2. Ekstrema lokalne funkcji - M_R_W19_M4 Zagadnienia optymalizacyjne

Rxge82N2QoujK

Minimalizacja i maksymalizacja odgrywają istotną rolę w wielu gałęziach nauki i życia codziennego. Problem minimalizacji możemy spotkać już na poziomie atomowym, np. znajdując optymalna geometrię cząsteczki minimalizujemy jej energię potencjalną rozumianą jako funkcję położenia atomów. Istnieje wiele zaawansowanych algorytmów minimalizacji (maksymalizacji). Standardowe metody prowadzą nas do wyznaczenia ekstremum lokalnego funkcji opisującej dane zjawisko.

Twoje cele

Dowiesz się co to jest ekstremum funkcji.
Nauczysz się klasyfikować ekstrema funkcji.
Dowiesz się jaki warunek konieczny powinien być spełniony, aby funkcja miała ekstremum.
Dowiesz się jaki jest warunek wystarczający, aby funkcja posiadała ekstremum.
Dowiesz się jak wyznaczać ekstrema funkcji.

Minimum lokalne

Definicja: Minimum lokalne

Mówimy, że funkcja $f (x)$ ma w punkcie $x_{0}$ minimum lokalne równe $f (x_{0})$ , gdy można wskazać takie otoczenie punktu $x_{0}$ , że dla każdego argumentu z tego otoczenia

f (x_{0}) ⩽ f (x)

Maksimum lokalne

Definicja: Maksimum lokalne

Mówimy, że funkcja $f (x)$ ma w punkcie $x_{0}$ maksimum lokalne równe $f (x_{0})$ , gdy można wskazać takie otoczenie punktu $x_{0}$ , że dla każdego argumentu z tego otoczenia

f (x_{0}) ⩾ f (x)

Maksimum (minimum) właściwe (niewłaściwe)

Definicja: Maksimum (minimum) właściwe (niewłaściwe)

Jeśli istnieje takie otoczenie, w którym dla $x \neq x_{0}$ spełniona jest ostra nierówność $f (x_{0}) < f (x)$ lub $f (x) < f (x_{0})$ to mówimy, że funkcja ma w punkcie $x_{0}$ maksimum (minimum) właściwe, w przeciwnym wypadku mówimy o maksimum (minimum) niewłaściwym.

Maksimum i minimum określamy terminem ekstremum. Ekstremum po łacinie oznacza skrajne.

Wniosek:

Funkcja posiada ekstremum lokalne w punkcie, w którym następuje zmiana jej monotoniczności.

Przykład 1

Narysujemy przykład wykresu takiej funkcji $f (x)$ , która w punktach $(- 2)$ i $2$ osiąga minimum lokalne, a w punkcie $1$ ma maksimum lokalne, przy czym $f (2) > f (- 2)$ .

Rozwiązanie:

Przykładowe rozwiązanie przedstawia poniższy wykres.

RRKO1QBCGF5yw

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus dziesięciu do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji biegnący w następujący sposób. Od minus nieskończoności, niemal pionowo w dół. W punkcie x=-3 wykres przebija pod oś X i biegnie niemal pionowo w dół. Odbija w górę dla x równego minus dwa i w punkcie 0;0 przebija nad oś X. Biegnie w górę, odbija w dół dla x równego jeden, następnie ponownie w górę dla x równego 214 i biegnie niemal pionowo w górę do plus nieskończoności.

Przykład 2

Narysujemy przykład wykresu takiej funkcji $f (x)$ , która w przedziałach $⟨- 3, - 1⟩$ oraz $⟨1, 3⟩$ ma minima lokalne, w przedziale $⟨- 2, 0⟩$ ma maksimum lokalne, przy czym $(- 2)$ , $0$ , $2$ są miejscami zerowymimiejsce zerowe funkcjimiejscami zerowymi tej funkcji.

Rozwiązanie:

Przykładowe rozwiązanie przedstawia poniższy wykres.

R13tZZgM69Q36

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus trzech do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji biegnący w następujący sposób. Od minus nieskończoności niemal pionowo w dół. W punkcie x=-2, funkcja odbija od osi X. Biegnie w górę, odbija w dół dla x równego -23, a następnie w punkcie 0;0 przebija pod oś X. Biegnie w dół do x równego jeden, następnie odbija w górę. W punkcie x=2 funkcja przebija nad oś X i biegnie niemal pionowo w górę do plus nieskończoności

Polecenie 1

Zapoznaj się z prezentacją multimedialną, a następnie wykonaj polecenia zamieszczone pod nią.

R1Vgr0a1fhsfQ

Polecenie 2

R1KkB0ft7TgB9

Łączenie par. Na podstawie informacji zawartych w filmie zaznacz czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe.. Funkcja f ma w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego maksimum lokalne właściwe równe f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, gdy można wskazać takie otoczenie punktu x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, że dla każdego argumentu x z tego otoczenia f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, f nawias, x, zamknięcie nawiasu.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Funkcja f ma w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego minimum lokalne właściwe równe f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, gdy można wskazać takie otoczenie punktu x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, że dla każdego argumentu x z tego otoczenia f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, f nawias, x, zamknięcie nawiasu.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Funkcja f ma w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego maksimum lokalne właściwe równe f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, gdy można wskazać takie otoczenie punktu x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, że dla każdego argumentu x z tego otoczenia f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, większy niż, f nawias, x, zamknięcie nawiasu.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Funkcja f ma w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego maksimum lokalne właściwe równe f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, gdy można wskazać takie otoczenie punktu x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, że dla każdego argumentu x z tego otoczenia f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, większy niż, f nawias, x, zamknięcie nawiasu.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Polecenie 3

Korzystając z definicji pokażemy, że funkcja $f (x) = |x - 2|$ ma ekstremum lokalne w punkcie $x_{0} = 2$ .

Zauważmy, że $f (2) = 0 < |x - 2| = f (x)$ dla każdego $x \neq 2$ . Oznacza to, z definicji, że funkcja $f$ ma w punkcie $x_{0} = 2$ minimum lokalne właściwe.

Warunek konieczny istnienia ekstremum

Twierdzenie: Warunek konieczny istnienia ekstremum

Jeśli funkcja $f (x)$ jest różniczkowalna w punkcie $x_{0}$ i ma w tym punkcie ekstremum, to

f' (x_{0}) = 0

Punkty, w których pochodna funkcji jest równa zeru nazywamy punktami stacjonarnymi.

Uwaga!

Twierdzenie odwrotne jest fałszywe.
Na przykład funkcja $f (x) = x^{3}$ , ma pochodną $f' (x) = 3 x^{2}$ w punkcie $x_{0} = 0$ równą zeru $(f' (0) = 0)$ i nie ma w tym punkcie ekstremum.

R1aTdD9dT7Tly

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do trzech. Na układzie współrzędnych zaznaczono wykresy funkcji danej wzorem fx=x3. — Wykres funkcji danej wzorem $f (x) = x^{3}$ .

Zapamiętaj!

Zerowanie się pochodnej jest warunkiem koniecznym istnienia ekstremum lokalnego dla funkcji różniczkowalnej, ale nie jest warunkiem wystarczającym.

Uwaga!

Jeśli funkcja $f (x)$ jest różniczkowalna w punkcie $x_{0}$ i $f' (x_{0}) \neq 0$ , to funkcja ta nie ma w tym punkcie ekstremum. Funkcja może mieć ekstremum lokalne jedynie w punktach, w których jej pochodna nie istnieje albo istnieje i jest równa zeru.

Przykład 3

Sprawdzimy, w którym z punktów: $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 0$ , $x_{3} = 1$ , $x_{4} = 3$ funkcja $f (x) = x^{5} - \frac{5}{4} x^{4}$ może mieć ekstremum, a w którym na pewno nie ma.

Rozwiązanie:

Funkcja $f (x)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $ℝ$ . Jej pochodna dana jest wzorem $f' (x) = 5 x^{4} - 5 x^{3}$ .

Na mocy pierwszego twierdzenia o warunku koniecznym istnienia ekstremum, funkcja różniczkowalnafunkcja różniczkowalnafunkcja różniczkowalna $f (x)$ może mieć ekstremum w punkcie, wtedy i tylko, gdy jej pochodna jest w tym punkcie równa zeru.

