2. Rozwiązywanie równań wielomianowych w postaci iloczynowej - Równania wielomianowe

RSRFxkYMM32wM

2. Rozwiązywanie równań wielomianowych zapisanych w postaci iloczynowej

Wzory skróconego mnożenia pozwalają zwykle na szybką zamianę wyrażenia algebraicznego zapisanego w postaci iloczynu na wyrażenie zapisane w postaci sumy albo na odwrót.

Jest to bardzo przydatne przy rozwiązywaniu równań. Zapisanie wyrażenia w postaci iloczynu pozwala na szybkie podanie jego pierwiastków, ponieważ aby iloczyn kilku czynników równał się zero wystarczy, aby jeden z tych czynników był równy zero.

Twoje cele

Rozwiążesz równania zapisane w postaci iloczynu równań liniowych lub kwadratowych.
Określisz krotność pierwiastka równania.
Sprowadzisz równania wyższych stopni do postaci iloczynu równań jak najmniejszego stopnia i podasz ich rozwiązania (jeżeli istnieją).

Równanie wielomianowe

Definicja: Równanie wielomianowe

Równaniem wielomianowym stopnia $n$ , $n \in ℕ$ nazywamy równanie, które można zapisać w postaci $W (x) = 0$ , gdzie $W (x)$ jest wielomianem stopnia $n$ .

Pierwiastek wielomianu

Definicja: Pierwiastek wielomianu

Pierwiastkiem wielomianu $W (x)$ nazywamy taką liczbę rzeczywistą $a$ , dla której zachodzi warunek $W (a) = 0$ .

Stąd rozwiązaniem równania $W (x) = 0$ są wszystkie pierwiastki wielomianu $W (x)$ .

Liczba rozwiązań równania wielomianowego

Twierdzenie: Liczba rozwiązań równania wielomianowego

Liczba pierwiastków niezerowego wielomianu $W (x)$ jednej zmiennej jest nie większa niż stopień wielomianu $W (x)$ .

Zobaczmy, jak sobie poradzić w pewnych szczególnych przypadkach, gdy równanie wielomianowe mamy zapisane jako iloczyn dwumianów.

Przykład 1

Znajdziemy rozwiązanie równania $x (x + 3) (x - 4) = 0$ .

Rozwiązanie:

Lewa strona równania jest iloczynem trzech czynników. Iloczyn równa się zero jeżeli przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero.

Czyli otrzymujemy:

$x = 0$ lub $x + 3 = 0$ lub $x - 4 = 0$ .

$x = 0$ lub $x = - 3$ lub $x = 4$

Równanie ma trzy rozwiązania $x = - 3$ , $x = 0$ , $x = 4$ .

Przykład 2

Znajdziemy rozwiązanie równania $x (x + 5) (x - 1) = 0$ .

Rozwiązanie:

Lewa strona równania jest iloczynem trzech czynników. Jeżeli iloczyn ten równa się zero, to co najmniej jeden z czynników jest równy zero.

Otrzymujemy:

x = 0

lub

x + 5 = 0

lub

x - 1 = 0 .

Stąd wynika, że równanie ma trzy rozwiązania:

x = 0

lub

x = - 5

lub

x = 1 .

Przykład 3

Rozwiążemy równanie ${(x - 3)}^{2} (x^{2} - 9) (4 - x^{2}) (x - 2) = 0$ .

Rozwiązanie:

Lewa strona jest iloczynem czterech czynników. Jeżeli iloczyn ten równa się zero, to co najmniej jeden z nich jest równy zero.

Otrzymujemy:

{(x - 3)}^{2} = 0

lub

(x^{2} - 9) = 0

lub

(4 - x^{2}) = 0

lub

(x - 2) = 0

Zatem:

x = 3

lub

x = 3

lub

x = 3

lub

x = - 3

lub

x = - 2

lub

x = 2

lub

x = 2

Stąd wynika, że nasze równanie ma cztery rozwiązania:

x = - 3

lub

x = - 2

lub

x = 2

lub

x = 3 .

