• Zinterpretujesz pojęcie pochodnej funkcji pod kątem geometrycznym.

• Wyznaczysz współczynnik kierunkowy w równaniu stycznej do wykresu funkcji w podanym punkcie.

• Poznasz fizyczną interpretację pochodnej.

• Wykorzystasz poznaną wiedzę do rozwiązywania problemów matematycznych.

Niech $f\left(x\right)$ oznacza dowolną funkcję określoną w otoczeniu punktu $x_0$.

Ilorazem różnicowym funkcji $f\left(x\right)$ w punkcie $x_0$ dla przyrostu $h$ zmiennej niezależnej $x$ nazywamy wyrażenie

R1ca3pCphNfeZ

Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowano dwa obiekty. Pierwszy w nich to parabola o ramionach skierowanych do góry i o wierzchołku w pierwszej ćwiartce układu. Parabolę tę przecina w dwóch punktach ukośna prosta nachylona do poziomej osi X pod ostrym kątem alfa. Prosta ta opisana jest wzorem $y=\mathrm{tg}\alpha ·x+b$. Pierwszy punkt przecięcia ma współrzędne $\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$, które zrzutowano na obie osie. Punkt drugi przecięcia ma współrzędne $\left(x_0+h;f\left(x_0+h\right)\right)$. Punkt ten również zrzutowano na obie osie. Dodatkowo z pierwszego punktu wykreślono w prawo odcinek o długości h, jest to różnica między pierwszymi współrzędnymi obu punktów. Z drugiego punktu poprowadzono w dół pionowy odcinek o długości $f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)$. Dorysowane odcinki tworzą trójkąt prostokątny wraz z odcinkiem znajdującym się na prostej pomiędzy punktami przecięcia z parabolą. Zaznaczono dwa kąty wewnętrzne w tym trójkącie: kąt alfa między poziomym odcinkiem a odcinkiem na prostek oraz kąt prosty między poziomym i pionowym odcinkiem.

Niech $f\left(x\right)$ oznacza dowolną funkcję określoną w otoczeniu punktu $x_0$.

Jeżeli istnieje skończona granica $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$, to tę granicę nazywamy pochodną funkcji $f$ w punkcie $x_0$ i oznaczamy jako $f\text{'}\left(x_0\right)$.

Obliczymy wartość współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=x^3+1$ w punkcie $x_0=-2$.

Rozwiązanie:

Ponieważ współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie $x_0$ jest równy pochodnej funkcji w tym punkcie, zatem:

$U\left(h\right)=\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\frac{{\left(x+h\right)}^3+1-\left(x^3+1\right)}{h}=$

$=\frac{x^3+3x^{2}h+3x{h}^2+h^3+1-x^3-1}{h}=\frac{3x^{2}h+3x{h}^2+h^3}{h}=3x^2+3xh+h^2$

$f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }U\left(h\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\left(3{x_0}^2+3x_{0}h+h^2\right)=3{x_0}^2$

Zatem:

$a=f\text{'}(-2)=3·{\left(-2\right)}^2=12$

Wyznaczymy współrzędne punktu $\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$, w którym styczna do wykresu funkcji $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=x^2+2x$ jest równoległa do prostej określonej równaniem $y=3x-1$.

Rozwiązanie:

Niech styczna do wykresu funkcji $f$ będzie zadana równaniem $y=ax+b$.

Proste o równaniach $y=a_{1}x+b_1$ oraz $y=a_{2}x+b_2$ są równoległe, gdy $a_1=a_2$.

Zatem $a=3$.

Wyznaczenie współrzędnych punktu $\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$ przedstawimy w kilku krokach.

Mamy $a=3$.

