1. Liczby w dziesiątkowym układzie pozycyjnym

RfzMX6ajELKCS

RHFlmSpJFAIGM1

Zdjęcie przedstawia głowę mężczyzny w średnim wieku z włosami zaczesanymi do góry i wąsami.
Po prawej stronie zapisana liczba tysiąc dziewięćset osiemdziesiąt cztery. — George Orwell (czyt. Dżordż Orłel). Zdjęcie prasowe z zasobów Oddziału Związku Dziennikarzy (BNUJ)
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org,, domena publiczna.

Liczby od wieków fascynowały nie tylko naukowców. Niektóre do dziś uważane są za magiczne, inne mają status wręcz kultowy, za sprawą swojej obecności w popkulturze, mitologii czy historii. Przykładem mogą być liczby: $13$ - liczba pechowa, $45$ - prędkość obrotów płyt winylowych zwanych singlami, $101$ - numer pokoju strachu opisany w powieści G. Orwella (czyt. Orłela) Rok 1984, $666$ - złowieszcza liczba, symbolizuje nadejście końca świata, liczba 1001 - znana z bajki o Szecherezadzie.

Zapamiętaj!

Cyfra to umowny znak służący do zapisywania liczb. Słowo cyfra pochodzi z języka arabskiego od słowa sifr, czyli zero. Obecnie używane cyfry nazywane arabskimi tak naprawdę są pochodzenia hinduskiego.
Cyfry używane współcześnie upowszechniły się dopiero w epoce nowożytnej.
Obecnie do zapisywania liczb używamy dziesięciu cyfr: $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ .

Analizując przykłady zawarte w tym materiale poznasz sposoby zapisywania liczb, z którymi spotykasz się na co dzień.

Rozwiązując zamieszczone tu ćwiczenia, wykorzystasz zdobytą wiedzę np. określając pozycję cyfry w liczbie, tworząc liczby o danych własnościach.

RPg7mROsJeW5K1

Zdjęcie przedstawia znak drogowy. Na znaku zapisane jest dwukrotnie 5.5 raz za pomocą cyfr stosowanych w Europie drugi raz za pomocą cyfr stosowanych w krajach arabskich. Cyfra 5 w krajach arabskich przypomina kształtem literę o. — Europejskie i arabskie cyfry na znaku drogowym w Abu Zabi.
Źródło: Ralf Roletschek, *dostępny w Internecie, commons.wikipedia.org*, licencja: CC BY 3.0.

Liczby zapisujemy za pomocą cyfr. Cyfry w naszym świecie są tak powszechne i oczywiste, że mogłoby się wydawać, iż istnieją od zawsze. Nic bardziej mylnego. Zapis cyfr, z których zbudowane są liczby, zmieniał się na przestrzeni dziejów i różnych kultur.
Już w bardzo dawnych czasach pojawił się problem zapisu liczb. Nie wystarczyła sama umiejętność liczenia, trzeba było prowadzić rejestry upolowanej zwierzyny, broni, wojowników, do czego niezbędne były zapisy liczbowe.

Ciekawostka

Cyfry arabskie pochodzą z Indii, na które około VII wieku najechali Arabowie, a ich łupem (oprócz skarbów, dzieł sztuki i wyrobów użytkowych) padły też starożytne rękopisy. Wśród nich były także te, które zawierały wiedzę matematyczną. Na ich podstawie wprowadzono cyfry do powszechnego użytku. Za pośrednictwem Arabów cyfry dotarły na zachód, a w $XII$ wieku do Europy. (Źródło: Wikipedia)

Ciekawostka

Ciekawostką jest bardzo późne pojawienie się symbolu zera, dopiero około $V$ wieku n.e. Wynikało to z trudności uznania zera za liczbę. Liczbę wiązano z konkretną ilością na przykład bloków kamiennych do budowy piramid, natomiast zero oznaczało nic, brak przedmiotów.

Dziesiątkowy system pozycyjny

Ważne!

System liczbowy indyjsko‑arabski nazywany jest układem dziesiątkowym pozycyjnym. System dziesiątkowy oznacza, że dziesięć jednostek niższego rzędu tworzy jedną jednostkę bezpośrednio wyższego rzędu. Na przykład dziesięć jedności tworzy jedną dziesiątkę, dziesięć dziesiątek tworzy jedną setkę.
Pozycyjny system oznacza, że znaczenie cyfry jest zależne od pozycji, jaką zajmuje ona w liczbie.
Nasz system liczenia nazywamy pozycyjnym. Pozycja cyfry w liczbie jest ważna. Na przykład dwie cyfry $6$ w liczbie $6265$ oznaczają co innego – pierwsza z nich oznacza $6$ tysięcy, a druga $6$ dziesiątek.

