3. Wzajemne położenie dwóch okręgów

R173WwVMUG9Sl

Nie sposób nie dostrzec na poniższym zdjęciu szeregu obiektów geometrycznych, w szczególności okręgów i ich łuków.

RBcC2GRwyO4CA

Zdjęcie przedstawia bogato zdobiony zewnętrzny portal we włoskim pałacu Dożów. Po bokach wejścia znajdują się kolumny z wkomponowanymi w nie rzeźbami przedstawiającymi postacie. Nad wejściem widnieje dużych rozmiarów rzeźba przedstawiająca papieża klękającego przed gryfem. Gryf trzyma w łapie otwartą księgę. Nad tą rzeźbą znajduje się bogato zdobiony ornamentami witraż, nad którym dalej pną się skomplikowane i gęsto zdobione ornamentami rzeźby przedstawiające świętych oraz anioły. Po bokach pną się wysoko strzeliste kolumny. — Pałac Dożów w Wenecji
Źródło: Luca Aless, dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY-SA 4.0.

Te obiekty tworzą maswerk – geometryczny wzór architektoniczny o charakterze dekoracyjnym, wykuty z kamienia lub zrobiony z cegieł, używany do wypełnienia górnej części gotyckiego okna, witrażu, rozety itp.

Nie musimy jednak od razu jechać do Wenecji, by podziwiać kunszt ówczesnych budowniczych katedr – wystarczy wybrać się chociażby do Malborka. Również tam znajdziemy maswerki, których przewodnim motywem architektonicznym są okręgi, na przykład takie, jak na poniższym zdjęciu.

R11LnBj1OeEMW

Zdjęcie przedstawia fragment dziedzińca zamku w Malborku. Po środku dziedzińca stoi zadaszona studnia. — Zamek w Malborku
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC 0 1.0.

Poniższy szkic pokazuje elementy konstrukcji maswerków z malborskiego zamku.

RuQWdkMl7uULV

Ilustracja przedstawia maswerk przypominający fraktal. Maswerk składa się z ramy, wewnątrz której umieszczone są okręgi. Rama ma kształt połowy migdała – jakby szpiczastą część migdała umieścić na górze, ustawiając go pionowo, i obciąć migdał w połowie poziomo. Ta górna część ma właśnie taki kształt jak rama maswerku. Większą część wnętrza ramy zajmuje okrąg, w który wpisane są cztery mniejsze nachodzące na siebie okręgi w taki sposób, że dwa są po bokach, jeden na górze, jeden na dole. Górny wewnętrzny okrąg i dolny leżą równo pod sobą i każdy z nich ma średnicę dwukrotnie mniejszą od dużego okręgu. Boczne okręgi również leżą w jednej linii i również mają średnice dwukrotnie mniejsze od średnicy dużego okręgu. Poniżej dużego okręgu po jego prawej i lewej stronie są dwa mniejsze migdałowate kształty z wpisanymi poniżej dużymi okręgami, a poniżej tych okręgów są po ich lewej i prawej stronie umieszczone półkola. Między dwoma mniejszymi migdałowatymi ramami znajduje się kolejny okrąg, który ma z nimi po jednym punkcie wspólnym. Ma też jeden punkt wspólny z dużym okręgiem leżącym nad nim. Na ilustracji wyróżnione są także wszystkie środki okręgów i punkty wspólne oraz wyrysowane są linie przerywane przechodzące przez niektóre z tych środków. Linie przerywane tworzą prostokąty.

Twoje cele

Będziesz badał wzajemne położenie dwóch okręgów i sformułujesz kryteria pozwalające to położenie określić.
Skonstruujesz okręgi styczne do danych okręgów.
Zastosujesz poznane zależności w sytuacjach typowych i problemowych.

Rozważmy dwa okręgi, których środkami są punkty $O_{1}$ i $O_{2}$ , a ich promienie są równe odpowiednio $r_{1}$ i $r_{2}$ .

Przyjmiemy wówczas następujące definicje.

Okręgi styczne zewnętrznie

Definicja: Okręgi styczne zewnętrznie

Powiemy, że okręgi $O_{1}$ i $O_{2}$ są styczne zewnętrznie, jeżeli mają jeden punkt wspólny i koła ograniczone tymi okręgami nie mają żadnych innych punktów wspólnych. Punkt wspólny tych okręgów nazywamy ich punktem styczności.