Sprawdźmy, kiedy pochodna $f' (x) = 0$ . Otrzymujemy kolejno:

$f' (x) = 0$ , gdy $5 x^{4} - 5 x^{3} = 0$ , czyli $x = 0$ lub $x = 1$ .

Stąd rozważana funkcja $f (x)$ może mieć (ale nie musi) ekstremum tylko w punktach $x_{2} = 0$ , $x_{3} = 1$ , a na pewno nie ma ich w punktach $x_{1} = - 2$ , $x_{4} = 3$ .

Przykład 4

Sprawdzimy w jakich punktach funkcja $f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 1}$ mogłaby mieć ekstremum.

Rozwiązanie:

Dziedziną funkcji jest zbiór $ℝ$ . Funkcja $f (x)$ jako funkcja wymierna jest różniczkowalna w całej dziedzinie. Jej pochodna dana jest wzorem

$f' (x) = \frac{2 x (1 + x^{2}) - 2 x (x^{2} - 4)}{{(1 + x^{2})}^{2}} = \frac{10 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

Sprawdzamy, kiedy spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum, czyli kiedy pochodna $f' (x) = 0$ . Otrzymujemy kolejno:

$f' (x) = 0$ , gdy $\frac{10 x}{{(1 + x^{2})}^{2}} = 0$ , czyli $10 x = 0$ , stąd $x = 0$ .

Punkt $x = 0$ jest punktem stacjonarnym, czyli takim w którym funkcja $f$ może (ale nie musi) mieć ekstremum.

Przykład 5

Uzasadnimy, że funkcja $f (x) = \frac{4}{x^{2}}$ nie ma ekstremum.

Rozwiązanie:

Dziedziną funkcji jest zbiór $D_{f} = ℝ ∖ \{0\}$ .

Funkcja $f (x)$ jako funkcja wymierna jest różniczkowalna w całej dziedzinie. Jej pochodna dana jest wzorem $f' (x) = \frac{- 8}{x^{3}} \neq 0$ dla każdego argumentu ze zbioru $ℝ ∖ \{0\}$ .

Zatem nie jest spełniony warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji, czyli nie ma takiego punktu $x_{0} \in D_{f}$ , dla którego pochodna $f' (x_{0}) = 0$ .

Stąd rozważana funkcja $f$ nie ma ekstremum.

Polecenie 4

Zapoznaj się z prezentacją multimedialną, a następnie wykonaj ćwiczenia zamieszczone poniżej.

RJlM33ZShULjQ

Polecenie 5

RibL9wFzopPGc2

Polecenie 6

Wyznaczymy punkty, w których funkcja $f (x) = {(x - 2)}^{2} (x + 3)$ może (ale nie musi) mieć ekstrema.

Funkcja $f (x)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $ℝ$ .

Jej pochodna dana jest wzorem $f' (x) = 2 (x - 2) (x + 3) + {(x - 2)}^{2} = (x - 2) (3 x + 4)$ .

Na mocy Twierdzenia o warunku koniecznym istnienia ekstremum funkcji wiemy, że funkcja może, ale nie musi mieć ekstremum w punktach dla których $f' (x) = 0$ . Mamy zatem

$(x - 2) (3 x + 4) = 0$ , czyli $x = 2$ lub $x = - \frac{4}{3}$ .

Zatem funkcja $f$ może (ale nie musi) mieć ekstrema w punktach $x = 2$ , $x = - \frac{4}{3}$ .

Warunek wystarczający istnienia ekstremum

Twierdzenie: Warunek wystarczający istnienia ekstremum

a) Jeśli funkcja $f$ jest różniczkowalna w przedziale $(a, b)$ i $f' (x) < 0$ dla $x \in (a, x_{0})$ oraz $f' (x) > 0$ dla $x \in (x_{0}, b)$ , to funkcja ma w punkcie $x_{0}$ minimum.

b) Jeśli funkcja $f$ jest różniczkowalna w przedziale $(a, b)$ i $f' (x) > 0$ dla $x \in (a, x_{0})$ oraz $f' (x) < 0$ dla $x \in (x_{0}, b)$ , to funkcja ma w punkcie $x_{0}$ maksimum.

Powyższe twierdzenie można wypowiedzieć prościej. Zdefiniujmy następujące zwroty.

Jeśli wartość danej funkcji $f$ jest w każdym punkcie danego przedziału $(a, b)$ liczbą dodatnią (ujemną), to mówimy, że funkcja $f$ jest w przedziale $(a, b)$ dodatnia (ujemna) lub, że funkcja $f$ ma w przedziale $(a, b)$ znak dodatni (ujemny).

Jeśli istnieje liczba dodatnia $ε$ taka, że w przedziale $(x_{0} - ε, x_{0})$ funkcja jest dodatnia (ujemna), a w przedziale $(x_{0}, x_{0} + ε)$ jest odpowiednio ujemna (dodatnia), to mówimy, że przy przejściu przez punkt $x_{0}$ funkcja zmienia znak z „ $+$ ” na „ $-$ ” (z „ $-$ ” na „ $+$ ”).

Możemy teraz Twierdzenie o warunku wystarczającym istnienia ekstremum wyrazić w następujący sposób:

Jeżeli $x_{0}$ jest miejscem zerowym pochodnej funkcji $f$ (czyli jest spełniony warunek konieczny istnienia ekstremumwarunek konieczny istnienia ekstremumwarunek konieczny istnienia ekstremum) i przy przejściu przez punkt $x_{0}$ pochodna funkcji zmienia znak, to w punkcie $x_{0}$ funkcja ma ekstremum, przy czym w punkcie $x_{0}$ jest:

a) maksimum, gdy znak pochodnej funkcji $f$ zmienia się z „ $+$ ” na „ $-$ ”,

b) minimum, gdy znak pochodnej funkcji $f$ zmienia się z „ $-$ ” na „ $+$ ”.

Przykład 6

Na podstawie wykresów pochodnej funkcji przedstawionych na poniższych rysunkach ustalimy punkty, w których te funkcje osiągają ekstremum.

R1ckejIH7N7yy

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią Y od minus trzech do trzech. Zaznaczono w nim wykres pochodnej funckji f, który jest parabolą z ramionami skierowanymi do góry, która ma miejsce zerowe w punkcie 0 i 2 oraz wierzchołek w punkcie o współrzędnych 1,-3.

RDdvPnL8SfyKv

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią Y od minus dwóch do dwóch. W układzie zaznaczono wykres pochodnej funkcji f. Wykres rośnie od minus nieskończoności delikatnie nad osią X do punktu -12,12, następnie maleje przechodząc przez początek układu współrzędnych do punktu 12,-12. Od tego momentu funkcja rośnie asymptotycznie zbliżając się do pionowej osi X dla argumentów dążących do nieskończoności.

RDtp6HxVv879G

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią Y od minus dwóch do trzech. W układzie zaznaczono wykres pochodnej funkcji f. Wykres biegnie w dół od nieskończoności prawie pionowo wzdłuż osi Y do początku układu współrzędnych, a następnie biegnie w górę do punktu, gdzie dla argumentu bliskiego jedynce funkcja przyjmuje wartość powyżej jeden Następnie od tego punktu wykres biegnie w dół przebijając oś X w punkcie równy jeden do minus nieskończoności.

R1VAzANbdONZb

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią Y od minus jeden do pięciu. W układzie zaznaczono wykres pochodnej funkcji f. Wykres biegnie w dół od nieskończoności do punktu x równego minus jeden i następnie biegnie w górę to punktu gdzie dla argumentu bliskiego zeru funkcja przyjmuje wartość bliską czwórki, dalej biegnie w dół do punktu 1,0 i łukiem łączy się z punktem 2,0 i od tego punktu wykres funckji biegnie w górę do plus nieskończoności.

Rozwiązanie:

Ad a)
Funkcja $f$ osiąga ekstrema w punktach $0$ i $2$ . W punkcie $0$ pochodna przyjmuje wartość zero i w otoczeniu tego punktu zmienia znak z „ $+$ ” na „ $-$ ”, zatem spełniony jest warunek wystarczający, czyli funkcja osiąga w tym punkcie maksimum. W punkcie $2$ pochodna przyjmuje wartość zero i w otoczeniu tego punktu zmienia znak z „ $-$ ” na „ $+$ ”, zatem spełniony jest warunek wystarczający, czyli funkcja osiąga w tym punkcie minimum.

