• Dowiesz się, czym jest ciąg argumentów funkcji.

• Dowiesz się, czym jest ciąg wartości funkcji.

• Obliczysz granice ciągu argumentów oraz ciągu wartości dla konkretnych funkcji.

• Dowiesz się co oznacza pojęcie granicy funkcji.

• Poznasz przykłady granic niektórych funkcji elementarnych.

Ciąg $(x_n)$ którego wszystkie wyrazy należą do dziedziny funkcji $f$, tzn. ciąg spełniający warunek

nazywamy ciągiem argumentów funkcji $f$.

Niech funkcja $f$ będzie określona wzorem

Jak widzimy dziedziną funkcji $f$ jest przedział $(0,3)$.

Sprawdzimy, które z poniższych ciągów są ciągami argumentów funkcji $f$.

1. $x_n = n$

2. $x_n = \frac{1}{n}$

3. $x_n = 2+\frac{1}{n}$

Rozwiązanie

1. Wypiszmy kilka kolejnych wyrazów ciągu: $x_1=1, \ \ x_2=2, \ \ x_3=3,\ldots$ Ponieważ tylko $x_1 \in (0,3)$, a pozostałe wyrazy tego ciągu nie należą do dziedziny funkcji $f$, więc ciąg $x_n$ nie jest ciągiem argumentów funkcji $f$.

2. Jak wiemy, ciąg $x_n=\frac{1}{n}$ jako ciąg zbieżny do $0$ oraz malejący, jest ciągiem ograniczonymciąg ograniczonyciągiem ograniczonym. Ponieważ $a_1=1$, więc dla każdego $n\in\mathbb{N}$ prawdą jest, że $x_n\in (0,1\rangle\subset (0,3)$. Zatem wszystkie wyrazy ciągu $x_n$ należą do dziedziny funkcji $f$ co oznacza, że ciąg $x_n$ jest ciągiem argumentów funkcji $f$.

3. Zauważmy, że $x_1=2+1=3\notin (0,3)$. Oznacza to, że ciąg $x_n$ nie jest ciągiem argumentów funkcji $f$.

Rozważmy funkcję daną wzorem

Sprawdzimy, czy poniższe ciągi są ciągami argumentów funkcji $f$.

1. $x_n=4-n$

2. $x_n=n-7$

3. $x_n=4-\frac{3}{n}$

Zanim sprawdzimy, czy podane ciągi są ciągami argumentów funkcji $f$, wyznaczmy jej dziedzinę. Ponieważ pierwiastek kwadratowy możemy obliczyć tylko dla liczb większych lub równych $0$, więc argumenty funkcji $f$ muszą spełniać warunek $6-2x\geq 0$. Rozwiązując uzyskaną nierówność, widzimy, że $D_f=(-\infty , 3\rangle$.

Rozwiązanie

1. Wypiszmy kolejne wyrazy ciągu $x_n$:

   $x_1=4-1=3, \ x_2=4-2=2, \ x_3=1, \ x_4=0, \ x_5=(-1), \ldots$

   Jak widzimy, ciąg $x_n$ jest malejący oraz jego pierwszy wyraz jest równy $3$, co oznacza, że wszystkie pozostałe wyrazy są mniejsze od $3$. Zatem spełniony jest warunek (1), czyli ciąg $x_n$ jest ciągiem argumentów funkcji $f$.

2. Wypiszmy kolejne wyrazy ciągu $x_n$:

   $x_1=1-7=(-6), \ x_2=2-7=(-5), \ x_3=(-4), \ x_4=(-3), \ x_5=(-2), \ldots$

   Ciąg $x_n$ jest, jak widać, rosnący. Ponadto $x_{11}=11-7=4\notin D_f$. Zatem wszystkie wyrazy ciągu $x_n$, począwszy od wyrazu jedenastego, nie należą do dziedziny funkcji $f$, zatem ciąg ten nie jest ciągiem argumentów funkcji $f$.