$f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\left(x_0+h\right)}^2+2·\left(x_0+h\right)-\left({x_0}^2+2x_0\right)}{h}$

$f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{x_0}^2+2x_{0}h+h^2+2x_0+2h-{x_0}^2-2x_0}{h}$

$f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2x_{0}h+h^2+2h}{h}=2x_0+2$

Zatem do wyznaczenia wartości $x_0$ rozwiązujemy równanie:

$3=2x_0+2$

$x_0=\frac{1}{2}$

Wobec tego współrzędne punktu styczności wynoszą:

$\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)=\left(\frac{1}{2},{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+2·\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{5}{4}\right)$

Sprawdzimy, czy istnieje punkt o współrzędnych $\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$, w którym styczna do wykresu funkcji $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=-x-2$ jest nachylona do osi $X$ pod kątem $45°$.

Rozwiązanie:

Jeżeli prosta o równaniu $y=ax+b$ jest nachylona do osi $X$ pod kątem $45°$, to $a=\mathrm{tg}45°$.

Zatem $a=\mathrm{tg}45°=1$.

Do wyznaczenia współrzędnych punktu $\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$ rozwiązujemy równanie:

$a=f\text{'}\left(x_0\right)$

$f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-\left(x_0+h\right)-2-\left(-x_0-2\right)}{h}$

$f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-x_0-h-2+x_0+2}{h}=-1$

Jeżeli $a=f\text{'}\left(x_0\right)$, to:

$1=-1$

Otrzymujemy sprzeczność, niezależnie od wyboru punktu $x_0$, wobec tego nie istnieje taki punkt.

Wyznaczymy współrzędne punktu $\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$, w którym styczna do wykresu funkcji $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=\sqrt{x}-3$ jest prostopadła do prostej określonej równaniem $y=-\frac{1}{2}x+4$.

Rozwiązanie:

Niech prosta określona równaniem $y=ax+b$ będzie omawianą styczną.

Proste o równaniach $y=a_{1}x+b_1$ oraz $y=a_{2}x+b_2$ są prostopadłe, gdy $a_1·a_2=-1$.

Zatem $a=2$.

Do wyznaczenia współrzędnych punktu $\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$ rozwiązujemy równanie:

$a=f\text{'}\left(x_0\right)$

$f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x_0+h}-3-\left(\sqrt{x_0}-3\right)}{h}$

$f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}}{h}$

$f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left(\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}\right)·\left(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\right)}{h·\left(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\right)}$

$f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x_0+h-x_0}{h·\left(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\right)}$

$f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}}=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}$

Wobec tego:

$2=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}$

Zatem $x_0=\frac{1}{16}$.

Wobec tego współrzędne punktu styczności wynoszą:

$\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)=\left(\frac{1}{16},\sqrt{\frac{1}{16}}-3\right)=\left(\frac{1}{16},-\frac{11}{4}\right)$

Sprawdzimy, czy istnieje styczna do wykresu funkcji $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ mająca współczynnik kierunkowy równy $a=-3$.

Rozwiązanie:

W tym celu wystarczy sprawdzić, czy istnieje taki punkt $x_0$, który spełnia zależność:

$a=f\text{'}\left(x_0\right)$

Zatem:

$f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{x_0+h}-\frac{1}{x_0}}}{h}$

$f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{x_0-\left(x_0+h\right)}{\left(x_0+h\right)·x_0}}}{h}$

$f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{-h}{\left(x_0+h\right)·x_0}}}{h}$

$f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle -1}}{\left(x_0+h\right)·x_0}=-\frac{1}{{x_0}^2}$

Wobec tego:

$-3=\frac{-1}{{x_0}^2}$

${x_0}^2=\frac{1}{3}\Rightarrow x_0=\frac{\sqrt{3}}{3} \vee x_0=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ponieważ istnieje punkt $x_0$ spełniający równanie $a=f\text{'}\left(x_0\right)$, zatem istnieje styczna do wykresu funkcji mająca podany współczynnik kierunkowy.

Znajdziemy funkcję przemieszczenia w przypadku, gdy rozważany przez nas punkt znajduje się w chwili $0$ w punkcie $2$ i nie wykonuje żadnego ruchu aż do chwili $3$. Wówczas położenie punktu materialnego w każdej chwili od $0$ do $3$ wynosi $2$. Funkcja $s:⟨0,3⟩⟶\mathrm{ℝ}$ jest więc dana wzorem

$s\left(t\right)=2$,

a jej wykres ma postać

RqtwWoYDa2hPb

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do czterech, oraz z pionową osią Y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie przedstawiono wykres funkcji opisujący zależność drogi podanej w metrach, od czasu podanego w sekundach. Wykres funkcji opisano wzorem $s\left(t\right)=2$. Wykresem jest poziomy odcinek o końcach w punktach nawias 0 średnik 2 zamknięcie nawiasu oraz nawias 3 średnik 2 zamknięcie nawiasu.