Ad b)
Funkcja $f$ osiąga ekstrema w punkcie $0$ . W punkcie $0$ pochodna przyjmuje wartość zero i w otoczeniu tego punktu zmienia znak z „ $+$ ” na „ $-$ ”, zatem spełniony jest warunek wystarczający, czyli funkcja osiąga w tym punkcie maksimum.

Ad c)
Funkcja $f$ może osiągać ekstrema w punktach $0$ i $1$ . W punkcie $0$ pochodna przyjmuje wartość zero, ale w otoczeniu tego punktu nie zmienia znaku, zatem nie jest spełniony warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji. Funkcja nie ma w tym punkcie ekstremum. W punkcie $1$ pochodna przyjmuje wartość zero oraz zmienia znak zatem spełniony jest warunek wystrczający ekstremum. Funckja posiada w tym punkcie ekstremum.

Ad d)
Funkcja $f$ może osiągać ekstrema w punktach $(- 1)$ , $1$ , $2$ . W punktach tych pochodna przyjmuje wartość zero, ale w otoczeniach tych punktów nie zmienia znaku, zatem nie jest spełniony warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji. Funkcja nie posiada w tych punktach ekstremów.

Przykład 7

Wykażemy, że funkcja dana wzorem $f (x) = x^{2} {(x - 2)}^{2}$ ma trzy ekstrema.

Rozwiązanie:

Dziedziną funkcji jest zbiór $D_{f} = ℝ$ . Funkcja $f (x)$ jako wielomian jest różniczkowalna w całej dziedzinie. Jej pochodna dana jest wzorem $f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 x$ , $D_{f'} = D_{f}$ .

Warunek konieczny:

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 x = 0$ ,

$x (x - 1) (x - 2) = 0$ ,

$x = 0$ , $x = 1$ , $x = 2$

Warunek wystarczający:

Poniższy rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji.

R1eKdfgwblAWb

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią Y od minus dwa do dwa. W układzie zaznaczono wykres pochodnej funkcji f. Wykres funckji biegnie w górę od minus nieskończoności do punktu gdzie dla argumentu, bliskiego jedynce funkcja przyjmuje wartość powyżej jedynki i przechodzi przez początek układu współrzędnych, następnie biegnie w dół przechodząc przez punkt 1,0 , a następnie wykres funkcji odbija się i biegnie w górę do nieskończoności przechodząc przez punkt 2,0 .

$f' (x) > 0$ , dla $x \in (0, 1) \cup (2, \infty)$ .

$f' (x) < 0$ , dla $x \in (- \infty, 0) \cup (1, 2)$ .

W punktach $0$ i $2$ pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, więc funkcja posiada w nich minimum lokalne. W punkcie $1$ pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, więc funkcja posiada w nim maksimum lokalne. Zatem funkcja posiada trzy ekstrema.

Przykład 8

Dla jakich wartości parametru $a$ funkcja $f$ dana wzorem $f (x) = x^{3} - a x^{2} + 3 x$ nie spełnia warunku wystarczającego istnienia ekstremum w otoczeniu pewnego punktu?

Rozwiązanie:

Funkcja $f (x)$ jako wielomian jest różniczkowalnafunkcja różniczkowalnaróżniczkowalna w zbiorze $ℝ$ . Jej pochodna dana jest wzorem $f' (x) = 3 x^{2} - 2 a x + 3$ , $D_{f'} = D_{f}$ . Aby nie był spełniony warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji jej pochodna nie zmienia znaku, czyli w naszym przypadku $f' (x) ⩾ 0$ . Otrzymujemy kolejno:

$3 x^{2} - 2 a x + 3 ⩾ 0$ ,

$Δ = 4 a^{2} - 36 = 4 (a^{2} - 9)$ .

Aby pochodna była niedodatnia lub nieujemna $Δ ⩽ 0$ . Inaczej mówiąc, pochodna jest opisana funkcją kwadratową. Ramiona paraboli będącej jej wykresem skierowane są ku górze, zatem, aby pochodna nie zmieniała znaku może posiadać co najwyżej jedno miejsce zerowe. Stąd otrzymujemy $a \in ⟨- 3, 3⟩$ . Dla $a \in ⟨- 3, 3⟩$ nie jest spełniony warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji $f$ .

R10yuSd0CsM3b

Polecenie 7

Zapoznaj się z filmem samouczkiem, a następnie wykonaj polecenia zamieszczone pod filmem.

RQzs4rQAwhEr3

Polecenie 8

R1Cna0sdzNLjA

Polecenie 9

Sprawdzimy, kiedy spełniony jest warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji $f (x) = \frac{x^{2} - 5 x + 4}{x - 5}$ .

Funkcja $f (x)$ jako wymierna jest różniczkowalna w zbiorze $D_{f} = ℝ ∖ \{5\}$ . Jej pochodna dana jest wzorem

$f' (x) = \frac{(2 x - 5) (x - 5) - (x^{2} - 5 x + 4)}{{(x - 5)}^{2}} = \frac{x^{2} - 10 x + 21}{{(x - 5)}^{2}}$ , $D_{f'} = D_{f}$ .

Na mocy Twierdzenia o warunku wystarczającym istnienia ekstremum funkcji sprawdzamy kiedy pochodna jest dodatnia, a kiedy ujemna. Mamy kolejno:

$f' (x) > 0$ ,

$\frac{x^{2} - 10 x + 21}{{(x - 5)}^{2}} > 0$ ,

$x^{2} - 10 x + 21 > 0$ ,

$x \in (- \infty, 3) \cup (7, \infty)$ ;

$f' (x) < 0$ ,

$\frac{x^{2} - 10 x + 21}{{(x - 5)}^{2}} < 0$ ,

$x^{2} - 10 x + 21 < 0$ ,

$x \in (3, 7)$ .

Stąd warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji jest spełniony w otoczeniu punktów $3$ i $7$ .

Algorytm szukania ekstremum funkcji

Niech funkcja $f$ będzie ciągła na przedziale $⟨a, b⟩$ i niech ma pochodną właściwą lub niewłaściwą poza skończoną liczbą punktów tego przedziału. Ekstrema tej funkcji szukamy postępując według następującego algorytmu:

Sprawdzamy, kiedy spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji. W tym celu znajdujemy punkty zerowania się pochodnej funkcji $f$ oraz punkty, w których pochodna właściwa tej funkcji nie istnieje.

Następnie posługujemy się twierdzeniem o warunku wystarczającym istnienia ekstremum. Badamy zmianę „znaku” pochodnej w punktach stacjonarnych, tj. przy przejściu przez punkt, w którym pochodna zeruje się.

Określamy rodzaj ekstremum według następujących reguł:
- Jeśli pochodna przy przejściu przez punkt stacjonarny zmienia znak z ujemnego na dodatni, to funkcja osiąga w tym punkcie minimum.
- Jeśli pochodna przy przejściu przez punkt stacjonarny zmienia znak z dodatniego na ujemny, to funkcja osiąga w tym punkcie maksimum.
- Jeśli pochodna przy przejściu przez punkt stacjonarny nie zmienia znaku, to funkcja nie posiada w tym punkcie ekstremum.

Przykład 9

Wyznaczymy ekstrema lokalne następującej funkcji $f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 1$ .

Rozwiązanie:

Funkcja $f (x)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $D_{f} = ℝ$ . Jej pochodna dana jest wzorem

$f' (x) = 3 x^{2} + 18 x + 15$ , $D_{f} = D_{f'}$ .

Na mocy pierwszego Twierdzenia o warunku koniecznym istnienia ekstremum, funkcja różniczkowalnafunkcja różniczkowalnafunkcja różniczkowalna $f (x)$ może mieć ekstremum w punkcie, wtedy i tylko, gdy jej pochodna jest w tym punkcie jest równa zeru.

Sprawdźmy, kiedy pochodna $f' (x) = 0$ .

Otrzymujemy kolejno:

$f' (x) = 0$ , gdy $3 x^{2} - 18 x + 15 = 0$ , czyli $x = 1$ lub $x = 5$ .

Sprawdzamy warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji.

Badamy zmianę znaku pochodnej w otoczeniu punktów stacjonarnych korzystając z jej wykresu.

R1YVai82qcGYG

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 7 i pionową osią y od minus 12 do dziewięć. W płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji f', o kształcie paraboli, której ramiona skierowane są do góry. Wierzchołek paraboli jest w punkcie nawias trzy średnik minus dwanaście zamknięcie nawiasu, jej ramiona przecinają oś x w punktach: nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu oraz nawias pięć średnik zero zamknięcie nawiasu.