Przykład 1

Za pomocą cyfr $1$ i $2$ tworzymy takie liczby dwucyfrowe, w których cyfry się nie powtarzają. Są to liczby $12$ i $21$ .

W obu liczbach cyfra $2$ oznacza co innego.

R1JNVJtFl4gSk1

Liczba 12. Zaznaczona cyfra jedności 2. Liczba 21. Zaznaczona cyfra dziesiątek 2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W liczbie $12$ cyfra $2$ oznacza $2$ jedności. Natomiast w liczbie $21$ ta sama cyfra oznacza $2$ dziesiątki, czyli $20$ .

R14knRvhQ4uc51

Na rysunku przedstawione są dwie liczby jedna pod drugą. Liczba 12 =1 razy 10 +2 razy 1 =10 +2. Liczba 21 =2 razy 10 +1 razy 1 = 20 +1. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ciekawostka

Nie każdy system liczbowy to system dziesiątkowy. Na przykład korzystając z zegara, posługujemy się systemem sześćdziesiątkowym. Bowiem godzina to sześćdziesiąt minut, a minuta to sześćdziesiąt sekund.

Przykład 2

Janek rozmienił banknot o nominale $10$ euro na monety o nominale $1$ euro.

Otrzymał $10$ monet.

R1VZFdyNMAlyg1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 3

Klient chce pobrać z konta bankowego $930 zł$ . Zażyczył sobie, aby kwotę tę wypłacono mu takimi banknotami, żeby było jak najwięcej banknotów stuzłotowych. Ile i jakie banknoty otrzymał?

Ry4Q71DyYOae61

Przykład 4

Spójrz, co oznaczają kolejne cyfry w liczbie osiem tysięcy trzysta czterdzieści pięć.

RKsfEN4qAHcvo1

Liczba 8345. Cyfra 8 to cyfra tysięcy, 3 to cyfra setek, 4 to cyfra dziesiątek, a 5 to cyfra jedności. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1CSYn0GPryIT1

Na rysunku przedstawione są dwie liczby jedna pod drugą. Liczba 8345 =8 razy 1000 +3 razy 100 +4 razy 10 +5 razy 1. Liczba 8345 =8000 +300 +40 +5 — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 5

Przyjrzyj się, jak można w postaci sumy zapisać liczbę czterocyfrową.

R1KGN7vQSsweE1

Ważne!

W naszym systemie liczenia

$1$ dziesiątka to $10$ jedności,
$1$ setka to $10$ dziesiątek,
$1$ tysiąc to $10$ setek,
$1$ dziesiątka tysięcy to $10$ tysięcy.

Dziesiątkowy pozycyjny system zapisywania liczb jest obecnie na świecie podstawowym systemem używanym niemal we wszystkich krajach. Od $XVI$ wieku stosowany jest powszechnie (obok systemu rzymskiego). Czasami używa się też nazw

system dziesiętny,
system decymalny,
system arabski.

Liczby naturalne

Liczby, z którymi najczęściej się spotykasz to liczby naturalne.

Liczby naturalne to: $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ , $10$ , $11$ , $12$ , …, $56$ , …, $99$ , $100$ , …, $238$ , …

RGhSGzlHAyZGA1

RGP0w8Vv4qdfR

Ćwiczenie 1

Co oznacza cyfra

5

w każdej z tych liczb?

Uzupełnij luki w zdaniach podanymi wyrazami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź w każdym przypadku.

51

- cyfra

5

to cyfra 1. setek, 2. jedności, 3. jedności, 4. tysięcy, 5. jedności, 6. jedności, 7. dziesiątek, 8. tysięcy, 9. setek, 10. dziesiątek, 11. tysięcy, 12. tysięcy, 13. dziesiątek, 14. dziesiątek, 15. setek, 16. setek.

145

- cyfra

5

578

- cyfra

5

5908

- cyfra

5

Co oznacza cyfra 5 w każdej z tych liczb?