Zobaczmy teraz jak wyglądałby ruch punktu materialnego, którego funkcja przemieszczenia $s:⟨0,4⟩⟶\mathrm{ℝ}$ jest funkcją liniową daną wzorem

$s\left(t\right)=-t+2$.

Zauważmy wpierw, że wykres funkcji jest postaci

RjEtYhIe2ia6f

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do czterech, oraz z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie przedstawiono wykres funkcji opisujący zależność drogi podanej w metrach, od czasu podanego w sekundach. Wykres stanowi ukośny odcinek o końcach w punktach o współrzędnych $\left(0;2\right)$, z lewej strony oraz punktem o współrzędnych $\left(4;-2\right)$. Wykres posiada miejsce zerowe dla x równego dwa.

Rozważany ruch zaczyna się więc w $2$ zaś kończy w $\left(-2\right)$. Poniższa animacja ukazuje nam, że punkt porusza się jednostajnie.

RulPrm6ZfPTOp

W animacji przedstawiono jednostajny ruch pomarańczowej kulki po osi liczbowej, oraz zmiany wartości t w zależności od położenia kulki na osi. Na przykład. Gdy kulka znajduje się na osi liczbowej w punkcie 1, wartość t wynosi również jeden. Gdy kulka znajduje się w punkcie 0, wartość t wynosi dwa. Gdy kulka znajduje się w punkcie -2, wartość t jest równa cztery.

W animacji przedstawiono jednostajny ruch pomarańczowej kulki po osi liczbowej, oraz zmiany wartości t w zależności od położenia kulki na osi. Na przykład. Gdy kulka znajduje się na osi liczbowej w punkcie 1, wartość t wynosi również jeden. Gdy kulka znajduje się w punkcie 0, wartość t wynosi dwa. Gdy kulka znajduje się w punkcie -2, wartość t jest równa cztery.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DARFUXURL

Tym razem rozważymy ruch opisany przez funkcję przemieszczenia $s:⟨0,2⟩⟶\mathrm{ℝ}$ daną wzorem

$s\left(t\right)=-2t+2$.

Rysując wykres funkcji s przekonujemy się, że tak jak w poprzednim przykładzie, ruch punktu rozpoczyna się w $2$ i kończy $\left(-2\right)$.

RwIkxtS7hWXJK

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do czterech, oraz z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie przedstawiono wykres funkcji opisujący zależność drogi podanej w metrach, od czasu podanego w sekundach. Wykres stanowi ukośny odcinek o końcach w punktach o współrzędnych $\left(0;2\right)$ oraz $\left(2;-2\right)$. Wykres posiada miejsce zerowe dla x równego jeden.

Tym razem odbywa się jednak w dwa razy krótszym czasie. Można to także zaobserwować na podstawie animacji.

R1XyFX9wH0tKy

W animacji przedstawiono jednostajny ruch zielonej kulki po osi liczbowej, oraz zmiany wartości t w zależności od położenia kulki na osi. Na przykład. Gdy kulka znajduje się w punkcie 2 na osi, wartość t wynosi zero. Gdy kulka znajduje się w punkcie 0, wartość t wynosi jeden. Gdy kulka znajduje się w punkcie -2, wartość t wynosi dwa.