R4eiCyCz6s9RH

Rysunek przedstawia dwa okręgi obok siebie. Lewy okrąg o środku w punkcie O dwa oraz prawy, mniejszy okrąg o punkcie w środku O jeden. Oba okręgi mają jeden zaznaczony punkt wspólny w miejscu, w którym się stykają.

Okręgi styczne wewnętrznie

Definicja: Okręgi styczne wewnętrznie

Powiemy, że okręgi $O_{1}$ i $O_{2}$ są styczne wewnętrznie, jeżeli mają jeden punkt wspólny, a koła ograniczone tymi okręgami mają nieskończenie wiele punktów wspólnych.

Rr17RPZuoSjmL

Rysunek przedstawia dwa okręgi jeden w drugim. Większy, zewnętrzny okrąg O dwa oraz mniejszy okrąg O jeden, który położony jest wewnątrz dużego okręgu. Oba okręgi mają jeden punkt wspólny po prawej stronie.

Zauważmy, że nie istnieją okręgi o równych promieniach, które byłyby styczne wewnętrznie.

Zauważmy, że okręgi mogą mieć dwa punkty wspólne – powiemy wówczas, że okręgi te przecinają się.

R18BDOufbMNgv

Na ilustracji przedstawione są dwa okręgi z zaznaczonymi środkami. Po lewej stronie większy O dwa i po prawej stronie mniejszy O jeden. Okręgi nachodzą na siebie, przecinając się w dwóch punktach.

Dwa okręgi mogą nie mieć żadnego punktu wspólnego – mamy wówczas dwa istotnie różne położenia takich okręgów, podobnie jak w przypadku okręgów stycznych. Jednym z położeń jest takie, w którym koła ograniczone tymi okręgami nie mają punktów wspólnych – powiemy wówczas, że każdy z tych okręgów leży na zewnątrz drugiego.

R17kamH8Rn7VR

Na ilustracji przedstawione są dwa okręgi z zaznaczonymi środkami. Po lewej stronie większy O dwa i po prawej stronie mniejszy O jeden. Okręgi leżą w niewielkiej odległości od siebie i nie mają punktów wspólnych. Są rozłączne.

Drugim położeniem, przy którym dwa okręgi nie mają punktów wspólnych jest takie, w którym koło, ograniczone jednym z okręgów, leży wewnątrz drugiego z kół.

RsvGDwmr8Q3hm

Na ilustracji przedstawione są dwa okręgi z zaznaczonymi środkami. Większy O dwa i mniejszy O jeden. Mniejszy okrąg leży w większym. Okręgi nie mają punktów wspólnych. Są rozłączne.

Okręgi współśrodkowe

Definicja: Okręgi współśrodkowe

Jeżeli jeden z okręgów leży wewnątrz drugiego z okręgów w taki sposób, że ich środki się pokrywają, to powiemy, ze okręgi te są współśrodkowe.

Rozważmy teraz dwa okręgi o promieniach $r$ oraz $R$ . Przyjmijmy, że $R ⩾ r$ . Możemy wyróżnić kilka sytuacji wzajemnego położnia takich okręgów.

RjugGYr10cHfu

Ilustracja przedstawia dwie sytuacje. Pierwsza prezentuje dwa różne okręgi, które są rozłączne, czyli nie mają żadnych punktów wspólnych. Promień mniejszego okręgu wynosi małe r, a dużego okręgu wynosi wielkie R. Promienie narysowane są poziomo. Sytuacja druga przedstawia dwa okręgi takie jak poprzednio, jednak inaczej względem siebie położone. Tym razem okręgi są styczne do siebie, czyli mające jeden punkt wspólny. Tutaj promienie również narysowane są poziomo i tworzą odcinek o długości małe r plus wielkie R.

RF6Ka9HjdFCLf

Ilustracja przedstawia trzy sytuacje. Pierwsza prezentuje dwa różne okręgi, które się przecinają, czyli mają dwa punkty wspólne. Promień mniejszego okręgu wynosi małe r, a dużego okręgu wynosi wielkie R. Promienie narysowane są poziomo i nachodzą na siebie w części wspólnej ograniczonej przez okręgi. Sytuacja druga przedstawia dwa okręgi takie jak poprzednio, jednak inaczej względem siebie położone. Tym razem okręgi są styczne wewnętrznie, czyli mają jeden punkt wspólny. Tutaj promienie również narysowane są poziomo i nachodzą na siebie. Sytuacja trzecia przedstawia również te same okręgi, jednak tym razem są one rozłączne wewnętrznie, to znaczy mniejszy leży w większym, ale nie mają żadnych punktów wspólnych. Ich promienie narysowane są poziomo i nachodzą na siebie.