Przyjrzyjmy się jeszcze raz równaniu z przykładu 3 i przekształćmy je równoważnie zapisując w postaci iloczynu dwumianów liniowych.

{(x - 3)}^{2} (x^{2} - 9) (4 - x^{2}) (x - 2) = 0

{(x - 3)}^{2} (x^{} - 3) (x + 3) (2 - x^{}) (2 + x) (x - 2) = 0

{(x - 3)}^{3} (x + 3) [- (x - 2^{})] (x + 2) (x - 2) = 0

- {(x - 3)}^{3} (x + 3) {(x - 2)}^{2} {(x + 2)}^{} = 0

O pierwiastku $x = 3$ możemy powiedzieć, że jest pierwiastkiem trzykrotnym (potrójnym) ponieważ czynnik $(x - 3)$ występuje w równaniu dokładnie trzy razy. O pierwiastku $x = 2$ możemy powiedzieć, że jest pierwiastkiem dwukrotnym (podwójnym), ponieważ czynnik $(x - 2)$ występuje w równaniu dokładnie dwa razy. Pierwiastki $x = - 3$ i $x = - 2$ są pierwiastkami jednokrotnymi (pojedynczymi).

Przykład 4

Ile pierwiastków rzeczywistych ma równanie $(x + 3) (x - 4) (x^{2} + 5) = 0$ ?

Lewa strona jest iloczynem trzech czynników. Jeżeli iloczyn ten równa się zero, to co najmniej jeden z nich jest równy zero.

Otrzymujemy:

(x + 3) = 0

lub

(x - 4) = 0

lub

(x^{2} + 5) = 0

a więc

x = - 3

lub

x = 4

lub

x^{2} = - 5

Ostatnie równanie jest równaniem sprzecznym. Nie posiada rozwiązania.

Zatem równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

Przykład 5

Rozwiążemy równanie $x (x + 2) {(x - 1)}^{2} (x^{2} - 4) = 0$ .

Lewa strona równania jest iloczynem czterech czynników. Iloczyn równa się zero jeżeli przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero.

Czyli otrzymujemy:

$x = 0$ lub $x + 2 = 0$ lub ${(x - 1)}^{2} = 0$ lub $x^{2} - 4 = 0$ .

$x = 0$ lub $x = - 2$ lub $x = 1$ lub $x = 1$ lub $x = - 2$ lub $x = 2$

Stąd wynika, że nasze równanie ma cztery rozwiązania:

$x = - 2$ lub $x = 0$ lub $x = 1$ lub $x = 2$ ,

przy czym liczba $- 2$ jest pierwiastkiem podwójnym, liczba $1$ jest pierwiastkiem podwójnym, liczba $0$ jest pierwiastkiem pojedynczym, liczba $2$ jest pierwiastkiem pojedynczym.

Przykład 6

Rozwiążemy równanie ${(x - 4)}^{2} (x^{3} - 27) (4 - x^{2}) (x - 3) = 0$ i określimy krotność pierwiastków.

Lewa strona równania jest iloczynem czterech czynników. Jeżeli iloczyn ten równa się zero, to co najmniej jeden z czynników jest równy zero.

${(x - 4)}^{2} = 0$ lub $(x^{3} - 27) = 0$ lub $(4 - x^{2}) = 0$ lub $(x - 3) = 0$

Zatem: $x = 4$ lub $x = 4$ lub $x = 3$ lub $x = - 2$ lub $x = 2$ lub $x = 3$ .

Stąd wynika, że nasze równanie ma cztery rozwiązania:

$x = - 2$ lub $x = 2$ lub $x = 3$ lub $x = 4$ ,

przy czym liczba $3$ jest pierwiastkiem podwójnym, liczba $4$ jest pierwiastkiem podwójnym, liczba $2$ jest pierwiastkiem pojedynczym, liczba $- 2$ jest pierwiastkiem pojedynczym.