W otoczeniu punktu $x = 1$ pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, zatem w tym punkcie funkcja ma maksimum równe $f_{max} (1) = 8$ .

W otoczeniu punktu $x = 5$ pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, zatem w tym punkcie funkcja ma minimum równe $f_{min} (5) = - 24$ .

Przykład 10

Wyznaczymy ekstrema lokalne następującej funkcji $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ dla $x \in ℝ ∖ \{1\}$ .

Rozwiązanie:

Dziedziną funkcji jest zbiór $D_{f} = ℝ ∖ \{1\}$ .

Funkcja $f (x)$ jako funkcja wymierna jest różniczkowalna w całej dziedzinie. Jej pochodna dana jest wzorem

$f' (x) = \frac{2 x (x - 1) - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$ , $D_{f} = D_{f'}$ .

Sprawdzamy, kiedy spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum, czyli kiedy pochodna $f' (x) = 0$ .

Otrzymujemy kolejno:

$f' (x) = 0$ , gdy $\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ , czyli $x^{2} - 2 x = 0$ , stąd $x = 0$ lub $x = 2$ .

Sprawdzamy warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji.

Badamy zmianę znaku pochodnej w otoczeniu punktów stacjonarnych korzystając z jej wykresu.

R1NInLsk0kBAm

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 4 i pionową osią y od minus 2 do dwa. W płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji f', o kształcie hiperboli, której asymptotą pionową jest prosta o równaniu x=1, a pozioma asymptota ma równanie y=1. Lewa część wykresu przechodzi przez środek układu współrzędnych. Prawa część wykresu przecina oś x w punkcie nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu.

W otoczeniu punktu $x = 0$ pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, zatem w tym punkcie funkcja ma maksimum równe $f_{max} (0) = 0$ .

W otoczeniu punktu $x = 2$ pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, zatem w tym punkcie funkcja ma minimum równe $f_{min} (2) = 4$ .

Uwaga:

Dla rozważanej funkcji $f (x)$ badanie znaku pochodnej można ograniczyć do badania znaku funkcji znajdującej się w liczniku pochodnej

R1BPAs3MjFeVx

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 4 i pionową osią y od minus 2 do trzy. W płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji z licznika pochodnej, o kształcie paraboli, której ramiona skierowane są do góry. Wierzchołek paraboli jest w punkcie nawias jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, jej ramiona przecinają oś x w punktach: nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu oraz nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu.

Zmiana znaku funkcji z licznika wpływa na znak całej pochodnej.

Przykład 11

Wyznaczymy ekstrema lokalne następującej funkcji $f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2}}$ dla $x \in ℝ ∖ \{0\}$ .

Rozwiązanie:

Dziedziną funkcji jest zbiór $D_{f} = ℝ ∖ \{0\}$ .

Funkcja $f (x)$ jako funkcja wymierna jest różniczkowalna w całej dziedzinie. Jej pochodna dana jest wzorem

$f' (x) = \frac{(2 x - 3) \cdot x^{2} - (x^{2} - 3 x + 2) \cdot 2 x}{x^{4}} = \frac{3 x - 4}{x^{3}}$

dla każdego argumentu ze zbioru $ℝ ∖ \{0\}$ .

Sprawdzamy, kiedy spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum, czyli kiedy pochodna $f' (x) = 0$ .

Otrzymujemy kolejno:

$f' (x) = 0$ , gdy $\frac{3 x - 4}{x^{3}} = 0$ , czyli $3 x - 4 = 0$ , stąd $x = \frac{4}{3}$ .

Sprawdzamy warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji.

Badamy zmianę znaku pochodnej w otoczeniu punktów stacjonarnych.

Otrzymujemy kolejno

$\frac{3 x - 4}{x^{3}} > 0$ ,

$x (3 x - 4) > 0$ ,

$x \in (- \infty, 0) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$ .

$\frac{3 x - 4}{x^{3}} < 0$ ,

$x (3 x - 4) < 0$ ,

$x \in (0, \frac{4}{3})$ .

W otoczeniu punktu $x = \frac{4}{3}$ pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, zatem w tym punkcie funkcja ma minimum równe $f_{min} (\frac{4}{3}) = - 0, 125$ .

Punkt $x = 0$ nie należy do dziedziny funkcji (ani pochodnej) zatem funkcja nie może mieć w nim ekstremum.

Przykład 12

Sprawdzimy, ile ekstremów posiada funkcja $f (x) = x^{3} + a x + 2$ w zależności od wartości parametru $a$ .

Rozwiązanie:

Funkcja $f (x)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $ℝ$ . Jej pochodna dana jest wzorem

$f' (x) = 3 x^{2} + a$ .

Otrzymujemy kolejno

dla $a > 0$ pochodna $f' (x) > 0$ dla każdego argumentu z dziedziny funkcji. Zatem dla żadnego punktu z dziedziny nie jest spełniony warunek konieczny, ani wystarczający istnienia ekstremum funkcji. Funkcja nie ma ekstremum.

dla $a = 0$ pochodna $f' (x) \geq 0$ dla każdego argumentu z dziedziny funkcji. Istnieją zatem punkty, dla których spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji, ale nie jest spełniony warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji, pochodna nie zmienia znaku. Zatem funkcja nie ma ekstremum.

dla $a < 0$ pochodna $f' (x) = 3 x^{2} - a$ dla każdego argumentu z dziedziny funkcji. Pochodna jest funkcją kwadratową, której wyróżnik $Δ > 0$ dla $a < 0$ . Stąd wynika, że pochodna ma dwa miejsca zerowe. Z własności funkcji kwadratowej posiadającej dwa miejsca zerowe wynika, że w otoczeniu tych miejsc pochodna zmienia znak. Zatem funkcja ma dwa ekstrema.

Przykład 13

O funkcji $f (x) = a x^{3} + b x + 2$ wiadomo, że w punkcie $x = - 1$ posiada ekstremum równe $4$ . Znajdziemy wartości współczynników $a$ i $b$ oraz pozostałe ekstrema funkcji (jeśli je posiada).

Rozwiązanie:

Funkcja $f (x)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $ℝ$ . Jej pochodna dana jest wzorem

$f' (x) = 3 a x^{2} + b$ .

Na mocy Twierdzenia o warunku koniecznym istnienia ekstremum funkcji wiemy, że funkcja ma punkty stacjonarne, wtedy i tylko wtedy, gdy $f' (x) = 0$ . Zatem $f' (- 1) = 0$ oraz $f (- 1) = 4$ .

Otrzymujemy kolejno

$f (- 1) = - a - b + 2 = 4$ ,

$f' (- 1) = 3 a + b = 0$ ,

stad $a = 1$ , $b = - 3$ .

Zatem pochodna funkcji $f$ dana jest wzorem $f' (x) = 3 x^{2} - 3$ .

Miejscami zerowymi pochodnej są punkty (warunek koniczny istnienia ekstremum funkcji) $x = 1$ i $x = - 1$ .

Pochodna jest dodatnia dla $x \in (- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$ oraz ujemna dla $x \in (- 1, 1)$ .

Zatem funkcja posiada drugie ekstremu w punkcie $x = 1$ i jest ono równe $0$ .

Polecenie 10

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych, a następnie wykonaj ćwiczenia zamieszczone pod nią.

R19Ei5XWrJ43l

RjNoayP3C8EBP

RtuK2p8GJKUoE

RLunGkUcIGe4E

RpOIthCBXMSEp

R1Si0LhXMzlFc

Rldh4TKZRqUjd

RVc47XqmbBN21

Polecenie 11

R1c61NZ8jZ3IP

Polecenie 12

Wyznaczymy ekstrema funkcji $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$ .

Funkcja $f (x)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $ℝ$ . Jej pochodna dana jest wzorem

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 x = 4 x (x - 1) (x - 2)$ .

Sprawdzamy, kiedy spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum, czyli kiedy pochodna $f' (x) = 0$ .

Otrzymujemy kolejno:

$4 x (x - 1) (x - 2) = 0$ , czyli $x = 0$ lub $x = 1$ lub $x = 2$ .

Sprawdzamy warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji.

Badamy zmianę znaku pochodnej w otoczeniu punktów stacjonarnych korzystając z jej wykresu.