W animacji przedstawiono jednostajny ruch zielonej kulki po osi liczbowej, oraz zmiany wartości t w zależności od położenia kulki na osi. Na przykład. Gdy kulka znajduje się w punkcie 2 na osi, wartość t wynosi zero. Gdy kulka znajduje się w punkcie 0, wartość t wynosi jeden. Gdy kulka znajduje się w punkcie -2, wartość t wynosi dwa.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DARFUXURL

Widzimy zatem, że punkt materialny porusza się dwa razy szybciej niż w poprzednim przykładzie. Jest to związane z tym, że funkcja przemieszczenia $-2t+2$ ma dwa razy większy współczynnik kierunkowy niż $-t+2$. Przyjrzyjmy się animacji przedstawiającej jednocześnie ruch obu punktów.

RrCBh6szAUJyf

W animacji przedstawiono ruch zielonej oraz pomarańczowej kulki na jednej osi. Z łatwością można zauważyć, że kulka zielona porusza się dwa razy szybciej niż pomarańczowa. Obie kulki rozpoczynają ruch w tym samym momencie w punkcie dwa. Przykład. Dla tej samej wartości t równej dwa, kulka pomarańczowa znajduje się w punkcie 0 na osi, natomiast kulka zielona znajduje się w punkcie minus dwa.

W animacji przedstawiono ruch zielonej oraz pomarańczowej kulki na jednej osi. Z łatwością można zauważyć, że kulka zielona porusza się dwa razy szybciej niż pomarańczowa. Obie kulki rozpoczynają ruch w tym samym momencie w punkcie dwa. Przykład. Dla tej samej wartości t równej dwa, kulka pomarańczowa znajduje się w punkcie 0 na osi, natomiast kulka zielona znajduje się w punkcie minus dwa.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DARFUXURL

Zauważmy, że ruch opisany przez każdy z powyższych przykładów jest jednostajny. Oznacza to, że w żadnej chwili nie dochodziło do przyspieszenia ani opóźnienia. Rozważymy zatem ruch o nieco większej zmienności, tj. jednostajnie przyspieszony.

Kilogramowa kulka spada swobodnie z wysokości $100$ metrów na planecie, której przyspieszenie grawitacyjne wynosi $10 \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$. Jeżeli przyjmiemy, że $s\left(t\right)$ oznacza wysokość (a zatem położenie) kuli w chwili $t$, $v\left(t\right)$ – prędkość w chwili $t$, zaś $a\left(t\right)$ – przyspieszenie w chwili $t$, to korzystając ze wzorów znanych z lekcji fizyki otrzymamy

$s\left(t\right)=100-5t^2$, $v\left(t\right)=-10t$ oraz $a\left(t\right)=-10$.

Aby obliczyć prędkośćprędkośćprędkość w pierwszej sekundzie ruchu możemy skorzystać z powyższego wzoru. Otrzymujemy wówczas

$v\left(1\right)=-10$.

Przedstawimy teraz inny sposób na otrzymanie tego samego wyniku. Policzmy wpierw średnią prędkość ruchu od chwili $1$ do chwili $3$. Mamy $s\left(1\right)=95$ oraz $s\left(3\right)=55$. Średnia prędkość kuli w czasie od $1$ do $3$ będzie zatem wynosiła

$\frac{s\left(3\right)-s\left(1\right)}{3-1}=\frac{55-95}{2}=-20$.

Z kolei średnia prędkość od chwili $1$ do $2$ jest równa

$\frac{s\left(2\right)-s\left(1\right)}{2-1}=\frac{80-95}{1}=-15$.

W ogólności, średnia prędkość w czasie od $1$ do $1+h$ wynosi

$\frac{s\left(1+h\right)-s\left(1\right)}{1+h-1}=\frac{s\left(1+h\right)-s\left(1\right)}{h}=\frac{100-5{\left(1+h\right)}^2-95}{h}=\frac{100-5\left(1+2h+h^2\right)-95}{h}=-10-5h$.

Przechodząc z $h$ do zera otrzymujemy że

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{s\left(1+h\right)-s\left(1\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\left(-10-5h\right)=-10=v\left(1\right)$.

Okazuje się zatem, że granica ilorazu różnicowego przy $h\to 0$ funkcji przemieszczenia jest równa prędkości w chwili $1$. Postępując podobnie otrzymujemy

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{v\left(t+h\right)-v\left(t\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-10\left(t+h\right)+10t}{h}=-10=a\left(t\right)$.