Wzajemne położenie dwóch okręgów charakteryzują poniższe twierdzenia, które ze względu na ich intuicyjny charakter, przyjmujemy bez dowodu.

Okręgi wzajemnie zewnętrzne

Twierdzenie: Okręgi wzajemnie zewnętrzne

Jeżeli odległość środków dwóch okręgów jest większa od sumy ich promieni, to każdy z tych okręgów leży na zewnątrz drugiego.

Okręgi styczne zewnętrznie

Twierdzenie: Okręgi styczne zewnętrznie

Jeżeli odległość środków dwóch okręgów jest równa sumie ich promieni, to okręgi te są styczne zewnętrznie.

Okręgi styczne wewnętrznie

Twierdzenie: Okręgi styczne wewnętrznie

Jeżeli odległość środków dwóch okręgów, o różnych promieniach, jest równa wartości bezwzględnej różnicy tych promieni, to okręgi te są styczne wewnętrznie.

Okręgi wzajemnie wewnętrzne

Twierdzenie: Okręgi wzajemnie wewnętrzne

Jeżeli odległość środków dwóch okręgów jest mniejsza od wartości bezwzględnej różnicy ich promieni, to okrąg o mniejszym promieniu leży wewnątrz okręgu o większym promieniu.

Okręgi przecinające się

Twierdzenie: Okręgi przecinające się

Jeżeli odległość środków dwóch okręgów jest większa od wartości bezwzględnej różnicy ich promieni, a mniejsza od sumy promieni, to okręgi te przecinają się.

Zauważmy, że prawdziwe są również twierdzenia odwrotne do każdego z powyższych twierdzeń.

Ważne!

Moglibyśmy zapisać każde z powyższych twierdzeń bez konieczności wykorzystywania pojęcia wartości bezwzględnej, o ile wprowadzimy porządek w długościach promieni. Sformułujemy wówczas powyższe twierdzenia jako odpowiednie warunki równoważne.

Wzajemne położenie okręgów

Twierdzenie: Wzajemne położenie okręgów

Dane są okręgi o środkach w punktach $O_{1}$ i $O_{2}$ i promieniach $r_{1}$ i $r_{2}$ , gdzie $r_{1} \leq r_{2}$ . Wtedy:

okręgi $O_{1}$ i $O_{2}$ są styczne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy $|O_{1} O_{2}| = r_{1} + r_{2}$ ;
okręgi $O_{1}$ i $O_{2}$ , o różnych promieniach, są styczne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy $|O_{1} O_{2}| = r_{2} - r_{1}$ ;
okręgi $O_{1}$ i $O_{2}$ przecinają się w dwóch punktach wtedy i tylko wtedy, gdy $r_{2} - r_{1} < |O_{1} O_{2}| < r_{1} + r_{2}$ ;
każdy z okręgów $O_{1}$ i $O_{2}$ leży na zewnątrz drugiego wtedy i tylko wtedy, gdy $|O_{1} O_{2}| > r_{1} + r_{2}$ ;
okrąg $O_{1}$ leży wewnątrz okręgu $O_{2}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $|O_{1} O_{2}| < r_{2} - r_{1}$ .

Okazuje się, że już w czasach starożytnych badano zagadnienie szczególnego położenia większej liczby okręgów. Już w $III$ wieku $p. n. e.$ Apoloniusz z Pergi badał istnienie okręgu stycznego do trzech danych okręgów. Co prawda, rozwiązanie postawionego przez Apoloniusza problemu zawdzięczamy Kartezjuszowi, ale to Frederick Soddy, laureat Nagrody Nobla w dziedzinie chemii, zasłużył na to, by jego imieniem nazwać okręgi styczne do trzech danychokręgi Soddy'egookręgi styczne do trzech danych, wzajemnie stycznych okręgów. A swoją drogą ciekawe, jak bez znajomości dokonań Kartezjusza radzili sobie budowniczowie gotyckich zabytków, w szczególności twórcy maswerkówmaswerkmaswerków.

Przykład 1

Dane są dwa okręgi: jeden o promieniu $R = 6$ i drugi o promieniu $r = 4$ .

