1. Pochodna a monotoniczność funkcji - M_R_W19_M4 Zagadnienia optymalizacyjne

R9U1YtWKOPdjj

Matematyczne prawidłowości ukryte są we wszystkich aspektach świata fizycznego, np. ruchu ciał ziemskich i niebieskich, przepływie powietrza i wody, rozchodzeniu się ciepła, światła i dźwięku. Większość z tych zjawisk możemy modelować matematycznie stosując narzędzia rachunku różniczkowego. Narzędzia rachunku różniczkowego są również użyteczne przy badaniu trendów różnego rodzaju danych. Trend danych możemy określić jako rosnący, malejący lub stały i opisać za pomocą funkcji. Matematycznie, możemy powiedzieć, że badamy monotoniczność funkcji, tzn. szukamy odpowiedzi na pytanie, kiedy jest ona rosnąca, malejąca lub stała.

Twoje cele

Dowiesz się jaki jest związek monotoniczności funkcji z jej pochodną.
Poznasz warunki wystarczające monotoniczności funkcji.
Nauczysz się jak wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji.

Na poniższym rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji $f (x)$ .

RLqAsXL7YRJPQ

Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y, w układzie zaznaczono fragment wykresu f, który ma swój początek na osi y i biegnie najpierw wzdłuż osi x a następnie biegnie po łuku i wychodzi poza płaszczyznę w pierwszej ćwiartce układu, Na osi x zaznaczono dwa punkty a oraz b, z których poprowadzono pionowe linie przerywane sięgające do wykresu funkcji f. W obszarze pomiędzy punktami a i b na wykresie zaznaczono zamalowanymi kropkami trzy punkty. Przez każdy z tych punktów poprowadzono styczną do wykresu funkcji f.

Zauważmy, że stycznestycznastyczne do tego wykresu w punktach, których pierwsze współrzędne należą do przedziału $(a, b)$ są nachylone do osi $X$ pod kątem ostrym. Oznacza to, że współczynniki kierunkowe tych stycznych są dodatnie. Funkcja o takiej własności jest rosnąca w przedziale $(a, b)$ .

Współczynnik kierunkowy stycznejstycznastycznej do wykresu funkcji w punkcie $P = (x_{0}, f (x_{0}))$ określony jest przez wartość pochodnej tej funkcji w punkcie $P$ , zatem za pomocą znaku pochodnej możemy określić monotoniczność funkcji.

o funkcji rosnącej

Twierdzenie: o funkcji rosnącej

Jeśli pochodna funkcji jest dodatnia w pewnym przedziale $(a, b)$ , to funkcja jest w tym przedziale rosnąca.

o funkcji malejącej

Twierdzenie: o funkcji malejącej

Jeśli pochodna funkcji jest ujemna w pewnym przedziale $(a, b)$ , to funkcja jest w tym przedziale malejąca.

Dla pewnej klasy funkcji wiadomo, że jej pochodna w każdym punkcie pewnego przedziału $(a, b)$ , jest równa zero. Oznacza to, że każdemu argumentowi $x_{0} \in (a, b)$ stycznastyczna styczna do wykresu funkcji w punkcie $P$ ma współczynnik kierunkowy równy zero.

o funkcji stałej

Twierdzenie: o funkcji stałej

Jeśli pochodna funkcji jest równa zero w pewnym przedziale $(a, b)$ , to funkcja jest w tym przedziale stała.

Przykład 1

Narysujemy wykres funkcji $f (x) = x^{3}$ dla $x \in (- 2, 0)$ oraz dla $x \in (0, 2)$ . Zbadamy czy funkcja jest rosnąca w tych przedziałach.

Rozwiązanie:

Wykres funkcji $f (x) = x^{3}$ dla $x \in (- 2, 0)$ przedstawiono na poniższym rysunku.

R18KuJIezOD6H

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 3 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, pojawia się on w trzeciej ćwiartce układu i biegnie po łuku od minus nieskończoności przez punkt nawias minus jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu do punktu nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu.

Poprowadźmy kilka stycznych do wykresu funkcji, tak jak na rysunku.

RHtxhLlNry08f

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i ponową osią y od minus 3 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, pojawia się on w trzeciej ćwiartce układu i biegnie po łuku od minus nieskończoności przez punkt nawias minus jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu do punktu nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu. Na wykresie zamalowanymi kropkami zaznaczono trzy punkty. Przez każdy z tych punktów poprowadzono styczną do wykresu funkcji f.

Wszystkie z narysowanych stycznych są nachylone do osi $X$ pod kątem ostrym. Oznacza to, że ich współczynniki kierunkowe są dodatnie, a stąd wynika, że pochodna funkcji $f$ w tych punktach jest dodatnia. Łatwo zauważyć, że takich różnych stycznych możemy naszkicować nieskończenie wiele i każda z nich posiadałaby tę własność. Zatem funkcja jest rosnąca w tym przedziale.

Przyjrzyjmy się teraz wykresowi funkcji $f$ w przedziale $x \in (0, 2)$ . Poprowadźmy kilka stycznych do wykresu funkcji, np. tak jak pokazano na rysunku.

RYg5lPC260Jez

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i ponową osią y od minus 2 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, ma on swój początek w punkcie nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu skąd biegnie po łuku przez punkt nawias jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu. Na wykresie zamalowanymi kropkami zaznaczono trzy punkty. Przez każdy z tych punktów poprowadzono styczną do wykresu funkcji f.

