2. Funkcja pochodna - M_R_W19_M3 Pochodna funkcji

R16UZyXo2cuCB

Wyznaczanie pochodnych funkcji bezpośrednio z definicji pochodnej może okazać się wymagające i czasochłonne. W matematyce istnieje pewien zestaw funkcji zwanych funkcjami elementarnymi, które wykorzystuje się do wyznaczania pochodnych bardziej skomplikowanych funkcji, ich złożeń i odwrotności. Podczas tej lekcji poznasz wzory pozwalające szybko i efektywnie wyznaczyć pochodne pewnych funkcji.

Twoje cele

Sklasyfikujesz wzory pochodnych wybranych funkcji elementarnych.
Na podstawie poznanych wzorów wyznaczysz pochodne przykładowych funkcji elementarnych.

Rozważmy funkcję $f$ oraz argument $x_0$ , w otoczeniu którego funkcja $f$ jest określona. Przypomnijmy, iż pochodną funkcji $f$ w punkcie $x_0$ , oznaczaną symbolem $f'\left(x_0\right)$ , definiujemy jako granicę właściwą ilorazu różnicowegoiloraz różnicowyilorazu różnicowego:

$f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}.$

Pochodną funkcji $f$ w punkcie $x_0$ możemy także zdefiniować jako granicę:

$f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}.$

Oczywiście powyższe definicje są sobie równoważne, a w literaturze możesz spotkać obie z nich. Na potrzeby tego matriału będziemy stosować definicję drugą.

Wyznaczanie pochodnych funkcji bezpośrednio z definicji niejednokrotnie może okazać się wymagające i czasochłonne. Z pomocą przychodzą wzory ogólne pochodnych wybranych funkcji elementarnychfunkcje elementarnefunkcji elementarnych. Wzory te wyrażać będą ogólną postać pochodnej rozważanej funkcji $y=f\left(x\right)$ w dowolnym punkcie $x$ , w którym funkcja jest określona i różniczkowalna.

W trakcie tej lekcji poznasz wzory wyrażające pochodną funkcji stałej, pochodną funkcji potęgowej o wykładniku naturalnym, a także, ponadprogramowo, wzór wyrażający pochodną logarytmu naturalnegologarytm naturalnylogarytmu naturalnego.

Pochodna funkcji stałej $f\left(x\right)=c$ , $c\in\mathbb{R}$

Rozważmy funkcję stałą postaci $f\left(x\right)=c$ , gdzie $c$ jest dowolną liczbą rzeczywistą. Wówczas pochodna funkcji stałej w dowolnym punkcie $x\in D_f$ wyraża się wzorem:

$f'\left(x\right)=\left(c\right)'=0.$

Dla zainteresowanych

Zauważ, że wyprowadzając pochodną funkcji $f\left(x\right)=c$ bezpośrednio z definicji pochodnej, otrzymamy:

$f'\left(x\right)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{c-c}{h}=0.$

Przykład 1

Znajdziemy pochodną funkcji stałej $y=5$ . Zgodnie z wprowadzonym powyżej wzorem, dostaniemy $y'=\left(5\right)'=0$ .

Przykład 2

Wyznaczymy pochodną funkcji stałej $y=-\frac12$ . Otrzymamy $y'=\left(-\frac12\right)'=0$ .

Pochodna funkcji potęgowej $f\left(x\right)=x^n$ dla $n\in\mathbb{N}$

Przykład 3

Rozważmy funkcję potęgową $y=x^2$ dla $x\in\mathbb{R}$ . Chcemy wyznaczyć pochodną tej funkcji w dowolnym punkcie $x\in\mathbb{R}$ . Skorzystamy najpierw bezpośrednio z definicji pochodnej. Otrzymamy:

$y'=\lim\limits_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\left(x+h\right)^2-x^2}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{2xh+h^2}{h}=$

$=\lim\limits_{h\to0}(2x+h)=2x.$

Zatem $y'=\left(x^2\right)'=2x$ dla dowolnego argumentu $x\in\mathbb{R}$ .