Tym samym granicą ilorazu różnicowego w punkcie $t$ przy $h\to 0$ funkcji prędkości jest przyspieszenieprzyspieszenieprzyspieszenie.

Powyższy przykład jest szczególnym przypadkiem zależności, która stanowi główny cel tej lekcji. Aby przejść do ogólnego przypadku skorzystamy z definicji pochodnej funkcji w punkcie.

Przyjmijmy teraz, że trajektoria $s$, opisując ruch pewnego punktu materialnego, jest postaci

gdzie $\alpha$ oraz $\beta$ są liczbami rzeczywistymi. Łatwo policzyć wtedy prędkość rozważanego punktu materialnego

$v\left(t\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{s\left(t+h\right)-s\left(t\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\alpha \left(t+h\right)+\beta -\left(\alpha t+\beta \right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\alpha h}{h}=\alpha$.

Otrzymujemy zatem, że punkt materialny ma stałą prędkość równą współczynnikowi kierunkowemu funkcji $s$. Tłumaczy to obserwacje poczynione w przykładach 2 i 3. Na początku tej lekcji założyliśmy także, że omawiany ruch jest prostoliniowy. Stąd punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Na koniec policzmy przyspieszenie tego punktu

$a\left(t\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{v\left(t+h\right)-v\left(t\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\alpha -\alpha }{h}=0$.

Tym samym dochodzimy do dobrze znanego z lekcji fizyki wniosku, iż przyspieszenie w ruchu jednostajnym prostoliniowym wynosi $0$.

Wszystkie rozważane do tej pory przykłady można było obliczyć posługując się teorią poznaną już na lekcjach fizyki. Poniżej podamy przykład ruchu, którego przeanalizowanie wykracza już poza ramy standardowego kursu fizyki ponadpodstawowej.

Trajektoria $s:\left(0,2\right)⟶\mathrm{ℝ}$ punktu materialnego jest dana wzorem

Poniżej przedstawiony jest wykres tego ruchu wraz z animacją.

R1XfwH3gggpbp

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od -0,5 do dwóch i pół, opisującą wartości czasu w sekundach, oraz z pionową osią Y od minus dwóch do ośmiu, opisującą wartości drogi w metrach. Na płaszczyźnie narysowano wykres będący kawałkiem funkcji wykładniczej, ograniczonej z lewej strony niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(0;0\right)$, z prawej, niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(2;8\right)$. Funkcja jest rosnąca.

RQyFFSPXZWDQz

Na animacji przedstawiono ruch kulki po osi liczbowej, który ulega przyśpieszeniu. Przedstawiono zmiany wartości t w zależności od położenia kulki na osi. Kulkę umieszczono w punkcie zero. Na przykład. Gdy kulka znajduje się w punkcie 1, wartość t wynosi jeden. Gdy kulka znajduje się w punkcie 8, wartość t wynosi dwa.

Na animacji przedstawiono ruch kulki po osi liczbowej, który ulega przyśpieszeniu. Przedstawiono zmiany wartości t w zależności od położenia kulki na osi. Kulkę umieszczono w punkcie zero. Na przykład. Gdy kulka znajduje się w punkcie 1, wartość t wynosi jeden. Gdy kulka znajduje się w punkcie 8, wartość t wynosi dwa.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DARFUXURL

Policzymy prędkość oraz przyspieszenie punktu materialnego w pierwszej sekundzie. W celu wyznaczenia prędkości ustalmy $t\in \left(0,2\right)$ i policzmy

$v\left(t\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{s\left(t+h\right)-s\left(t\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\left(t+h\right)}^3-t}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{t^3+3t^{2}h+3t{h}^2+h^3-t^3}{h}=$$=\underset{h\to 0}{\lim }\left(3t^2+3th+h^2\right)=3t^2$.

Otrzymujemy zatem, że funkcja prędkości ma postać $v\left(t\right)=3t^2$. Możemy na jej podstawie obliczyć przyspieszenie

$a\left(t\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{v\left(t+h\right)-v\left(t\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{3{\left(t+h\right)}^2-3t^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{3t^2+6th+3h^2-3t^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\left(6t+3h\right)=$$=6t$.