Wszystkie z narysowanych stycznych również są nachylone do osi $X$ pod kątem ostrym. Tak jak poprzednio, łatwo zauważyć, że takich różnych stycznych możemy naszkicować nieskończenie wiele i każda z nich posiadałaby tę własność. Oznacza to, że ich współczynniki kierunkowe są dodatnie, a stąd wynika, że pochodna funkcji $f$ w tych punktach jest dodatnia. Zatem funkcja jest rosnąca w tym przedziale.

Przykład 2

Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji $f$ .

RE4fZnQxZy8PV

Na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y, w układzie zaznaczono wykres funkcji f. Wykres pojawia się w trzeciej ćwiartce układu i biegnie ukośnie do punktu, którego odcięta ma wartość b, następnie biegnie po łuku do środka układu współrzędnych, który został oznaczony literą c. Dalej biegnie również po łuku do punktu, którego odcięta ma wartość d, s tego punktu biegnie ukośnie i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce.

Na podstawie tego wykresu podamy przedziały otwarte, w których pochodna funkcji $f$ przyjmuje wartości dodatnie oraz przedziały, w których przyjmuje wartości ujemne.

Rozwiązanie:

Najpierw określimy monotoniczność funkcji $f$ . Funkcja jest rosnąca w przedziałach otwartych: $(- \infty, b)$ , $(c, d)$ , $(d, \infty)$ , oraz malejąca w przedziale otwartym $(b, c)$ . Wynika stąd, że jej pochodna jest dodatnia w przedziałach otwartych $(- \infty, b)$ , $(c, d)$ , $(d, \infty)$ , oraz ujemna w przedziale otwartym $(b, c)$ .

Przykład 3

Na podstawie wykresów pochodnych funkcji $f$ , $g$ i $h$ określimy przedziały otwarte, w których funkcja rośnie lub maleje.

R1W51LIznk7RO

Na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 1 do 6, w układzie zaznaczono wykres funkcji f'. Wykres ma kształt paraboli o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu.

RAiiSjuMXLpYL

Na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 3 do 4, w układzie zaznaczono wykres funkcji g'. Wykres pojawia się w drugiej ćwiartce układu, biegnie po łuku to punktu zero średnik jeden zamknięcie nawiasu, gdzie następuje wypłaszczenie, dalej biegnie po łuku przez punkt nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce.

RtLy09eKlfBQo

Na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 5 do 2, w układzie zaznaczono wykres funkcji h'. Wykres ma kształt paraboli o ramionach skierowanych do dołu i wierzchołku w punkcie nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie:

Pochodna funkcji $f$ jest dodatnia w przedziałach otwartych $(- \infty, 0)$ , $(0, \infty)$ . Oznacza to, że funkcja $f$ jest rosnąca w każdym z tych przedziałów.

Pochodna funkcji $g$ jest dodatnia w przedziale otwartym $(- \infty, 1)$ , a ujemna w przedziale otwartym $(1, \infty)$ . Zatem funkcja $g$ jest rosnąca w przedziale otwartym $(- \infty, 1)$ , a malejąca w przedziale otwartym $(1, \infty)$ .

Pochodna funkcji $h$ jest ujemna w przedziałach otwartych $(- \infty, 0)$ , $(0, \infty)$ , co oznacza, że w każdym z tych przedziałów funkcja $h$ jest malejąca.

Przykład 4

Na poniższym rysunku przedstawiono fragmenty wykresów pewnych trzech funkcji.

RXmGI6BIUsktN

Ilustracja przedstawia trzy układy współrzędnych A B C z poziomymi osiami x od minus 4 do 4 i pionowymi osiami y od minuss4 do cztery. W układzie A zaznaczono wykres o kształcie paraboli, której ramiona skierowane są do góry a wierzchołek znajduje się w punkcie nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu. Jej lewe ramię przechodzi przez punkt nawias minus jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu, a prawe ramię przechodzi przez punkt nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu. W układzie B znajduje się wykres, który pojawia się w pierwszej ćwiartce układu, biegnie po łuku to punktu zero średnik jeden zamknięcie nawiasu, gdzie następuje wypłaszczenie, dalej biegnie po łuku przez punkt nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w trzeciej ćwiartce. W trzecim układzie znajduje się wykres będący ukośną prostą, która przechodzi przez punkt nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu oraz przez pierwszą i trzecią ćwiartkę.

Jeden z nich przedstawia wykres funkcji $f$ , jeden z dwóch pozostałych – wykres funkcji $f'$ , natomiast ostatni wykres pochodnej funkcji $f'$ (wykres drugiej pochodnej funkcji $f$ ). Wskażemy, który z tych wykresów jest wykresem funkcji $f$ , który wykresem funkcji $f'$ , a który wykresem drugiej pochodnej funkcji $f$ .

Rozwiązanie

Analizę zaczniemy od fragmentu wykresu funkcji znajdującego się na rysunku $B$ . Funkcja ta jest rosnąca. Jeśli jest to wykres funkcji $f$ , to jej pochodna musi być nieujemna. Łatwo zauważyć, że wykres funkcji, która przyjmuje wartości nieujemne to wykres na rysunku A – czyli wykres $f'$ . Zatem rysunek C przedstawia wykres pochodnej funkcji $f'$ . Rzeczywiście, w przedziale $(- \infty, 0)$ funkcja $f'$ jest malejąca, więc jej funkcja pochodna przyjmuje w tym przedziale wartości ujemne. W przedziale $(0, \infty)$ funkcja $f'$ jest rosnąca, więc jej funkcja pochodna przyjmuje w tym przedziale wartości dodatnie.