Wybierz.

jedności, setek, tysięcy, jedności, setek, tysięcy, dziesiątek, dziesiątek, setek, dziesiątek, tysięcy, jedności, dziesiątek, setek, jedności, tysięcy

a) 51 - cyfra 5 to cyfra ......................
b) 145 - cyfra 5 to cyfra ......................
c) 578 - cyfra 5 to cyfra ......................
d) 5908 - cyfra 5 to cyfra ......................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RyrGI32Hvv54Z

Ćwiczenie 2

Wpisz w kolejności rosnącej wszystkie liczby dwucyfrowe

a) w których cyfra dziesiątek jest o 2 większa od cyfry jedności
............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............
b) w których cyfra jedności jest 3 razy większa od cyfry dziesiątek
............ ............ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RuKVCgxmSXBXE

Ćwiczenie 3

Używając cyfr:

2

3

5

, wypisz wszystkie możliwe liczby dwucyfrowe, spełniające podane warunki. Uzupełnij luki, wpisując w nie odpowiednie liczby w kolejności rosnącej. Cyfry nie mogą się powtarzać Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij Cyfry mogą się powtarzać Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RIrCA6EQgtu6t

Ćwiczenie 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RktzYeUlXSJRq

Ćwiczenie 5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1SCBupFAC3w3

Ćwiczenie 6

Podaj największą liczbę

a) jednocyfrową ............
b) dwucyfrową ............
c) trzycyfrową ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RDVPYzrDqAdS4

Ćwiczenie 7

Wpisz w kolejności rosnącej wszystkie liczby trzycyfrowe, używając cyfr:

2

3

8

.

Uzupełnij luki, wpisując poprawne wartości. Cyfry nie mogą się powtarzać.
Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnijCyfry mogą się powtarzać.
Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij

Wpisz w kolejności rosnącej wszystkie liczby trzycyfrowe, używając cyfr: 2, 3 i 8.

a) cyfry nie mogą się powtarzać
............ ............ ............ ............ ............ ............
b) cyfry mogą się powtarzać
............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............
............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............
............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R17ldklcpeijj

Ćwiczenie 8

Wpisz w kolejności rosnącej wszystkie liczby trzycyfrowe, używając cyfr: 4, 5 i 0. Cyfry mogą się powtarzać.

............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............
............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1546pO8uzAcW

Ćwiczenie 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1zIg5k04XOqE

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

W matematyce na ogół nie zapisujemy liczb wielocyfrowych z zerem na początku.

Nie stosujemy zapisów $045$ , $055$ itp.

Jednak czasami używamy zera na początku w takich zapisach, jak

$16.08.15$ dla oznaczenia miesiąca w dacie,
$17 : 04$ , gdy zapisujemy godzinę,
wpisując $0468$ jako kod do domofonu,
kodując swój numer z dziennika lekcyjnego, np. $B 05$ .

Ćwiczenie 11

Zapisz pięć czterocyfrowych liczb, w których suma cyfr wynosi $5$ .

RnUy4FAiRlQHd

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Do zapisywania liczb używamy dziesięciu cyfr: $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ . Przykładem czterocyfrowej liczby, w której suma cyfr wynosi $5$ jest $4100$ , ponieważ $4 + 1 + 0 + 0 = 5$ .

Na przykład: $5000$ , $1121$ , $2111$ , $1112$ , $1211$ , $3002$ , $2003$ , $3020$ , $3200$ , $2300$ , $2030$ .

RcmgLfau2WhUS

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1bPchOpxQUjO

Ćwiczenie 13

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Ez26zgJ5CLj

Ćwiczenie 14

Odpowiedz na pytanie. Połącz w pary pytanie z odpowiedzią. Ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych? Możliwe odpowiedzi: 1.

15

liczb:

104

113

122

131

140

203

212

221

230

302

311

320

401

410

500

, 2.

45

, 3.

6

liczb:

114

141

411

122

212

221

, 4.

40

, 5.

90

Ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych zaczynających się od cyfry parzystej? Możliwe odpowiedzi: 1.

15

liczb:

104

113

122

131

140

203

212

221

230

302

311

320

401

410

500

, 2.

45

, 3.

6

liczb:

114

141

411

122

212

221

, 4.

40

, 5.

90

Ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych parzystych? Możliwe odpowiedzi: 1.

15

liczb:

104

113

122

131

140

203

212

221

230

302

311

320

401

410

500

, 2.

45

, 3.

6

liczb:

114

141

411

122

212

221

, 4.

40

, 5.

90

Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych, których suma cyfr jest równa

5

? Możliwe odpowiedzi: 1.

15

liczb:

104

113

122

131

140

203

212

221

230

302

311

320

401

410

500

, 2.

45

, 3.

6

liczb:

114

141

411

122

212

221

, 4.

40

, 5.

90

Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy

4

? Możliwe odpowiedzi: 1.

15

liczb:

104

113

122

131

140

203

212

221

230

302

311

320

401

410

500

, 2.

45

, 3.

6

liczb:

114

141

411

122

212

221

, 4.

40

, 5.

90

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RGzM3qSxqf31F

Ćwiczenie 15

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2. Liczby wielocyfrowe

Liczby naturalne