Stąd $v\left(1\right)=3$ oraz $a\left(1\right)=6$. Prędkość punktu materialnego w pierwszej sekundzie wynosiła zatem $3 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, zaś jego przyspieszenie było równe $6 \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$. Możemy jeszcze narysować wykresy prędkości oraz przyspieszenia aby otrzymać bardziej pełny obraz ruchu punktu materialnego.

R1N4vJ6q36qLP

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od -0,5 do dwóch i pół, opisującą wartości czasu t w sekundach, oraz z pionową osią Y od minus dwóch do dwunastu, opisującą wartości prędkości w metrach na sekundę. Na płaszczyźnie narysowano wykres będący kawałkiem funkcji wykładniczej o wzorze $v\left(t\right)=3t^2$. Funkcja ograniczona z lewej strony niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(0;0\right)$, oraz z prawej niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(2;12\right)$. Funkcja jest rosnąca.

R1Tb6KDLWYnpl

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od -0,5 do dwóch i pół, opisującą wartości czasu t w sekundach, oraz z pionową osią Y od minus dwóch do dwunastu, opisującą wartości przyśpieszenia w metrach na sekundę kwadrat. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji o wzorze $a\left(t\right)=6t$. Wykres funkcji stanowi ukośny odcinek, ograniczoną z lewej strony niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(0;0\right)$, oraz ograniczony z prawej niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(2;12\right)$. Funkcja jest rosnąca.

Pochodną funkcji $f:\left(a,b\right)⟶\mathrm{ℝ}$ w punkcie $x\in \left(a,b\right)$ nazywamy granicę

o ile granica ta istnieje.

Funkcja $f:\left(0,2\right)⟶\mathrm{ℝ}$ jest dana wzorem

Obliczymy pochodną funkcji $f$ w punkcie $1$.

Rozwiązanie

Zgodnie ze wzorem mamy:

$f^{\text{'}}\left(1\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\left(1+h\right)}^2-1^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1+2h+h^2-1}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\left(2+h\right)=2$

Otrzymujemy zatem, że pochodna funkcji $f$ w punkcie $1$ istnieje oraz wynosi $2$.

Drogę przejechaną przez rowerzystę w czasie opisuje funkcja $s\left(t\right)=t^2$. Oblicz prędkość w chwili $1$.

Rozwiązanie

Prędkość w chwili $1$ jest pochodną funkcji $s$ w punkcie $1$. $s^{\text{'}}\left(1\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{s\left(1+h\right)-s\left(1\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\left(1+h\right)}^2-1^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1+2h+h^2-1}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\left(2+h\right)=2$. Oznacza to, że prędkość rowerzysty w chwili $1$ wynosiła $2$.

Obliczymy pochodną funkcji $f:\left(-2,3\right)⟶\mathrm{ℝ}$ o wzorze $f\left(x\right)=x^3$ w punkcie $0$.

Rozwiązanie

$f^{\text{'}}\left(0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h^3}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }{h}^2=0$.

Pochodną funkcji $f$ w punkcie $0$ jest zatem $0$. Interpretacja geometryczna pochodnej zapewnia nam, że prosta przybliżająca funkcję $f$ w punkcie $0$ ma współczynnik kierunkowywspółczynnik kierunkowywspółczynnik kierunkowy równy $0$.

RvlFh1q7emYc9

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus dwóch do czterech, oraz z pionową osią $Y$ od minus dziesięciu do trzydziestu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f. Wykres funkcji $f\left(x\right)$ biegnie w następujący sposób. Od niezamalowanego punktu, którego współrzędna x, równa się, minus dwa, biegnie w górę, następnie poziomo, pokrywając się z osią $X$ dla argumentów z przedziału obustronnie otwartego od minus jeden do jeden i ponownie w górę do niezamalowanego punktu, którego współrzędna x, równa się, trzy.

Możemy powiedzieć, że prosta $g$ jest styczną do funkcji $f$ w punkcie $0$.