Przykład 5

O funkcji $f (x) = a x^{5} + a x^{3} + a x + 1$ wiadomo, że jest różniczkowalna w całej dziedzinie. Wyznaczymy te wartości parametru $a$ , dla których funkcja będzie rosnąca w całej dziedzinie.

Rozwiązanie:

Policzymy pochodną funkcji $f (x)$ . Otrzymujemy $f' (x) = 5 a x^{4} + 3 a x^{2} + a$ . Aby funkcja była rosnąca w całej dziedzinie jej pochodna musi być dodatnia w całej dziedzinie, stąd otrzymujemy kolejno

$5 a x^{4} + 3 a x^{2} + a > 0$ ,

$a (5 x^{4} + 3 x^{2} + 1) > 0$ .

Wyrażenie $5 a x^{4} + 3 a x^{2} + 1 > 0$ dla każdego $x \in ℝ$ . Zatem funkcja $f (x)$ będzie rosnąca w całej dziedzinie dla $a > 0$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych, a następnie wykonaj polecenia zamieszczone pod nią.

R15zfuyzAfXJW

RJkqyqlNBBAjx

RY1BrkYdXxsob

RnoNfqnEMFjc8

R9oXAK8AGgFVL

Polecenie 2

R1CGARaKCVrRA

Polecenie 3

Na poniższym rysunku przedstawione są wykresy pewnych funkcji $f$ , $g$ , $k$ .

wykres 1	wykres 2	wykres 3
R4Ms5XdnBs1ov Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 8 z podziałką co dwa i pionową osią y od minus 6 do 6 z podziałką co dwa. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który składa się z trzech części. Pierwsza część znajduje się w całości w drugiej ćwiartce, ma ona kształt łuku wybrzuszonego w stronę środka układu współrzędnych. Druga część pojawia się w trzeciej ćwiartce układu i biegnie po łuku przez punkt nawias minus dwa średnik minus jeden zamknięcie nawiasu do punktu znajdującego się zaraz pod środkiem układu współrzędnych z tamtego punktu wykres biegnie po łuku przez punkt nawias dwa średnik minus jeden zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce. Trzecia część znajduje się w pierwszej ćwiartce układu, ma ona kształt łuku wybrzuszonego w stronę początku układu współrzędnych.	Rqs8eoIejjClM Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 8 z podziałką co dwa i pionową osią y od minus 6 do 6 z podziałką co dwa. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który ma kształt hiperboli. Jedna część przechodzi przez punkty nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu oraz nawias jeden średnik minus dwa zamkniecie nawiasu. Druga cześć przechodzi prze punkty nawias trzy średnik cztery zamkniecie nawiasu oraz nawias pięć średnik dwa zamknięcie nawiasu.	RCCALZ7djfICN Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 5 i pionową osią y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który ma kształt paraboli. Parabola ma ramiona skierowane do góry, a jej wierzchołek znajduje się w czwartej ćwiartce układu. Lewe ramię przechodzi przez punkt nawias zero średnik zero zamkniecie nawiasu a prawe ramię przez punkt nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu.

RcmqUfxVcWk91

Uzasadnienie:

Na rysunku funkcja $f$ jest rosnąca w przedziałach otwartych $(- \infty, - 3)$ , $(- 3, 0)$ , zatem jej pochodna w tych przedziałach jest dodatnia. Funkcja jest malejąca w przedziałach otwartych $(0, 3)$ , $(3, \infty)$ , zatem jej pochodna w tych przedziałach jest ujemna.

Na rysunku funkcja $f$ jest malejąca w przedziałach otwartych $(- \infty, 2)$ , $(2, \infty)$ , zatem jej pochodna w tych przedziałach jest ujemna.

Na rysunku funkcja $f$ jest malejąca w przedziale otwartym $(- \infty; 0, 6)$ , zatem jej pochodna w tym przedziale jest ujemna. Funkcja jest rosnąca w przedziale otwartym $(0, 6; \infty)$ , zatem jej pochodna w tym przedziale jest dodatnia.

RH16hMHs0CG9U

Ćwiczenie 1

Uzupełnij tekst dotyczący związku monotoniczności z pochodną funckji. Dana jest funkcja wzorem f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, pięć x, plus, trzy x, zatem jej pochodna jest postaci 1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka. Z łatwością można wyznaczyć przedziały dla których pochodna badanej funckji jest dodatnia lub ujemna. Wyznaczymy zatem miejsca zerowe pochodnej funckji f:
trójkąt, równa się1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, czyli pierwiastek kwadratowy z trójkąt koniec pierwiastka, równa się1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka. Zatem x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka oraz x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka.
Oznacza to, że pochodna jest dodatnia w przedziałach 1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka oraz ujemna w przedziale 1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, czyli badana funkcja rośnie w przedziałach 1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka i maleje w przedziale1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka.

warunki wystarczające monotoniczności funkcji

Twierdzenie: warunki wystarczające monotoniczności funkcji

Niech $U$ oznacza dowolny przedział. Jeżeli dla każdego $x \in U$ funkcja różniczkowalna $f$ spełnia warunek:

$f' (x) = 0$ , to $f$ jest stała na $U$ ;

$f' (x) > 0$ , to $f$ jest rosnąca na $U$ ;

$f' (x) ⩾ 0$ , to $f$ jest niemalejąca na $U$ ;

$f' (x) < 0$ , to $f$ jest malejąca na $U$ ;

$f' (x) ⩽ 0$ , to $f$ jest nierosnąca na $U$ .