Wprowadzimy teraz wzór ogólny wyrażający pochodną dowolnej funkcji potęgowej o wykładniku naturalnym. Pochodna funkcji potęgowej $f\left(x\right)=x^n$ , gdzie $x\in\mathbb{N}$ , dana jest wzorem:

$f'\left(x\right)=\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}.$

Dla zainteresowanych

Aby uzasadnić powyższy wzór, skorzystamy z definicji pochodnej funkcji oraz z dwumianu Newtonadwumian Newtonadwumianu Newtona. Otrzymamy wówczas:

$f'\left(x\right)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\left(x+h\right)^n-x^n}{h}=$

$\lim\limits_{h\to 0}\frac{\Big(\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}h^k\Big)-x^n}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\big(\binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}h+\binom{n}{2}x^{n-2}h^2+\ldots+\binom{n}{n}h^{n}\big)-x^{n}}{h}=$

$=\lim\limits_{h\to 0}\frac{x^n+n\cdot x^{n-1}h+\binom{n}{2}x^{n-2}h^2+\ldots+h^n-x^n}{h}=$

$=\lim\limits_{h\to 0}\Big(n\cdot x^{n-1}+\binom{n}{2}x^{n-2}\cdot h+\ldots+h^{n-1}\Big)=n\cdot x^{n-1}.$

Przykład 4

Rozważamy raz jeszcze funkcję $y=x^2$ , której pochodną chcielibyśmy wyznaczyć korzystając z przedstawionego powyżej wzoru. Zauważamy, że zgodnie z powyższą postacią, wykładnik $n=2$ . Podstawiając $n$ do wprowadzonego wzoru dostaniemy $y'=\left(x^2\right)'=2\cdot x^{2-1}=2x$ , tak jak w przykładzie 2.

Przykład 5

Znajdziemy pochodną funkcji $y=x^{17}$ . Stosując wzór na pochodną funkcji potęgowej, dla $n=17$ , otrzymamy $y'=\left(x^{17}\right)'=17\cdot x^{17-1}=17x^{16}$ .

Przykład 6

Wprowadzony powyżej wzór znajduje zastosowanie również w szczególnym przypadku, gdy dana jest funkcja $y=x$ dla $x\in\mathbb{R}$ . Wtedy wykładnik $n=1$ , więc pochodna funkcji będzie postaci $y'=\left(x\right)'=1\cdot x^{1-1}=1$ .

Pochodna logarytmu naturalnego $f\left(x\right)=\ln x$ dla $x\in\mathbb{R}^+$

Rozważmy funkcję logarytmiczną postaci $f\left(x\right)=\ln x$ , gdzie $x\in\mathbb{R}^+$ . Pochodna logarytmu naturalnego dana jest wzorem:

$f'\left(x\right)=\left(\ln x\right)'=\frac1{x}.$

Podsumowanie

Reasumując, zaprezentowane pochodne wybranych funkcji elementarnych zapiszemy w poniższej tabeli.

Wzór funkcji $y = f (x)$	Pochodna $f' (x)$ funkcji $f$	Uwagi
$f (x) = c$	$(c)' = 0$	$c \in ℝ$
$f (x) = x^{n}$	$(x^{n})' = n \cdot x^{n - 1}$	$n \in ℕ$
$f (x) = \ln x$	$(\ln x)' = \frac{1}{x}$	$x \in ℝ^{+}$

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższą infografiką. Następnie wykonaj kolejne zadania.

R1Xt2YvgYjVhS

Polecenie 2

Wyznacz pochodne następujących funkcji:

$f\left(x\right)=40$ ,
$g\left(x\right)=-7$ ,
$h\left(x\right)=x^6$ ,
$l\left(x\right)=x^{15}$ .

Zgodnie z wzorem (1), pochodna dowolnej funkcji stałej jest równa $0$ , zatem $f'\left(x\right)=\left(40\right)'=0$ .

