2. Wzajemne położenie prostej i okręgu

Badanie archeologiczne wskazują, że już w $\mathrm{IV}$ tysiącleciu $\text{p. n. e.}$ w Mezopotamii wykorzystywano koło, a niedługo później trafiło ono do Europy. Zaskoczeniem dla badaczy cywilizacji prekolumbijskiej obu Ameryk, w okresie późniejszym o blisko pięć tysięcy lat, była nieznajomość koła, w kontekście jego technologicznego wykorzystania, np. w transporcie.

Podstawą funkcjonowania stosowanego w pojazdach koła jest możliwość znacznej redukcji tarcia i tym samym siły, jakiej potrzeba, by wprawić pojazd w ruch oraz stabilność, jaką gwarantuje fakt, że przymocowanie pojazdu do osi obrotu kół zapewnia niezmienność jego położenia względem poziomego podłoża, w szczególności stały prześwit (szerokość) między podłożem a podłogą pojazdu.

RNEouiiURfcr1

Ilustracja podzielona jest na dwie części. Po prawej stronie jest zdjęcie samochodu terenowego przedstawionego bokiem. Na samochód naniesiony jest schematyczny rysunek samochodu składający się z dwóch okręgów, poziomej osi narysowanej przerywaną linią. Nad osią są dwa prostokąty umieszczone poziomo. Po lewo przedstawiony jest sam schematyczny rysunek złożony z opisanych figur.

Pod koniec $\mathrm{XIX}$ wieku pokazano, że istnieją inne figury, które gwarantują tak zdefiniowaną niezmienność położenia. Rozważmy trójkąt równoboczny i trzy okręgi, których środkami są wierzchołki trójkąta, a które przechodzą odpowiednio przez dwa pozostałe wierzchołki, jak na rysunku.

R1Zkz9wz9mnIj

Na rysunku przedstawione są trzy nachodzące na siebie okręgi. W części wspólnej wszystkich trzech okręgów narysowany jest trójkąt rozpięty na trzech punktach przecięcia okręgów. Cała część wspólna jest oznaczona kolorem, jest ona trójkątem Reuleaux.

Suma powstałych wycinków koła tworzy figurę, pokolorowaną na rysunku, zwaną trójkątem ReuleauxTrójkąt Reuleauxtrójkątem Reuleaux (od nazwiska jego twórcy).

Okazuje się, że tak zdefiniowaną figurę można toczyć między dwiema prostymi o stałej odległości.

R1Kp48veVdyyR

Na rysunku przedstawione są dwie poziome linie, między którymi umieszczone są cztery trójkąty Reuleaux w różnym położeniu - są obrócone wokół własnej osi. Na tych trójkątach narysowane są strzałki obrotu.

Odległość punktu od prostej

Twierdzenie: Odległość punktu od prostej

Niech dana będzie prosta $k$ i punkt $P$ nie leżący na tej prostej. Niech $l$ będzie prostą prostopadłą do $k$ i przechodzącą przez punkt $P$. Niech $Q$ będzie punktem wspólnym prostych $k$ i $l$. Długość odcinka $PQ$ jest odległością punktu $P$ od prostej $k$.

R13bQ9BoPUxTc

Na rysunku przedstawione są dwie proste prostopadłe: pionowa prosta $l$ oraz pozioma prosta $k$. Ich punkt przecięcia oznaczono jako $Q$. Na prostej $l$ leży punkt $P$, na prostej $k$ leży punkt $R$. Punkty te są połączone linią przerywaną w odcinek $PR$

Dowód

Zauważmy, że dowolny punkt $R\in k$, $R\ne Q$ jest końcem przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym $PQR$, więc jego długość jest większa od długości odcinka $PQ$. Co kończy dowód.

W zależności od tego, w jakiej odległości od prostej znajduje się środek okręgu, możliwe są trzy sytuacje przedstawione poniżej.

R3FlUWNOh1CNY

Rysunek przedstawia trzy możliwe położenia okręgu i prostej. Pierwsze to sytuacja, gdy prosta i okrąg są rozłączne. Wtedy odległość $d$ między środkiem okręgu $O$ a prostą $k$ jest większa, niż długość promienia okręgu $r$. Odległość $d$ wyprowadzona jest ze środka okręgu w taki sposób, że jest prostopadła do prostej $k$. Druga możliwość to sytuacja, gdy prosta i okrąg są styczne. Figury mają wtedy jeden punkt wspólny, jest to punkt styczności. Wtedy odległość $d$ jest równa promieniowi $r$ i oczywiście odległość jest poprowadzona ze środka okręgu i odcinek $d$ jest prostopadły do prostej. Trzecia sytuacja, to gdy okrąg i prosta się przecinają. Mają wtedy dwa punkty wspólne, są to punkty przecięcia, a prostopadła do prostej odległość $d$ jest mniejsza od długości promienia okręgu $r$.

Widzimy, że okrąg o promieniu $r$ jest styczny do prostej w punkcie $A$ tylko wtedy, gdy jego środek leży dokładnie w odległości $r$ od prostej, czyli wówczas, gdy odcinek $OA$ jest promieniem okręgu prostopadłymproste prostopadłeprostopadłym do prostej.

Zastanówmy się teraz, ile prostych stycznych do danego okręgu można poprowadzić z ustalonego punktu $P$. Możliwe są trzy sytuacje.