Pokażemy, że funkcja $f:\left(-1,1\right)⟶\mathrm{ℝ}$ określona wzorem $f\left(x\right)=\left|x\right|$ nie posiada pochodnej w punkcie $0$.

Rozwiązanie

Policzmy

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left|h\right|}{h}$.

Udowodnimy, że powyższa granica nie istnieje pokazując, że granice prawo– i lewostronna są od siebie różne.

$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{\left|h\right|}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{h}{h}=1$,

$\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{\left|h\right|}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{-h}{h}=-1$.

Zobaczmy, że można to łatwo zaobserwować na podstawie interpretacji graficznej. Nie istnieje bowiem styczna, która przybliżałaby funkcję $f$ w otoczeniu punktu $0$.

Ro2KR2WSeYMlS

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus jeden i pół do jeden i pół, oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden i pół do jeden i pół. Na płaszczyźnie narysowano dwie proste. Ukośna prosta w kolorze zielonym, przechodząca przez punkty $\left(-1;1\right)$, $\left(0;0\right)$, oraz $\left(1;-1\right)$. Ukośna prosta w kolorze fioletowym przechodzi przez punkty $\left(-1;-1\right)$, $\left(0;0\right)$, oraz $\left(1;1\right)$. Niebieskim kolorem zaznaczono wykres funkcji f, który leży na prostych. Składa się z dwóch ukośnych odcinków. Odcinek pierwszy ograniczony z lewej strony niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(-1;1\right)$ i z prawej zamalowanym puntem $\left(0;0\right)$. Odcinek drugi ograniczony z lewej strony punktem $\left(-1;1\right)$, oraz z prawej niezamalowanym punktem $\left(1;1\right)$.

Zajmiemy się teraz przypadkiem funkcji $f:\left(0,2\right)⟶\mathrm{ℝ}$ danej wzorem,

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}x \text{gdy }x\in (0,1⟩\\ \frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2} \text{gdy }x\in \left(1,2\right)\end{array}\right.$.

Policzymy pochodną $f$ w punkcie $1$.

Rozwiązanie

Zgodnie z interpretacją graficzną pochodnej spodziewamy się, że $f^{\text{'}}\left(1\right)=1$, gdyż funkcja $g\left(x\right)=x$ przybliża funkcję $f$ w otoczeniu punktu $1$.

R15WDcrxCrvI2

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus jeden i pół do dwóch i pół, oraz z pionową osią $Y$ od minus jedna druga do dwa i pół. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f, oraz prostą biegnącą od minus nieskończoności, przez punkt $\left(-0.5;-0.5\right)$, $\left(0;0\right)$ do plus nieskończoności. Wykres funkcji biegnie w następujący sposób. Początek wykresu znajduje się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych $\left(0;0\right)$. Następnie wykres stanowi linia ukośna, która w zamalowanym punkcie $\left(1;1\right)$ ulega delikatnemu odchyleniu w stronę pionowej osi $Y$. Koniec wykresu znajduje się w niezamalowanym punkcie $\left(2;2.5\right)$.

Sprawdzimy to za pomocą następujących rachunków.

$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{1}{2}{\left(1+h\right)}^2+\frac{1}{2}-1}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{1}{2}+h+\frac{1}{2}{h}^2-\frac{1}{2}}{h}=$$=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{h+\frac{1}{2}{h}^2}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\left(1+\frac{1}{2}h\right)=1$,

$\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{1+h-1}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{h}{h}=1$.

Ostatecznie $f^{\text{'}}\left(1\right)=1$.

Pokażemy teraz, że funkcja $f:\left(0,2\right)⟶\mathrm{ℝ}$,

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}x \text{gdy }x\in (0,1⟩\\ x^2 \text{gdy }x\in \left(1,2\right)\end{array}\right.$.

nie posiada pochodnej w punkcie $1$.

Rozwiązanie

Policzmy

$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\left(1+h\right)}^2-1}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{1+2h+h^2-1}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\left(2+h\right)=2$,

$\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{1+h-1}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{h}{h}=1$.