Zauważmy, że jeżeli $f' (x) ⩾ 0$ dla każdego $x \in U$ , przy czym równość $f' (x) = 0$ zachodzi tylko dla skończonej liczby punktów tego przedziału, to funkcja jest rosnąca na $U$ . Podobnie mamy dla funkcji malejącej.

Wniosek

Jeśli funkcja $f$ jest rosnąca (malejąca) w przedziale $(a, b)$ i jest ciągła w przedzialeciągła w przedziale $⟨a, b⟩$ , to jest rosnąca (malejąca) w przedziale $⟨a, b⟩$ .

Przykład 6

Wyznaczymy przedziały otwarte monotoniczności funkcji $f (x) = x^{3} - 3 x$ .

Rozwiązanie

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D_{f} = ℝ$ .

Obliczymy pochodną funkcji $f$ .

Mamy $f' (x) = 3 x^{2} - 3$ , $D_{f^{'}} = D_{f}$ .

Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności sprawdzamy, kiedy pochodna funkcji $f$ jest dodatnia, a kiedy ujemna (badamy “znak” pochodnej). W tym celu rozwiązujemy kolejno nierówności:

$f' (x) > 0$ , czyli $x^{2} - 1 > 0$ .

Rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór $x \in (- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$ .

Następnie mamy $f^{'} (x) < 0$ , czyli $x^{2} - 1 < 0$ .

Rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór $x \in (- 1, 1)$ .

Stąd funkcja $f$ rośnie w przedziałach otwartych $(- \infty, - 1)$ , $(1, \infty)$ , a maleje w przedziale otwartym $(- 1, 1)$ .

Przykład 7

Zbadamy monotoniczność funkcji

$f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + x dla x \in ⟨\frac{- 1}{2}, 0⟩ \\ \sin x dla x \in (0, \frac{π}{2}⟩ \end{cases}$ .

Rozwiązanie

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D_{f} = ⟨\frac{- 1}{2}, \frac{π}{2}⟩$ .

Funkcja jest przedziałami rosnąca.

W przedziale $⟨\frac{- 1}{2}, 0⟩$ pochodna funkcji $f' (x) = 2 x + 1 ⩾ 0$ , więc funkcja jest rosnąca w tym przedziale.

W przedziale $(0, \frac{π}{2}⟩$ pochodna funkcji $\cos x ⩾ 0$ , więc funkcja jest również rosnąca w tym przedziale.

Przykład 8

Wyznaczymy przedziały monotoniczności funkcji $f (x) = \frac{x}{x^{2} - 1}$ .

Rozwiązanie

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D_{f} = (- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$ .

Zbadamy teraz „znak” pochodnej funkcji $f$ .

Mamy:

$f' (x) = \frac{- (x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ , $D_{f^{'}} = D_{f}$ .

Funkcja $f$ jest malejąca w każdym z przedziałów dziedziny, bo

$\frac{- (x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} < 0$

dla $|x| \neq 1$ . (Wyrażenie w mianowniku jest zawsze dodatnie dla $|x| \neq 1$ , a wyrażenie w liczniku zawsze ujemne, zatem cały ułamek przyjmuje tylko wartości ujemne).

Przykład 9

Wykażemy, że funkcja $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x - 2}$ jest rosnąca w każdym z przedziałów należących do dziedziny.

Rozwiązanie

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D_{f} = ℝ ∖ \{2\}$ .

Obliczamy pochodną funkcji

$f^{'} (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 7}{{(x - 2)}^{2}}$ , $D_{f^{'}} = D_{f}$ .

Zauważmy, że wyrażenie w liczniku przyjmuje wartości dodatnie w całej dziedzinie (ramiona paraboli skierowane ku górze, brak miejsc zerowych: $Δ = - 12 < 0$ ). Zatem pochodna funkcji jest w każdym z przedziałów należących do dziedziny dodatnia. Stąd funkcja $f$ jest rosnąca w każdym z przedziałów należących do dziedziny, czyli w każdym z przedziałów $(- \infty, 2)$ , $(2, \infty)$ .

Przykład 10

Wyznaczymy maksymalne przedziały monotoniczności funkcji $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ .

Rozwiązanie

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D_{f} = ℝ ∖ \{1\}$ .

Obliczymy pochodną funkcji:

$f^{'} = \frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$ , $D_{f^{'}} = D_{f}$ .

Zauważmy, że wyrażenie w mianowniku przyjmuje wartości dodatnie w całej dziedzinie. Zbadamy “znak” wyrażenia w liczniku. Rozwiązujemy kolejno nierówności:

$x^{2} - 2 x ⩾ 0$ , $x (x - 2) ⩾ 0$ , stąd $x \in (- \infty, 0⟩ \cup ⟨2, \infty)$ ,

$x^{2} - 2 x ⩽ 0$ , $x (x - 2) ⩽ 0$ , stąd $x \in ⟨0, 1) \cup (1, 2⟩$ .