Ostatni z powyższych przypadków jest szczególnie interesujący. Aby go przeanalizować, wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku. Zauważmy, że odcinki $OA$ i $OB$ są prostopadłeproste prostopadłeprostopadłe odpowiednio do odcinków $PA$ i $PB$ (twierdzenie o prostej stycznej do okręgu). Zatem, na mocy twierdzenia Pitagorasa:

$\left|PA\right|=\sqrt{{\left|PO\right|}^2-{\left|AO\right|}^2}=\sqrt{{\left|PO\right|}^2-{\left|BO\right|}^2}=\left|PB\right|$

RoiXzFebxMHsw

Ilustracja przedstawia punkt $P$ oraz okrąg o środku w punkcie $O$. Punkt $P$ leży poza okręgiem. Przecinają się w nim dwie proste styczne do okręgu. Punkty styczności to punkty $A$ oraz $B$. Na rysunku wykreślono również odcinek $PO$ oraz dwa promienie okręgu. Pierwszy z nich to $OA$, jest on prostopadły do prostej $PA$. Drugi promień to odcinek $OB$. Jest on prostopadły do prostej $PB$.

Oznacza to, że tzw. odcinki styczne $PA$ oraz $PB$ są równe. W konsekwencji trójkąty prostokątne $APO$ oraz $BPO$ są przystającetrójkąty przystająceprzystające na mocy cechy bbb. Wynika stąd, że zachodzi też cecha kkk i w konsekwencji kąty wewnętrzne $APO$ i $BPO$ mają równe miary. Zatem odcinek $PO$ zawiera się w dwusiecznej kąta $APB$. Udowodniliśmy w ten sposób poniższe twierdzenie.

Przykład 1

Dany jest okrąg o środku $O$ i punkt $P$ leżący na tym okręgu. Przeprowadzimy konstrukcję stycznej do danego okręgu, która będzie przechodziła przez punkt $P$.

1. Prowadzimy prostą przechodząca przez środek okręgu i punkt styczności.

2. Rozwartością cyrkla równą promieniowi zaznaczamy na prostej punkt $D$ tak, aby  punkt $P$ był  środkiem odcinka $OD$.

3. Kreślimy symetralną odcinka $OD$ – zakreślając z punktów $O$ i $D$ łuki okręgów o tym samym promieniu, aż do przecięcia się.

4. Przez punkty $A$ i $B$ – przecięcia się łuków – kreślimy prostą. Jest to szukana styczna.

RcgOEmOvt30pA

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie $O$. Przez okrąg i jego środek przechodzi pionowa prosta narysowana linią przerywaną. Poniżej narysowana jest prosta pozioma styczna do okręgu. Punkt przecięcia prostych i okręgu oznaczono jako punkt $P$. Symetrycznie do punktu $O$ względem poziomej prostej jest punkt $D$ położony na prostej pionowej. Na prostej poziomej zaznaczono także dwa symetryczne punkty względem prostej pionowej. Te punkty to: po lewo punkt $B$ i po prawo punkt $A$.

Przykład 2

Odległość siecznej od środka okręgu jest równa $2$. Długość odcinka, o końcach w punktach wspólnych tej siecznej i okręgu, jest równa promieniowi $R$ tego okręgu. Obliczymy $R$.

Rozwiązanie:

RxHgjG6WAIbeQ

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie $O$. Przez okrąg i jego środek przechodzi pionowa półprosta narysowana linią przerywaną. Początek półprostej znajduje się w punkcie $P$, który leży na siecznej $AB$ przecinającej okrąg. Punkt $A$ leży po lewej stronie i jest punktem przecięcia siecznej z okręgiem. Punkt $B$ leży po prawej stronie i jest drugim punktem przecięcia siecznej z okręgiem.Na rysunku zaznaczono następujące odcinki: $OA$ oraz $OB$, które są jednocześnie promieniami okręgu, odcinek na siecznej $AB$, którego połowę wynacza leżący na nim punkt $P$, a także zaznaczony linią przerywaną należący do półprostej odcinek $OP$.

Zauważmy, że przy przyjętych na rysunku oznaczeniach mamy: $\left|AB\right|=R$.

Ale trójkąt $ABO$ jest trójkątem równobocznym, w którym $\left|OP\right|$ jest długością wysokości.

Zatem $\left|OP\right|=\frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Mamy więc $\frac{R\sqrt{3}}{2}=2$, a stąd $R=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Polecenie 1

Uruchom aplet i przeanalizuj konstrukcję STYCZNEJ DO DANEGO OKRĘGU I RÓWNOLEGŁEJ DO DANEJ PROSTEJ. Zwróć szczególną uwagę na odległości między prostą i otrzymanymi stycznymi.

Rs5AvdsYqt6SX

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DDZPUTVZ1

Rp0DSIYf7yrhi

Uzupełnij następujące zdania podanymi wyrazami. Mając prostą k oraz okrąg o środku w punkcie O i promieniu r, możemy wyróżnić trzy możliwe wzajemne położenia prostej i okręgu.

1. Prosta i okrąg mogą być rozłączne. Wtedy 1. większa, 2. mają jeden punkt wspólny, 3. mają dwa punkty wspólne, 4. równa, 5. nie mają punktów wspólnych, 6. mniejsza, a odległość od środka okręgu do prostej jest 1. większa, 2. mają jeden punkt wspólny, 3. mają dwa punkty wspólne, 4. równa, 5. nie mają punktów wspólnych, 6. mniejsza, niż długość promienia okręgu, czyli r.
2. Prosta i okrąg mogą się przecinać. Wtedy 1. większa, 2. mają jeden punkt wspólny, 3. mają dwa punkty wspólne, 4. równa, 5. nie mają punktów wspólnych, 6. mniejsza, a odległość od środka okręgu do prostej jest 1. większa, 2. mają jeden punkt wspólny, 3. mają dwa punkty wspólne, 4. równa, 5. nie mają punktów wspólnych, 6. mniejsza, niż długość promienia okręgu, czyli r.
3. Prosta i okrąg mogą być styczne. Wtedy 1. większa, 2. mają jeden punkt wspólny, 3. mają dwa punkty wspólne, 4. równa, 5. nie mają punktów wspólnych, 6. mniejsza, a odległość od środka okręgu do prostej jest 1. większa, 2. mają jeden punkt wspólny, 3. mają dwa punkty wspólne, 4. równa, 5. nie mają punktów wspólnych, 6. mniejsza długości promienia okręgu, czyli r.

