2. Granica funkcji w punkcie w Heinego i Cauchy'ego

R1UzyEnGxQOFy

Jednym z podstawowych pojęć związanych z funkcjami jest pojęcie granicy. Istnieją dwie formalne definicje granicy funkcji. W tym temacie omówimy obydwie.

Autorem jednej z nich jest niemiecki matematyk z $XIX$ wieku Heinrich Eduard Heine. Sformułowana przez niego definicja granicy funkcji opiera się na pojęciu granicy ciągu.

Drugą z nich po raz pierwszy sformułował w $XIX$ wieku francuski matematyk Augustin Louis Cauchy. W odróżnieniu od definicji podanej przez Heinricha Heinego opiera się ona na zwykłej arytmetyce liczb i nie wykorzystuje innych pojęć takich jak granica ciągu.

Twoje cele

Poznasz definicję granicy funkcji w punkcie w sensie Heinego.
Wyznaczysz granicę funkcji w punkcie, korzystając z definicji w sensie Heinego.
Udowodnisz, korzystając z definicji w sensie Heinego, że funkcja nie posiada granicy.
Poznasz definicję funkcji w punkcie według Cauchy'ego.
Udowodnisz, korzystając z definicji Cauchy'ego, że dana liczba jest granicą funkcji w punkcie.
Poznasz związek pomiędzy definicją Heinego i Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie.

Definicja Heinego granicy funkcji w punkcie

W pierwszej części tego tematu omówimy definicję, która opiera się na granicy ciągu nieskończonego. Jej autorem jest niemiecki matematyk Heinrich Eduard Heine.

Niech funkcja $f : D_{f} \to ℝ$ oznacza funkcję, której dziedziną jest zbiór $D_f\subset\mathbb{R}$ .

Granica funkcji w punkcie według Heinego

Definicja: Granica funkcji w punkcie według Heinego

Liczbę $g\in\mathbb{R}$ nazywamy granicą funkcji $f$ w punkcie $x_0\in\mathbb{R}$ , jeżeli dla dowolnego ciągu argumentówciąg argumentów funkcjiciągu argumentów $(x_n)$ takiego, że

$x_n\neq x_0$ dla każdego $n\in\mathbb{N},$
$\lim\limits_{n\to +\infty} x_n=x_0,$

ciąg wartości funkcjiciąg wartości funkcjiciąg wartości funkcji $(f(x_n))$ jest zbieżny do liczby $g$ . Fakt ten zapisujemy symbolicznie następująco

lim_{x \to x_{0}} f (x) = g .

Definicję Heinego granicy funkcji możemy wykorzystać do obliczania granic pewnych funkcji. Spójrzmy na poniższe przykłady.

Przykład 1

Niech dana będzie funkcja liniowa $f(x)=3x-1$ . Obliczymy granicę tej funkcji w punkcie $x_0=1$ . Weźmy dowolny ciąg argumentówciąg argumentów funkcjiciąg argumentów $(x_n)$ zbieżny do liczby $1$ o wyrazach różnych od $1$ . Obliczymy granicę ciągu $(f(x_n))$ , korzystając z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów.

lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = lim_{n \to + \infty} (3 x_{n} - 1) = 3 lim_{n \to + \infty} x_{n} - 1 = 2.

Ponieważ ciąg $(x_n)$ jest dowolnym ciągiem argumentów funkcjiciąg argumentów funkcjiciągiem argumentów funkcji $f$ zbieżnym do $1$ , więc na mocy definicji Heinego granicy funkcji w punkcie

lim_{x \to 1} (3 x - 1) = 2.

Przykład 2

Rozważmy funkcję $f(x)=(x-1)^2-(x+1)^3$ . Wykażemy, że posiada ona granicę w punkcie $x_0=0$ . Weźmy w tym celu dowolny ciąg $(x_n)$ taki, że $\lim\limits_{n\to +\infty}x_n=0$ oraz $x_n\neq 0$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ . Stąd oraz z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów otrzymujemy

$\lim\limits_{n\to+\infty}(x_n-1)^2=\lim\limits_{n\to+\infty}\left((x_n-1)(x_n-1)\right)=(0-1)\cdot(0-1)=1,$

lim_{n \to + \infty} (x_{n} + 1)^{3} = lim_{n \to + \infty} [(x_{n} + 1) (x_{n} + 1) (x_{n} + 1)] =

$=(0+1)\cdot(0+1)\cdot(0+1)=1.$

Zatem

$\lim\limits_{n\to+\infty}f(x_n)=\lim\limits_{n\to+\infty}\left((x_n-1)^2-(x_n+1)^3\right)=1-1=0.$

Powyższa równość oraz fakt, że zbieżny do zera ciąg argumentówciąg argumentów funkcjiciąg argumentów $(x_n)$ jest wybrany dowolnie oznaczają, że

$\lim\limits_{x\to0}\left((x-1)^2-(x+1)^3\right)=0.$

Zanim przejdziemy do kolejnego przykładu, spójrzmy na poniższą własność dotyczącą funkcji $f(x)=\sqrt{x}$ .

Granica ciągu $\sqrt{x_n}$

Własność: Granica ciągu $\sqrt{x_n}$

Jeżeli ciąg $(x_n)$ jest zbieżny do granicy $g\in \langle 0,+\infty)$ oraz $x_n\geq 0$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ , to wówczas ciąg $(\sqrt{x_n})$ jest zbieżny do granicy $\sqrt{g}$ .