3. Ponieważ $\lim_{n\to\infty}x_n = 4$, więc w dowolnym otoczeniu liczby $4$ znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkie wyrazy ciągu $x_n$. W szczególności do otoczenia o promieniu np. $\varepsilon = \frac{1}{2}$, czyli do przedziału $\big(4-\frac{1}{2},4+\frac{1}{2}\big)=\big(3\frac{1}{2},5\frac{1}{2}\big)$, należą prawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkie wyrazy ciągu $x_n$. Oczywiście żadna liczba należąca do przedziału $\big(3\frac{1}{2},5\frac{1}{2}\big)$ nie należy do dziedziny funkcji $f$. Zatem ciąg $x_n$ nie jest ciągiem argumentów funkcji $f$.

Jeżeli ciąg $(x_n)$ jest ciągiem argumentów funkcji $f$ : $D_f\to \mathrm{ℝ}$, to ciąg $\big(f(x_n)\big)$ nazywamy ciągiem wartości funkcji $f$.

Niech funkcja $f$ : $\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}$ będzie określona wzorem

Rozważmy dwa ciągi

1. $x_n=n$,

2. $x_n=\frac{1}{n}$.

Wyznaczymy ciągi wartości dla podanych ciągów argumentów funkcji $f$.

Rozwiązanie

1. $f(x_1)=f(1)=1+1=2$
   $f(x_2)=f(2)=4+1=5$
   $f(x_2)=f(3)=9+1=10$
   Ogólnie ciąg wartości funkcji możemy zapisać, podstawiając w miejsce $x$ do wzoru funkcji $f$ wzór na wyraz ogólny ciągu argumentów $x_n$. Zatem w tym przypadku otrzymamy $f(x_n)=n^2+1$. Interpretację graficzną ciągu argumentów oraz ciągu wartości w tym przypadku przedstawia poniższy rysunek.

   RvAVICBUppYIy

   Rysunek przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych składającego się z poziomej osi $X$ oraz z pionowej osi $Y$. Na poziomej osi oznaczono: 0, 1, 2, 3, 4 oraz wielokropek symbolizujący następne uporządkowane liczby. Poniżej narysowano poziomą klamrę spinającą liczby od jeden po wielokropek włącznie i opisano je jako $x_n$. Na osi pionowej oznaczono wartości dla każdego argumentu. Są to od dołu zaczynając: $f\left(1\right), f\left(2\right), f\left(3\right), f\left(4\right)$ oraz wielokropek symbolizujący następne wartości. Wszystkie te liczby oznaczone na osi pionowej okolono pionową klamrą i opisano jako $f\left(x_n\right)$. Na płaszczyźnie narysowano prawe ramię paraboli o wierzchołku położonym na dodatniej półosi $OY$ i ramionach skierowanych do góry. Z każdego argumentu poprowadzono pionową linię przerywaną na odzwierciedlający ją punkt leżący na wykresie. Analogicznie poprowadzono podobne poziome linie z wartości do wykresu.

   

2. W tym przypadku ciąg argumentów jest równy $x_n=\frac{1}{n}$. Wsatwiając ten wzór w miejsce $x$ do wzoru funkcji $f$, dostaniemy postać ciągu wartości $f(x_n)=\frac{1}{n^2}+1$. Stąd $f(x_1)=2$, $f(x_2)=1\frac{1}{4}$, $f(x_3)=1\frac{1}{9}$, itd.

Niech funkcja $f$ : $\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}$ dana będzie wzorem $f(x)=x^2$. Rozważmy ciąg argumentów tej funkcji dany wzorem $x_n=2-\frac{1}{n}$. Oczywiście ciąg ten jest zbieżny oraz $\lim_{n\to +\infty}x_n=2$. Sprawdzimy czy zbieżny jest ciąg wartości $f(x_n)$. Ponieważ

oraz

więc korzystając z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów wnioskujemy,  że ciąg wartości $f(x_n)$ jest zbieżny oraz

Zauważmy, że powyższe rozumowanie możemy powtórzyć dla jakiegokolwiek ciągu argumentów zbieżnego do $2$. Istotnie jeśli ciąg $x_n$ jest dowolnym ciągiem argumentów funkcji $f$ takim, że $\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=2$, to

Stąd oraz z twierdzenia o arytmetyce granic otrzymujemy

Jeżeli argumenty funkcji $f$ dążą w dowolny sposób do liczby $2$, to wartości funkcji odpowiadające tym argumentom dążą zawsze do liczby $4$.