Uzupełnij następujące zdania podanymi wyrazami. Mając prostą k oraz okrąg o środku w punkcie O i promieniu r, możemy wyróżnić trzy możliwe wzajemne położenia prostej i okręgu.

1. Prosta i okrąg mogą być rozłączne. Wtedy 1. większa, 2. mają jeden punkt wspólny, 3. mają dwa punkty wspólne, 4. równa, 5. nie mają punktów wspólnych, 6. mniejsza, a odległość od środka okręgu do prostej jest 1. większa, 2. mają jeden punkt wspólny, 3. mają dwa punkty wspólne, 4. równa, 5. nie mają punktów wspólnych, 6. mniejsza, niż długość promienia okręgu, czyli r.
2. Prosta i okrąg mogą się przecinać. Wtedy 1. większa, 2. mają jeden punkt wspólny, 3. mają dwa punkty wspólne, 4. równa, 5. nie mają punktów wspólnych, 6. mniejsza, a odległość od środka okręgu do prostej jest 1. większa, 2. mają jeden punkt wspólny, 3. mają dwa punkty wspólne, 4. równa, 5. nie mają punktów wspólnych, 6. mniejsza, niż długość promienia okręgu, czyli r.
3. Prosta i okrąg mogą być styczne. Wtedy 1. większa, 2. mają jeden punkt wspólny, 3. mają dwa punkty wspólne, 4. równa, 5. nie mają punktów wspólnych, 6. mniejsza, a odległość od środka okręgu do prostej jest 1. większa, 2. mają jeden punkt wspólny, 3. mają dwa punkty wspólne, 4. równa, 5. nie mają punktów wspólnych, 6. mniejsza długości promienia okręgu, czyli r.

Polecenie 2

Z punktu $P$ oddalonego od środka okręgu o $10 \mathrm{cm}$ poprowadzono styczne do okręgu, które przecięły się pod kątem $90°$ (rysunek poniżej). Ile jest równy promień tego okręgu?

Rhf7olWyIyRCc

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie $O$. Poza okręgiem położony jest punkt $P$, w którym przecinają się dwie proste styczne do okregu. Proste przecinają się pod kątem prostym. Punkty styczności to $A$ oraz $B$.

Pokaż odpowiedź

Promień okręgu jest równy $5\sqrt{2} \mathrm{cm}$.

Potęga punktu względem okręgu

Rozważmy okrąg o środku w punkcie $O$ i punkt $P$ leżący na zewnątrz okręgu. Z tego punktu poprowadźmy styczną oraz sieczną tego okręgu, jak na rysunku.

RX8iymGhzk0Q9

Na ilustracji przedstawiono okrąg o środku w punkcie O. Poprowadzono prostą, styczną do okręgu w punkcie A, oraz prostą przecinającą okrąg w punkcie Q i R. Proste przecinają się w punkcie P.

Niech $A$ będzie punktem styczności, a $Q$, $R$ będą punktami, w których sieczna przecina dany okrąg. Okazuje się, że $\left|PQ\right|·\left|PR\right|={\left|PA\right|}^2$ niezależnie od wyboru siecznej.

Dla dowodu pokażemy, że trójkąty $PRA$ i $PAQ$ są podobne. Skorzystamy w tym celu z twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku i z faktu, że promień $OA$ jest prostopadły do stycznej $AP$.

R8T3Cw9pMmDX0

Na ilustracji przedstawiono okrąg o środku w punkcie O. Poprowadzono prostą, styczną do okręgu w punkcie A, oraz prostą przecinającą okrąg w punkcie Q i R. Proste przecinają się w punkcie P. Zielonym kolorem zaznaczono odcinek AO, oraz OR. Różowym kolorem zaznaczono odcinek $AQ$, oraz $AR$.

Oznaczmy $\left|\measuredangle PQA\right|=\alpha$. Wtedy $\left|\measuredangle AOR\right|=2\alpha$ oraz $\left|\measuredangle RAP\right|=90°-\frac{1}{2}·\left(180°-2\alpha \right)=\alpha$. Ale to oznacza, na mocy cechy $kkk$ podobieństwa trójkątów, że trójkąty $PRA$ i $PAQ$ są podobne. Stąd, w szczególności $\frac{\left|AP\right|}{\left|PR\right|}=\frac{\left|PQ\right|}{\left|AP\right|}$, czyli $\left|PQ\right|·\left|PR\right|={\left|PA\right|}^2$.

Otrzymana zależność, która w programach szkolnych nosi nazwę twierdzenia o odcinkach stycznej i siecznej, jest szczególnym przypadkiem szerszego zagadnienia zwanego pod nazwą potęgi punktu względem okręgu. Aby je wprowadzić, wróćmy do naszego zagadnienia stycznej i siecznej, ale rozważmy sieczną, która zawiera średnicę okręgu, jak na rysunku.

R1OKcQfRsDNhZ

Na ilustracji przedstawiono okrąg o środku w punkcie O. Poprowadzono prostą, styczną do okręgu w punkcie A, oraz prostą przechodzącą przez środek okręgu i przecinającą okrąg w punkcie Q i R . Proste przecinają się w punkcie P. Zielonym kolorem zaznaczono odcinek AO, oraz OR. Różowym kolorem zaznaczono odcinek $AQ$, oraz $AR$.

