , 13. $10$ , 14. $28$ , 15. $4$ , 16. $8$ , 17. $10$ , 18. $20$ , 19. $14$ , 20. $2$ , 21. $33$ , 22. $24$
$\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{6} \cdot \sqrt[3]{12} =$ 1. $16$ , 2. $18$ , 3. $11$ , 4. $9$ , 5. $60$ , 6. $15$ , 7. $17$ , 8. $22$ , 9. $6$ , 10. $5$ , 11. $31$ , 12. $50$ , 13. $10$ , 14. $28$ , 15. $4$ , 16. $8$ , 17. $10$ , 18. $20$ , 19. $14$ , 20. $2$ , 21. $33$ , 22. $24$
$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{20} \cdot \sqrt[3]{25} =$ 1. $16$ , 2. $18$ , 3. $11$ , 4. $9$ , 5. $60$ , 6. $15$ , 7. $17$ , 8. $22$ , 9. $6$ , 10. $5$ , 11. $31$ , 12. $50$ , 13. $10$ , 14. $28$ , 15. $4$ , 16. $8$ , 17. $10$ , 18. $20$ , 19. $14$ , 20. $2$ , 21. $33$ , 22. $24$

RoezQOvnvYJGD

Ćwiczenie 9

Oblicz wartości wyrażeń z lewej kolumny. Połącz w pary wyrażenia i ich wartości.

\sqrt{18} : \sqrt{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3

, 2.

6

, 3.

0, 1

, 4.

2

, 5.

3

, 6.

- 2

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

4

, 10.

5

, 11.

0, 1

, 12.

3

\sqrt{56} : \sqrt{3, 5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3

, 2.

6

, 3.

0, 1

, 4.

2

, 5.

3

, 6.

- 2

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

4

, 10.

5

, 11.

0, 1

, 12.

3

\sqrt{125} : \sqrt{5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3

, 2.

6

, 3.

0, 1

, 4.

2

, 5.

3

, 6.

- 2

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

4

, 10.

5

, 11.

0, 1

, 12.

3

\sqrt{0, 03} : \sqrt{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3

, 2.

6

, 3.

0, 1

, 4.

2

, 5.

3

, 6.

- 2

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

4

, 10.

5

, 11.

0, 1

, 12.

3

\sqrt{100000} : \sqrt{1000}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3

, 2.

6

, 3.

0, 1

, 4.

2

, 5.

3

, 6.

- 2

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

4

, 10.

5

, 11.

0, 1

, 12.

3

\sqrt[3]{- 16} : \sqrt[3]{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3

, 2.

6

, 3.

0, 1

, 4.

2

, 5.

3

, 6.

- 2

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

4

, 10.

5

, 11.

0, 1

, 12.

3

\sqrt[3]{0, 007} : \sqrt[3]{7}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3

, 2.

6

, 3.

0, 1

, 4.

2

, 5.

3

, 6.

- 2

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

4

, 10.

5

, 11.

0, 1

, 12.

3

\sqrt[3]{- 25} : \sqrt[3]{- \frac{1}{5}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3

, 2.

6

, 3.

0, 1

, 4.

2

, 5.

3

, 6.

- 2

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

4

, 10.

5

, 11.

0, 1

, 12.

3

\sqrt[3]{13, 5} : \sqrt[3]{- 0, 5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3

, 2.

6

, 3.

0, 1

, 4.

2

, 5.

3

, 6.

- 2

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

4

, 10.

5

, 11.

0, 1

, 12.

3

\sqrt[3]{54} : \sqrt[3]{\frac{1}{4}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3

, 2.

6

, 3.

0, 1

, 4.

2

, 5.

3

, 6.

- 2

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

4

, 10.

5

, 11.

0, 1

, 12.

3

\frac{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{12}}{\sqrt[3]{3}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3

, 2.

6

, 3.

0, 1

, 4.

2

, 5.

3

, 6.

- 2

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

4

, 10.

5

, 11.

0, 1

, 12.

3

\frac{\sqrt[3]{108} : \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3

, 2.

6

, 3.

0, 1

, 4.

2

, 5.

3

, 6.

- 2

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

4

, 10.

5

, 11.

0, 1

, 12.