R1MquYf63QWke

Ilustracja przedstawia dwie sytuacje. Pierwsza prezentuje dwa różne okręgi styczne wewnętrznie. Ich promienie narysowane są poziomo i nachodzą na siebie. Promień dużego okręgu wynosi 6, a małego 4. Na rysunku oznaczona jest również różnica między obiema długościami, czyli część promienia dużego koła, która nie nachodzi na siebie z promieniem małego koła. Ta część ma długość 2. Sytuacja druga przedstawia również te same okręgi, jednak tym razem są one rozłączne wewnętrznie. Ich promienie narysowane są poziomo i nachodzą na siebie. Promień dużego koła podzielony jest na trzy odcinki o długościach kolejno od lewej: 1, 4 oraz 1, przy czym tylko w środkowej części promienie obu kół nakładają się na siebie.

Jeśli odległość środków tych okręgów jest równa $2$ , to okręgi są styczne wewnętrznie (pierwszy rysunek). Jeśli natomiast odległość ta jest równa $1$ , to okręgi nie mają punktów wspólnych, ponieważ mniejszy okrąg leży wewnątrz obszaru ograniczonego większym okręgiem (drugi rysunek).

Przykład 2

Okręgi o promieniach długości: $1$ , $2$ i $3$ oraz środkach odpowiednio w punktach: $A$ , $B$ , $C$ są parami styczne zewnętrznie (tzn. każde dwa okręgi są do siebie styczne zewnętrznie). Oblicz pole trójkąta $A B C$ .

RTnv7QkYBMTIg

Ilustracja przedstawia trzy okręgi parami styczne zewnętrznie. Okrąg najmniejszy ma środek w punkcie A, okrąg średni ma środek w punkcie B, okrąg największy ma środek w punkcie C. Pomiędzy środkami wykreślono linią przerywaną trójkąt prostokątny ABC, przy czym przy wierzchołku A znajduje się kąt prosty.

Rozwiązanie

Z warunku zewnętrznej styczności wynika, że: $|A B| = 1 + 2 = 3$ , $|B C| = 2 + 3 = 5$ , $|A C| = 1 + 3 = 4$ .

Mamy zatem:

${|A B|}^{2} + {|A C|}^{2} = {|B C|}^{2}$ .

Na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa trójkąt $A B C$ jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku $A$ . Stąd jego pole jest równe:

$P = \frac{1}{2} |A B| \cdot |A C| = 6$ .

Odpowiedź: Pole trójkąta $A B C$ jest równe $6$ .

Przykład 3

Dwa okręgi o środkach w punktach $O_{1}$ i $O_{2}$ i promieniach $r_{1}$ i $r_{2}$ przecinają się w punktach $A$ i $B$ .

Pokażemy, że ich wspólna cięciwa $A B$ jest prostopadła do odcinka łączącego środki okręgów.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że trójkąty $O_{1} A O_{2}$ i $O_{1} B O_{2}$ są przystające na mocy cechy $b b b$ .

R4Qu2V7yLTD2h

Zauważmy, że wówczas kąty $α$ i $β$ są równe, zatem $O_{1} O_{2}$ jest dwusieczną w trójkącie równoramiennym $A O_{2} B$ i tym samym zawiera wysokość tego trójkąta. Stąd teza.

Przykład 4

Dany jest okrąg o środku $O_{1}$ i promieniu $r_{1}$ .

Wyznaczymy liczbę okręgów o promieniu $r_{1}$ potrzebnych do otoczenia danego okręgu, tj. stycznych zewnętrznie do danego okręgu i takich, że każde dwa sąsiednie są styczne zewnętrznie, jak na rysunku.

R5GzgJqO2SpWd

Ilustracja przedstawia duży okrąg w umiejscowiony w centrum oraz osiem mniejszych, otaczających go okręgów. Wszystkie razem układają się w uproszczony kształt kwiatka. Każdy mały okrąg ma jeden wspólny punkt z dużym okręgiem oraz po jednym punkcie wspólnym z okręgami leżącymi po jego obu stronach.

Rozwiązanie:

Rozważmy dany okrąg o środku $O_{1}$ i promieniu $r_{1}$ i dwa sąsiednie okręgi o zadanej własności, o środkach w punktach odpowiednio $P$ i $Q$ , jak na rysunku.

RgGHhaKMQIjfI

Ilustracja przedstawia trzy okręgi o takim samym promieniu z zaznaczonymi środkami: po lewej P, po prawej styczny do niego Q, oba leżące na tej samej osi i pod nimi znajduje się okrąg O jeden styczny do nich obu. Środki okręgów połączone są linią przerywaną, tworząc trójkąt równoboczny O jeden Q P.