Oznaczmy przez $r$ promień danego okręgu, a przez $d$ oznaczmy odległość $\left|OP\right|$ punktu $P$ od środka okręgu.

Wtedy $\left|PQ\right|·\left|PR\right|={\left|PA\right|}^2=d^2-r^2$. Dla danego okręgu i danego punktu wielkość $d^2-r^2$ nazywamy potęgą punktu względem okręgu.

Okazuje się, że pojęcie potęgi punktu względem okręgupotęga punktu względem okręgupotęgi punktu względem okręgu można uogólnić na punkty leżące na okręgu (wówczas potęga jest równa $0$) oraz punkty wewnętrzne okręgu (potęga jest wtedy ujemna). Przydatne jest operowanie także pojęciem prostej potęgowejprosta potęgowaprostej potęgowej, która została pośrednio zdefiniowana w ćwiczeniach do niniejszej lekcji.

Pozostaje zapisać prosty wniosek, dotyczący różnych siecznych. Niech $Q$, $R$ oraz $M$, $N$ będą punktami, w których dwie różne sieczne przecinają odpowiednio dany okrąg, jak na rysunku.

R1Ys5LjyRC4o6

Na ilustracji przedstawiono okrąg. Poprowadzono dwie proste. Pierwsza prosta przecina okrąg w punkcie M i N. Druga prosta przecina okrąg w punkcie Q i R. Proste przecinają się w punkcie P.

Wtedy $\left|PQ\right|·\left|PR\right|=\left|PM\right|·\left|PN\right|$.

Wróćmy teraz do zagadnienia ze wstępu do niniejszej lekcji. Pokażemy równość odcinków $AP$ i $BP$, wyznaczonych na stycznych do dwóch przecinających się okręgów, jak na poniższym rysunku

R1VARqRPotow9

Na ilustracji przedstawiono dwa okręgi przecinające się w punktach Q i R, przez które przechodzi prosta. Poprowadzono prostą styczną do okręgu pierwszego w punkcie A, oraz styczną do okręgu drugiego w punkcie B. Trzy proste przecinają się w punkcie P.

Zauważmy, że $\left|PQ\right|·\left|PR\right|={\left|PA\right|}^2$ oraz $\left|PQ\right|·\left|PR\right|={\left|PB\right|}^2$. Stąd wynika równość ${\left|PA\right|}^2={\left|PB\right|}^2$ i postawiona teza.

O stycznych do dwóch okręgów

Twierdzenie: O stycznych do dwóch okręgów

Niech $PQ$ i $RS$ będą odcinkami wyznaczonymi przez punkty, w których dwa okręgi są odpowiednio styczne do ich wspólnych stycznych zewnętrznych, jak na rysunku.

REXwurZT97Ud0

Na ilustracji przedstawiono dwa okręgi obok siebie. Większy okrąg niebieski, oraz mniejszy granatowy. Poprowadzono dwie proste. Pierwsza prosta, jest styczna do okręgu niebieskiego w punkcie P, oraz styczna do okręgu granatowego w punkcie Q. Druga prosta jest styczna do okręgu niebieskiego w punkcie R, oraz do okręgu granatowego w punkcie S. Różowym kolorem zaznaczono odcinek $PQ$ oraz $RS$.

Wtedy $\left|PQ\right|=\left|RS\right|$.

Dowód

Zauważmy, że w przypadku równości promieni, wspólne styczne zewnętrzne obu okręgów byłyby równoległe, a czworokąt $PRSQ$ byłby prostokątem. Teza twierdzenia byłaby wówczas oczywista. Przypuśćmy więc, że promienie są różne. Wtedy proste $PQ$ i $RS$ przetną się – ich punkt wspólny oznaczmy przez $M$. Nie zmniejszając ogólności, możemy przyjąć (jak sugeruje rysunek), że punkt $Q$ leży pomiędzy punktami $P$ i $M$. Wtedy $\left|MP\right|=\left|MQ\right|+\left|PQ\right|$ oraz $\left|MR\right|=\left|MS\right|+\left|RS\right|$. Z twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że $\left|MQ\right|=\left|MS\right|$ oraz $\left|MP\right|=\left|MR\right|$. Stąd $\left|MS\right|+\left|RS\right|=\left|MR\right|=\left|MP\right|=\left|MQ\right|+\left|PQ\right|=\left|MS\right|+\left|PQ\right|$, zatem $\left|PQ\right|=\left|RS\right|$.

Przykład 3

Rozważmy dwa okręgi. Punkty $A$ i $C$ leżą odpowiednio na jednej z dwóch wspólnych stycznych zewnętrznych do tych okręgów, w taki sposób, że odcinek $AC$ jest zawarty w jednej ze wspólnych stycznych wewnętrznych do tych okręgów, jak na rysunku.

RBDnXqMHUR4sF

Na ilustracji przedstawiono dwa okręgi. Poprowadzono dwie styczne, które są wspólne dla obu okręgów. Styczne połączono prostą $AC$, która przechodzi między okręgami i jest styczna do okręgu pierwszego w punkcie $D$, oraz do styczna do okręgu drugiego w punkcie $B$.

Pokażemy, że $\left|AB\right|=\left|CD\right|$.

W tym celu zaznaczymy odpowiednio punkty styczności.