3

R1KGT05sdmoYS

Ćwiczenie 10

Oblicz, a następnie uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

$\sqrt{\frac{2}{7}} : \sqrt{3 \frac{1}{2}} =$ 1. $7$ , 2. $\frac{4}{5}$ , 3. $5$ , 4. $\frac{3}{4}$ , 5. $1$ , 6. $\frac{5}{9}$ , 7. $\frac{2}{7}$ , 8. $\frac{3}{5}$ , 9. $4$ , 10. $\frac{4}{7}$ , 11. $\frac{1}{2}$ , 12. $\frac{1}{4}$ , 13. $8$ , 14. $\frac{7}{9}$ , 15. $\frac{1}{9}$ , 16. $\frac{2}{5}$ , 17. $\frac{2}{9}$ , 18. $\frac{5}{4}$ , 19. $\frac{3}{2}$ , 20. $6$ , 21. $\frac{1}{7}$
$\sqrt{5 \frac{1}{3}} : \sqrt{8 \frac{1}{3}} =$ 1. $7$ , 2. $\frac{4}{5}$ , 3. $5$ , 4. $\frac{3}{4}$ , 5. $1$ , 6. $\frac{5}{9}$ , 7. $\frac{2}{7}$ , 8. $\frac{3}{5}$ , 9. $4$ , 10. $\frac{4}{7}$ , 11. $\frac{1}{2}$ , 12. $\frac{1}{4}$ , 13. $8$ , 14. $\frac{7}{9}$ , 15. $\frac{1}{9}$ , 16. $\frac{2}{5}$ , 17. $\frac{2}{9}$ , 18. $\frac{5}{4}$ , 19. $\frac{3}{2}$ , 20. $6$ , 21. $\frac{1}{7}$
$\sqrt{\frac{49}{50}} : \sqrt{\frac{1}{50}} =$ 1. $7$ , 2. $\frac{4}{5}$ , 3. $5$ , 4. $\frac{3}{4}$ , 5. $1$ , 6. $\frac{5}{9}$ , 7. $\frac{2}{7}$ , 8. $\frac{3}{5}$ , 9. $4$ , 10. $\frac{4}{7}$ , 11. $\frac{1}{2}$ , 12. $\frac{1}{4}$ , 13. $8$ , 14. $\frac{7}{9}$ , 15. $\frac{1}{9}$ , 16. $\frac{2}{5}$ , 17. $\frac{2}{9}$ , 18. $\frac{5}{4}$ , 19. $\frac{3}{2}$ , 20. $6$ , 21. $\frac{1}{7}$
$\sqrt{2 \frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{5}{8}} =$ 1. $7$ , 2. $\frac{4}{5}$ , 3. $5$ , 4. $\frac{3}{4}$ , 5. $1$ , 6. $\frac{5}{9}$ , 7. $\frac{2}{7}$ , 8. $\frac{3}{5}$ , 9. $4$ , 10. $\frac{4}{7}$ , 11. $\frac{1}{2}$ , 12. $\frac{1}{4}$ , 13. $8$ , 14. $\frac{7}{9}$ , 15. $\frac{1}{9}$ , 16. $\frac{2}{5}$ , 17. $\frac{2}{9}$ , 18. $\frac{5}{4}$ , 19. $\frac{3}{2}$ , 20. $6$ , 21. $\frac{1}{7}$
$\sqrt[3]{1 \frac{3}{5}} : \sqrt[3]{12 \frac{4}{5}} =$ 1. $7$ , 2. $\frac{4}{5}$ , 3. $5$ , 4. $\frac{3}{4}$ , 5. $1$ , 6. $\frac{5}{9}$ , 7. $\frac{2}{7}$ , 8. $\frac{3}{5}$ , 9. $4$ , 10. $\frac{4}{7}$ , 11. $\frac{1}{2}$ , 12. $\frac{1}{4}$ , 13. $8$ , 14. $\frac{7}{9}$ , 15. $\frac{1}{9}$ , 16. $\frac{2}{5}$ , 17. $\frac{2}{9}$ , 18. $\frac{5}{4}$ , 19. $\frac{3}{2}$ , 20. $6$ , 21. $\frac{1}{7}$
$\sqrt[3]{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{9}} : \sqrt[3]{27} =$ 1. $7$ , 2. $\frac{4}{5}$ , 3. $5$ , 4. $\frac{3}{4}$ , 5. $1$ , 6. $\frac{5}{9}$ , 7. $\frac{2}{7}$ , 8. $\frac{3}{5}$ , 9. $4$ , 10. $\frac{4}{7}$ , 11. $\frac{1}{2}$ , 12. $\frac{1}{4}$ , 13. $8$ , 14. $\frac{7}{9}$ , 15. $\frac{1}{9}$ , 16. $\frac{2}{5}$ , 17. $\frac{2}{9}$ , 18. $\frac{5}{4}$ , 19. $\frac{3}{2}$ , 20. $6$ , 21. $\frac{1}{7}$