RQQ6toHMto3sL

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus jeden do trzy i pionową osią y od minus dwa do dwa. W układzie zaznaczono wykres f', który jest krzywą o następującym kształcie: wykres pojawia się na płaszczyźnie w trzeciej ćwiartce układu, następnie biegnie po łuku przecinając środek układu współrzędnych, gdzie w okolicach punktu nawias zero pół średnik zero pół zamknięcie nawiasu, gdzie zmienia swój bieg i biegnie po łuku przez punkt nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu do okolic punktu nawias jeden i pół średnik minus jeden i pół zamknięcie nawiasu, gdzie znów zmienia swój bieg i biegnie przez punkt nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu i wybiega poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce.

W otoczeniu punktu $x = 0$ pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, zatem w tym punkcie funkcja ma minimum równe $f (0) = 0$ .

W otoczeniu punktu $x = 2$ pochodna również zmienia znak z ujemnego na dodatni, zatem w tym punkcie funkcja ma minimum równe $f_{min} (2) = 0$ .

W otoczeniu punktu $x = 1$ pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, zatem w tym punkcie funkcja ma maksimum równe $f_{max} (1) = 1$ .

Ćwiczenie 1

Na poniższym wykresie przedstawiono fragment pewnej funkcji.

RV4tFZftZv3W6

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od zera do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus jeden do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji biegnący w następujący sposób. Biegnie w górę, przebija nad oś X, i w punkcie A0;1 odbija w dół. W punkcie B odbija delikatnie w górę. W punkcie C odbija w dół, który jest na poziomie punku A i dalej przebija pod oś X w punkcie x równa się 2,5. W punkcie D odbija w górę, który znajduje się na wysokości poniżej minus 1, a następnie w punkcie E na poziomie powyżej minus jeden w dół. W punkcie F 5,-1 odbija ponownie w górę i biegnie niemal pionowo w górę do plus nieskończoności.

RY6mTHA4f2ucv

Ćwiczenie 2

Zaznacz czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe w zależności od tego czy przedstawiona na ilustracji funkcja posiada dane ekstremum.

R1eM04Tdfy8dg

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do trzech, oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji biegnący w następujący sposób. Od minus nieskończoności biegnie niemal pionowo w górę do punktu C-2;0. Następnie biegnie niemal pionowo w górę do punktu B, który znajduje się na wysokości powyżej 4, po czym odbija w dół. Biegnie do punktu A1;0, gdzie od osi X odbija w górę i biegnie niemal pionowo w górę do plus nieskończoności.

Rt8w99SWXOMyP

RikQLYDEjTc9P

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do trzech, oraz z pionową osią Y od minus czterech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji biegnący w następujący sposób. Od minus nieskończoności biegnie niemal pionowo w dół do punktu C-2;0. W punkcie C przebija pod oś X i biegnie do punktu D, który jest na wysokości poniżej minus trzy. W punkcie D odbija w górę i w punkcie 0;0 przebija nad oś X, biegnąc w górę do punktu , który jest na wysokości poniżej dwóch. B. W punkcie B odbija w dół, po czym w punkcie A1;0 odbija od osi X i biegnie niemal pionowo w górę do plus nieskończoności.

R7ql73FpWha9x

Ćwiczenie 3

Na poniższym wykresie przedstawiono fragment pewnej funkcji.

R5eP2Sdzu65Os

R1MkwzxgARD7P

Ćwiczenie 4

Narysuj wykres takiej funkcji ciągłej, która ma dokładnie trzy ekstrema lokalne: w punktach $x_{1} \in (- 1, 0)$ i $x_{2} \in (0, 1)$ – maksimum lokalne, w punkcie $x_{3} = 0$ – minimum lokalne, przy czym $f (x_{1}) = f (x_{2})$ .

Opisz wykres takiej funkcji ciągłej, która ma dokładnie trzy ekstrema lokalne: w punktach $x_{1} \in (- 1, 0)$ i $x_{2} \in (0, 1)$ – maksimum lokalne, w punkcie $x_{3} = 0$ – minimum lokalne, przy czym $f (x_{1}) = f (x_{2})$ .

Wybierzmy dwa dowolne punkty $(x_{1}, y_{1})$ oraz $(x_{2}, y_{2})$ , odcięta pierwszego punktu należy do przedziału $x_{1} \in (- 1, 0)$ , odcięta drugiego do przedziału $x_{2} \in (0, 1)$ oraz punkty mają takie same rzędne (bo $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ), czyli $y_{1} = y_{2}$ .

Punkty te będą reprezentowały maksima naszej funkcji.

Następnie zaznaczamy punkt minimum.

Odcięta tego punktu to $x_{3} = 0$ . Ponieważ funkcja ma dokładnie $3$ ekstrema lokalne, to z definicji minimum lokalnego właściwego i z ciągłości funkcji $f$ mamy, że $f (x_{3}) < f (x_{1})$ . Zatem rzędna $y_{3} < y_{1}$ .

Aby funkcja ciągła miała ekstrema jedynie we wskazanych punktach, powinna być rosnąca w przedziałach $(- 1, x_{1})$ , $(0, x_{2})$ oraz malejąca w przedziałach $(x_{1}, 0)$ , $(x_{2}, 1)$ .

Przykład wykresu funkcji przedstawia poniższy rysunek.

R1EEpsHWJdbV3

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do dwóch, oraz z pionową osią Y od minus jeden do jeden. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji biegnący w następujący sposób. Od minus nieskończoności biegnie w górę. W punkcie x=-1 przebija nad oś X, biegnie w górę i odbija w dół do punktu 0;0. W punkcie 0;0 odbija w górę, ponownie w dół i w punkcie x=1 przebija pod oś X i biegnie do plus nieskończoności.

Ćwiczenie 5

Na rysunkach przedstawiono fragmenty pochodnych pewnych funkcji różniczkowalnych. Na tej podstawie oceń prawdziwość każdego zdania.

R1dQUV9gHtYav

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do dwóch. Na układzie współrzędnych zaznaczono wykres funkcji danej wzorem y=f'x. Funkcja f maleje dla argumentów od minus nieskończoności do okolic argumentu minus jeden, ten fragment zawsze przyjmuje wartości ujemne, następnie funkcja w sposób płynny zaczyna rosnąć do okolic argumentu jeden, przechodząc przez punkt nawias zero średnik zero koniec nawiasu. Od okolic argumentu jeden funkcja jest malejąca dla argumentów do minus nieskończoności, ten fragment funkcji zawsze przyjmuje wartości dodatnie.

RNAy2JuSVMiCa

Ryac8unxzprA8

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do dwóch. W układzie współrzędnych zaznaczono wykres funkcji danej wzorem y=f'x. Funkcja f maleje dla argumentów od minus nieskończoności do okolic argumentu minus jeden, ten fragment jest dodatni dla argumentów od minus nieskończoności do minus dwóch, przechodzi przez punkt nawias minus dwa średnik zero koniec nawiasu, a następnie jest ujemny dla argumentów od minus dwóch do minus jednego, następnie funkcja w sposób płynny zaczyna rosnąć do okolic argumentu zero, przyjmując tylko wartości ujemne. Funkcja przecina oś y w punkcie nawias zero średnik minus jeden koniec nawiasu. Następnie płynnie maleje dla argumentów od zera do jednego, przy czym jej wartości na tym przedziale są ujemne. Funkcja rośnie dla argumentów od jednego do nieskończoności, ten fragment przyjmuje wartości ujemne dla argumentów od jednego do dwóch, przechodzi przez punkt nawias dwa średnik zero koniec nawiasu, a następnie przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów od dwóch do nieskończoności.

R1eHdpigHgMou

Rm8WpFnuStp0x

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do dwóch. W układzie współrzędnych zaznaczono wykres funkcji danej wzorem y=f'x. Funkcja f rośnie dla argumentów od minus nieskończoności do okolic argumentu minus, początek ułamka jeden, mianownik dwa, koniec ułamka, ten fragment przyjmuje wartości ujemne dla argumentów od minus nieskończoności do minus jednego, przechodzi przez punkt nawias minus jeden średnik zero koniec nawiasu, a następnie przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów od minus jednego do okolic argumentu minus początek ułamka 1, mianownik 2, koniec ułamka, następnie funkcja w sposób płynny zaczyna maleć do okolic argumentu jeden, przyjmując wartości ujemne dla argumentów od okolic argumentu minus początek ułamka 1, mianownik dwa koniec ułamka do zera, przechodzi przez punkt nawias zero średnik zero koniec nawiasu, a następnie przyjmuje wartości ujemne dla argumentów od zera do okolic argumentu jeden. Następnie płynnie rośnie dla argumentów od okolic argumentu jeden do nieskończoności, przy czym ten fragment przyjmuje wartości ujemne dla argumentów od okolic argumentu jeden do dwóch, przechodzi przez punkt nawias dwa średnik zero koniec nawiasu i przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów od dwóch do nieskończoności.