RU7gSgyxxfxvx

Na ilustracji przedstawiono dwa okręgi. Poprowadzono dwie proste. Pierwsza prosta jest styczna do okręgu pierwszego w punkcie P, i do drugiego w punkcie Q. Druga prosta jest styczna do pierwszego okręgu w punkcie R, i do drugiego w punkcie S. Styczne połączono prostą $AC$, która przechodzi między okręgami i jest styczna do okręgu pierwszego w punkcie $D$, oraz do styczna do okręgu drugiego w punkcie $B$.

Z wcześniejszego twierdzenia  wynika, że $\left|PQ\right|=\left|RS\right|$, czyli $\left|AP\right|+\left|AQ\right|=\left|CS\right|+\left|CR\right|$. Ale z twierdzenia o odcinkach stycznych (zasadniczego twierdzenia planimetrii)  otrzymujemy w szczególności, że $\left|RC\right|=\left|CD\right|$, $\left|CS\right|=\left|CB\right|$, $\left|AQ\right|=\left|AB\right|$ oraz $\left|AP\right|=\left|AD\right|$. Stąd, wynikającą z twierdzenia o stycznych do dwóch okręgów równość możemy zapisać w postaci $\left|AD\right|+\left|AB\right|=\left|CB\right|+\left|CD\right|$. Pozostaje jeszcze zauważyć, że $\left|CB\right|=\left|CD\right|+\left|BD\right|$ oraz $\left|AD\right|=\left|AB\right|+\left|BD\right|$, zatem równość $\left|AD\right|+\left|AB\right|=\left|CB\right|+\left|CD\right|$ przyjmuje postać $\left|AB\right|+\left|BD\right|+\left|AB\right|=\left|CD\right|+\left|BD\right|+\left|CD\right|$. Stąd $2\left|AB\right|=2\left|CD\right|$, czyli $\left|AB\right|=\left|CD\right|$.

Przykład 4

Rozważmy dwa okręgi. Każdy z punktów $A$ i $C$ leży na innej z dwóch wspólnych stycznych wewnętrznych do tych okręgów, które to styczne przecinają wspólną styczną zewnętrzną $RS$ w punktach odpowiednio $B$ i $D$, jak na rysunku.

RThLaQAb1gonb

Na ilustracji przedstawiono dwa okręgi. Poprowadzono prostą L, styczną do okręgu pierwszego w punkcie R i do okręgu drugiego w punkcie S. Między okręgami poprowadzono dwie proste, styczne do obu okręgów, przecinające się wzajemnie w punkcie M. Zaznaczono punkt styczności A do okręgu pierwszego, oraz punkt styczności C do okręgu drugiego. Prosta L jest przecięta przez styczne w punkcie B i D. Różowym kolorem zaznaczono odcinek AB oraz CD.

Pokażemy, że $\left|AB\right|=\left|CD\right|$.

Podobnie, jak w Przykładzie 1. zaczniemy od oznaczenia widocznych na rysunku punktów styczności i punktu $M$– wspólnego dla stycznych wewnętrznych.

RtDaiyR2Cn4Ha

Na ilustracji przedstawiono dwa okręgi. Poprowadzono prostą P, styczną do okręgu pierwszego w punkcie R i do okręgu drugiego w punkcie S. Między okręgami dwie proste, styczne do obu okręgów, przecinające się wzajemnie w punkcie M. Pierwsza z nich jest styczna do okręgu pierwszego w punkcie P, i do okręgu drugiego w punkcie C. Druga z nich jest styczna do okręgu pierwszego w punkcie A i do okręgu drugiego w punkcie Q. Prosta L jest przecięta przez styczne w punkcie B i D. Różowym kolorem zaznaczono odcinek AB oraz CD.

Mamy wówczas, że $\left|DP\right|=\left|CD\right|+\left|CM\right|+\left|MP\right|$ oraz $\left|DR\right|=\left|BD\right|+\left|BR\right|$. Podobnie $\left|BQ\right|=\left|AB\right|+\left|AM\right|+\left|MQ\right|$ oraz $\left|BS\right|=\left|BD\right|+\left|DS\right|$. Z twierdzenia o odcinkach stycznych poprowadzonych z punktu $D$ oraz z punktu $B$ otrzymujemy w szczególności, że $\left|CD\right|+\left|CM\right|+\left|MP\right|=\left|BD\right|+\left|BR\right|$ oraz $\left|AB\right|+\left|AM\right|+\left|MQ\right|=\left|BD\right|+\left|DS\right|$. Odejmując stronami ostatnie równości dostajemy, że $\left|CD\right|+\left|CM\right|+\left|MP\right|-\left(\left|AB\right|+\left|AM\right|+\left|MQ\right|\right)=\left|BD\right|+\left|BR\right|-\left(\left|BD\right|+\left|DS\right|\right)$. Z twierdzenia o odcinkach stycznych otrzymujemy ponadto, że $\left|PM\right|=\left|AM\right|$, $\left|CM\right|=\left|MQ\right|$, $\left|BR\right|=\left|AB\right|$ oraz $\left|DS\right|=\left|CD\right|$, zatem powyższa równość przyjmuje postać $\left|CD\right|+\left|MQ\right|+\left|AM\right|-\left(\left|AB\right|+\left|AM\right|+\left|MQ\right|\right)=\left|BD\right|+\left|AB\right|-\left(\left|BD\right|+\left|CD\right|\right)$. Po uproszczeniu i redukcji wyrazów podobnych mamy $\left|CD\right|-\left|AB\right|=\left|AB\right|-\left|CD\right|$, czyli $2\left|AB\right|=2\left|CD\right|$, a stąd $\left|AB\right|=\left|CD\right|$.

RobFn3NRHDjxS

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczący zastosowania twierdzenia o odcinkach stycznych.