R1Mnhn8B8rUkV

Ćwiczenie 11

Ćwiczenie 12

R13I1W4jRXFr9

RGw7b8DHP20P7

Ćwiczenie 13

Poniżej przedstawiono pewne liczby. Połącz w pary te, które są sobie równe.

{(- \sqrt{\frac{1}{2}})}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

4

, 4.

- \frac{1}{4}

, 5.

- 2

, 6.

- 4

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

\frac{1}{2}

{- (- \sqrt{\frac{1}{2}})}^{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

4

, 4.

- \frac{1}{4}

, 5.

- 2

, 6.

- 4

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

\frac{1}{2}

{(\sqrt[3]{- 2})}^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

4

, 4.

- \frac{1}{4}

, 5.

- 2

, 6.

- 4

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

\frac{1}{2}

{- (\sqrt[3]{2})}^{6}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

4

, 4.

- \frac{1}{4}

, 5.

- 2

, 6.

- 4

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

\frac{1}{2}

{(- \sqrt{2})}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

4

, 4.

- \frac{1}{4}

, 5.

- 2

, 6.

- 4

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

\frac{1}{2}

{(- \sqrt{2})}^{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

4

, 4.

- \frac{1}{4}

, 5.

- 2

, 6.

- 4

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

\frac{1}{2}

{(\sqrt[3]{- \frac{1}{2}})}^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

4

, 4.

- \frac{1}{4}

, 5.

- 2

, 6.

- 4

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

\frac{1}{2}

{(\sqrt[3]{- \frac{1}{2}})}^{6}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

4

, 4.

- \frac{1}{4}

, 5.

- 2

, 6.

- 4

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

\frac{1}{2}

Połącz w pary.

${(- \sqrt{\frac{1}{2}})}^{2}$
${- (- \sqrt{\frac{1}{2}})}^{4}$
${(\sqrt[3]{- 2})}^{3}$
${- (\sqrt[3]{2})}^{6}$
${(- \sqrt{2})}^{2}$
${(- \sqrt{2})}^{4}$
${(\sqrt[3]{- \frac{1}{2}})}^{3}$
${(\sqrt[3]{- \frac{1}{2}})}^{6}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RVZ1f5qkmrEfb

Ćwiczenie 14

Oblicz wartość wyrażenia dla podanej wartości

x

. Wpisz rozwiązania w puste pola.

Wartość wyrażenia $3 x^{2} - 2$ dla $x = \sqrt{6}$ wynosi Tu uzupełnij.
Wartość wyrażenia $5 - x^{2}$ dla $x = - \sqrt{10}$ wynosi Tu uzupełnij.
Wartość wyrażenia $x^{3} - 11$ dla $x = \sqrt[3]{- 7}$ wynosi Tu uzupełnij.
Wartość wyrażenia $- 7 x^{3} + 4$ dla $x = \sqrt[3]{2}$ wynosi Tu uzupełnij.
Wartość wyrażenia $x^{4} + x^{2} - 9$ dla $x = \sqrt{3}$ wynosi Tu uzupełnij.
Wartość wyrażenia $- 3 x^{4} + 4 x^{2} + 1$ dla $x = \sqrt{5}$ wynosi Tu uzupełnij.
Wartość wyrażenia $x^{6} - 2 x^{3} + 5$ dla $x = \sqrt[3]{- 3}$ wynosi Tu uzupełnij.
Wartość wyrażenia $2 x^{9} - 6 x^{6} - 4$ dla $x = \sqrt[3]{- 10}$ wynosi Tu uzupełnij.

R11BMVKNcxVop

Ćwiczenie 15

Uzupełnij luki podanymi liczbami, aby otrzymać zdanie prawdziwe. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą wartość w każdym zdaniu.