Przykład 3

Sprawdzimy, czy funkcja dana wzorem $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}$ posiada granicę w punkcie $x_0=3$ . Na początek wyznaczmy dziedzinę funkcji $f$ . Wiemy, że pierwiastek kwadratowy można obliczyć tylko z liczb nieujemnych oraz, że w mianowniku ułamka nie może być zera. Stąd $D_f=(1,+\infty )$ . Weźmy dowolny ciąg $x_n$ taki, że $x_n\in D_f\setminus \lbrace 3\rbrace$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ oraz $\lim\limits_{n\to +\infty}x_n=3$ . Wówczas $x_n-1\geq 0$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ oraz $\lim\limits_{n\to +\infty}(x_n-1)=3-1=2$ . Stąd i z powyższej własności wiemy, że $\lim\limits_{n\to +\infty}\sqrt{x_n-1}=\sqrt{2}$ . Ostatnia równość wraz z twierdzeniem o granicy ilorazu dwóch ciągów zbieżnych daje nam

$\lim\limits_{n\to+\infty}f(x_n)=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x_n-1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Z faktu, że ciąg argumentówciąg argumentów funkcjiciąg argumentów $x_n$ zbieżny do $3$ był wybrany dowolnie wynika, że

$\lim\limits_{x\to 3}f(x)= \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Definicję granicy funkcji w sensie Heinego możemy też wykorzystać do wykazania, że dana funkcja nie posiada granicy w punkcie $x_0$ . W tym celu wystarczy wskazać dwa ciągi argumentów funkcjiciąg argumentów funkcjiciągi argumentów funkcji, które są zbieżne do $x_0$ oraz ciągi wartościciąg wartości funkcjiciągi wartości im odpowiadające mają różne granice. Spójrzmy na poniższy przykład.

Przykład 4

Rozważmy funkcję

f (x) = {\begin{cases} 2 x + 3 dla x \leq -1 \\ x^{2} + 3 dla x > -1 \end{cases} .

Wykażemy, że nie posiada ona granicy w punkcie $x_0=-1$ . W tym celu wybierzemy dwa ciągi argumentówciąg argumentów funkcjiciągi argumentów zbieżne do granicy $-1$ oraz takie, że ich ciągi wartościciąg wartości funkcjiciągi wartości posiadają różne granice. Niech najpierw $x_n=-1-\frac{1}{n}$ dla $n\in\mathbb{N}$ . Jest to oczywiście ciąg zbieżny do $-1$ . Ponieważ $x_n\lt -1$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ więc $f(x_n)=2\left(-1-\frac{1}{n}\right)+3=1-\frac{2}{n}$ . Stąd i z twierdzenia o arytmetyce granic

$\lim\limits_{n\to+\infty}f(x_n)=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)=1-0=1.$

Przyjmijmy teraz $x_n=-1+\frac{1}{n}$ dla $n\in\mathbb{N}$ . Ciąg ten jest również zbieżny do $-1$ . Jednak tym razem $x_n\gt -1$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ , zatem $f(x_n)=\left(-1+\frac{1}{n}\right)^2+3=4-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}.$ Korzystając kolejny raz z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów, otrzymamy

$\lim\limits_{n\to+\infty}f(x_n)=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(4-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\right)=4-0+0=4.$

Udało nam się zatem wskazać dwa ciągi argumentów funkcjiciąg argumentów funkcjiciągi argumentów funkcji $f$ zbieżne do $-1$ oraz takie, że ciągi wartościciąg wartości funkcjiciągi wartości im odpowiadające mają różne granice. Oznacza to, że funkcja $f$ nie posiada granicy w punkcie $x_0=-1$ .

Ważne!

Wprost z definicji granicy funkcji w punkcie $x_0$ według Heinego wynika, że istnienie oraz wartość granicy nie zależą od zachowania się funkcji w samym punkcie $x_0$ . Wynika to z faktu, że wszystkie wyrazy rozważanych ciągów argumentówciąg argumentów funkcjiciągów argumentów muszą być różne od $x_0$ . A zatem istotne jest jedynie jak funkcja zachowuje się w sąsiedztwie punktu $x_0$ , a nie w nim samym. Jedną z konsekwencji tego spostrzeżenia jest fakt, że funkcja może posiadać granicę w punkcie, który nie należy do jej dziedziny. Przykład takiej funkcji znajduje się w sekcji Infografika.

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższą infografiką, na której przedstawiono sposób na sprawdzenie czy funkcja $f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$ posiada granicę w punkcie $x_0=1$ . Zwróc uwagę, że punkt ten nie należy do dziedziny funkcji $f$ . Po zapoznaniu się ze sposobem przedstawionym w infografice, wykonaj zawarte pod nią polecenia.

R3uB0MhBAWYrX

Sprawdzimy, czy funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, koniec ułamka posiada granicę w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden. 1. Dziedzina funkcji f. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. Bierzemy dowolny ciąg argumentów funkcji f zbieżny do jeden. x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, należy do, D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, przecinek, limes, n, strzałka w prawo, nieskończoność, x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, 3. Sprawdzamy, czy ciąg wartości f nawias, x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu posiada granicę. limes, n, strzałka w prawo, nieskończoność, f nawias, x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, limes, n, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, koniec ułamka, równa się, 4. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. równa się, limes, n, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, limes, n, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, 5. Korzystamy z faktu, że ciąg x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego jest zbieżny do jeden oraz z twierdzeń o arytmetyce działań na granicach ciągów zbieżnych. równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, jeden, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. Ponieważ ciąg wartości f nawias, x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu posiada granicę i jest ona zawsze równa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, więc funkcja f posiada granicę w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden równą początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka. limes, n, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka.

Polecenie 2

Dana jest funkcja

$f(x)=\frac{2x-4}{x^3-x^2-2x}$ .

Wyznacz dziedzinę funkcji $f$ .

$D_f=\mathbb{R}\setminus \lbrace -1,0,2\rbrace$

Polecenie 3

Dana jest funkcja

$f(x)=\frac{2x-4}{x^3-x^2-2x}$ .

Sprawdź, czy funkcja $f$ posiada granicę w punkcie $x_0=2$ . Jeśli tak, to oblicz wartość tej granicy. Skorzystaj z definicji granicy funkcji w punkcie według Heinego.