Zauważmy, że wówczas trójkąt $P O_{1} Q$ jest trójkątem równobocznym.

Zatem $|∢ P O_{1} Q| = \frac{1}{6} \cdot 360 °$ .

Oznacza to, że do otoczenia danego okręgu powinniśmy sześciokrotnie odmierzyć taki sam kąt i dorysować okręgi, z których dwa się „powtórzą”.

Stąd liczba okręgów niezbędnych do otoczenia jest równa $6$ .

Przykład 5

Dane są dwa współśrodkowe okręgi o promieniach odpowiednio $12$ i $8$ .

Wyznaczymy promień okręgu, który jest styczny do danych okręgów.

Rozwiązanie:

Model, który narzuca się przy rozwiązaniu naszego problemu, jest przedstawiony na poniższym rysunku.

RvmmSk5d454pv

Ilustracja przedstawia duży okrąg, a w nim dwa mniejsze. Wszystkie mają wspólną oś poziomą. Średni, wewnętrzny okrąg, jest styczny do dużego okręgu, a ich punkt wspólny znajduje się po prawo oraz jest styczny także do małego okręgu. Ich punkt wspólny z kolei leży po lewej stronie średniego okręgu i prawej stronie małego okręgu. Mały okrąg ma wspólny środek z dużym okręgiem. Suma promienia małego okręgu i średnicy średniego okręgu daje długość promienia dużego okręgu.

Jeśli przez $r$ oznaczymy szukany promień, to mamy spełnioną równość: $8 + 2 r = 12$ .

Stąd $r = 2$ .

Mniej oczywistym jest model, w którym szukany okrąg jest styczny w sposób przedstawiony na poniższym rysunku.

RbVdko9n2o6ES

Ilustracja przedstawia duży okrąg, a w nim dwa mniejsze. Wszystkie mają wspólną oś poziomą. Średni, wewnętrzny okrąg, leży po prawo i jest styczny do dużego okręgu oraz do małego okręgu, przy czym mały okrąg jest też wewnętrznym okręgiem średniego i dużego okręgu. Punkt wspólny okręgów małego i średniego znajduje się po ich lewej stronie. Mały okrąg ma wspólny środek z dużym okręgiem.

Wówczas otrzymujemy: $2 r = 8 + 12$ .

Stąd $r = 10$ .

Polecenie 1

Uruchom aplet i przeanalizuj konstrukcje.

Rge3ffeUlQdOJ

Znając pojęcie dwóch okręgów stycznych, wprowadzimy zagadnienie trzech okręgów parami stycznych. Otóż możemy narysować na płaszczyźnie trzy takie okręgi, które będą styczne i żaden z nich nie będzie okręgiem wewnętrznym innego. Mając tak narysowane okręgi, możemy przejść do pojęcia okręgu Soddy’ego, czyli okręgu stycznego do trzech okręgów parami stycznych. Nazwijmy nasze okręgi: A, B, C. Niech okrąg A będzie na górze, okrąg B pod nim po lewo i okrąg C pod okręgiem A po prawo. Wszystkie one są parami styczne. Ich środki A, B, C łączymy trzema odcinkami. Mamy więc trójkąt BCA. Teraz przez środek A kreślimy prostą prostopadłą do podstawy trójkąta, czyli do odcinka BC. Dalej zaznaczamy punkt I, czyli punkt przecięcia prostej z okręgiem A. Następnie zaznaczamy punkty styczności okręgów. F niech będzie punktem wspólnym okręgów B i C. H punktem wspólnym okręgów C i A, natomiast G okręgów A i B. Następnie na prostej zaznaczamy punkt J, który jest punktem wewnętrznym okręgu B. Punkt J taki, że odcinek I J jest równy co do długości odcinkowi I A. Dalej rysujemy kolejną prostą, która przechodzi przez punkt F, czyli punkt wspólny okręgów B i C oraz przez punkt I, czyli punkt leżący na przecięciu pierwszej prostej i okręgu A. Druga prosta Przecina okrąg A w punkcie K. W przedostatnim kroku rysujemy kolejne dwie proste. Trzecia z kolei prosta przechodzi przez punkty K oraz środek okręgu A. Ostatnia, czwarta prosta, przechodzi przez punkty J oraz F, gdzie F to punkt wspólny okręgów B i C. Trzecia i czwarta prosta przecinają w punkcie, który nazwiemy L. Ostatni krok polega na narysowaniu okręgu Soddy’ego, czyli okręgu stycznego do okręgów A, B oraz C. Okrąg Soddy’ego ma środek w punkcie L, czyli przecięciu trzeciej i czwartej prostej oraz okrąg ten ma promień LK. Okrąg ten otacza okręgi A, B i C i ma z każdym z nich jeden punkt wspólny, który jest punktem styczności.