Zatem funkcja $f$ jest rosnąca w przedziałach $(- \infty, 0⟩$ , $⟨2, \infty)$ oraz malejąca w przedziałach $⟨0, 1)$ , $(1, 2⟩$ .

Polecenie 4

Zapoznaj się z filmem samouczkiem, a następnie wykonaj polecenia zamieszczone pod nim.

R1CMAF5xmNxCM

Polecenie 5

RNuLSshDsooeT

Polecenie 6

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji $f (x) = x^{3} + 9 x^{2} + 15 x - 11$ .

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D_{f} = ℝ$ .

Obliczymy pochodną funkcji:

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 18 x + 15 = 3 (x^{2} + 6 x + 5)$ , $D_{f^{'}} = D_{f}$ .

Funkcja $f$ jest rosnąca, jeśli $f^{'} (x) ⩾ 0$ oraz malejąca, gdy $f^{'} (x) ⩽ 0$ .

Zbadamy „znak” pochodnej analizując szkic pochodnej. Otrzymujemy

$f^{'} (x) = 3 (x^{2} + 6 x + 5) = 3 (x + 5) (x + 1)$ .

Rx3WOvwW590xM

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus szesnastu do czternastu z podziałką co dwa oraz z pionową osią Y od minus dwunastu do ośmiu z podziałką co dwa. Na płaszczyźnie narysowano parabolę z ramionami skierowanymi w górę, której wierzchołek ma współrzędne nawias minus trzy przecinek minus dwanaście zamknięcie nawiasu. Miejsca zerowe funkcji mają współrzędne x równa się minus 5 oraz x równa się minus jeden. Przedziały od minus nieskończoności do minus pięć i od minus jeden do plus nieskończoności oznaczono plusami, gdyż funkcja przyjmuje w tym zbiorze wartości dodatnie. Przedział od minus pięć do minus jeden oznaczono minusem, gdyż funkcja przyjmuje w nim wartości ujemne.

Z wykresu pochodnej odczytujemy, że $f^{'} (x) ⩾ 0$ dla $x \in (- \infty, - 5⟩ \cup ⟨- 1, \infty)$ oraz $f^{'} (x) ⩽ 0$ dla $x \in ⟨- 5, - 1⟩$ .

Zatem funkcja rośnie w przedziałach $(- \infty, - 5⟩$ , $⟨- 1, \infty)$ oraz maleje w przedziale $⟨- 5, - 1⟩$ .

Ćwiczenie 1

Na poniższym rysunku przedstawiono wykres pochodnej jednej z funkcji $f$ .

RFtq8JO08gGD5

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 4 do dwa. W układzie zaznaczono wykres funkcji f', który składa się z trzech części. Pierwsza z nich pojawia się na płaszczyźnie w trzeciej ćwiartce układu i biegnie po łuku najpierw wzdłuż osi x a następnie wychodzi poza płaszczyznę układu wzdłuż osi y. Drugi fragment również pojawia się w trzeciej ćwiartce i biegnie po łuku wzdłuż osi y następnie przecina oś y w punkcie nawias zero średnik minus jeden zamkniecie nawiasu i dalej biegnie również po łuku wzdłuż osi y i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce. Ostatni fragment pojawia się z czwartej ćwiartce i biegnie po łuku wzdłuż osi y , a następnie biegnie wzdłuż osi x i wchodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce.

RMQQH2gWkNJ7F

R1eDxvYLJ9teH

Jaka jest monotoniczność przedstawionych poniżej funckji i ich pochodnych? Uzupełnij luki odpowiednimi z podanych pojęć.

Monotoniczność funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie. Pochodna tej funkcji to funkcja 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie.

Monotoniczność funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie. Pochodna tej funkcji to funkcja 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie.

Monotoniczność funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x, plus, trzy 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie. Pochodna tej funkcji to funkcja 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie.

Monotoniczność funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie. Pochodna tej funkcji to funckja 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie.

Monotoniczność funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie. Pochodna tej funkcji to funkcja 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie.

Jaka jest monotoniczność przedstawionych poniżej funckji i ich pochodnych? Uzupełnij luki odpowiednimi z podanych pojęć.

Monotoniczność funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie. Pochodna tej funkcji to funkcja 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie.

Monotoniczność funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie. Pochodna tej funkcji to funkcja 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie.

Monotoniczność funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x, plus, trzy 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie. Pochodna tej funkcji to funkcja 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie.

Monotoniczność funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie. Pochodna tej funkcji to funckja 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie.

Monotoniczność funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie. Pochodna tej funkcji to funkcja 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie.