Liczba $a = 6 \sqrt{11}$ jest o 1. $1$ , 2. $26 \sqrt{13}$ , 3. $11 \sqrt{11}$ , 4. $- 1$ , 5. $- 5 + 8 \sqrt{14}$ , 6. $5 + 8 \sqrt{14}$ , 7. $\sqrt{11}$ , 8. $\sqrt{2} + 5 \sqrt{7}$ , 9. $7 \sqrt{5}$ , 10. $2 + 3 \sqrt{7}$ , 11. $2 + 5 \sqrt{7}$ , 12. $9 \sqrt{5}$ , 13. $\sqrt{2} + 3 \sqrt{7}$ , 14. $5 - 8 \sqrt{14}$ , 15. $- 26 \sqrt{13}$ większa od liczby $b = 5 \sqrt{11}$ .
Liczba $a = 8 \sqrt{5}$ jest o 1. $1$ , 2. $26 \sqrt{13}$ , 3. $11 \sqrt{11}$ , 4. $- 1$ , 5. $- 5 + 8 \sqrt{14}$ , 6. $5 + 8 \sqrt{14}$ , 7. $\sqrt{11}$ , 8. $\sqrt{2} + 5 \sqrt{7}$ , 9. $7 \sqrt{5}$ , 10. $2 + 3 \sqrt{7}$ , 11. $2 + 5 \sqrt{7}$ , 12. $9 \sqrt{5}$ , 13. $\sqrt{2} + 3 \sqrt{7}$ , 14. $5 - 8 \sqrt{14}$ , 15. $- 26 \sqrt{13}$ większa od liczby $b = - \sqrt{5}$ .
Liczba $a = 2 \sqrt{2} + 4 \sqrt{7}$ jest o 1. $1$ , 2. $26 \sqrt{13}$ , 3. $11 \sqrt{11}$ , 4. $- 1$ , 5. $- 5 + 8 \sqrt{14}$ , 6. $5 + 8 \sqrt{14}$ , 7. $\sqrt{11}$ , 8. $\sqrt{2} + 5 \sqrt{7}$ , 9. $7 \sqrt{5}$ , 10. $2 + 3 \sqrt{7}$ , 11. $2 + 5 \sqrt{7}$ , 12. $9 \sqrt{5}$ , 13. $\sqrt{2} + 3 \sqrt{7}$ , 14. $5 - 8 \sqrt{14}$ , 15. $- 26 \sqrt{13}$ większa od liczby $b = \sqrt{2} + \sqrt{7}$ .
Liczba $a = 3 \sqrt{3} + 13 \sqrt{13}$ jest o 1. $1$ , 2. $26 \sqrt{13}$ , 3. $11 \sqrt{11}$ , 4. $- 1$ , 5. $- 5 + 8 \sqrt{14}$ , 6. $5 + 8 \sqrt{14}$ , 7. $\sqrt{11}$ , 8. $\sqrt{2} + 5 \sqrt{7}$ , 9. $7 \sqrt{5}$ , 10. $2 + 3 \sqrt{7}$ , 11. $2 + 5 \sqrt{7}$ , 12. $9 \sqrt{5}$ , 13. $\sqrt{2} + 3 \sqrt{7}$ , 14. $5 - 8 \sqrt{14}$ , 15. $- 26 \sqrt{13}$ większa od liczby $b = 3 \sqrt{3} - 13 \sqrt{13}$ .
Liczba $a = 15 + 5 \sqrt{14}$ jest o 1. $1$ , 2. $26 \sqrt{13}$ , 3. $11 \sqrt{11}$ , 4. $- 1$ , 5. $- 5 + 8 \sqrt{14}$ , 6. $5 + 8 \sqrt{14}$ , 7. $\sqrt{11}$ , 8. $\sqrt{2} + 5 \sqrt{7}$ , 9. $7 \sqrt{5}$ , 10. $2 + 3 \sqrt{7}$ , 11. $2 + 5 \sqrt{7}$ , 12. $9 \sqrt{5}$ , 13. $\sqrt{2} + 3 \sqrt{7}$ , 14. $5 - 8 \sqrt{14}$ , 15. $- 26 \sqrt{13}$ większa od liczby $b = - 3 \sqrt{14} + 20$ .

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2. Szacowanie wyrażeń zawierających pierwiastki

4. Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

3. Własności pierwiastków

Notatnik