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczący zastosowania twierdzenia o odcinkach stycznych.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RobFn3NRHDjxS

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczący zastosowania twierdzenia o odcinkach stycznych.

Polecenie 7

Przez punkty $A$, $B$ poprowadzono styczne do danego okręgu, które przecięły się w punkcie $P$. Wyznacz długość promienia tego okręgu, jeśli $\left|AP\right|=4$ oraz $\left|\sphericalangle APB\right|=45°$.

Pokaż rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

RSnyseimn1GiY

Na ilustracji przedstawiono okrąg o środku w punkcie O. Poprowadzono dwie proste, przecinające się w punkcie P i styczne do okręgu w punktach A i B. Na prostej stycznej do okręgu w punkcie B, zaznaczono punkt C, znajdujący się na przedłużeniu odcinka $AO$. $\angle APC$ wynosi 45 stopni.

Wtedy $\left|CP\right|=4\sqrt{2}=\left|CB\right|+\left|BP\right|=r+4$.

Stąd $r=4\sqrt{2}-4$.

Polecenie 8

W trapez prostokątny $ABCD$ o krótszej podstawie $CD$ równej $3$ wpisano okrąg o promieniu $2$, styczny do odpowiednich ramion trapezu w punktach $P$, $Q$, $R$, $S$, jak na rysunku.

RgemIcYBfafWg

Na ilustracji przedstawiono trapez prostokątny ABCD, w który wpisano okrąg o środku w punkcie O. Zaznaczono cztery punkty styczności obu figur. Punkt R, leżący na górnej podstawie trapezu. Punkt Q, leżący na prawym ramieniu. Punkt P leżący na dolnej podstawie, oraz punkt S na lewym ramieniu.

Wyznacz różnicę długości $\left|BQ\right|-\left|CQ\right|$.

Pokaż rozwiązanie

Zauważmy, że $\left|RC\right|=3-\left|DR\right|=3-2=1=\left|CQ\right|$.

Trójkąt $BOC$ jest prostokątny oraz odcinek $OQ$ jest promieniem okręgu.

Zatem ${\left|OQ\right|}^2=\left|CQ\right|·\left|BQ\right|$, czyli $2^2=1·\left|BQ\right|$.

Stąd $\left|BQ\right|-\left|CQ\right|=4-1=3$.

Ćwiczenie 3

Na rysunku poniżej przedstawiono trójkąt Reuleaux.

R19KF8BJ6iA5z

Trójkąt Reuleaux to trójkąt powstały z części wspólnej trzech równych okręgów, przy czym okręgi te są położone w ten sposób, że punkt przecięcia dowolnych dwóch jest jednocześnie środkiem trzeciego okręgu. Zatem trójkąt ten składa się z trzech łuków okręgów go tworzących. Rysunek przedstawia trójkąt Reuleaux o wierzchołkach $A$, $B$ oraz $P$. Wierzchołki połączono ze sobą trzema odcinkami, przy czym podpisano, że odcinek $AB$ jest długości $2$.

R11d04GiskKzg

Wybierz jedno nowe słowo poznane podczas dzisiejszej lekcji i ułóż z nim zdanie.

2

Ćwiczenie 5

Na trójkącie równobocznym $ABC$ opisano okrąg o środku w punkcie $O$ i poprowadzono styczne do tego okręgu w wierzchołkach trójkąta. Styczne te przecięły się parami odpowiednio w punktach $P$, $Q$, $R$. Oblicz promień okręgu, jeżeli $\left|OP\right|=6$.

Pokaż rozwiązanie

R1QrYJVwlILp2

Na rysunku przedstawiono okrąg o środku w punkcie $O$. W okrąg wpisano trójkąt $ABC$ i  wykreślono promień okręgu, który jest odcinkiem $OB$. Przez każdy wierzchołek trójkąta wpisanego w okrąg przeprowadzono linią przerywaną prostą styczną w danym punkcie do okręgu. Punkty przecięcia tych prostych również opisano. Punkt przecięcia poziomej prostej przechodzącej przez punkt $C$ oraz ukośnej prostej przechodzącej przez punkt $A$ to punkt $Q$. Punkt przecięcia ukośnych prostych przechodzących przez punkty $A$ oraz $B$ to punkt $R$. Punkt przecięcia ukośnej prostej przechodzącej przez punkt $B$ oraz poziomej prostej przechodzącej przez punkt $C$ to punkt $P$. Ze środka okręgu wyprowadzono linią przerywaną odcinek $OP$ o długości $6$.

Zauważmy, że promień $OB$ jest prostopadły do stycznej $PR$, a odcinek $OP$ zawiera się w dwusiecznej kąta $BPC$.

Zatem $\sin {30}^{\circ }=\frac{\left|OB\right|}{6}$.

Stąd promień jest równy $3$.

1

Ćwiczenie 9

R1480Nl00ygEg

RtUvLFKSHU0wX

Wskaż fałszywą równość: Możliwe odpowiedzi: 1. długość odcinka, B E, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, B F, koniec długości odcinka, 2. długość odcinka, A D, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, C F, koniec długości odcinka, 3. długość odcinka, B C, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, E B, koniec długości odcinka, plus, długość odcinka, G C, koniec długości odcinka, 4. długość odcinka, D H, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, D C, koniec długości odcinka, minus, długość odcinka, G C, koniec długości odcinka

RQCuCB4zLaoip

Punkt P leży poza okręgiem. Ile stycznych do okręgu można poprowadzić przechodzących przez ten punkt? Możliwe odpowiedzi: 1. zero, 2. jedną, 3. dwie, 4. trzy