Przykład 7

Znajdziemy rozwiązania równania $4 x^{3} + 12 x^{2} + 9 x = 0$ .

Rozwiązanie

Zacznijmy od wyłączenia $x$ przed nawias.

x (4 x^{2} + 12 x + 9) = 0

Otrzymujemy równanie, w którym lewa strona jest iloczynem dwóch czynników.

x (4 x^{2} + 12 x + 9) = 0

Przyjrzyjmy się wielomianowi w nawiasie. Korzystając ze wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

łatwo możemy go zapisać w postaci iloczynu wielomianów stopnia pierwszego:

x (2 x + 3) (2 x + 3) = 0 .

Przyrównujemy czynniki iloczynu po lewej strony do zera.

x = 0

lub

2 x + 3 = 0

Stąd wynika, że równanie ma dwa rozwiązania (trzy pierwiastki), mianowicie $x = 0$ oraz $x = - \frac{3}{2}$ , przy czym $x = - \frac{3}{2}$ jest podwójnym pierwiastkiem równania.

Galerie zdjęć interaktywnych

Zapoznaj się z galeriami zdjęć interaktywnych. Spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązać przykłady, a następnie sprawdź poprawność rozwiązania, analizując poszczególne zdjęcia.

R1Iu3SkOK1y5t

RPrt7sywNYDAp

R1T6mgxSdMOEJ

RREEtbAOZH1qz

R7hWXKixpV7at

Rnt2PzDACwE76

Zapoznaj się z kolejną galerią zdjęć.

Rq7h4VNHmgjPP

R1KPvlUZs7gb3

R1LSgxT42qwvY

RYwMDBMza3eaz

R3mxlHpzr5pjb

Polecenie 1

Podaj przykład równania stopnia czwartego, którego jedynymi pierwiastkami pojedynczymi są liczby $- 3$ i $4$ .

Np.: $(x + 3) (x - 4) (x^{2} + 5) = 0$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1TGfnedVQgfq1

Ćwiczenie 1

R1ZMmXNOW9pqu1

Ćwiczenie 2

RTCAV8DxgjFhD2

Ćwiczenie 3

R1E4OAAYlWtpl2

Ćwiczenie 4

R1bSCIB7f9foA2

Ćwiczenie 5

R25HUuc9pUEmv2

Ćwiczenie 6

RxR3lzqQ08fqD3

Ćwiczenie 7

Przeciągnij równanie do odpowiedniego okienka. Równania sprzeczne Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero, 2. x nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, sześćdziesiąt cztery, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 3. nawias, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 4. x nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jedenaście, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 5. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześćdziesiąt cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześćdziesiąt cztery, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 6. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, równa się, zero Równania które mają jedno rozwiązanie Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero, 2. x nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, sześćdziesiąt cztery, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 3. nawias, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 4. x nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jedenaście, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 5. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześćdziesiąt cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześćdziesiąt cztery, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 6. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, równa się, zero Równania, które mają więcej niż jedno rozwiązanie Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero, 2. x nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, sześćdziesiąt cztery, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 3. nawias, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 4. x nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jedenaście, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 5. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześćdziesiąt cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześćdziesiąt cztery, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 6. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, równa się, zero