$\lim_{x\to 2} f(x)=\frac{1}{3}$

Przykład 5

Obliczymy granicę wielomianu $W (x) = x^{3} - x^{2} + 3 x - 2$ w punkcie $x_{0} = 2$ . W tym celu bierzemy dowolny ciąg argumentówciąg argumentów funkcjiciąg argumentów $(x_{n})$ wielomianu $W$ zbieżny do liczby $2$ , którego wyrazy są różne od $2$ . Obliczymy granicę ciągu wartościciąg wartości funkcjiciągu wartości $(W (x_{n}))$ . Mamy

\lim_{n \to + \infty} W (x_{n}) = \lim_{n \to + \infty} (x_{n}^{3} - x_{n}^{2} + 3 x_{n} - 2)

Korzystając z twierdzenia o iloczynie granic ciągów zbieżnych oraz faktu, że $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = 2$ otrzymujemy kolejno

$\lim_{n \to + \infty} x_{n}^{3} = \lim_{n \to + \infty} (x_{n} \cdot x_{n} \cdot x_{n}) = 2^{3} = 8$ ,
$\lim_{n \to + \infty} x_{n}^{2} = \lim_{n \to + \infty} (x_{n} \cdot x_{n}) = 2^{2} = 4$ ,
$\lim_{n \to + \infty} (3 x_{n}) = 3 \cdot \lim_{n \to + \infty} x_{n} = 3 \cdot 2 = 6$ .

Z powyższych równości oraz z twierdzenia o sumie i różnicy granic ciągów zbieżnych mamy ostatecznie

\lim_{n \to + \infty} W (x_{n}) = \lim_{n \to + \infty} (x_{n}^{3} - x_{n}^{2} + 3 x_{n} - 2) = 8 - 4 + 6 - 2 = 8

Z dowolności wyboru ciągu $(x_{n})$ zbieżnego do $2$ , otrzymujemy

\lim_{x \to 2} W (x) = 8

Zauważmy, że w powyższym przykładzie granica wielomianu $W (x)$ w punkcie $2$ jest równa wartości tego wialomianu w tym punkcie. Okazuje się, że nie jest to przypadek i własność ta jest prawdziwa dla granicy dowolnego wielomainu w dowolnym punkcie. Możemy to sformułować następująco

Granica wielomianu w punkcie

Własność: Granica wielomianu w punkcie

Jeżeli $W : ℝ \to ℝ$ jest wielomianem stopnia $n \in ℕ$ oraz $x_{0} \in ℝ$ , to

\lim_{x \to x_{0}} W (x) = W (x_{0})

Dowód powyższej własności opiera się na wykorzystaniu twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych i przebiega analogicznie do sposobu w jaki obliczyliśmy granicę w przykładzie 1.

Ciekawostka

Wielomiany nie są jedynymi funkcjami o powyższej własności. Funkcje, które posiadają granicę w punkcie $x_{0}$ równą $f (x_{0})$ (tzn. równą wartości funkcji w tym punkcie) nazywamy funkcjami ciągłymi w punkcie $x_{0}$ .

Przykład 6

Obliczymy granicę

\lim_{x \to - 2} W (x)

gdzie

W (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 3 x - 5

Na mocy powyższej własności

\lim_{x \to - 2} W (x) = W (- 2) = 16 - 16 + 6 - 5 = 1

Przykład 7

Obliczymy granicę funkcji $f (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x + 2}$ w punkcie $x_{0} = 1$ . Zgodnie z definicją Heinego weźmy dowolny ciąg argumentówciąg argumentów funkcjiciąg argumentów $(x_{n})$ funkcji $f$ zbieżny do $1$ , którego wyrazy są różne od $1$ . Obliczymy granicę ciągu wartościciąg wartości funkcjiciągu wartości $f (x_{n})$ . Z twierdzenia o iloczynie granic ciągów zbieżnych oraz faktu, że $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = 1$ mamy kolejno

$\lim_{n \to + \infty} x_{n}^{2} = \lim_{n \to + \infty} (x_{n} \cdot x_{n}) = 1 \cdot 1 = 1$ ,
$\lim_{n \to + \infty} (3 x_{n}) = 3 \lim_{n \to + \infty} (x_{n}) = 3 \cdot 1 = 3$ .

Stąd oraz z twierdzenia o sumie i różnicy ciągów zbieżnych

\lim_{n \to + \infty} (x_{n}^{2} + 3 x_{n} - 4) = 1 + 3 - 4 = 0

Ponieważ

\lim_{n \to + \infty} (x_{n} + 2) = \lim_{n \to + \infty} x_{n} + 2 = 1 + 2 = 3

więc z twierdzenia o ilorazie ciągów zbieżnych otrzymujemy ostatecznie

\lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = \lim_{n \to + \infty} \frac{x_{n}^{2} + 3 x_{n} - 4}{x_{n} + 2} = \frac{0}{3} = 0

Ponieważ ciąg $(x_{n})$ był dowolnym ciągiem argumentówciąg argumentów funkcjiciągiem argumentów zbieżnym do $1$ więc z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie

\lim_{x \to 1} f (x) = 0

Punkt w którym obliczamy granicę funkcji, nie musi należec do dziedziny tej funkcji. Spójrzmy na kolejny przykład.

Przykład 8

Obliczymy granicę funkcji $f (x) = \frac{x^{2} + x - 6}{x + 3}$ w punkcie $x_{0} = - 3$ , który nie należy do dziedziny tej funkcji. Weźmy dowolny ciąg argumentówciąg argumentów funkcjiciąg argumentów $(x_{n})$ funkcji $f$ zbieżny do $(- 3)$ . Z faktu, że jest to ciąg argumentów wynika wprost, że wyrazy tego ciągu są różne od $(- 3)$ . Wyznaczymy pierwiastki licznika funkcji $f$ . Ponieważ $∆ = 1 + 24 = 25$ , więc

x_{1} = \frac{- 1 - 5}{2} = - 3

x_{2} = \frac{- 1 + 5}{2} = 2

Licznik funkcji $f$ możemy zatem zapisać w postaci iloczynowej

x^{2} + x - 6 = (x + 3) (x - 2)

Stąd

f (x_{n}) = \frac{x_{n}^{2} + x_{n} - 6}{x_{n} + 3} = \frac{(x_{n} + 3) (x_{n} - 2)}{x_{n} + 3} = x_{n} - 2

Ponieważ $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = - 3$ , więc

\lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = \lim_{n \to + \infty} (x_{n} - 2) = - 3 - 2 = - 5

Z definicji Heinego granicy fumkcji w punkcie wynika zatem, że

\lim_{x \to - 3} f (x) = - 5

Prawdziwa jest poniższa własność.