RBfIt4Uv97MUA

Ćwiczenie 6

RwxwT67XjnxYl

Ćwiczenie 7

Sprawdź, czy funkcja $f (x) = 3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 1$ może mieć w punktach $x_{1} = 1$ , $x_{2} = - \frac{1}{4}$ , $x_{3} = - \frac{2}{3}$ ekstremum, a w których na pewno nie ma.

Funkcja $f (x)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $ℝ$ .

Jej pochodna dana jest wzorem $f' (x) = 12 x^{3} + 3 x^{2} + 8 x + 2 = 3 x^{2} (4 x + 1) + 2 (4 x + 1) = (4 x + 1) (3 x^{2} + 2)$ .

Na mocy Twierdzenia o warunku koniecznym istnienia ekstremum, funkcja różniczkowalna $f (x)$ może mieć ekstremum w punkcie, wtedy i tylko, gdy jej pochodna w tym punkcie jest równa zeru.

Sprawdźmy, kiedy pochodna $f' (x) = 0$ . Otrzymujemy kolejno:

$f' (x) = 0$ , gdy $(4 x + 1) (3 x^{2} + 2) = 0$ , czyli $x = - \frac{1}{4}$ .

Stąd rozważana funkcja $f (x)$ może mieć (ale nie musi) ekstremum tylko w punkcie $x_{2} = - \frac{1}{4}$ , a na pewno nie ma ich w punktach $x_{1} = 1$ , $x_{3} = - \frac{2}{3}$ .

Ćwiczenie 8

Uzasadnij, że funkcja $f (x) = \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 1}$ nie ma ekstremum.

Dziedziną funkcji jest zbiór $D_{f} = ℝ ∖ \{- 1, 1\}$ .

Funkcja $f (x)$ jako funkcja wymierna jest różniczkowalna w całej dziedzinie.

Jej pochodna dana jest wzorem $f' (x) = \frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ , $D_{f'} = D_{f}$ . Mamy

$\frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \neq 0$ , $Δ < 0$ , dla każdego argumentu ze zbioru $ℝ ∖ \{- 1, 1\}$ .

Zatem nie jest spełniony warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji, czyli nie ma takiego punktu $x_{0} \in D_{f}$ , dla którego pochodna $f' (x_{0}) = 0$ . Stąd rozważana funkcja $f$ nie ma ekstremum.

Ćwiczenie 9

Na rysunkach przedstawiono fragmenty pewnych pochodnych funkcji różniczkowalnych. Na tej podstawie oceń prawdziwość każdego zdania.

R1AUBpbpX4EsK

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią Y od minus dwóch do dwóch. W układzie współrzędnych zaznaczono wykres pochodnej funckji f. Wykres funckji biegnie w górę od minus nieskończoności do punktu -1,0 , następnie łukiem poprowadzonym pod osią X łączy się z początkiem układu współrzędnych i dalej punkt ten łączy się łukiem poprowadzonym nad osią X z punktem 1,0 . Od tego punktu wykres funckji biegnie w górę do plus nieskończoności.

R1UoTIQdFvUR9

R15RE0j1qlWqO

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią Y od minus jeden do trzech. W układzie współrzędnych zaznaczono wykres pochodnej funckji f. Wykres funckji biegnie w dół prawie pionowo od minus nieskończoności do początku układów współrzędnych, następnie łukiem poprowadzonym nad osią X łączy się z punktem 1,0 , następnie punkt ten łączy się ponownie łukiem nad osią X z punktem 3,0 Od tego punktu wykres funckji biegnie w górę do plus nieskończoności.

R1J3J9j0L63yD

Ćwiczenie 10

Na rysunku przedstawiono fragment pewnej pochodnej funkcji różniczkowalnej.

RQCdsPvl8IxiD

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią Y od minus trzech do trzech. W układzie współrzędnych zaznaczono wykres pochodnej funckji f. Wykres funckji biegnie w dół prawie pionowo od minus nieskończoności do punktu o współrzędnych -1,0 , następnie łukiem poprowadzonym pod osią X łączy się z początkiem układu współrzędnych, następnie punkt ten łączy się ponownie łukiem pod osią X z punktem 3,0 i dalej biegnie w górę do plus nieskończoności.

RPebFqJippHmR

Ćwiczenie 11

RlUv9pJyCi68d

$f' (x) = 6 x^{2} - 2 x - 8 = (2 x + 2) (3 x - 4)$ ,
$f' (x) > 0$ , $x \in (- \infty, - 1) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$ ,
$f' (x) < 0$ , $x \in (- 1, \frac{4}{3})$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = \frac{4 - x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ dla $x \in ℝ$ ,
$f' (x) > 0$ , $\frac{4 - x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} > 0$ , $4 - x^{2} > 0$ , $x \in (- 2, 2)$ ,
$f' (x) < 0$ , $\frac{4 - x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} < 0$ , $4 - x^{2} < 0$ , $x \in (- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$ .

$f' (x) = {(x + 1)}^{3} + 3 (x - 2) {(x + 2)}^{2} = {(x + 1)}^{2} (4 x - 5)$ ,
$f' (x) > 0$ , ${(x + 1)}^{2} (4 x - 5) > 0$ , $x \in (\frac{5}{4}, \infty)$ ,
$f' (x) < 0$ , ${(x + 1)}^{2} (4 x - 5) < 0$ , $x \in (- \infty, - 1) \cup (- 1, \frac{5}{4})$ .

R11T1Fk2zh5AV2

Ćwiczenie 12

Ćwiczenie 13

Wykaż, że funkcja dana $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{4} x^{4} + 2 x^{2}$ ma dwa ekstrema.

Funkcja $f (x)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $D_{f} = ℝ$ .

Jej pochodna dana jest wzorem $f' (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4 x$ , $D_{f'} = D_{f}$ .

Sprawdzamy warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum funkcji. Otrzymujemy kolejno:

$x^{4} - 3 x^{3} + 4 x = 0$ ,

$x (x + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$ ,

$x = 0$ , $x = - 1$ , $x = 2$ .

Z poniższego wykresu odczytujemy znak pochodnej.

R1IZXY5EstheH

Mamy

$f' (x) > 0$ , dla $x \in (\infty, - 1) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$ ,

$f' (x) < 0$ , dla $x \in (- 1, 0)$ .

Zatem funkcja posiada dwa ekstrema, w punktach $0$ i $(- 1)$ .

Ćwiczenie 14

Wykaż, że funkcja dana wzorem $f (x) = x \sqrt{x}$ , dla $x \in (0, \infty)$ nie posiada ekstremum.

Dziedziną funkcji jest zbiór $D_{f} = (0, \infty)$ .

Funkcja $f (x)$ jest różniczkowalna w całej dziedzinie.

Jej pochodna dana jest wzorem:

$f' (x) = \sqrt{x} + x \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{3 \sqrt{x}}{2}$ , $D_{f'} = D_{f}$ .

Warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji nie jest spełniony w otoczeniu żadnego punktu, mamy

$f' (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{2} > 0$

dla każdego argumentu z dziedziny funkcji.

Zatem funkcja nie posiada ekstremum.

Ćwiczenie 15

Dla jakich wartości parametru $a$ funkcja $f$ dana wzorem $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{2}{3} a x^{3} + x - a$ nie spełnia warunku wystarczającego istnienia ekstremum w otoczeniu pewnego punktu?

Dziedziną funkcji jest zbiór $D_{f} = ℝ$ .

Funkcja $f (x)$ jest różniczkowalna w całej dziedzinie.

Jej pochodna dana jest wzorem $f' (x) = x^{4} - 2 a x^{2} + 1$ , $D_{f'} = D_{f}$ .

Aby warunek wystarczający nie był spełniony funkcja opisująca pochodną nie może zmieniać znaku oraz jej dziedziną musi być $R$ .

