1. Szacowanie

R1L2hmHtJq2Tb

RgZcsrY8GXZ9C1

Zdjęcie przedstawia kartkę z zeszytu zapisaną kolumnami nazwisk i liczb. — Źródło: domena publiczna. http://pixabay.com.

W niektórych przypadkach nie musimy poznać dokładnego wyniku pewnego działania, aby udzielić poprawnej odpowiedzi na zadane pytanie. Zamiast obliczać dokładną wartość wyrażenia możemy spróbować uzyskać wynik przybliżony. Szacowanie w matematyce odgrywa bardzo ważną rolę, ponieważ w niektórych sytuacjach pozwala zaoszczędzić dużo czasu.

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższym filmem dotyczącym szacowania wartości wyrażeń arytmetycznych.

R7708TfNuWGdM1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Pani Karolina postanowiła urządzić balkon. Chce kupić $4$ nowe doniczki i zasadzić w nich kwiaty oraz urządzić kącik, w którym będzie mogła poczytać książkę. Planuje zatem zakup zestawu składającego się ze stolika i dwóch foteli. Zaznaczyła w przeglądanej gazetce reklamowej, co chciałaby kupić. Określmy, jaki jest szacunkowy koszt tych zakupów.

RQV08eOH9WiHE

Ilustracja przedstawia otwartą gazetkę reklamową. Na lewej kartce na górze zamieszczone jest zdjęcie dwóch glinianych donic w cenie 69,99 złotych a sztukę, poniżej zdjęcia czterech różnych gatunków bratków podpisane jako bratek wielokwiatowy z cenie 2,99 złotych za opakowanie. Na prawej stronie gazetki na górze jest zdjęcie podłoża uniwersalnego bez torfu w cenie 29,99 złotych za sztukę. Poniżej jest zdjęcie balkonu, na którem stoją dwa czarne ażurowe krzesła, a między nimi stolik w tym samym stylu. Pod zdjęciem zamieszczone są podpisy: krzesło 50 zł za sztukę o raz stół 60 złotych za sztukę.

Oszacujmy zakupy pani Karoliny:

cztery doniczki – prawie $70 zł / szt .$ , a więc około $280 zł$ ,
cztery zestawy kwiatów – prawie $3 zł / szt .$ , a więc trochę ponad $10 zł$ ,
zestaw składający się z dwóch krzeseł i stolika – $160 zł$ ,
ziemia
Najpierw musimy oszacować, ile ziemi potrzebuje pani Karolina. Pojemność doniczki: $20 cm \times 20 cm \times 20 cm = 8000 {cm}^{3} = 8 {dm}^{3}$ . Pojemność czterech doniczek: $32 {dm}^{3} = 32 l$ .

Jeden worek ma pojemność $25 l$ – Karolina potrzebuje $2$ worki, każdy kosztuje prawie $30 zł$ .

Za ziemię zapłaci ok $60 zł$ .

Szacunkowy koszt urządzenia balkonu to $(280 + 10 + 160 + 60) zł$ , a więc ponad $500 zł$ .

Przykład 2

Państwo Nowakowie planują wybudować dom. Otrzymali dwa przykładowe projekty. Chcą wybrać ten, na którym powierzchnia salonu jest większa.

Oszacujmy tę powierzchnię i podajmy, na który projekt powinni się zdecydować.

R1KzyzoTycouU

Ilustracja przedstawia dwa projekty domu. Projekty opatrzone są tytułami: projekt pierwszy, projekt drugi. Projekt pierwszy ma wymiary 850 długości na 1050 szerokości. Projekt drugi ma wymiary 820 długości na 1020 szerokości.

Z pierwszego projektu możemy odczytać wymiary salonu: $566 cm \times 454 cm$ .

Szacując: prawie $6 m \times$ ponad $4 m$ , otrzymamy powierzchnię około $24 m^{2}$ .

Salon na drugim projekcie ma wymiary: $426 cm \times 481 cm$ .

Szacując: ponad $4 m \times$ prawie $5 m$ , otrzymamy powierzchnię około $20 m^{2}$ .

Państwo Nowakowie powinni zatem wybrać pierwszy projekt.

Na lekcjach matematyki bardzo często szacujemy wartości pierwiastków i wartości wyrażeń zawierających pierwiastki.
Wykorzystujemy do tego pierwiastki, których wartości są liczbami całkowitymi.