Granica ciągu

\sqrt{x_{n}}

Własność: Granica ciągu

\sqrt{x_{n}}

Jeżeli ciąg $(x_{n})$ jest zbieżny do granicy $g \in ⟨0, + \infty)$ oraz $x_{n} ⩾ 0$ dla każdego $n \in ℕ$ , to wówczas ciąg $(\sqrt{x_{n}})$ jest zbeżny do granicy $\sqrt{g}$ .

Powyższą własność można uogólnić na pierwiastek stopnia trzeciego

Granica ciągu

\sqrt[3]{x_{n}}

Własność: Granica ciągu

\sqrt[3]{x_{n}}

Jeżeli ciąg $(x_{n})$ jest zbieżny do granicy $g \in ℝ$ , to wówczas ciąg $(\sqrt[3]{x_{n}})$ jest zbeżny do granicy $\sqrt[3]{g}$ .

Ciekawostka

Powyższe własności możemy uogólnić na pierwiastki dowolnych stopni pamiętając, że pierwiastki stopni parzystych możemy obliczyć jedynie dla liczb większych lub równych zero a pierwiastki stopni nieparzystych możemy obliczyć dla każdej liczby rzeczywistej.

Przykład 9

Obliczymy granicę funkcji $f (x) = \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2} - 9}}$ w punkcie $x_{0} = - 1$ , korzystając z definicji Heinego. Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D_{f} = ℝ ∖ \{- 3, 3\}$ . Weźmy dowolny ciąg argumentówciąg argumentów funkcjiciąg argumentów $(x_{n})$ funkcji $f$ zbieżny do $(- 1)$ , którego wszystkie wyrazy są różne od $(- 1)$ . Stąd i z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych otrzymujemy

\lim_{n \to + \infty} (x_{n}^{2} - 9) = \lim_{n \to + \infty} (x_{n} \cdot x_{n}) - 9 = 1 - 9 = - 8

Zatem

\lim_{n \to + \infty} \sqrt[3]{x_{n}^{2} - 9} = \sqrt[3]{- 8} = - 2

Ostatecznie z twierdzenia o granicy ilorazu ciągów zbieżnych mamy

\lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = \lim_{n \to + \infty} \frac{6}{\sqrt[3]{x_{n}^{2} - 9}} = \frac{6}{- 2} = - 3

Ponieważ ciąg wartości funkcjiciąg wartości funkcjiciąg wartości funkcji jest zbieżny do tej samej granicy niezależnie od wyboru ciągu $(x_{n})$ , więc na mocy definicji granicy Heinego funkcji w punkcie otrzymujemy, że

\lim_{x \to - 1} \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2} - 9}} = - 3

Polecenie 4

Na poniższej animacji pokazano, w jaki sposób można obliczyć granicę funkcji, korzystając z definicji według Heinego. Zapoznaj się z przedstawionymi w niej przykładami, a następnie wykonaj zamieszczone poniżej polecenia.

Rdkejg6AK1n71

Polecenie 5

Korzystając z definicji Heinego, oblicz granicę

\lim_{x \to - 2} \frac{x + 3}{1 - 2 x}

\lim_{x \to - 2} \frac{x + 3}{1 - 2 x}

Polecenie 6

Korzystając z definicji Heinego wykaż, że funkcja $f (x) = \cos (\frac{π}{x - π})$ nie posiada granicy w punkcie $x_{0} = π$ .

Rozważ ciągi $x_{n} = π + \frac{1}{2 π}$ oraz $x_{n}^{‵} = π + \frac{1}{2 n + 1}$ , które są zbieżne do $π$ . Zauważ następnie, że $f (x_{n}) = \cos (2 n π) = 1$ oraz $f (x_{n}^{‵}) = \cos (2 n + 1) π = - 1$ .

Definicja Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie

Definicja Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie jest definicją typowo arytmetyczną i wykorzystuje pojęcia otoczeniaotoczenie punktuotoczenia oraz sąsiedztwasąsiedztwo punktusąsiedztwa punktu. Spójrzmy, jak ona brzmi.

Granica funkcji w punkcie według Cauchy'ego

Definicja: Granica funkcji w punkcie według Cauchy'ego

Liczbę $g \in ℝ$ nazywamy granicą funkcji $f$ : $D_{f} \to ℝ$ w punkcie $x_{0} \in ℝ$ , jeśli dla dowolnej liczby $ε > 0$ istnieje liczba $δ > 0$ taka, że dla każdego argumentu funkcji $f$ należącego do sąsiedztwa punktu $x_{0}$ o promieniu $δ$ , wartość funkcji $f$ w tym argumencie należy do otoczenia liczby $g$ o promieniu $ε$ .

Powyższą definicję można intuicyjnie rozumieć w następujący sposób: biorąc otoczenieotoczenie punktuotoczenie $O (g, ε)$ liczby rzeczywistej $g$ o dowolnym promieniu $ε > 0$ znajdziemy sąsiedztwosąsiedztwo punktusąsiedztwo $S (x_{0}, δ)$ punktu $x_{0} \in ℝ$ takie, że wartości funkcji w każdym argumencie należącym do znalezionego sąsiedztwa należeć będą do wziętego wcześniej otoczenia liczby $g$ . Na poniższym rysunku przedstawiona została interpretacja geometryczna definicji granicy funkcji w punkcie według Cauchy'ego.

R17IADcfYQ4uv

Grafika przedstawia układ współrzędnych o pionowej osi y i poziomej osi x. Na płaszczyźnie znajduje się krzywa, która podpisana została literą f. Na osi x po prawej stronie od środka układu współrzędnych zaznaczone zostały trzy punkty kolejno patrząc od lewej strony: x0−δ, x0, x0+δ. Punkty te są niezamalowane i zostały objęte klamrą, która jest podpisana: S ( x 0 ; δ ) . Na osi y również zaznaczone zostały 3 punkty, kolejno patrząc od dołu: g−ε, g, g+ε. Przy czym pierwszy i ostatni punkt nie są zamalowane, a punkt oznaczony literą g został zamalowany. Wszystkie 3 punkty zostały objęte klamrą z podpisem O ( g n ε ) . Z punktów zaznaczonych na osiach poprowadzone zostały linie przerywane, które są równoległe do osi. Krzywa f przechodzi przez punkty, w których przecinają się linie przerywane oraz przecina oś y poniżej punktów znajdujących się na tej osi.