Wprowadźmy pomocniczą zmienną $t = x^{2}$ , $t ⩾ 0$ .

Wówczas pochodna przyjmuje postać $f' (t) = t^{2} - 2 a t + 1$ .

Warunek wystarczający nie będzie spełniony jeśli funkcja $f' (t)$ będzie przyjmowała tylko wartości dodatnie bądź równe zeru.

Stąd $Δ = 4 (a^{2} - 1) ⩽ 0$ , dla $a \in ⟨- 1, 1⟩$ .

Zatem warunek wystarczający nie jest spełniony dla $a \in ⟨- 1, 1⟩$ .

Ćwiczenie 16

Na poniższym rysunku przedstawiono wykres pochodnej funkcji $f (x) = a x^{3} + 4 x^{2} + b x + 1$ . Dla jakich wartości $a$ i $b$ funckja $f$ posiada dwa ekstrema w punktach $1$ i $3$ ?

R51RIkvv5foM2

Funkcja $f (x)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $D_{f} = ℝ$ .

Jej pochodna dana jest wzorem $f' (x) = 3 a x^{2} + 8 x + b$ , $D_{f'} = D_{f}$ .

Na podstawie wykresu pochodnej oraz treści zdania wiemy, że spełniony jest warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji w otoczeniu punktów $1$ i $3$ .

Możemy zapisać $f' (x) = m (x - 1) (x - 3) = m (x^{2} - 4 x + 3) = 3 a x^{2} + 8 x + b$ .

Porównujemy odpowiednie współczynniki, stąd $- 4 m = 8$ , czyli $m = - 2$ .

Zatem pochodna dana jest wzorem $f' (x) = - 2 (x - 1) (x - 3) = - 2 x^{2} + 8 x - 6$ .

Stąd otrzymujemy $a = - \frac{2}{3}$ oraz $b = - 6$ .

Ćwiczenie 17

Dana jest funkcja $f (x) = - x^{3} + p x^{2} - 24 x + 17$ . Dla jakiej wartości parametru $p$ funkcja osiąga maksimum w punkcie $x = 4$ ?

Funkcja $f (x)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $ℝ$ .

Jej pochodna dana jest wzorem $f' (x) = - 3 x^{2} + 2 p x - 24$ , $D_{f'} = D_{f}$ .

Aby funkcja miała „maksimum” we wskazanym punkcie $x = 4$ musi być jej miejscem zerowym oraz w otoczeniu tego punktu pochodna powinna zmieniać znak z “ $+$ ” na “ $-$ ”. Otrzymujemy kolejno

$f' (4) = 0$ ,

$- 72 + 8 p = 0$ ,

$p = 9$ .

Znajdziemy drugi pierwiastek funkcji opisującej pochodną i sprawdzimy jak zmienia się jej znak, czyli czy jest spełniony warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji. Mamy kolejno

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x - 24$ ,

$Δ = 4$ , $x_{1} = 4$ , $x_{2} = 2$ .

Korzystając z wykresu pochodnej przedstawionego na poniższym rysunku odczytujemy, że:

RL91fTd62342v

$f' (x) > 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x \in (2, 4)$

oraz

$f' (x) < 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x \in (- \infty, 2) \cup (4, \infty)$ .

Widać stąd, że przy przejściu przez punkt $x = 4$ pochodna zmienia znak z “ $+$ ” na “ $-$ ”.

Wobec tego w punkcie $x = 4$ funkcja $f$ ma maksimum.

R5viXRLLo2XRl11

Ćwiczenie 18

Łączenie par. Zaznacz czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe.. Funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego posiada trzy ekstrema. Pochodna funkcji jest równa f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery x nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu. Punkty stacjonarne to nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, zero, jeden. Zatem spełniony jest warunek koniczny istnienia ekstremum funkcji. Pochodna jest dodatnia dla x, należy do, nawias, minus, jeden, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu oraz ujemna dla x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu. Zatem spełniony jest warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji w otoczeniu punktów stacjonarnych.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć x posiada dwa ekstrema. Pochodna funkcji jest równa f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwanaście x. Punkty stacjonarne to zero, cztery. Zatem spełniony jest warunek koniczny istnienia ektremum funkcji. Pochodna jest ujemna dla x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, cztery, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu oraz dodatnia dla x, należy do, nawias, zero, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu. Zatem spełniony jest warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji w otoczeniu punktów stacjonarnych.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego posiada dwa ekstrema. Pochodna funkcji jest równa f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwanaście x. Punkty stacjonarne to zero, cztery. Zatem spełniony jest warunek koniczny istnienia ektremum funkcji. Pochodna jest dodatnia dla x, należy do, nawias, zero, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu oraz ujemna dla x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, cztery, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu. Zatem spełniony jest warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji w otoczeniu punktów stacjonarnych.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Ćwiczenie 19

RqbJ6hYwSkHU7

Wzór funkcji: $f (x) = a x^{2} + 3$ . Własność: funkcja nie posiada ekstremów.
Funkcja $f (x)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $ℝ$ . Jej pochodna dana jest wzorem $f' (x) = 2 a x$ . Funkcja nie będzie miała ekstremum dla $a = 0$ .

Wzór funkcji: $f (x) = x^{3} + a x^{2} + a x + a$ . Własność: funkcja posiada dwa ekstrema.
Funkcja $f (x)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $ℝ$ . Jej pochodna dana jest wzorem $f' (x) = 3 x^{2} + 2 a x + a$ . Funkcja będzie miała dwa ekstrema, jeśli jej pochodna będzie miała dwa miejsca zerowe oraz w otoczeniu tych miejsc będzie zmieniała znak. Mamy zatem:
$Δ = 4 a (a - 3) > 0$
dla $a \in (- \infty, 0) \cup (3, \infty)$ . Zatem funkcja $f$ ma dwa ekstrema dla $a \in (- \infty, 0) \cup (3, \infty)$ (funkcja kwadratowa, ramiona skierowane do góry).

Wzór funkcji: $f (x) = x^{4} + a x^{2} + a$ . Własność: funkcja posiada jedno ekstremum.
Funkcja $f (x)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $ℝ$ . Jej pochodna dana jest wzorem $f' (x) = 4 x^{3} + 2 a x = 2 x (2 x^{2} + a)$ . Funkcja będzie miała jedno ekstremum, jeśli jej pochodna będzie miała jedno miejsce zerowe oraz w otoczeniu tego miejsca będzie zmieniała znak. Zatem $a \in ⟨0, \infty)$ .

R6PUBTA8zJSMl1

Ćwiczenie 20

Uzupełnij podany tekst przeciągając w odpowiednie miejsca właściwy wyraz. Aby wyznaczyć 1. punkt stacjonarny, 2. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 3. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero, 4. warunek monotoniczności, 5. warunek wystarczający, 6. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero, 7. ekstrema, 8. maksimum, 9. punktach stacjonarnych, 10. właściwa, 11. minimum, 12. warunek koniczny, 13. znaku funkcji różniczkowalnej sprawdzamy czy spełniony jest 1. punkt stacjonarny, 2. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 3. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero, 4. warunek monotoniczności, 5. warunek wystarczający, 6. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero, 7. ekstrema, 8. maksimum, 9. punktach stacjonarnych, 10. właściwa, 11. minimum, 12. warunek koniczny, 13. znaku istnienia ekstremum funkcji. W tym celu znajdujemy punkty, w których 1. punkt stacjonarny, 2. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 3. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero, 4. warunek monotoniczności, 5. warunek wystarczający, 6. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero, 7. ekstrema, 8. maksimum, 9. punktach stacjonarnych, 10. właściwa, 11. minimum, 12. warunek koniczny, 13. znaku oraz punkty, w których pochodna 1. punkt stacjonarny, 2. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 3. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero, 4. warunek monotoniczności, 5. warunek wystarczający, 6. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero, 7. ekstrema, 8. maksimum, 9. punktach stacjonarnych, 10. właściwa, 11. minimum, 12. warunek koniczny, 13. znaku tej funkcji nie istnieje. Następnie sprawdzamy czy spełniony jest 1. punkt stacjonarny, 2. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 3. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero, 4. warunek monotoniczności, 5. warunek wystarczający, 6. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero, 7. ekstrema, 8. maksimum, 9. punktach stacjonarnych, 10. właściwa, 11. minimum, 12. warunek koniczny, 13. znaku istnienia ekstremum funkcji. Badamy zmianę 1. punkt stacjonarny, 2. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 3. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero, 4. warunek monotoniczności, 5. warunek wystarczający, 6. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero, 7. ekstrema, 8. maksimum, 9. punktach stacjonarnych, 10. właściwa, 11. minimum, 12. warunek koniczny, 13. znaku pochodnej w 1. punkt stacjonarny, 2. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 3. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero, 4. warunek monotoniczności, 5. warunek wystarczający, 6. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero, 7. ekstrema, 8. maksimum, 9. punktach stacjonarnych, 10. właściwa, 11. minimum, 12. warunek koniczny, 13. znaku. Jeśli pochodna zmienia znak przy przejściu przez 1. punkt stacjonarny, 2. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 3. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero, 4. warunek monotoniczności, 5. warunek wystarczający, 6. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero, 7. ekstrema, 8. maksimum, 9. punktach stacjonarnych, 10. właściwa, 11. minimum, 12. warunek koniczny, 13. znaku, wówczas spełniony jest warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji, co oznacza, że funkcja posiada ekstremum.