RgApYgMncgmbe1

Ćwiczenie 2

Rj2KqoaSuEzpy2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

RIMjyyM0Dy7pH

RzBZ5TwstUd12

Przyporządkuj do podanej funckji opis jej pochodnej. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. Pochodna jest ujemna na całej swojej dziedzinie., 2. Pochodna jest dodatnia na przedziale nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu oraz jest ujemna w przedziale nawias, zero, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu., 3. Pochodna jest dodatnia na przedziale nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm z x Możliwe odpowiedzi: 1. Pochodna jest ujemna na całej swojej dziedzinie., 2. Pochodna jest dodatnia na przedziale nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu oraz jest ujemna w przedziale nawias, zero, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu., 3. Pochodna jest dodatnia na przedziale nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, x, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. Pochodna jest ujemna na całej swojej dziedzinie., 2. Pochodna jest dodatnia na przedziale nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu oraz jest ujemna w przedziale nawias, zero, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu., 3. Pochodna jest dodatnia na przedziale nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu.

Wykres funkcji, która jest poprawną odpowiedzią przedstawia jednocześnie wykres pewnej funkcji i jej pochodnej. Funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie, zatem jej pochodna powinna przyjmować tylko wartości dodatnie. Taką własność ma funkcja $f (x) = e^{x}$ .

Ćwiczenie 5

Na rysunkach przedstawione są wykresy funkcji.

wykres 1	wykres 2	wykres 3
R3vM6d1UOi6iW Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 5 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który ma kształt paraboli o ramionach skierowanych do dołu. Wierzchołek znajduje się w punkcie nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu. Lewe ramię przecina oś x w punkcie nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, a prawe ramię w punkcie nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu.	RSB6Mra5QpzDG Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 10 do 0 z podziałką co dwa i pionową osią y od minus 4 do 6 z podziałką co dwa. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce układu i biegnie po łuku przez punkt nawias minus pięć średnik cztery, dalej rośnie również po łuku, a następnie maleje przechodząc przez punkt nawias minus trzy średnik cztery dalej biegnie również po łuku do osi x. Biegnąc po osi x przechodzi przez środek układu współrzędnych i zaczyna bieg wzdłuż osi y. Wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce.	RXx0H0Hm8Fbwk Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 3 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, która pojawia się na płaszczyźnie w trzeciej ćwiartce układu i biegnie po łuku, następnie przechodzi do drugiej ćwiartki, gdzie ma kształt łuku wybrzuszonego w stronę plus nieskończoności dalej biegnie po łuku i przechodzi przez środek układu współrzędnych, w czwartej ćwiartce układ wygina się w stronę minus nieskończoności, następnie przecina oś w i wychodzi po łuku poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce.

RaFJM0gSmVcOg

Uzasadnienie:

Funkcja $h$ jest rosnąca w przedziale $(- \infty, 0⟩$ , zatem w tym przedziale jej pochodna jest dodatnia oraz malejąca w przedziale $⟨0, \infty)$ , zatem w tym przedziale jej pochodna jest ujemna.

Funkcja $g$ jest rosnąca w przedziałach $(- \infty, - 4⟩$ , $⟨0, \infty)$ zatem w tych przedziałach jej pochodna jest dodatnia oraz malejąca w przedziale $⟨- 4, 0)$ zatem w tym przedziale jej pochodna jest ujemna.

Funkcja $i$ jest rosnąca w przedziale $(1, \infty)$ zatem w tym przedziale jej pochodna jest dodatnia.

RQzqWYxL8EOHx

Ćwiczenie 5

Połącz w pary pochodne z opisem funkcji. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja rośnie w przedziale nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu oraz maleje w przedziale nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu., 2. Funkcja rośnie na całej swojej dziedzinie., 3. Funkcja rośnie w przedziałach nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu i maleje w przedziale nawias, minus, dwa przecinek zero, zamknięcie nawiasu. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja rośnie w przedziale nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu oraz maleje w przedziale nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu., 2. Funkcja rośnie na całej swojej dziedzinie., 3. Funkcja rośnie w przedziałach nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu i maleje w przedziale nawias, minus, dwa przecinek zero, zamknięcie nawiasu. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć x Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja rośnie w przedziale nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu oraz maleje w przedziale nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu., 2. Funkcja rośnie na całej swojej dziedzinie., 3. Funkcja rośnie w przedziałach nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu i maleje w przedziale nawias, minus, dwa przecinek zero, zamknięcie nawiasu.

R2XkU8EdG847p

Ćwiczenie 6

Na wykresie przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji oraz zaznaczono punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ .

RP25cdLEdEYU4

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 3 i pionową osią y od minus 1 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się w drugiej ćwiartce układu i biegnie najpierw poziomo przez punkt A w miejscu odciętej o wartości cztery zaczyna biec po łuku przez punkt B, następnie przecina oś x i biegnie po łuku przez trzecią ćwiartkę, dalej biegnie po luku i przecina oś x w punkcie nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie również po łuku przez punkt Cm następnie osiąga swoje maksimum i dalej biegnie po łuku przez punkt D i środek układu współrzędnych, następnie biegnie po łuku przez czwartą ćwiartkę i przecina oś x biegnąc również po łuku przez punkt E, w miejscu odciętej równej jeden wykres zaczyna biec poziomo przez punkt F i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce.

RC7u99PqMlFHS

Pochodna jest dodatnia w punktach $C$ i $E$ , bo w przedziałach do których należą te punkty funkcja jest rosnąca.

Pochodna jest ujemna w punktach $B$ i $D$ , bo w przedziałach do których należą te punkty funkcja jest malejąca.

Pochodna jest równa zero w punktach $A$ i $F$ , bo w przedziałach do których należą te punkty funkcja jest stała.