Powiemy, że funkcja $f$ posiada w punkcie $x_0$ granicę równą liczbie $g$, jeśli dla argumentów tej funkcji różnych od $x_0$ oraz dążących w dowolny sposób do $x_0$, wartości funkcji odpowiadające tym argumentom zawsze dążą do liczby $g$. Poprzez sformułowanie „dążą” rozumiemy istnienie granicy odpowiedniego nieskończonego ciągu (tzn. ciągu argumentów lub ciągu wartości funkcji). Fakt posiadania przez funkcję $f$ granicy w punkcie $x_0$ równej $g$, zapisujemy następująco

Rozważmy funkcję $f$ : $\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}$ określoną wzorem

Zbadamy istnienie granicy funkcji $f$ w punkcie $x_0=-3$. W tym celu weźmy dowolny ciąg $(x_n)$ zbieżny do liczby $x_0=-3$. Wówczas

Stąd oraz z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów zbieżnych otrzymujemy

Z dowolności wyboru ciągu $(x_n)$ zbieżnego do $-3$ wynika, że granicą funkcji $f$ w punkcie $x_0=-3$ jest liczba $5$.

Rozważmy funkcję daną wzorem

Rozważmy ciąg $x_n=\frac{1}{n}$. Oczywiście jest to ciąg zbieżny do $0$. Ponieważ $x_n>0$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ więc $f(x_n)=2x_n-1=\frac{2}{n}-1$. Stąd

Z drugiej strony przyjmując $x_n=-\frac{1}{n}$ widzimy, że $x_n\leq 0$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ oraz że $\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=0$. Zatem $f(x_n)=1-x_n=1+\frac{1}{n}$. Stąd w tym przypadku

Udało nam się zatem wskazać dwa ciągi argumentów funkcji $f$, które są zbieżne do zera. Jednak ciągi wartości $f(x_n)$ dla tych ciągów argumentów są zbieżne do różnych granic (odpowiednio do $(-1)$ oraz $1$). Oznacza to, że funkcja $f$ nie posiada granicy w punkcie $x_0=0$.

Rozważmy funkcję $f$ : $\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}$ daną wzorem

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej, otrzymujemy

a. jeśli $x\ge 0$, to $f(x)=\frac{x}{x}=1$;

b. jeśli $x\lt 0$, to $f(x)=\frac{-x}{x}=-1$;

Widzimy stąd, że biorąc dowolny ciąg $(x_n)$ zbieżny do liczby $0$ oraz taki, że $x_n\ge 0$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ dostajemy

Z drugiej strony biorąc dowolny ciąg $(x_n)$ zbieżny do liczby $0$ oraz taki, że $x_n\lt 0$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ dostajemy

Wskazaliśmy zatem dwa ciągi argumentów funkcji $f$ takie, że ciągi wartości im odpowiadające mają różne granice. Oznacza to, że funkcja $f$ nie posiada granicy w punkcie $x_0=0.$

wszystkie wyrazy ciągu poza co najwyżej ich skończoną ilością

ciąg $a_n, n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ jest ograniczony, jeśli istnieją liczby rzeczywiste $m,M\in ℝ$ takie, że dla każdego $n\in \mathbb{N}$ zachodzą nierówności

liczba rzeczywista $g$ taka, że dla dowolnej liczby dodatniej $\epsilon$ istnieje liczba naturalna $N$ taka, że dla każdej liczby naturalnej $n>N$ zachodzi $\left|a_n-g\right|<\epsilon$