$\sqrt{1} = 1$

$\sqrt{4} = 2$

$\sqrt{16} = 4 itd .$

Przykład 3

Oszacujmy wartość liczby $\sqrt{6}$ . Szukamy dwóch pierwiastków, których wartości są liczbami całkowitymi, a które znajdują się na osi liczbowej najbliżej liczby $\sqrt{6}$ .

RP1uT3z0TefS4

Ilustracja przedstawia poziomą prostą X, na której zaznaczone są trzy punkty kolejno od lewej punkt pierwszy opisany jest jako 2 równa się pierwiastek z czterech, drugi punkt to pierwiastek z sześciu, a trzeci punkt to pierwiastek z dziewięciu równa się 3.

Możemy więc zapisać

$2 = \sqrt{4} < \sqrt{6} < \sqrt{9} = 3$

A zatem

$2 < \sqrt{6} < 3$

Przybliżając do jedności $\sqrt{6} \approx 2$ . Jest to przybliżenie z niedomiarem.

Przykład 4

Oszacujmy wartości wyrażeń zawierających pierwiastki.

a) $5 \sqrt{14}$

Szukamy dwóch pierwiastków, których wartości są liczbami całkowitymi, a które znajdują się na osi liczbowej najbliżej liczby $\sqrt{14}$ .

$\sqrt{9} < \sqrt{14} < \sqrt{16}$

A więc

$3 < \sqrt{14} < 4 |\cdot 5$

$15 < 5 \sqrt{14} < 20$

b) $\sqrt{17} - 2$

Szukamy dwóch pierwiastków, których wartości są liczbami całkowitymi, a które znajdują się na osi liczbowej najbliżej liczby $\sqrt{17}$ .

$\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$

A więc

$4 < \sqrt{17} < 5 |- 2$

$2 < \sqrt{17} - 2 < 3$

Przykład 5

Porównajmy liczby $\frac{\sqrt{15} - 1}{8}$ oraz $0, 42$ .

W poznany w powyższych przykładach sposób, szacujemy liczbę $\sqrt{15}$ .

$\sqrt{9} < \sqrt{15} < \sqrt{16}$

$3 < \sqrt{15} < 4$

A następnie przekształcamy nierówność, tak aby otrzymać szacowne wyrażenie.

$3 < \sqrt{15} < 4 |- 1$

$2 < \sqrt{15} - 1 < 3 |: 8$

$\frac{1}{4} < \frac{\sqrt{15} - 1}{8} < \frac{3}{8}$

$\frac{1}{4} < \frac{\sqrt{15} - 1}{8} < 0, 375 < 0, 42$

A zatem

$\frac{\sqrt{15} - 1}{8} < 0, 42$

Ćwiczenie 1

R1BDvFVjoNpN4

Wyszukaj w dostępnych źródłach potrzebne dane i odpowiedz na pytania, wykorzystując odpowiednie szacowanie. Uzupełnij odpowiedzi, przeciągając w luki odpowiednie liczby i słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Ile razy powierzchnia Australii i Oceanii jest mniejsza niż powierzchnia Ameryki Płn.?
Odpowiedź: Powierzchnia jest mniejsza około 1.

20

, 2.

30

, 3. Nie, 4. Nie, 5.

40

, 6.

10

, 7.

4

, 8.

2

, 9. Tak, 10. Tak, 11.

11

, 12.

3

, 13.

12

razy.
Czy Europa, Antarktyda oraz Australia i Oceania mają razem większą powierzchnię niż Afryka?
Odpowiedź: 1.

20

, 2.

30

, 3. Nie, 4. Nie, 5.

40

, 6.

10

, 7.

4

, 8.

2

, 9. Tak, 10. Tak, 11.

11

, 12.

3

, 13.

12

.
Ile razy powierzchnia Europy jest większa od powierzchni Polski?
Odpowiedź: Powierzchnia jest większa około 1.

20

, 2.

30

, 3. Nie, 4. Nie, 5.

40

, 6.

10

, 7.

4

, 8.

2

, 9. Tak, 10. Tak, 11.

11

, 12.

3

, 13.

12

razy.
Czy łączna powierzchnia oceanów: Arktycznego i Indyjskiego jest większa niż powierzchnia Oceanu Atlantyckiego?
Odpowiedź: 1.