Aby wyznaczyć pochodną funkcji $g$ , korzystamy także z wzoru (1) powyższej infografiki. Otrzymamy $g'\left(x\right)=\left(-7\right)'=0$ .

Korzystając z wzoru (2) infografiki, wyznaczamy pochodną funkcji $h$ . Dostaniemy $h'\left(x\right)=\left(x^6\right)'=6\cdot x^{6-1}=6x^5$ .

Wykorzystując wzór (2) powyżej, otrzymamy pochodną funkcji $l$ . Tak więc $l'\left(x\right)=\left(x^{15}\right)'=15\cdot x^{15-1}=15x^{14}$ .

Polecenie 3

Wyznacz pochodne następujących funkcji:

$f\left(x\right)=x^{21}$ ,
$g\left(x\right)=x^8$ ,
$h\left(x\right)=\ln x$ .

Aby wyznaczyć pochodną funkcji $f$ , korzystamy z wzoru (2) powyższej infografiki. Otrzymamy $f'\left(x\right)=\left(x^{21}\right)'=21\cdot x^{21-1}=21x^{20}$ .

Korzystając ponownie z wzoru (2) infografiki, wyznaczamy pochodną funkcji $g$ . Zatem $g'\left(x\right)=\left(x^8\right)'=8\cdot x^{8-1}=8x^7$ .

Wykorzystując wzór (3) powyżej, otrzymamy pochodną funkcji $h$ równą $h'\left(x\right)=\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x}$ .

Poznane dotychczas wzory opisujące pochodne funkcji elementarnychfunkcje elementarnefunkcji elementarnych będą znajdowały zastosowanie w optymalizacji. Najpierw jednak poznasz kolejne własności pojęcia pochodnej funkcji.

Jak już wiemy, jeśli $f$ jest funkcją potęgową postaci $f\left(x\right)=x^n$ , gdzie $n\in\mathbb{N}$ , wówczas pochodna $f'$ funkcji wyrażona jest za pomocą wzoru

$f'\left(x\right)=\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}$ .

Okazuje się, iż powyższy wzór pozostaje również prawdziwy dla funkcji potęgowych o dowolnym wykładniku rzeczywistym.

Pochodna funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym

Twierdzenie: Pochodna funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym

Niech $f$ będzie dowolną funkcją potęgową postaci $f\left(x\right)=x^\alpha$ , gdzie $\alpha\in\mathbb{R}$ jest dowolnym wykładnikiem rzeczywistym. Wówczas pochodna funkcji $f$ wyraża się wzorem

$f'\left(x\right)=\left(x^\alpha\right)'=\alpha\cdot x^{\alpha-1}$ .

Dowód

Korzystając z definicji pochodnej funkcji w punkciepochodna funkcji w punkciepochodnej funkcji w punkcie, udowodnimy powyższe twierdzenie dla szczególnego przypadku funkcji $f\left(x\right)=x^\frac12$ , czyli funkcji $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ . Niech $x$ będzie dowolnym argumentem, dla którego funkcja $f$ jest określona. Wówczas $f'\left(x\right)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\left(\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\right)=$ $=\lim\limits_{h\to 0}\frac{x+h-x}{h\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{h}{h\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Zatem ostatecznie $f'\left(x\right)=\left(\sqrt{x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Zauważ, że stosując wprowadzony wzór na pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym $\left(x^\alpha\right)'=\alpha\cdot x^{\alpha-1}$ do funkcji $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ otrzymamy ten sam wynik. Wystarczy funkcję $f$ zapisać w postaci $f\left(x\right)=x^\frac12$ , aby otrzymać $f'\left(x\right)=\left(x^\frac12\right)'=\frac12\cdot x^{\frac12-1}=\frac12\cdot x^{-\frac12}=\frac12\cdot\frac{1}{x^\frac12}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Warto zwrócić uwagę na fakt użyteczności oraz możliwość obszernego zastosowania wprowadzonego powyżej wzoru. Za jego pomocą znaleźć możesz pochodne funkcji potęgowych nie tylko o wykładniku naturalnym, ale także pochodne funkcji potęgowych o wykładniku całkowitym ujemnym, jak na przykład $y=\frac{1}{x^2}$ , bądź pochodne funkcji potęgowych o wykładniku wymiernym, jak na przykład $y=\sqrt{x}$ czy $y=\sqrt[3]{x}$ .