Ćwiczenie 7

Jakie wartości powinny przyjmować parametry $p$ i $q$ , aby funkcja $f (x) = x^{3} + p x + q$ była malejąca w przedziale $(0, 1)$ ?

Aby funkcja $f (x) = x^{3} + p x + q$ była malejąca w przedziale $(0, 1)$ jej pochodna powinna w tym przedziale być ujemna. Policzymy pochodną funkcji $f (x)$ . Otrzymujemy $f' (x) = 3 x^{2} + p x$ . Musimy zatem rozwiązać następujące nierówności:

$3 x^{2} + p x < 0$ .

Mamy kolejno:

$3 x^{2} + p x < 0$ ,

$x (3 x + p) < 0$ ,

$x_{1} = 0 \lor x_{2} = \frac{- p}{3}$ .

Ramiona paraboli $3 x^{2} + p x$ są skierowane do góry, zatem funkcja będzie przyjmowała wartości ujemne w przedziale o końcach $x_{1} = 0$ i $x_{2} = \frac{- p}{3}$ . Stąd otrzymujemy, że $\frac{- p}{3} = 1$ , czyli $p = - 3$ oraz $q \in ℝ$ .

Ćwiczenie 8

Dla jakich wartości parametru $a$ funkcja $f (x) = \ln a x^{3} + \ln a x + 1$ jest rosnąca.

Pierwsze założenie jakie musimy nałożyć na parametr $a$ to założenie wynikające z własności funkcji logarytmicznej. Mamy zatem $a > 0$ . Aby funkcja $f (x)$ była rosnąca, jej pochodna powinna być dodatnia. Policzmy pochodną funkcji $f$ . Otrzymujemy kolejno: $f' (x) = 3 \ln a x^{2} + \ln a > 0$ , stąd mamy $\ln a (3 x^{2} + 1) > 0$ . Wyrażenie $3 x^{2} + 1$ jest dodatnie dla każdego $x \in ℝ$ , stąd wynika, że $\ln a > 0$ . Rozwiązując ostatnią nierówność otrzymujemy, że $a > 1$ .

RowUoHtkQwne111

Ćwiczenie 9

R4Vq0SRHWUoyl11

Ćwiczenie 10

Rpw1h582XRtKH1

Ćwiczenie 11

Aby wyznaczyć maksymalne przedziały monotoniczności funkcji należy określić jej 1. pochodną, 2. nieujemne, 3. malejąca, 4. monotoniczna, 5. ujemna, 6. nierosnąca, 7. dodatnia, 8. przedziały, 9. rosnąca, 10. dziedzinę, 11. niemalejąca, 12. stała, 13. miejsca zerowe, 14. dziedzinę, 15. niedodatnia, 16. zbiór wartości, a następnie wyznaczyć 1. pochodną, 2. nieujemne, 3. malejąca, 4. monotoniczna, 5. ujemna, 6. nierosnąca, 7. dodatnia, 8. przedziały, 9. rosnąca, 10. dziedzinę, 11. niemalejąca, 12. stała, 13. miejsca zerowe, 14. dziedzinę, 15. niedodatnia, 16. zbiór wartości funkcji i jej 1. pochodną, 2. nieujemne, 3. malejąca, 4. monotoniczna, 5. ujemna, 6. nierosnąca, 7. dodatnia, 8. przedziały, 9. rosnąca, 10. dziedzinę, 11. niemalejąca, 12. stała, 13. miejsca zerowe, 14. dziedzinę, 15. niedodatnia, 16. zbiór wartości. W kolejnym kroku badamy “znak” pochodnej, tzn.
wyznaczamy 1. pochodną, 2. nieujemne, 3. malejąca, 4. monotoniczna, 5. ujemna, 6. nierosnąca, 7. dodatnia, 8. przedziały, 9. rosnąca, 10. dziedzinę, 11. niemalejąca, 12. stała, 13. miejsca zerowe, 14. dziedzinę, 15. niedodatnia, 16. zbiór wartości, w których pochodna jest 1. pochodną, 2. nieujemne, 3. malejąca, 4. monotoniczna, 5. ujemna, 6. nierosnąca, 7. dodatnia, 8. przedziały, 9. rosnąca, 10. dziedzinę, 11. niemalejąca, 12. stała, 13. miejsca zerowe, 14. dziedzinę, 15. niedodatnia, 16. zbiór wartości i 1. pochodną, 2. nieujemne, 3. malejąca, 4. monotoniczna, 5. ujemna, 6. nierosnąca, 7. dodatnia, 8. przedziały, 9. rosnąca, 10. dziedzinę, 11. niemalejąca, 12. stała, 13. miejsca zerowe, 14. dziedzinę, 15. niedodatnia, 16. zbiór wartości. Jeśli pochodna funkcji w danym przedziale
przyjmuje wartości nieujemne, to jest w tym przedziale 1. pochodną, 2. nieujemne, 3. malejąca, 4. monotoniczna, 5. ujemna, 6. nierosnąca, 7. dodatnia, 8. przedziały, 9. rosnąca, 10. dziedzinę, 11. niemalejąca, 12. stała, 13. miejsca zerowe, 14. dziedzinę, 15. niedodatnia, 16. zbiór wartości. Jeśli pochodna funkcji jest w
danym przedziale niedodatnia, to jest w tym przedziale 1. pochodną, 2. nieujemne, 3. malejąca, 4. monotoniczna, 5. ujemna, 6. nierosnąca, 7. dodatnia, 8. przedziały, 9. rosnąca, 10. dziedzinę, 11. niemalejąca, 12. stała, 13. miejsca zerowe, 14. dziedzinę, 15. niedodatnia, 16. zbiór wartości.