Zaletą definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie jest fakt, że nie wykorzystuje ona innych pojęć matematycznych takich jak np. granica ciągu nieskończonego. Bazuje jedynie na zwykłej arytmetyce. Wadą jest jednak to, że korzystając z definicji Cauchy'ego na ogół nie jesteśmy w stanie obliczyć granicy funkcji w zadanym punkcie. Definicja służy przede wszystkim do wykazywania, że dana z góry liczba rzeczywista jest granicą funkcji w zadanym punkcie. Poniższe przykłady pokazują w jaki sposób możemy tego dokonać.

Przykład 10

Wykażemy, że

\lim_{x \to 2} (3 x - 1) = 5

Zgodnie z definicją Cauchy'ego bierzemy dowolną liczbę $ε > 0$ . Musimy wybrać liczbę rzeczywistą $δ > 0$ tak, aby dla wszystkich argumentów funkcji $f (x) = 3 x - 1$ spełniających nierówności $0 < |x - 2| < δ$ prawdziwa była nierówność $|f (x) - 5| < ε$ . Spróbujmy przekształcić lewą stronę ostatniej nierówności podstawiając w miejsce $f (x)$ wzór naszej funkcji

|f (x) - 5| = |3 x - 1 - 5| = |3 x - 6| = 3 |x - 2|

Otrzymany wynik sugeruje aby przyjąć $δ = \frac{ε}{3}$ , gdyż wówczas dla każdego $x \in D_{f}$ takiego, że $0 < |x - 2| < δ$ otrzymamy

|f (x) - 5| = 3 |x - 2| < 3 \cdot δ = 3 \cdot \frac{ε}{3} = ε

co na mocy definicji Cauchy'ego dowodzi, że

\lim_{x \to 2} (3 x - 1) = 5

Przykład 11

Wykażemy, że

\lim_{x \to - 1} (x^{2} + 2 x) = - 1

Weźmy dowolną liczbę $ε > 0$ . Dobierzemy liczbę $δ > 0$ tak, aby dla wszystkich argumentów funkcji $f (x) = x^{2} + 2 x$ spełniających nierówności $0 < |x + 1| < δ$ prawdziwa była nierówność $|f (x) - (- 1)| < ε$ . Przekształćmy lewą stronę ostatniej nierówności.

|f (x) - (- 1)| = |x^{2} + 2 x + 1| = |{(x + 1)}^{2}| = {|x + 1|}^{2}

Ponieważ wiemy, że $|x + 1| < δ$ więc ${|x + 1|}^{2} < δ^{2}$ . Jeśli zatem przyjmiemy $δ = \sqrt{ε}$ , to otrzymamy

|f (x) - (- 1)| = {|x + 1|}^{2} < δ^{2} = {(\sqrt{ε})}^{2} = ε

Z powyższego oraz z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie wnioskujemy, że

\lim_{x \to - 1} (x^{2} + 2 x) = - 1

Przykład 12

Wykażemy, że

\lim_{x \to 3} (2 x^{3} - 18 x^{2} + 54 x) = 54

Weźmy dowolną liczbę $ε > 0$ . Dobierzemy liczbę $δ > 0$ tak, aby dla wszystkich argumentów funkcji $f (x) = 2 x^{3} - 18 x^{2} + 54 x$ spełniających nierówności $0 < |x - 3| < δ$ prawdziwa była nierówność $|f (x) - 54| < ε$ . Przekształćmy lewą stronę ostatniej nierówności.

|f (x) - 54| = |2 x^{3} - 18 x^{2} + 54 x - 54| = |2 {(x - 3)}^{3}| = 2 {|x - 3|}^{3}

Ponieważ $|x - 3| < δ$ więc ${|x - 3|}^{3} < δ^{3}$ . Jeśli zatem przyjmiemy $δ = \sqrt[3]{\frac{ε}{2}}$ , to otrzymamy

|f (x) - 54| = 2 {|x - 3|}^{3} < 2 δ^{3} = 2 {(\sqrt[3]{\frac{ε}{2}})}^{3} = ε

Z powyższego oraz z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie wynika, że

\lim_{x \to 3} (2 x^{3} - 18 x^{2} + 54 x) = 54

Przykład 13

Wykażemy, że

\lim_{x \to 0} (x^{3} + x) = 0

Weźmy dowolną liczbę $ε > 0$ . Dobierzemy liczbę $δ > 0$ tak, aby dla wszystkich argumentów funkcji $f (x) = x^{3} + x$ spełniających nierówności $0 < |x - 0| < δ$ prawdziwa była nierówność $|f (x) - 0| < ε$ . Przekształćmy lewą stronę ostatniej nierówności.

|f (x) - 0| = |x (x^{2} + 1)| = |x| (x^{2} + 1)

Ponieważ $|x| < δ$ więc podnosząc nierówność stronami do kwadratu oraz dodając stronami $1$ otrzymamy $x^{2} + 1 < δ^{2} + 1$ . Stąd

|f (x) - 0| = |x| (x^{2} + 1) < δ (δ^{2} + 1)

Zauważmy, że do wybranej wcześniej utalonej liczby $ε > 0$ musimy dobrać liczbę $δ > 0$ , tak aby $|f (x) - 0| < ε$ . Chcemy zatem wybrać liczbę dodatnią $δ$ tak aby spełniona była nierówność $δ (δ^{2} + 1) < ε$ . Wybierając liczbę dodatnią $δ$ dostatecznie bliską zeru, wyrażenie $δ (δ^{2} + 1)$ także przyjmie wartość na tyle bliską zeru aby spełniona była nierówność $δ (δ^{2} + 1) < ε$ . Stąd, dla tak dobranej liczby $δ > 0$ z wcześniejszych obliczeń wynika, że dla wszystkich $x \in D_{f}$ takich, że $0 < |x| < δ$

|f (x) - 0| = |x| (x^{2} + 1) < δ (δ^{2} + 1) < ε

Zatem udowodniliśmy, że

\lim_{x \to 0} (x^{3} + x) = 0

Okazuje się, że istnieje silny związek pomiędzy definicjami granicy funkcji w punkcie według Heinego oraz według Cauchy'ego. Mianowicie definicje te są równoważne. Mówi o tym poniższe twierdzenie.

