• Zdefiniujesz pierwiastki wielomianu.

• Obliczysz pierwiastki wielomianu w najprostszych przypadkach.

Pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$ jednej zmiennej $x$ nazywamy liczbę $a$ taką, że $W\left(a\right)=0$.

Wyznaczmy pierwiastki wielomianu $W\left(x\right)=\frac{2}{3}x+7$.

• Pierwiastkami tego wielomianu są rozwiązania równania $\frac{2}{3}x+7=0$.

• Jedynym rozwiązaniem tego równania jest liczba $\left(-\frac{21}{2}\right)$.

• Zatem wielomian $W\left(x\right)=\frac{2}{3}x+7$ ma jeden pierwiastek $x_1=-\frac{21}{2}$.

Wyznaczmy pierwiastki wielomianu $W\left(x\right)=3x^2+7x-11$.

• Szukamy rozwiązań równania $3x^2+7x-11=0$.

• Stosując znane metody rozwiązywania równań kwadratowych możemy łatwo obliczyć, że wielomian ten ma dwa pierwiastki rzeczywiste: $x_1=\frac{-7-\sqrt{181}}{6}$ oraz $x_2=\frac{-7+\sqrt{181}}{6}$.

Warto wyszukać w Wykładach z historii matematyki Marka Kordosa albo w internecie informacji na temat turnieju matematycznego z 1535 roku, w którym wzięło udział dwóch włoskich matematyków: Antonio Maria del Fiore i Niccolo Tartaglia. Kluczowe znaczenie miał podczas potyczki algorytm rozwiązywania niektórych typów równań z wielomianami trzeciego stopnia, opublikowany potem przez Girolamo Cardano w dziele Ars Magna.

Rozwiążemy równania:

a)  $x^3+64=0$.

Rozwiązanie:

Odejmujemy od obu stron równania liczbę $64$ i otrzymujemy równanie $x^3=-64$.

Jedyną liczbą spełniającą to równanie jest $x=\sqrt[3]{-64}=-4$.

b) $2x^4-162=0$

Rozwiązanie:

$2x^4=162$

$x^4=81$

Jedyną dodatnią liczbą, która spełnia to równanie, jest $x=\sqrt[4]{81}=3$, co wynika z definicji pierwiastka. Zauważmy, że jeżeli wykładnik $k$ potęgi $x^k$jest parzysty, to $x^k={\left(-x\right)}^k$, co oznacza, że jeśli liczba $3$ jest rozwiązaniem równania $x^4=81$, to również liczba $\left(-3\right)$ jest rozwiązaniem tego równania, bo ${\left(-3\right)}^4=3^4=81$. Równanie ma zatem dwa rozwiązania $x=3$ oraz $x=-3$.

c) $x^6+64=0$.

Rozwiązanie: Zauważmy, że to równanie jest sprzeczne, gdyż lewa strona tego równania jest sumą nieujemnej liczby $x^6$ oraz $64$. Jest więc nie mniejsza niż $64$ dla dowolnej liczby $x$. Nie może więc równać się $0$.

Rozwiążemy równanie $x^3+x^2-6x=0$.

Rozwiązanie:

Wyłączając $x$ przed nawias, otrzymujemy równanie

$x\left(x^2+x-6\right)=0$

którego lewa strona jest iloczynem dwóch czynników, a prawa jest równa zero. Zatem co najmniej jeden z tych czynników jest równy zero, czyli $x=0$ lub $x^2+x-6=0$. Rozwiązujemy drugie równanie.

$\Delta =1^2-4\cdot \left(-6\right)=25$

Ponieważ $\Delta >0$, więc równanie to ma dwa rozwiązania $x_1=\frac{-1-5}{2}=-3$ oraz $x_2=\frac{-1+5}{2}=2$. Rozwiązywane równanie ma więc trzy rozwiązania $x_1=0$, $x_2=-3$ oraz $x_3=2$.

Określimy liczbę pierwiastków wielomianupierwiastek wielomianupierwiastków wielomianu $W\left(x\right)=$$x^6+11x^4+x^2+3$

Rozwiązanie:

Zauważmy, że dla dowolnego $x$ liczby $x^6$, $11x^4$ oraz $x^2$ są nieujemne, ponieważ są potęgami o wykładniku parzystym. Suma liczb nieujemnych oraz liczby dodatniej $3$ jest zaś zawsze dodatnia. Oznacza to, że wielomian $W\left(x\right)$nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$ nazywamy taką liczbę rzeczywistą $a$, dla której zachodzi warunek $W\left(a\right)=0$.