Polecenie 2

Naszkicuj trzy okręgi parami styczne zewnętrznie, których promienie są odpowiednio równe: $2$ , $4$ , $6$ .

Ri0gi793o0vOL

Polecenie 3

Oblicz promień okręgu Soddy’ego, tj. stycznego wewnętrznie do trzech parami stycznych zewnętrznie okręgów, których promienie są odpowiednio równe: $2$ , $4$ , $6$ .

Dany trójkąt jest prostokątny. Przeprowadź konstrukcję opisaną w aplecie przyjmując, że $B C$ jest przyprostokątną, np. tak jak na rysunku.

RVeHDIv7ov9q1

Rysunek przedstawia cztery okręgi. Jeden największy o środku L i trzy mniejsze w niego wpisane o środkach: C, A, B - okręgi podano w kolejności malejących promieni. Dalej, dla uproszczenia okręgi nazywać będziemy od ich środków. Punkty styczności to: K – punkt styczności okręgu L i A. Punkt I nakłada się na punkt G to punkt styczności A i B. P to punkt styczności B i C, H to punkt styczności A i C, środek L to punkt styczności L i C. Trójkąt prostokątny wykreślony na rysunku ma wierzchołki w punktach: K, P, L.

$12$

Polecenie 4

Zapoznaj się z poniższą prezentacją multimedialną, pokazującą jak rozwiązywać zadania dotyczące wzajemnego położenia prostych i okręgów, a następnie rozwiąż zadania.

R11wh2TKox3vV1

Polecenie 5

Z punktu $P$ oddalonego od środka okręgu o $10 cm$ poprowadzono styczne do okręgu, które przecięły się pod kątem $90 °$ (rysunek poniżej). Ile jest równy promień tego okręgu?

Rhf7olWyIyRCc

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie O. Poza okręgiem położony jest punkt P, w którym przecinają się dwie proste styczne do okregu. Proste przecinają się pod kątem prostym. Punkty styczności to A oraz B.

Promień okręgu jest równy $5 \sqrt{2} cm$ .

Polecenie 6

Jaka jest odległość środków dwóch okręgów stycznych wewnętrznie, jeżeli promień jednego z tych okręgów jest równy $4$ i jest o $3$ mniejszy od promienia drugiego okręgu?

Odległość środków dwóch okręgów stycznych wewnętrznie jest równa różnicy ich promieni i wynosi $3$ .

Polecenie 7

W trójkąt równoboczny wpisano okrąg. W jakim stosunku punkty styczności tego okręgu dzielą każdy z boków?

Punkty styczności dzielą boki trójkąta w stosunku $1 : 1$ .

Ćwiczenie 1

Oblicz promień okręgu stycznego zewnętrznie do trzech parami stycznych zewnętrznie okręgów, których promienie są odpowiednio równe: $1$ , $2$ , $3$ , jak na rysunku.

R14MYtOx3Oq7z

Rysunek przedstawia trzy okręgi parami styczne o promieniach kolejno: 1, 2, 3. Między ich środkami wyrysowano trójkąt prostokątny. Z każdego kąta tego trójkąta narysowano linią przerywaną dwusieczną, a punkt ich przecięcia jest środkiem czwartego okręgu stycznego do pozostałych trzech okręgów.

Środki trzech okręgów tworzą trójkąt prostokątny. Szukany okrąg jest styczny zewnętrznie do danych okręgów, jak na rysunku.

RhM2xREIWpDsB

Oznaczmy przez $x$ , $y$ , $r$ odpowiednio odległości środka okręgu od przyprostokątnych oraz szukany promień.

Wtedy możemy zastosować trzykrotnie twierdzenie Pitagorasa otrzymując równania: $x^{2} + y^{2} = {(1 + r)}^{2}$ , ${(4 - x)}^{2} + y^{2} = {(3 + r)}^{2}$ , $x^{2} + {(3 - y)}^{2} = {(2 + r)}^{2}$ .