Związek pomiędzy definicją Cauchy'ego oraz Heinego granicy funkcji w punkcie

Twierdzenie: Związek pomiędzy definicją Cauchy'ego oraz Heinego granicy funkcji w punkcie

Liczba $g \in ℝ$ jest granicą funkcji $f$ : $D_{f} \to ℝ$ w punkcie $x_{0} \in ℝ$ według Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona granicą funkcji $f$ : $D_{f} \to ℝ$ w punkcie $x_{0} \in ℝ$ według Heinego.

Polecenie 7

Poniższa infografika pokazuje w jaki sposób można wykorzystać definicję Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie do wykazania, że dana liczba jest granicą funkcji wymiernej. Zapoznaj się z przedstawioną metodą a następnie wykonaj polecenia znajdujące się poniżej.

RXWT35CnCDCHA

Ilustracja przedstawia dowód na to, że liczba minus 8 jest granicą funkcji podanej w przykładzie. Celem tego przykładu jest wykazanie, że limes, x, strzałka w prawo, minus, jeden, początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, minus, sześć, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, minus, osiem. Zatem weźmy dowolną liczbę EPSILON, większy niż, zero i połóżmy DELTA, równa się, początek ułamka, EPSILON, mianownik, dwa, koniec ułamka. Wiedząc, że wartość bezwzględna z, x, minus, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, wartość bezwzględna z, x, minus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec wartości bezwzględnej, równa się, wartość bezwzględna z, x, plus, jeden, koniec wartości bezwzględnej oraz wiedząc, że f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, minus, sześć, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka, g, równa się, minus, osiem. Zgodnie z definicją Cauchy’ego wykażemy, że jeżeli zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, plus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, to wartość bezwzględna z, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, minus, g, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, EPSILON. Następnie zapisujemy wartość bezwzględna z, początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, minus, sześć, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka, plus, osiem, koniec wartości bezwzględnej. Kolejno sprowadzamy sumę do wspólnego mianownika i otrzymujemy wartość bezwzględna z, początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, plus, dwa, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka, koniec wartości bezwzględnej. W kolejnym kroku sprowadzamy licznik do postaci iloczynowej i upraszczamy ułamek. Otrzymujemy dwa wartość bezwzględna z, x, plus, jeden, koniec wartości bezwzględnej. Korzystamy z nierówności wartość bezwzględna z, x, plus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA. Dzięki czemu wiemy, że dwa wartość bezwzględna z, x, plus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, dwa DELTA. W tym miejscu widzimy, że aby uzyskać na końcu EPSILON, to za DELTA trzeba przyjąć początek ułamka, EPSILON, mianownik, dwa, koniec ułamka. I wynikiem naszego wywodu jest EPSILON.

Dana jest funkcja

f (x) = \frac{x^{2} - x - 2}{3 x - 6}

Polecenie 8

W dowolny znany Ci sposób oblicz granicę funkcji $f$ w punkcie $x_{0} = 2$ .

$\lim_{x \to 2} f (x) = 1$ .

Polecenie 9

Korzystając z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie, wykaż, że wyznaczona w poprzednim poleceniu liczba jest granicą funkcji $f$ w punkcie $x_{0} = 2$ .

Weźmy dowolną liczbę $ε > 0$ i połóżmy $δ = 3 ε$ . Wykażemy, że jeśli $0 < |x - 2| < δ$ , to $|f (x) - 1| < ε$ . Mamy

|f (x) - 1| = |\frac{x^{2} - x - 2 - (3 x - 6)}{3 x - 6}| = |\frac{x^{2} - 4 x + 4}{3 x - 6}| = \frac{|x - 2|}{3} < \frac{δ}{3} = ε

Co należało wykazać.

R1Qd0h32ReYF91

Ćwiczenie 1

RBGmRMYDVkNyr1

Ćwiczenie 2

R1I0fLoK8gJ2v2

Ćwiczenie 3

R1b2wqs0MKpPu2

Ćwiczenie 4

R17gX6Z6bMdwO2

Ćwiczenie 5

RCmSy8hvfjIvu2

Ćwiczenie 6

Korzystając z definicji granicy w sensie Heinego, wyznacz granicę funkcji z lewej kolumny w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden i połącz je w pary z poprawnymi odpowiedziami z prawej kolumny. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias x, plus, dwa zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. limes, x, strzałka w prawo, jedenf nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, jeden, 2. limes, x, strzałka w prawo, jedenf nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzy, 3. limes, x, strzałka w prawo, jedenf nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 4. limes, x, strzałka w prawo, jedenf nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, cztery f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, x, plus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. limes, x, strzałka w prawo, jedenf nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, jeden, 2. limes, x, strzałka w prawo, jedenf nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzy, 3. limes, x, strzałka w prawo, jedenf nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 4. limes, x, strzałka w prawo, jedenf nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, cztery f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. limes, x, strzałka w prawo, jedenf nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, jeden, 2. limes, x, strzałka w prawo, jedenf nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzy, 3. limes, x, strzałka w prawo, jedenf nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 4. limes, x, strzałka w prawo, jedenf nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, cztery f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. limes, x, strzałka w prawo, jedenf nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, jeden, 2. limes, x, strzałka w prawo, jedenf nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzy, 3. limes, x, strzałka w prawo, jedenf nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 4. limes, x, strzałka w prawo, jedenf nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, cztery