20

, 2.

30

, 3. Nie, 4. Nie, 5.

40

, 6.

10

, 7.

4

, 8.

2

, 9. Tak, 10. Tak, 11.

11

, 12.

3

, 13.

12

.
Ile razy długość równika jest większa od długości granic Polski?
Odpowiedź: Powierzchnia jest większa około 1.

20

, 2.

30

, 3. Nie, 4. Nie, 5.

40

, 6.

10

, 7.

4

, 8.

2

, 9. Tak, 10. Tak, 11.

11

, 12.

3

, 13.

12

razy.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Powierzchnia Australii to około $7 692 000 {k m}^{2}$ , powierzchnia Oceanii to około $8 526 000 {k m}^{2}$ , powierzchnia Ameryki Północnej to około $24 710 000 {k m}^{2}$ , powierzchnia Europy to około $10 180 000 {k m}^{2}$ , powierzchnia Antarktydy to około $14 200 000 {k m}^{2}$ , powierzchnia Afryki to około $30 370 000 {k m}^{2}$ , powierzchnia Polski to około $312 679 {k m}^{2}$ , powierzchnia Oceanu Arktycznego to około $14 060 000 {k m}^{2}$ , powierzchnia Oceanu Indyjskiego to około $70 560 000 {k m}^{2}$ , powierzchnia Oceanu Atlantyckiego to około $106 500 000 {k m}^{2}$ , długość równika to około $40 075 k m$ , długość granic Polski to około $3511 km$ .

R16MNiRmqNI1Q

Ćwiczenie 2

Za $30 zł$ można kupić co najwyżej $10$ długopisów po $2,99 zł$ za sztukę.
Na zakup $2$ batoników po $3,70 zł$ i lizaka za $1,50 zł$ wystarczy banknot $10 zł$ .
$100$ uczniów pewnej szkoły oraz ich $7$ opiekunów może jechać na wycieczkę dwoma autokarami, w których mieści się $50$ osób i $55$ osób.
Jacek będzie mógł kupić komputer, który kosztuje $2500 zł$ , po upływie roku, jeżeli odkłada na jego zakup po $178 zł$ miesięcznie.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

REplHB04MgIxY

Samochód pana Kowalskiego spala

5 l

benzyny na

100 km

. Cena

1 l

benzyny jest równa

5,50 zł

. Pan Kowalski dojeżdża do pracy

2

razy w tygodniu, pokonując w obie strony trasę długości

50 km

. Dodatkowo pokonuje miesięcznie około

200 km

. Oszacuj, czy

150 zł

starczy panu Kowalskiemu na miesięczny zakup benzyny. Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednie wyrażenie lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Ta kwota 1. nie wystarczy, 2. wystarczy panu Kowalskiemu na miesięczny zakup benzyny.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RQgI4SFRZbGyS

Ćwiczenie 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

R1PMsMdBBeOEs

Objętość sześcianu wynosi

132, 651 {cm}^{2}

. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby i słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Krawędź tego sześcianu ma więcej niż 1.

5

, 2.

4

, 3. nie jest, 4.

7

, 5.

6

, 6. jest

cm

, a mniej niż 1.

5

, 2.

4

, 3. nie jest, 4.

7

, 5.

6

, 6. jest

cm

.Pole powierzchni sześcianu 1.

5

, 2.

4

, 3. nie jest, 4.

7

, 5.

6

, 6. jest większe niż

150 {cm}^{2}

Objętość sześcianu wynosi 132,651 $c m^{2}$ . Przeciągnij i upuść.

Tak, Nie, 6, 5

Krawędź tego sześcianu ma więcej niż ............ cm, a mniej niż ............ cm.
Czy prawdą jest, że pole powierzchni sześcianu jest większe niż 150 $c m^{2}$ ? ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że jeżeli oznaczymy krawędź sześcianu przez $a$ to objętość $V$ tego sześcianu wynosi $V = a^{3}$ , jego pole powierzchni $P$ wynosi $P = 6 a^{2}$ .

Ćwiczenie 6

RLiK4BejxQWHW

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dzieląc cenę za karnet na pływalnię przez liczbę godzin pływania oszacuj, na której pływalni cena za godzinę wynosi więcej niż $10$ złotych, a na której mniej.