Odejmując parami odpowiednie równania dostajemy: $16 - 8 x = 4 r + 8$ , $9 - 6 y = 2 r + 3$ .

Wyznaczając niewiadome $x$ , $y$ i wstawiając do pierwszego z równań otrzymujemy: ${(1 - \frac{r}{2})}^{2} + {(1 - \frac{r}{3})}^{2} = {(1 + r)}^{2}$ .

Stąd $r = \frac{6}{23}$ .

Ćwiczenie 2

Trzy okręgi o promieniach odpowiednio $1$ , $2$ , $3$ są parami styczne zewnętrznie. Ich środki są wierzchołkami trójkąta. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Skonstruujmy rysunek ilustrujący zadanie.

R17yIrc0ZlLS0

Rysunek przedstawia trzy okręgi parami styczne o promieniach kolejno: 1, 2, 3. Między ich środkami wyrysowano trójkąt prostokątny.

Z rysunku możemy wywnioskować, że boki naszego trójkąta mają odpowiednio długości: $3$ , $4$ , $5$ , a to oznacza, że trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym. Zatem promień $r$ okręgu wpisanego jest równy: $r = \frac{3 + 4 - 5}{2} = 1$ .

R15rsXPdqgp9U2

Ćwiczenie 3

RvVa8OGMssIwh2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Dwa współśrodkowe okręgi o promieniach $r_{1} = 10$ , $r_{2} = 17$ przecięto wspólną sieczną, której odległość od środków tych okręgów jest równa $8$ . Oblicz długość każdego z odcinków tej siecznej, zawartych między tymi okręgami.

Na rysunku przedstawiono dwa trójkąty prostokątne, wyznaczone przez promienie i połowy odpowiednich cięciw.

R5Hi4dwmn8bNs

Rysunek przedstawia dwa okręgi o wspólnym środku S. Okręgi przecina poziomy odcinek w taki sposób, że odległość od środka S do odcinka jest mniejsza, niż promień mniejszego okręgu. Odległość ta zaznaczona jest linią przerywaną. Z punktu S poprowadzone są linią przerywaną promienie obu okręgów w taki sposób, że ich końce znajdują w punktach przecięcia odcinka i tych okręgów.

Z twierdzenia Pitagorasa, zastosowanego do każdego z tych trójkątów, wynika w szczególności:

$8^{2} + x^{2} = 10^{2}$ oraz $8^{2} + y^{2} = 17^{2}$ , gdzie każdy z szukanych odcinków siecznej ma długość $y - x$ .

Ponieważ $x = 6$ oraz $y = 15$ , więc długość tych odcinków jest równa $9$ .

Ćwiczenie 6

Odcinek o końcach $P$ , $Q$ ma długość $2$ . Z końców tego odcinka zakreślono łuki okręgów, o promieniu $2$ , aż do ich przecięcia w punkcie $S$ . Oblicz promień $r$ okręgu, który jest styczny wewnętrznie do zakreślonych łuków i do odcinka $P Q$ , jak na rysunku.

R5q3zsfCLenxj

R1GGyeAjYkDwl

Podaj znane Ci sposoby na ustawienie dwóch okręgów o różnych promieniach względem siebie. W każdym przypadku opisz własnymi słowami w sposób ogólny, jaka jest odległość między ich środkami w stosunku do ich promieni: jest większa od ich sumy? Mniejsza? A może równa?

R1Af4aUJDIdJO3

Ćwiczenie 7

Zbadaj wzajemne położenie dwóch okręgów, mając dane odległość wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej ich środków i promienie r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Dopasuj, łącząc w pary. Okręgi są styczne zewnętrznie. Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziesięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, 2. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziewięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, 3. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, jedenaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 4. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwanaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 5. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, osiem, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery Okręgi są styczne wewnętrznie. Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziesięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, 2. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziewięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, 3. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, jedenaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 4. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwanaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 5. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, osiem, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery Okręgi przecinają się w dwóch różnych punktach. Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziesięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, 2. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziewięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, 3. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, jedenaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 4. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwanaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 5. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, osiem, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery Każdy z okręgów leży na zewnątrz drugiego. Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziesięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, 2. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziewięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, 3. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, jedenaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 4. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwanaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 5. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, osiem, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery Jeden z okręgów leży wewnątrz drugiego. Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziesięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, 2. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziewięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, 3. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, jedenaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 4. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwanaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 5. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, osiem, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery

Ćwiczenie 8

W dany okrąg o promieniu $R$ wpisano trzy okręgi o promieniu $r = 2 \sqrt{3} - 3$ w taki sposób, że wszystkie są wewnętrznie styczne do danego okręgu i każde dwa z nich są parami styczne zewnętrznie, jak na rysunku. Oblicz promień $R$ .