Skoro granica prawostronna różni się od granicy lewostronnej, to wielkość

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}$

nie istnieje. O poprawności naszych obliczeń przekonuje nas dodatkowo wykres funkcji $f$ wraz z narysowanymi funkcjami liniowymi.

R81kdYQipFHWI

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus jedna druga do dwóch i pół, oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f, oraz dwie proste. Zielonym kolorem zaznaczono prostą przechodzącą przez punkty $\left(0;0\right)$, oraz $\left(2;2\right)$. Kolorem fioletowym zaznaczono prostą przechodzącą przez punkty

Można powiedzieć, że narysowane funkcje liniowe są stycznymi jednostronnymi w punkcie $1$.

Samochody $A$ i $B$ poruszały się tą samą drogą zgodnie z wykresem przedstawionym poniżej, który przedstawia zależność pomiędzy ich położeniem i czasem.

Chcemy wyznaczyć, który z samochodów miał większą prędkość w piątej sekundzie.

R1IIWArafZhWO

Na ilustracji przedstawiono wykres zależności położenia aut od czasu. Na poziomej osi X uwzględniono czas w sekundach, od zera do sześciu, z podziałką co jeden. Na pionowej osi Y uwzględniono przebytą drogę w metrach, od zera do sześciu z podziałką co jeden. Pomarańczowym kolorem narysowano wykres zależności dla auta B, natomiast kolorem niebieskim dla auta A. Wykresy obu funkcji stanowią krzywe biegnące od punktu $\left(0;0\right)$ do plus nieskończoności. Dla pięciu sekund odczytujemy wartość czterech metrów dla auta B, oraz trzech metrów dla auta A.

Rozwiązanie

Ponieważ prędkość jest pochodną funkcji położenia, więc musimy ustalić która z funkcji znajdujących się na powyższym wykresie ma większą pochodną w chwili $5$. Nie mamy jawnych wzorów na funkcję położenia. Musimy zatem skorzystać z geometrycznej interpretacji pochodnej. Przypomnijmy więc, że pochodna w punkcie $x$ jest współczynnikiem kierunkowym prostej stycznej do wykresu w punkcie $\left(x, f\left(x\right)\right)$.

Rl88xufb9140g

Na ilustracji przedstawiono wykres zależności położenia aut od czasu. Na poziomej osi X uwzględniono czas w sekundach, od zera do sześciu, z podziałką co jeden. Na pionowej osi Y uwzględniono przebytą drogę w metrach, od zera do sześciu z podziałką co jeden. Pomarańczowym kolorem narysowano wykres zależności dla auta B, natomiast kolorem niebieskim dla auta A. Wykresy obu funkcji stanowią krzywe biegnące od punktu $\left(0;0\right)$ do plus nieskończoności. Dla pięciu sekund odczytujemy wartość czterech metrów dla auta B, oraz trzech metrów dla auta A. Zaznaczono ukośną prostą $g_B$, przechodzącą przez punkt $\left(5;4\right)$, który zaznaczono na wykresie pomarańczowym, oraz ukośną prostą $g_A$, przechodzącą przez punkt $\left(5;3\right)$, który zaznaczono na wykresie niebieskim.

Łatwo zauważyć, że współczynnik kierunkowy funkcji $g_A$ jest większy niż współczynnik kierunkowy funkcji $g_B$, gdyż funkcja $g_A$ rośnie szybciej niż $g_B$. Ostatecznie, prędkość samochodu $A$ w chwili $5$ była większa niż prędkość samochodu $B$ w tej samej chwili.

prosta, będąca granicznym położeniem siecznych do wykresu funkcji $f$ i przechodzących przez punkty o współrzędnych $\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$ i $\left(x,f\left(x\right)\right)$, gdy $x$ dąży do $x_0$

funkcja, która każdej chwili przyporządkowuje położenie punktu materialnego w tej chwili

w chwili $t$ – pochodna trajektorii w chwili $t$

w chwili $t$ – pochodna funkcji prędkości w chwili $t$

dla funkcji liniowej $g\left(x\right)=a x+b$ – liczba $a$