RkeUYvpinTGuW3

Ćwiczenie 7

Dana jest funkcja f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwa x, minus, jeden, koniec równania, pierwsze równanie, dla x, mniejszy równy, dwa, koniec równania, drugie równanie, jeden, minus, x, koniec równania, drugie równanie, dla x, większy niż, dwa, koniec równania, koniec układu równań.
Przeciągnij w puste pola odpowiednie wyrażenia. Sprawdzimy, czy funkcja f posiada granicę w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa. Niech x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, n, koniec ułamka oraz t indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, n, koniec ułamka. Oba ciągi są zbieżne do 1. takie same, 2. posiada granicę, 3. nie posiada granicy, 4. dwa, 5. minus, jeden, 6. jeden, 7. różne, 8. trzy, 9. minus, dwa oraz limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończonośćf nawias x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się 1. takie same, 2. posiada granicę, 3. nie posiada granicy, 4. dwa, 5. minus, jeden, 6. jeden, 7. różne, 8. trzy, 9. minus, dwa, limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończonośćf nawias t indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się 1. takie same, 2. posiada granicę, 3. nie posiada granicy, 4. dwa, 5. minus, jeden, 6. jeden, 7. różne, 8. trzy, 9. minus, dwa. Ponieważ granice ciągów wartości f nawias x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu oraz f nawias t indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu są 1. takie same, 2. posiada granicę, 3. nie posiada granicy, 4. dwa, 5. minus, jeden, 6. jeden, 7. różne, 8. trzy, 9. minus, dwa, więc funkcja f 1. takie same, 2. posiada granicę, 3. nie posiada granicy, 4. dwa, 5. minus, jeden, 6. jeden, 7. różne, 8. trzy, 9. minus, dwa w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa.

RUPSzwQzCMXS43

Ćwiczenie 8

Przenieś do wyznaczonych obszarów odpowiednie wyrażenia. Skorzystaj z definicji granicy funkcji w sensie Heinego. x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. limes, x, strzałka w prawo, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnegonawias trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, dwa zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 2. limes, x, strzałka w prawo, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnegonawias x, minus, dwa zamknięcie nawiasu nawias x, minus, trzy zamknięcie nawiasu, równa się, sześć, 3. limes, x, strzałka w prawo, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnegopoczątek ułamka, trzy, mianownik, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, trzy, 4. limes, x, strzałka w prawo, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnegonawias x, plus, dwa zamknięcie nawiasu, równa się, jeden, 5. limes, x, strzałka w prawo, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnegonawias dwa x, plus, jeden zamknięcie nawiasu, równa się, trzy, 6. limes, x, strzałka w prawo, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnegonawias dwa x, plus, jeden zamknięcie nawiasu, równa się, jeden x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. limes, x, strzałka w prawo, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnegonawias trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, dwa zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 2. limes, x, strzałka w prawo, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnegonawias x, minus, dwa zamknięcie nawiasu nawias x, minus, trzy zamknięcie nawiasu, równa się, sześć, 3. limes, x, strzałka w prawo, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnegopoczątek ułamka, trzy, mianownik, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, trzy, 4. limes, x, strzałka w prawo, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnegonawias x, plus, dwa zamknięcie nawiasu, równa się, jeden, 5. limes, x, strzałka w prawo, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnegonawias dwa x, plus, jeden zamknięcie nawiasu, równa się, trzy, 6. limes, x, strzałka w prawo, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnegonawias dwa x, plus, jeden zamknięcie nawiasu, równa się, jeden x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. limes, x, strzałka w prawo, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnegonawias trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, dwa zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 2. limes, x, strzałka w prawo, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnegonawias x, minus, dwa zamknięcie nawiasu nawias x, minus, trzy zamknięcie nawiasu, równa się, sześć, 3. limes, x, strzałka w prawo, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnegopoczątek ułamka, trzy, mianownik, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, trzy, 4. limes, x, strzałka w prawo, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnegonawias x, plus, dwa zamknięcie nawiasu, równa się, jeden, 5. limes, x, strzałka w prawo, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnegonawias dwa x, plus, jeden zamknięcie nawiasu, równa się, trzy, 6. limes, x, strzałka w prawo, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnegonawias dwa x, plus, jeden zamknięcie nawiasu, równa się, jeden

Rq92Ovrthgvch1

Ćwiczenie 9

Ry3Zhs3j7Mu371

Ćwiczenie 10

RTaRVLsxnSWEy1

Ćwiczenie 11

Rg9CIwSWSpCNZ2

Ćwiczenie 12

R15FanBWAphi42

Ćwiczenie 13

Przenieś w puste pola właściwe liczby.

limes, x, strzałka, dwa, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, mianownik, dwa x, minus, jeden, koniec ułamka, równa się 1. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 4. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. minus, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka

limes, x, strzałka, jeden, początek ułamka, x, minus, dwa, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, równa się 1. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 4. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. minus, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka

limes, x, strzałka, minus, jeden, początek ułamka, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy, koniec ułamka, równa się 1. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 4. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. minus, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka

limes, x, strzałka, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, początek ułamka, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka, równa się 1. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 4. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. minus, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka

R19uhcJpbG0lk2

Ćwiczenie 14

R1ZplSe8HzgDi3

Ćwiczenie 15

R184ZUzo9M1LZ3

Ćwiczenie 16

Rl1Ss4maYtKbl3

Ćwiczenie 17

Ćwiczenie 18

RBjKmPioA3T8O

R1OepN27N28dE

R1Eo124nkptJ41

Ćwiczenie 19

R1H5dXt6uEPKG2

Ćwiczenie 20

R167arvnoLgAK2

Ćwiczenie 21

Przenieś w puste miejsca właściwe wyrażenia. Korzystając z definicji Cauchy'ego wykażemy, że <limes, x, strzałka w prawo, trzy, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, osiem. Weźmy dowolną liczbę EPSILON, większy niż, zero. Niech DELTA, równa się 1. DELTA, równa się, EPSILON, 2. linia pionowa, x, minus, trzy, linia pionowa, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. linia pionowa, x, plus, trzy, linia pionowa, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. EPSILON, 5. DELTA indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, EPSILON, 6. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, minus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 7. pierwiastek kwadratowy z EPSILON koniec pierwiastka, 8. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, plus, osiem, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 9. EPSILON indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Wówczas dla wszystkich x, należy do, D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego takich, że 1. DELTA, równa się, EPSILON, 2. linia pionowa, x, minus, trzy, linia pionowa, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. linia pionowa, x, plus, trzy, linia pionowa, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. EPSILON, 5. DELTA indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, EPSILON, 6. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, minus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 7. pierwiastek kwadratowy z EPSILON koniec pierwiastka, 8. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, plus, osiem, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 9. EPSILON indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego mamy