Rj39tqsMNsRFg21

Ćwiczenie 12

Ćwiczenie 13

Pewna funkcja $f (x)$ jest różniczkowalna dla każdego $x \in (0, 4)$ , a jej pochodna jest równa $f^{'} (x) = \frac{30 x}{\sqrt{4 x - x^{2}}}$ . Wyznacz maksymalne przedziały, w których ta funkcja jest rosnąca.

Aby wyznaczyć maksymalne przedziały, w których funkcja $f (x)$ jest rosnąca należy rozwiązać nierówność $\frac{30 x}{\sqrt{4 x - x^{2}}} ⩾ 0$ . Otrzymujemy kolejno:

$\frac{30 x}{\sqrt{4 x - x^{2}}} ⩾ 0$

$30 x ⩾ 0$

$x ⩾ 0$ ,

ale $x \in (0, 4)$ .

Zatem funkcja jest rosnąca w przedziale $(0, 4)$ .

Ćwiczenie 14

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 4}{x - 3}$ .

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D_{f} = (- \infty, 3) \cup (3, \infty)$ .

Pochodna funkcji jest równa

$f^{'} (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$ , przy czym $D_{f} = D_{f^{'}}$ .

Stąd wynika, że dla każdego $x \in D_{f} f^{'} (x) ⩽ 0$ , gdy $x^{2} - 6 x + 5 ⩽ 0$ oraz $f^{'} (x) ⩾ 0$ , gdy $x^{2} - 6 x + 5 ⩾ 0$ .

Ponieważ $f^{'} (x) ⩾ 0$ dla $x \in (- \infty, 1⟩ \cup ⟨5, \infty)$ , więc funkcja $f$ jest rosnąca w przedziałach $(- \infty, 1⟩$ , $⟨5, \infty)$ .

Ponieważ $f^{'} (x) ⩽ 0$ dla $x \in ⟨1, 3) \cup (3, 5⟩$ , więc funkcja $f$ jest malejąca w przedziałach $⟨1, 3)$ , $(3, 5⟩$ .

Ćwiczenie 15

Zbadaj monotoniczność funkcji

$f (x) = \{\begin{cases} x dla x \in ⟨0, 1⟩ \\ x - 1 dla x \in (1, 2⟩ \end{cases}$ .

Czy funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie?

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $⟨0, 2⟩$ .

Funkcja $f$ jest przedziałami rosnąca.

W przedziale $⟨0, 1⟩$ pochodna funkcji $f^{'} (x) = 1 ⩾ 0$ , więc funkcja jest rosnąca w tym przedziale oraz w przedziale $(1, 2⟩$ pochodna funkcji $f^{'} (x) = 1 ⩾ 0$ , więc funkcja jest również rosnąca w tym przedziale.

Nie jest prawdą, że funkcja $f$ rośnie w całej swojej dziedzinie. Niech np. $x_{1} = \frac{1}{2}$ oraz $x_{2} = 1 \frac{1}{4}$ . Wówczas mamy $x_{1} < x_{2}$ , ale $f (x_{1}) > f (x_{2})$ , co jest sprzeczne z definicją funkcji rosnącej.

Ćwiczenie 16

Wykaż, że funkcja

$f (x) = \{\begin{cases} - 1 dla x \in ⟨0, 1⟩ \\ 2 dla x \in (2, 4⟩ \end{cases}$

nie jest funkcją stałą na zbiorze $U = ⟨0, 1⟩ \cup (2, 4⟩$ .

Funkcja $f (x)$ ma w przedziale $⟨0, 1⟩$ pochodną równą zero, więc jest w tym przedziale funkcją stałą.

Podobnie w przedziale $(2, 4⟩$ jej pochodna jest równa zeru, więc jest funkcją stałą w tym przedziale.

Nie jest prawdą, że funkcja $f$ jest stała w zbiorze $U$ . Niech np. $x_{1} = \frac{1}{2}$ oraz $x_{2} = 2 \frac{1}{2}$ . Wówczas mamy $x_{1} < x_{2}$ , ale $f (x_{1}) = - 1$ i $f (x_{2}) = 2$ , oraz $f (x_{1}) - f (x_{2}) \neq 0$ , co jest sprzeczne z definicją funkcji stałej.

Słownik

styczna

jeśli funkcja $f$ ma w punkcie $x_{0}$ pochodną, to styczną do wykresu tej funkcji w punkcie $(x_{0}, f (x_{0}))$ jest prosta o równaniu:

y - f (x_{0}) = f' (x_{0}) (x - x_{0})

funkcja ciągła w przedziale domkniętym

funkcję $f$ nazywamy ciągłą w przedziale domkniętym $⟨a, b⟩$ , jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału, tj. dla każdego punktu $x_{0} \in ⟨ a, b⟩$ istnieje granica $\lim_{x \to x_{0}} f (x)$ oraz $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$

2. Ekstrema lokalne funkcji

M_R_W19_M4 Zagadnienia optymalizacyjne

Słownik