Ćwiczenie 7

RBeNfOA8M1GNo

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zaokrąglij pole powierzchni ogrodzenia do $100 m^{2}$ .

Ćwiczenie 8

RqKa5Ibmczl0J

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zaokrąglij masę pomidorów potrzebnych do przygotowania jednej sałatki do $30 dag$ .

Ćwiczenie 9

R1dseazEyS7cM

Opakowanie karmy dla kotów o pojemności

500 g

kosztuje

12 zł

. Kot Maćka zjada dziennie około

97 g

karmy.
Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Jedno opakowanie karmy dla kota wystarczy Maćkowi na Tu uzupełnij dni.W markecie, w którym Maciek kupuje karmę, jest promocja polegająca na tym, że przy zakupie czterech opakowań piąte można otrzymać gratis. Dzienna porcja karmy dla kota pochodząca z opakowań promocyjnych kosztuje około Tu uzupełnij

zł

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zaokrąglij masę karmy zjadanej przez kota Maćka do $100 g$ .

Ćwiczenie 10

RujxzfeQrNPJN

Na przeczytanie lektury liczącej

400

stron Marysia ma dwa tygodnie.
Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Aby przeczytać lekturę w wyznaczonym czasie Marysia musi czytać dziennie Tu uzupełnij stron.Jeżeli Marysia wyjedzie na czterodniową wycieczkę, podczas której nie będzie mogła czytać książki, będzie musiała czytać dziennie o Tu uzupełnij stron więcej niż w normalnym tempie.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pamiętaj, że $2$ tygodnie to $14$ dni.

Ćwiczenie 11

R1Ji4jxHD63qe

Wyszukaj w dostępnych źródłach, ile wynoszą średnice, średnie odległości od Słońca i czasy obrotu wokół własnej osi planet Układu Słonecznego: Merkurego, Wenus, Ziemi, Marsa, Jowisza, Saturna i Urana. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby i nazwy planet lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Średnica 1. Urana, 2.

3

, 3. Saturna, 4. Jowisza, 5. Merkurego, 6.

2,5

, 7. Wenus, 8. Ziemi jest około

4

razy większa od średnicy Ziemi.Czas obrotu wokół własnej osi 1. Urana, 2.

3

, 3. Saturna, 4. Jowisza, 5. Merkurego, 6.

2,5

, 7. Wenus, 8. Ziemi jest

4

razy mniejszy niż czas obrotu 1. Urana, 2.

3

, 3. Saturna, 4. Jowisza, 5. Merkurego, 6.

2,5

, 7. Wenus, 8. Ziemi.Średnica 1. Urana, 2.

3

, 3. Saturna, 4. Jowisza, 5. Merkurego, 6.

2,5

, 7. Wenus, 8. Ziemi jest mniejsza o około

20000 km

od średnicy 1. Urana, 2.

3

, 3. Saturna, 4. Jowisza, 5. Merkurego, 6.

2,5

, 7. Wenus, 8. Ziemi.Średnia odległość Ziemi od Słońca jest około 1. Urana, 2.

3

, 3. Saturna, 4. Jowisza, 5. Merkurego, 6.

2,5

, 7. Wenus, 8. Ziemi razy większa niż średnia odległość Merkurego od Słońca.