3

Ćwiczenie 12

R1SQrvcWg8fFz

Ilustracja

RHV5o24ueGw2c

Na rysunku powyżej punkty: A, B, C i D są wierzchołkami kwadratu o boku długości jeden. Pomarańczowe łuki są łukami okręgów o takich samych promieniach i stycznych zewnętrznie odpowiednio w punktach: A, B, C i D. Ponadto pomarańczowe łuki są styczne do zielonych boków kwadratu. Oblicz pole tego kwadratu. Pole kwadratu równe jest: 1. P, równa się, nawias osiem, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. P, równa się, nawias cztery, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. P, równa się, nawias sześć, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. P, równa się, nawias osiem, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. P, równa się, nawias dwa, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. P, równa się, nawias dwa, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego

Na rysunku powyżej punkty: A, B, C i D są wierzchołkami kwadratu o boku długości jeden. Pomarańczowe łuki są łukami okręgów o takich samych promieniach i stycznych zewnętrznie odpowiednio w punktach: A, B, C i D. Ponadto pomarańczowe łuki są styczne do zielonych boków kwadratu. Oblicz pole tego kwadratu. Pole kwadratu równe jest: 1. P, równa się, nawias osiem, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. P, równa się, nawias cztery, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. P, równa się, nawias sześć, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. P, równa się, nawias osiem, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. P, równa się, nawias dwa, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. P, równa się, nawias dwa, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego

R1A7xz8Mr6be3

Uzupełnij odpowiedź klikając

Uzupełnij odpowiedź klikając

1

Ćwiczenie 13

Rozważmy dwa okręgi. Pary punktów $P$, $Q$ oraz $R$, $S$ leżą odpowiednio na dwóch wspólnych stycznych zewnętrznych do tych okręgów, jak na rysunku.

R1A3UVzQp0bkX

Na ilustracji przedstawiono dwa okręgi. Poprowadzono dwie proste. Pierwsza prosta jest styczna do pierwszego okręgu w punkcie P, oraz do drugiego w punkcie Q. Druga prosta jest styczna do okręgu pierwszego w punkcie R, oraz do drugiego w punkcie S. Połączono punkt R z punktem Q. Odcinek RQ przecina okrąg pierwszy w punkcie B, oraz okrąg drugi w punkcie A.

Przez punkty $Q$ i $R$ poprowadzono prostą, która przecięła te okręgi odpowiednio w punktach $A$ i $B$. Wykaż, że $\left|AQ\right|=\left|BR\right|$.

Pokaż rozwiązanie

Korzystając z potęgi punktu względem okręgu możemy zapisać: $\left|QR\right|·\left|QB\right|={\left|PQ\right|}^2$ oraz $\left|QR\right|·\left|AR\right|={\left|RS\right|}^2$. Ale $\left|QB\right|=\left|AQ\right|+\left|AB\right|$ oraz $\left|AR\right|=\left|BR\right|+\left|AB\right|$. Ponieważ odcinki stycznych $RS$ i $PQ$ są równe, więc $\left|QR\right|·\left(\left|AQ\right|+\left|AB\right|\right)=\left|QR\right|·\left(\left|BR\right|+\left|AB\right|\right)$. Stąd $\left|AQ\right|=\left|BR\right|$.

1

Ćwiczenie 14

Wykaż równość odcinków $AP$ i $BP$, wyznaczonych na stycznych do trzech przecinających się okręgów, poprowadzonych z punktu przecięcia się dwóch siecznych $RS$ i $MN$, jak na poniższym rysunku.

Rd8iM0uydirpe

Na ilustracji przedstawiono trzy okręgi. Pierwszy okręg, przecina się z drugim w punktach R i S. Drugi okrąg przecina się z trzecim w punktach M i N. Poprowadzono proste $RS$, oraz $MN$, przecinające się w punkcie P, znajdującym się nad okręgami. Punkt P połączono z punktem A, znajdującym się na pierwszym okręgu, oraz z punktem B, znajdującym się na na okręgu trzecim. Punkty A i B znajdują się w górnych częściach okręgów.

Pokaż rozwiązanie

Wystarczy trzykrotnie skorzystać z twierdzenia o stycznej i siecznej. Mamy: $\left|PS\right|·\left|PR\right|={\left|PA\right|}^2$, $\left|PS\right|·\left|PR\right|=\left|PN\right|·\left|PM\right|$ oraz $\left|PN\right|·\left|PM\right|={\left|PB\right|}^2$. Korzystając z przechodniości relacji równości mamy: ${\left|PA\right|}^2={\left|PB\right|}^2$. Stąd teza.

2

Ćwiczenie 15

Dane są dwa okręgi: o środku $S_1$ i promieniu $r$ oraz o środku $S_2$ i promieniu $R$ takie, że odległość ich środków jest równa $D$. Na prostej łączącej środki obu tych okręgów leży taki punkt $P$, dla którego potęga względem obu okręgów jest równa. Wyznacz odległość $d$ punktu $P$ od środka $S_1$.

Pokaż rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1EE3Mb5zP2tP

Na ilustracji przedstawiono dwa okręgi o środkach w punktach $S_1$ i $S_2$. Poprowadzono prostą przechodzącą przez środki okręgów, przez punkt Q leżący na okręgu pierwszym, oraz przez punkt R leżący na okręgu drugim. Pomiędzy okręgami, na środku prostej łączącej środki leży punkt P.

Wtedy: $\left|P{S}_1\right|=d$, $\left|Q{S}_1\right|=r$, $\left|R{S}_2\right|=R$, $\left|S_1{S}_2\right|=D$.