R12WqtQrQ9LTH

Ćwiczenie 21

Ćwiczenie 22

Wyznacz ekstrema funkcji $f (x) = \frac{2}{5} x^{5} - x^{3} - 2 x + 1$ .

Funkcja $f (x)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $ℝ$ . Jej pochodna dana jest wzorem

$f' (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 2$ .

Sprawdzamy, kiedy spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum, czyli kiedy pochodna $f' (x) = 0$ .

Otrzymujemy kolejno:

$f' (x) = 0$ , gdy $2 x^{4} - 3 x^{2} - 2 = 0$ , czyli $x = - \sqrt{2}$ , $x = \sqrt{2}$ .

Sprawdzamy warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji. Badamy zmianę znaku pochodnej w otoczeniu punktów stacjonarnych korzystając z jej wykresu.

R1UHEZq9blFE5

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus trzy do jeden i pionową osią y od minus dwa do dwa. W układzie zaznaczono wykres f', który jest krzywą o następującym kształcie: wykres pojawia się w drugiej ćwiartce układu następnie przecina oś y w okolicach wartości minus jeden i pół następnie biegnie do do punktu znajdującego się w trzeciej ćwiartce układu, gdzie zmienia swój bieg i biegnie po łuku to punktu nawias zero średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie do punktu znajdującego się poniżej punktu,w którym wykres przecina oś y i znajdującego się w czwartej ćwiartce układu, dalej wykres biegnie po lekkim łuku, przecina oś y i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce. Wykres jest symetryczny względem osi y.

W otoczeniu punktu $x = - \sqrt{2}$ pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, zatem w tym punkcie funkcja ma maksimum równe $f_{max} (- \sqrt{2}) = 2, 4 \sqrt{2} + 1$ .

W otoczeniu punktu $x = \sqrt{2}$ pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, zatem w tym punkcie funkcja ma minimum równe $f_{min} (\sqrt{2}) = - 2, 4 \sqrt{2} + 1$ .

Ćwiczenie 23

Wyznacz ekstrema funkcji $f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 1}$ .

Dziedziną funkcji jest zbiór $D_{f} = ℝ$ .

Funkcja $f (x)$ jako funkcja wymierna jest różniczkowalna w całej dziedzinie. Jej pochodna dana jest wzorem

$f' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 1) - 2 x (x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ , $D_{f'} = D_{f}$ .

Sprawdzamy, kiedy spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum, czyli kiedy pochodna $f' (x) = 0$ .

Otrzymujemy kolejno:

$f' (x) = 0$ , gdy $\frac{10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ , czyli $x = 0$ .

Sprawdzamy warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji.

Badamy zmianę znaku pochodnej w otoczeniu punktu stacjonarnego.

Mamy

$f' (x) > 0$ , $\frac{10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} > 0$ , $10 x > 0$ , czyli $x > 0$ ,

$f' (x) < 0$ , $\frac{10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} < 0$ , $10 x < 0$ , czyli $x < 0$ .

W otoczeniu punktu $x = 0$ pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, zatem w tym punkcie funkcja ma minimum dla $x = 0$ równe $f_{min} (0) = - 4$ .

Ćwiczenie 24

Dla jakiej wartości parametru $a$ funkcja $f (x) = \frac{1}{3} a x^{3} - \frac{1}{2} (3 a + 1) x^{2} + 3 x - 1$ nie ma ekstremów.

Funkcja $f (x)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $ℝ$ . Jej pochodna dana jest wzorem

$f' (x) = a x^{2} - (3 a + 1) x + 3$ .

Sprawdzamy, kiedy spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum, czyli kiedy pochodna $f' (x) = 0$ .

Otrzymujemy kolejno:

$f' (x) = 0$ , gdy $a x^{2} - (3 a + 1) x + 3 = 0$ .

Przeanalizujemy wartości wyróżnika kwadratowego dla pochodnej.

Mamy:

$Δ = {(3 a + 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot a = 9 a^{2} - 6 a + 1 = {(3 a - 1)}^{2}$ .

Pochodna będzie posiadała pierwiastki (punkty stacjonarne) wówczas, gdy $Δ \geq 0$ , czyli $a \in ℝ$ .

Sprawdzamy warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji.

Jeśli $Δ = 0$ pochodna posiada jeden pierwiastek, ale nie jest spełniony warunek wystarczający istnienia ekstremu, pochodna nie zmienia znaku.

Zatem funkcja nie posiada ekstremum dla $a = \frac{1}{3}$ .

Dla $a \in ℝ ∖ \{\frac{1}{3}\}$ pochodna posiada dwa pierwiastki (dwa punkty stacjonarne) oraz zmienia swój znak w otoczeniu tych punktów (co wynika z własności funkcji kwadratowej), zatem posiada dwa ekstrema.

Ostatecznie, funkcja nie posiada ekstremów dla $a = \frac{1}{3}$ .

Ćwiczenie 25

Uzasadnij, że funkcja $f (x) = \frac{a x}{x^{2} + 4}$ posiada dwa ekstrema dla $a \in ℝ ∖ \{0\}$ .

Dziedziną funkcji jest zbiór $D_{f} = ℝ$ .

Funkcja $f (x)$ jako funkcja wymierna jest różniczkowalna w całej dziedzinie. Jej pochodna dana jest wzorem

$f' (x) = \frac{a (x^{2} + 4) - a x \cdot 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = \frac{- a (x - 2) (x + 2)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

Sprawdzamy, kiedy spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum, czyli kiedy pochodna $f' (x) = 0$ .

Otrzymujemy kolejno:

$f' (x) = 0$ , gdy $\frac{- a (x - 2) (x + 2)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$ , czyli $x = 2$ lub $x = - 2$ , dla $a \in ℝ ∖ \{0\}$ .

Dla $a \in ℝ ∖ \{0\}$ pochodna posiada dwa pierwiastki (dwa punkty stacjonarne) oraz zmienia swój znak w otoczeniu tych punktów (co wynika z własności funkcji kwadratowej), zatem posiada dwa ekstrema.

Słownik

miejsce zerowe funkcji

taki argument $x$ należący do dziedziny funkcji dla którego $f (x) = 0$

funkcja rosnąca

funkcja $f$ jest rosnąca, jeżeli dla dwóch dowolnych argumentów $x_{1}$ oraz $x_{2}$ należących do dziedziny funkcji, takich, że $x_{1} < x_{2}$ , zachodzi warunek

f (x_{1}) < f (x_{2})

funkcja malejąca

funkcja $f$ jest malejąca, jeżeli dla dwóch dowolnych argumentów $x_{1}$ oraz $x_{2}$ należących do dziedziny funkcji, takich, że $x_{1} < x_{2}$ , zachodzi warunek

f (x_{1}) > f (x_{2})

funkcja różniczkowalna

funkcję nazywamy różniczkowalną jeśli ma pochodną w każdym punkcie dziedziny

warunek konieczny istnienia ekstremum

jeśli funkcja $f (x)$ jest różniczkowalna w punkcie $x_{0}$ i ma w tym punkcie ekstremum, to

f' (x_{0}) = 0

1. Pochodna a monotoniczność funkcji

3. Największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale

Warunek konieczny istnienia ekstremum

Warunek wystarczający istnienia ekstremum

Algorytm szukania ekstremum funkcji

Słownik