Wenus, Merkurego, $2,5$ , $3$ , Jowisza, Ziemi, Urana, Saturna

Średnica .................. jest około $4$ razy większa od średnicy Ziemi.
Czas obrotu wokół własnej osi .................. jest $4$ razy mniejszy niż czas obrotu ...................
Średnica .................. jest mniejsza o około $20 000 k m$ od średnicy ...................
Średnia odległość Ziemi od Słońca jest około .................. razy większa niż średnia odległość Merkurego od Słońca.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Średnica Merkurego wynosi około $4880 km$ , średnica Wenus około $12100 km$ , średnica Ziemi około $12740 km$ , średnica Marsa około $6780 km$ , średnica Jowisza około $139 820 k m$ , średnica Saturna około $116 460 k m$ , średnica Urana $50 724 k m$ , a średnica Neptuna około $49 244 k m$ . Średnia odległość Merkurego od Słońca wynosi około $57, 74$ milionów kilometrów, średnia odległość Wenus od Słońca około $108, 14$ milionów kilometrów, średnia odległość Ziemi od Słońca około $149, 5$ milionów kilometrów, średnia odległość Marsa od Słońca około $227, 8$ milionów kilometrów, średnia odległość Jowisza od Słońca około $777, 84$ milionów kilometrów, średnia odległość Saturna od Słońca około $1426, 1$ milionów kilometrów, średnia odległość Urana od Słońca około $2867, 83$ milionów kilometrów, średnia odległość Neptuna od Słońca około $4493, 65$ milionów kilometrów. Czas obrotu Merkurego wokół własnej osi wynosi około $59$ dób, czas obrotu Wenus wokół własnej osi około $243$ dób, czas obrotu Ziemi wokół własnej osi około $1$ doby, czas obrotu Marsa wokół własnej osi około $1$ doby, czas obrotu Jowisza wokół własnej osi około $0, 4$ doby, czas obrotu Saturna wokół własnej osi około $0, 4$ doby, czas obrotu Urana wokół własnej osi około $0, 7$ doby, czas obrotu Neptuna wokół własnej osi około $0, 8$ doby.

R1dYBZL0SY6SC

Ćwiczenie 12

Na przygotowanie jednej filiżanki kawy Krysia potrzebuje

12 g

zmielonych ziaren kawy.
Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Jeżeli Krysia wypija dziennie

4

filiżanki kawy, to kilogramowe opakowanie kawy wystarczy jej na Tu uzupełnij dni.Krysia musi kupić Tu uzupełnij półtorakilogramowe opakowania kawy, aby nie zabrakło jej kawy w ciągu trzech miesięcy.Jeżeli kilogram kawy kosztuje

23,80 zł

, to Krysia musi wydać Tu uzupełnij pełnych złotych, aby kawa wystarczyła jej na

10

dni.Krysia, chcąc kupić kawę, która wystarczy jej na miesiąc liczący

30

dni, w przypadku gdy kilogram kawy kosztuje

23,80 zł

, musi zapłacić banknotem o wartości minimum Tu uzupełnij

zł

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

RGXqusasSAiSu

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kanał La Manche ma około $563 km$ długości.

Ćwiczenie 14

RDEAg4AfeNMNK

Na zakupy Kasia otrzymała od mamy banknot

50

-złotowy. Kasia ma kupić chleb,

0,8 kg

wędliny,

4

jogurty i

2

litry mleka. Mama pozwoliła Kasi kupić doładowanie do telefonu komórkowego, jeżeli zostanie jej reszta z pięćdziesięciu złotych. Czy Kasia będzie mogła kupić doładowanie do telefonu, jeżeli najtańsze kosztuje

10 zł

? Uzupełnij odpowiedź, przeciągając w lukę odpowiednie wyrażenie lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Ceny produktów, które ma kupić Kasia:chleb -

2,90 zł

,wędlina -

20 zł

za kilogram,jogurt -

1,99 zł

za sztukę,mleko -

2,90 zł

za litr.
Odpowiedź: Kasia 1. nie będzie mogła, 2. będzie mogła kupić doładowanie do telefonu.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oszacuj ile pieniędzy wyda Kasia na zakupy i sprawdź, czy po odjęciu tej kwoty od $50 zł$ Kasi zostanie co najmniej $10 zł$ .

R1YgiEthLHZ2w

Ćwiczenie 15

Oszacuj i połącz w pary wyrażenia określające ten sam przedział czasu. milion sekund Możliwe odpowiedzi: 1.

17

godzin, 2.

42

dni, 3.

32

lata, 4.

12

dni tysiąc minut Możliwe odpowiedzi: 1.

17

godzin, 2.

42

dni, 3.

32

lata, 4.

12

dni miliard sekund Możliwe odpowiedzi: 1.

17

godzin, 2.

42

dni, 3.

32

lata, 4.

12

dni tysiąc godzin Możliwe odpowiedzi: 1.

17

godzin, 2.

42

dni, 3.

32

lata, 4.

12

dni

R7rpgxOpOgy7M

Ćwiczenie 16

R1U45Gu8VCXiJ

Ćwiczenie 17

RZ4ISFdEI1XQj

Ćwiczenie 18

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2. Przybliżenia i zaokrąglenia

Działania na liczbach wymiernych i niewymiernych

1. Szacowanie

Notatnik