Zadaną równość potęg punktu $P$ względem obu okręgów możemy zapisać w postaci $\left(d+r\right)·\left(d-r\right)=\left(D-d+R\right)·\left(D-d-R\right)$. Po rozwinięciu otrzymujemy $d^2-r^2=D^2-2dD+d^2-R^2$. Stąd $d=\frac{D^2+r^2-R^2}{2D}$.

2

Ćwiczenie 16

Rozważmy dwa okręgi: o środkach w punktach $S_1$ i $S_2$ i promieniach odpowiednio $r$ i $R$. Niech $P$ będzie punktem leżącym na prostej $S_1{S}_2$, dla którego potęga względem obu okręgów jest taka sama. Wykaż, że dla każdego punktu leżącego na prostopadłej do prostej $S_1{S}_2$ i przechodzącej przez punkt $P$, potęga względem obu okręgów jest równa

Pokaż rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku oraz $\left|P{S}_1\right|=a$, $\left|P{S}_2\right|=b$, $\left|M{S}_1\right|=c$, $\left|M{S}_2\right|=d$.

RW2026YUlinbB

Na ilustracji przedstawiono dwa okręgi, o środkach w punktach $S_1$ i $S_2$. Przez środki okręgów przechodzi prostą L, na której zaznaczono punkt P znajdujący się między okręgami. Zaznaczono punkt M, leżący na prostej prostopadłej do prostej L, przechodzący przez punkt P. Kolorem różowym zaznaczono odcinek $M{S}_1$, oraz $M{S}_2$.

Wtedy $c^2=a^2+{\left|MP\right|}^2$ oraz $d^2=b^2+{\left|MP\right|}^2$. Z równości potęg punktu $P$ względem obu okręgów wynika, że $\left(a+r\right)\left(a-r\right)=\left(b+R\right)\left(b-R\right)$, czyli $a^2-r^2=b^2-R^2$.

Zauważmy, że potęgę punktu $M$ względem okręgu o środku $S_1$ możemy zapisać jako $\left(c+r\right)\left(c-r\right)$. Wtedy
$\left(c+r\right)\left(c-r\right)=c^2-r^2=a^2+{\left|MP\right|}^2-r^2=$
$=a^2-r^2+{\left|MP\right|}^2=b^2-R^2+{\left|MP\right|}^2=$
$=d^2-R^2=\left(d+R\right)\left(d-R\right)$.
Ale ostatni iloczyn jest potęgą punktu $M$ względem okręgu o środku $S_2$. Wobec dowolności wyboru punktu $M$ otrzymujemy tezę.

Warto nadmienić, że prostą o tej własności nazywamy prostą potęgową lub osią potęgową dwóch okręgów.

3

Ćwiczenie 19

Punkt $O$ jest środkiem okręgu, w którym $\left|PR\right|=12$, $\left|PN\right|=9$, $\left|PQ\right|=15$, jak na rysunku.

RzrlCPogxPhRK

Na ilustracji przedstawiono okrąg o środku w punkcie O. Zaznaczono średnicę łączącą punkty M i N, oraz cięciwę łączącą punkty Q i R. Zaznaczono punkt P w miejscu przecięcia średnicy i cięciwy.

Promień tego okręgu jest równy

R1DgEPvhsBjJs

Możliwe odpowiedzi: 1. dwadzieścia, 2. osiemnaście początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. czternaście początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. trzynaście

3

Ćwiczenie 20

Niech $P$ będzie punktem wspólnym cięciw $MN$ i $QR$ danego okręgu, jak na rysunku

R1DlPVEfPhdiT

Na ilustracji przedstawiono okrąg, na którym zaznaczono dwie przecinające się cięciwy w punkcie P. Na okręgu zaznaczono cztery punkty. Cięciwa pierwsza łączy punkt Q z punktem R. Cięciwa druga łączy punkt M z punktem N.

Uzasadnij, że $\left|PM\right|·\left|PN\right|=\left|PQ\right|·\left|PR\right|$.

Ułóż w kolejności etapy dowodu.

R4TvdcSlOhcVc

Elementy do uszeregowania: 1. Zatem trójkąty M P Q i R P N mają dwie pary kątów równych., 2. Na mocy cech k k k stwierdzamy, że trójkąty te są podobne., 3. Zauważmy, że kąty wpisane M Q R i M N R są oparte na tym samym łuku okręgu, zatem są równe., 4. Poprowadźmy odcinki Q M i N R i rozważmy trójkąty M P Q i R P N., 5. Stąd długość odcinka, P M, koniec długości odcinka, razy, długość odcinka, P N, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, P Q, koniec długości odcinka, razy, długość odcinka, P R, koniec długości odcinka, co należało wykazać., 6. Korzystając z podobieństwa, możemy zapisać w szczególności, że początek ułamka, długość odcinka, P R, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, P N, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, długość odcinka, M P, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, P Q, koniec długości odcinka, koniec ułamka.

Elementy do uszeregowania: 1. Zatem trójkąty M P Q i R P N mają dwie pary kątów równych., 2. Na mocy cech k k k stwierdzamy, że trójkąty te są podobne., 3. Zauważmy, że kąty wpisane M Q R i M N R są oparte na tym samym łuku okręgu, zatem są równe., 4. Poprowadźmy odcinki Q M i N R i rozważmy trójkąty M P Q i R P N., 5. Stąd długość odcinka, P M, koniec długości odcinka, razy, długość odcinka, P N, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, P Q, koniec długości odcinka, razy, długość odcinka, P R, koniec długości odcinka, co należało wykazać., 6. Korzystając z podobieństwa, możemy zapisać w szczególności, że początek ułamka, długość odcinka, P R, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, P N, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, długość odcinka, M P, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, P Q, koniec długości odcinka, koniec ułamka.

Słownik