RlwLkXghyQagr

Rysunek przedstawia duży okrąg o środku w punkcie O i trzech mniejszych okręgach o takim samym promieniu, które są styczne wewnętrznie do dużego okręgu i jednocześnie są styczne zewnętrznie parami do siebie nawzajem. Środki małych okręgów znajdują się w punktach: P, Q, S, a pomiędzy nimi linią przerywaną wyrysowano trójkąt. Na rysunku zaznaczono także promień dużego koła, który przechodzi przez punkt Q.

Zauważmy, ze trójkąt $P Q S$ jest trójkątem równobocznym boku długości $2 r$ .

Odcinek $O Q$ ma długość $|O Q| = \frac{2}{3} \cdot (2 r) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 r \sqrt{3}}{3}$ .

Ale $R = |O Q| + r = r \cdot \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}$ .

Zatem $R = (2 \sqrt{3} - 3) \cdot \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3} = \frac{12 - 9}{3} = 1$ .

RJyB1EGD6pABS1

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

R1480Nl00ygEg

RtUvLFKSHU0wX

RQCuCB4zLaoip

R1L8yBydtHcUV1

Ćwiczenie 11

RE7DaoxyPfM7t2

Ćwiczenie 12

RxODD0vHshtGm2

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

R19j4RA8rv0LV

R1ebBHYrdNbwp

Ćwiczenie 15

RAqyOcR31TC4B

R1RRbRhlScxYK

Dane są promienie dwóch okręgów o środkach O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego oraz O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego oraz odległości między nimi. Pogrupuj dane ze względu na ilość przecięć. okręgi nie przecinają się Możliwe odpowiedzi: 1. małe r równa się dwa, wielkie R równa się pieć oraz wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, cztery, 2. małe r równa się dwa, wielkie R równa się trzy oraz wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, osiem, 3. małe r równa się pięć, wielkie R równa się dziesięć oraz wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, piętnaście, 4. małe r równa się jeden, wielkie R równa się siedem oraz wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, osiem, 5. małe r równa się pięć, wielkie R równa się osiem oraz wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwadzieścia, 6. małe r równa się trzy, wielkie R równa się sześć oraz wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, cztery okręgi przecinają się w jednym punkcie Możliwe odpowiedzi: 1. małe r równa się dwa, wielkie R równa się pieć oraz wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, cztery, 2. małe r równa się dwa, wielkie R równa się trzy oraz wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, osiem, 3. małe r równa się pięć, wielkie R równa się dziesięć oraz wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, piętnaście, 4. małe r równa się jeden, wielkie R równa się siedem oraz wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, osiem, 5. małe r równa się pięć, wielkie R równa się osiem oraz wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwadzieścia, 6. małe r równa się trzy, wielkie R równa się sześć oraz wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, cztery okręgi przecinają się w dwóch punktach Możliwe odpowiedzi: 1. małe r równa się dwa, wielkie R równa się pieć oraz wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, cztery, 2. małe r równa się dwa, wielkie R równa się trzy oraz wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, osiem, 3. małe r równa się pięć, wielkie R równa się dziesięć oraz wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, piętnaście, 4. małe r równa się jeden, wielkie R równa się siedem oraz wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, osiem, 5. małe r równa się pięć, wielkie R równa się osiem oraz wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwadzieścia, 6. małe r równa się trzy, wielkie R równa się sześć oraz wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, cztery

Ćwiczenie 16

R1SQrvcWg8fFz

RHV5o24ueGw2c

R1A7xz8Mr6be3

Słownik

maswerk

geometryczny wzór architektoniczny o charakterze dekoracyjnym, wykuty z kamienia lub zrobiony z cegieł, używany do wypełnienia górnej części gotyckiego okna, witrażu, rozety itp.

okręgi Soddy'ego

dwa okręgi styczne do danych trzech okręgów są nazywane okręgami Soddy’ego

2. Wzajemne położenie prostej i okręgu

4. Kąt wpisany i środkowy

3. Wzajemne położenie dwóch okręgów

Słownik