wartość bezwzględna z, f nawias x zamknięcie nawiasu, minus, g, koniec wartości bezwzględnej, równa się wartość bezwzględna z, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x, plus, dziewięć, koniec wartości bezwzględnej, równa się 1. DELTA, równa się, EPSILON, 2. linia pionowa, x, minus, trzy, linia pionowa, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. linia pionowa, x, plus, trzy, linia pionowa, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. EPSILON, 5. DELTA indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, EPSILON, 6. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, minus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 7. pierwiastek kwadratowy z EPSILON koniec pierwiastka, 8. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, plus, osiem, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 9. EPSILON indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego mniejszy niż1. DELTA, równa się, EPSILON, 2. linia pionowa, x, minus, trzy, linia pionowa, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. linia pionowa, x, plus, trzy, linia pionowa, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. EPSILON, 5. DELTA indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, EPSILON, 6. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, minus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 7. pierwiastek kwadratowy z EPSILON koniec pierwiastka, 8. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, plus, osiem, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 9. EPSILON indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego

Ćwiczenie 22

R1bF6jFNtEGzd

RMVu5eEjB3RVl

R1NMp47RjinYK2

Ćwiczenie 23

Przenieś w puste miejsca właściwe wyrażenia. Korzystając z definicji Cauchy'ego wykażemy, że limes, x, strzałka w prawo, minus, dwa, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, mianownik, x, plus, dwa, koniec ułamka, równa się, minus, cztery. Weźmy dowolną liczbę EPSILON, większy niż, zero. Niech DELTA, równa się 1. DELTA, równa się, EPSILON, 2. dwa EPSILON, 3. EPSILON, 4. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 5. dwa, wartość bezwzględna z, x, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, 6. początek ułamka, EPSILON, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 8. wartość bezwzględna z, x, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, 9. wartość bezwzględna z, x, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej. Wówczas dla wszystkich x, należy do, D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego takich, że 1. DELTA, równa się, EPSILON, 2. dwa EPSILON, 3. EPSILON, 4. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 5. dwa, wartość bezwzględna z, x, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, 6. początek ułamka, EPSILON, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 8. wartość bezwzględna z, x, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, 9. wartość bezwzględna z, x, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej mamy

wartość bezwzględna z, f nawias x zamknięcie nawiasu, plus, cztery, koniec wartości bezwzględnej, równa się1. DELTA, równa się, EPSILON, 2. dwa EPSILON, 3. EPSILON, 4. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 5. dwa, wartość bezwzględna z, x, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, 6. początek ułamka, EPSILON, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 8. wartość bezwzględna z, x, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, 9. wartość bezwzględna z, x, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej mniejszy niż1. DELTA, równa się, EPSILON, 2. dwa EPSILON, 3. EPSILON, 4. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 5. dwa, wartość bezwzględna z, x, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, 6. początek ułamka, EPSILON, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 8. wartość bezwzględna z, x, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, 9. wartość bezwzględna z, x, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej

Ćwiczenie 24

Korzystając z definicji Cauchy'ego, udowodnij, że $\lim_{x \to \frac{1}{2}} (4 x^{2} - 4 x) = - 1$ .

Weźmy dowolną liczbę $ε > 0$ oraz niech $δ = \frac{\sqrt{ε}}{2}$ . Wówczas dla wszystkich $x \in D_{f}$ takich, że $0 < |x - \frac{1}{2}| < δ$ mamy

|4 x^{2} - 4 x - (- 1)| = |{(2 x - 1)}^{2}| = 4 {|x - \frac{1}{2}|}^{2} < 4 δ^{2} = ε

Z powyższego oraz z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie wnioskujemy, że

\lim_{x \to \frac{1}{2}} (4 x^{2} - 4 x) = - 1

Ćwiczenie 25

Korzystając z definicji Cauchy'ego, udowodnij, że $\lim_{x \to - 1} (2 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 4) = 2$ .

Weźmy dowolną liczbę $ε > 0$ oraz niech $δ = \sqrt[3]{\frac{ε}{2}}$ . Wówczas dla wszystkich $x \in D_{f}$ takich, że $0 < |x + 1| < δ$ mamy

|2 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 4 - 2| = 2 {|x + 1|}^{3} = 2 δ^{3} = ε

Z powyższego oraz z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie wnioskujemy, że

\lim_{x \to - 1} (2 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 4) = 2

Słownik

ciąg argumentów funkcji

ciąg $(x_n)$ którego wszystkie wyrazy należą do dziedziny funkcji $f$ , tzn. ciąg spełniający warunek

(1) $\forall_{x\in\mathbb{N}} \ x_n\in D_f$

ciąg wartości funkcji

jeżeli ciąg $(x_n)$ jest ciągiem argumentów funkcji $f : D_{f} \to ℝ$ , to ciąg $\big(f(x_n)\big)$ nazywamy ciągiem wartości funkcji $f$

otoczenie punktu

Otoczeniem punktu $x_{0}$ o promieniu $ε > 0$ nazywamy zbiór

U (x_{0}, ε) = \{x \in ℝ : |x - x_{0}| < ε\}

sąsiedztwo punktu

Sąsiedztwo punktu $x_{0}$ o promieniu $δ > 0$ nazywamy zbiór

S (x_{0}, δ) = (x_{0} - δ, x_{0}) \cup (x_{0}, x_{0} + δ)

1. Granica funkcji w punkcie

3. Granica jednostronna funkcji w punkcie