Rwq3MFt1aPy1O3

Ćwiczenie 8

RxSIX4uaDn1Nm1

Ćwiczenie 9

R1AOEC32dd9zU1

Ćwiczenie 10

R1BBBNbwgbYws2

Ćwiczenie 11

R108XsNw2kuju2

Ćwiczenie 12

R4DnyaVlUEQLY2

Ćwiczenie 13

nawias x, plus, dwa zamknięcie nawiasu nawias x, minus, trzy zamknięcie nawiasu, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, minus, trzy l u b x, równa się, trzy, 2. x, równa się, trzy l u b x, równa się, zero, 3. x, równa się, dwa l u b x, równa się, minus, trzy, 4. x, równa się, zero, 5. x, równa się, minus, dwa l u b x, równa się, trzy, 6. x, równa się, minus, trzy nawias x, minus, dwa zamknięcie nawiasu nawias x, plus, trzy zamknięcie nawiasu, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, minus, trzy l u b x, równa się, trzy, 2. x, równa się, trzy l u b x, równa się, zero, 3. x, równa się, dwa l u b x, równa się, minus, trzy, 4. x, równa się, zero, 5. x, równa się, minus, dwa l u b x, równa się, trzy, 6. x, równa się, minus, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziewięć, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, minus, trzy l u b x, równa się, trzy, 2. x, równa się, trzy l u b x, równa się, zero, 3. x, równa się, dwa l u b x, równa się, minus, trzy, 4. x, równa się, zero, 5. x, równa się, minus, dwa l u b x, równa się, trzy, 6. x, równa się, minus, trzy nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden zamknięcie nawiasu nawias x, plus, trzy zamknięcie nawiasu, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, minus, trzy l u b x, równa się, trzy, 2. x, równa się, trzy l u b x, równa się, zero, 3. x, równa się, dwa l u b x, równa się, minus, trzy, 4. x, równa się, zero, 5. x, równa się, minus, dwa l u b x, równa się, trzy, 6. x, równa się, minus, trzy x nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa zamknięcie nawiasu nawias x, minus, trzy zamknięcie nawiasu, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, minus, trzy l u b x, równa się, trzy, 2. x, równa się, trzy l u b x, równa się, zero, 3. x, równa się, dwa l u b x, równa się, minus, trzy, 4. x, równa się, zero, 5. x, równa się, minus, dwa l u b x, równa się, trzy, 6. x, równa się, minus, trzy x nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa zamknięcie nawiasu nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy zamknięcie nawiasu, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, minus, trzy l u b x, równa się, trzy, 2. x, równa się, trzy l u b x, równa się, zero, 3. x, równa się, dwa l u b x, równa się, minus, trzy, 4. x, równa się, zero, 5. x, równa się, minus, dwa l u b x, równa się, trzy, 6. x, równa się, minus, trzy

RK6TP6XK8LU4M

Ćwiczenie 14

równania sprzeczne Możliwe odpowiedzi: 1. x nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 2. nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sto dwadzieścia jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 3. nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sto dwadzieścia jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 4. x nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 5. nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden zamknięcie nawiasu nawias x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, cztery zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 6. nawias, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 7. nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden zamknięcie nawiasu nawias x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, cztery zamknięcie nawiasu, równa się, zero równania, które mają jedno rozwiązanie Możliwe odpowiedzi: 1. x nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 2. nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sto dwadzieścia jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 3. nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sto dwadzieścia jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 4. x nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 5. nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden zamknięcie nawiasu nawias x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, cztery zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 6. nawias, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 7. nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden zamknięcie nawiasu nawias x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, cztery zamknięcie nawiasu, równa się, zero równania, które mają więcej niż jedno rozwiązanie Możliwe odpowiedzi: 1. x nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 2. nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sto dwadzieścia jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 3. nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sto dwadzieścia jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 4. x nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 5. nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden zamknięcie nawiasu nawias x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, cztery zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 6. nawias, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 7. nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden zamknięcie nawiasu nawias x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, cztery zamknięcie nawiasu, równa się, zero

Słownik

postać iloczynowa równania

równanie zapisane za pomocą iloczynu czynników, w których niewiadoma jest jak najniższego stopnia

pierwiastek wielomianu

Pierwiastkiem wielomianu $W (x)$ nazywamy taką liczbę rzeczywistą $a$ , dla której zachodzi warunek $W (a) = 0$ .

1. Pierwiastki wielomianu

Równania wielomianowe

2. Rozwiązywanie równań wielomianowych zapisanych w postaci iloczynowej

Galerie zdjęć interaktywnych

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Słownik