• Usystematyzujesz wiedzę o okręgu i kole.

• Poznasz podstawowe zależności między odcinkami w kole i punktami na okręgu.

• Zastosujesz poznane zależności w sytuacjach typowych i problemowych.

Okręgiem o środku $O$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny odległych od punktu $O$ o dany odcinek $r$.

Zauważmy, przy tym, że:

• bezpośrednio z definicji wynika, że okrąg, jako zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o zadanej własności, jest krzywą zamkniętą;

• promieniem będziemy nazywać każdy odcinek łączący środek okręgu z dowolnym punktem na tym okręgu;

• okrąg jest podstawowym obiektem do wykonywania klasycznych konstrukcji geometrycznych.

Cięciwą okręgu nazywamy odcinek, którego końce są różnymi punktami leżącymi na tym okręgu.

Bez dowodu przyjmiemy oczywiste twierdzenie.

Niech dany będzie okrąg o środku $O$ i promieniu $r$ i cięciwa tego okręgu o długości $d$. Wówczas $d\le 2r$, a równość zachodzi tylko wówczas, gdy cięciwa przechodzi przez środek okręgu.

Oznacza to, że chociaż cięciwy danego okręgu mogą mieć różne długości, to nie mogą być dłuższe od podwojonego promienia tego okręgu. To ograniczenie długości cięciwy uzasadnia podanie definicji kolejnego obiektu związanego z okręgiem.

Średnicą okręgu o środku $O$ i promieniu $r$ nazywamy każdą jego cięciwę, która przechodzi przez punkt $O$. Bezpośrednio z przyjętych definicji i twierdzenia o cięciwie wynika poniższy wniosek.

Łukiem okręgu nazywamy każdą z dwóch części, na które dzielą okrąg dwa różne punkty leżące na tym okręgu, wraz z tymi punktami.

R1OQH0n0ECdc2

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie O. Na okręgu zaznaczono punkty A i B. Kolorem wyróżniono łuk okręgu znajdujący się między punktami A i B – jest to krótsza część okręgu między punktami.

Zauważmy, że dwa dane punkty na okręgu wyznaczają dwa łuki, które na rysunku oznaczono różnym kolorem. W praktyce stosowanie kolorów może być utrudnione, dlatego wygodne jest wprowadzenie jeszcze jednego punktu, który leży na odpowiednim łuku. Popatrzmy na poniższy rysunek.

R4Lu9T58sv13d

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie O. Na okręgu zaznaczono kolejno punkty: Q, A, P i B. Kolorem wyróżniono łuk okręgu znajdujący się między punktami A i B przechodzący przez punkt P– jest to krótsza część okręgu między punktami.

Wówczas można przyjąć następujące oznaczenia: $\stackrel{⏜}{APB}$odpowiednio dla łuku, na którym leży punkt $P$ (oznaczony różowym kolorem) oraz $\stackrel{⏜}{AQB}$ dla łuku, na którym leży punkt $Q$ (oznaczony kolorem niebieskim). Łuk jest obiektem związanym zawsze z pewnym okręgiem, dlatego sformułowanie „łuk o promieniu $r$” oznaczać będzie część okręgu, którego promień jest równy $r$.

Półokręgiem nazywamy każdy z dwóch łuków wyznaczonych przez końce średnicy danego okręgu.

Zauważmy, że cięciwa, która nie jest średnicą, dzieli dany okrąg na różne figury; w przypadku średnicy oba łuki (półokręgi) są figurami przystającymi.

Dany okrąg można podzielić na kilka łuków, w szczególności te łuki nie muszą być figurami rozłącznymi, jak na poniższym rysunku. W szczególności łuki $\stackrel{⏜}{ACD}$ i $\stackrel{⏜}{CDE}$ mają część wspólną, którą jest mniejszy z łuków, których końcami są punkty $C$ i $D$.

RebbNqRNMe0lZ

Ilustracja przedstawia okrąg o środku w punkcie O. Na okręgu zaznaczono kolejno punkty A, B, E, D, C. Między każdą parą sąsiadujących punktów wyróżniono kolorem łuki.

Kołem nazywamy część płaszczyzny ograniczoną okręgiem, wraz z tym okręgiem.

Definicja podana wyżej, która najczęściej pojawia się w szkolnych podręcznikach, ma wadę związaną z pojęciem ograniczoności figury geometrycznej, które to pojęcie najczęściej definiuje się poprzez odwołanie do istnienia koła, w której dana figura się zawiera. Aby tę niezręczność wyeliminować wygodniej jest przyjąć następującą definicję.

Kołem o środku $O$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu $O$ jest nie większa niż $r$.

Pozostaje wspomnieć, że środkiem, promieniem i średnicą koła nazywamy odpowiednio środek, promień i średnicę okręgu, o którym mowa w powyższej definicji.

Dla danego okręgu niekiedy definiuje się pojęcie punktu wewnętrznego i jego punktu zewnętrznego.

Niech dany będzie okrąg o środku $O$ i promieniu $r$. O punktach płaszczyzny, których odległość od punktu $O$ jest mniejsza niż $r$ powiemy, że leżą wewnątrz okręgu lub krótko, że są to punkty wewnętrzne okręgu. O punktach płaszczyzny, których odległość od punktu $O$ jest większa niż $r$ powiemy, że leżą na zewnątrz okręgu lub krótko, że są punktami zewnętrznymi okręgu.

aksjomaty Euklidesa to zestaw pięciu pewników (zdań uznawanych za prawdziwe), na których Autor oparł konstrukcję teorii zwanej dzisiaj geometrią euklidesową