Rozpoczniemy od wyznaczenia pochodnych wybranych funkcji potęgowych o wykładniku całkowitym ujemnym.

Przykład 7

Korzystając z wzoru na pochodną funkcji potęgowej, znajdziemy pochodną funkcji $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ dla $x\neq 0$ .

Rozwiązanie

Najpierw zapiszmy funkcję $f$ jako $f\left(x\right)=x^{-1}$ . Zauważmy, że wykładnik $\alpha=-1$ , zatem $f'\left(x\right)=\left(\frac{1}{x}\right)'=\left(x^{-1}\right)'=-1\cdot x^{-1-1}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$ .

Przykład 8

Rozważmy funkcję $f\left(x\right)=\frac{1}{x^3}$ . Znajdziemy pochodną funkcji $f$ w dowolnym punkcie $x\neq 0$ .

Rozwiązanie

Zauważ, że funkcję $f$ możemy zapisać w postaci $f\left(x\right)=x^{-3}$ , gdzie wykładnik $\alpha=-3$ . Korzystając z wzoru na pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym, otrzymamy $f'\left(x\right)=\left(x^{-3}\right)'=-3\cdot x^{-3-1}=-3x^{-4}=-\frac{3}{x^4}$ .

Kolejne funkcje, których pochodne wyznaczymy za pomocą powyższego wzoru, to funkcje potęgowe o wykładniku wymiernym dodatnim.

Przykład 9

Znajdziemy pochodną funkcji $f\left(x\right)=\sqrt[4]{x}$ dla $x\geq 0$ .

Rozwiązanie

Funkcję $f$ zapiszemy w postaci $f\left(x\right)=x^\frac14$ , gdzie wykładnik $\alpha=\frac14$ .

Pochodna funkcji $f$ będzie postaci $f'\left(x\right)=\left(x^\frac14\right)'=\frac14\cdot x^{\frac14-1}=\frac14x^{-\frac34}=\frac1{4\sqrt[4]{x^3}}$ .

Przykład 10

Wyznaczymy pochodną funkcji $f\left(x\right)=\sqrt[5]{x^9}$ dla $x\in\mathbb{R}$ .

Rozwiązanie

W tym celu funkcję $f$ należy zapisać jako $f\left(x\right)=x^\frac95$ , aby otrzymać $f'\left(x\right)=\left(x^\frac95\right)'=\frac95\cdot x^{\frac95-1}=\frac95 x^\frac45=\frac{9\sqrt[5]{x^4}}5$ .

Na koniec wyznaczymy pochodne wybranych funkcji potęgowych o wykładniku wymiernym ujemnym.

Przykład 11

Znajdziemy pochodną funkcji $f\left(x\right)=\frac1{\sqrt{x}}$ .

Rozwiązanie

Funkcję $f$ zapiszemy jako $f\left(x\right)=x^{-\frac12}$ , gdzie wykładnik $\alpha=-\frac12$ . Zatem pochodna $f'$ funkcji $f$ będzie równa $f'\left(x\right)=\left(x^{-\frac12}\right)'=-\frac12 x^{-\frac12-1}=-\frac12 x^{-\frac32}=-\frac1{2\sqrt{x^3}}$ .

Przykład 12

Rozważmy funkcję $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^7}}$ . Chcemy wyznaczyć pochodną tej funkcji korzystając z wzoru na pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym.

Rozwiązanie

Zapiszemy najpierw funkcję $f$ w postaci $f\left(x\right)=x^{-\frac73}$ . Zauważ, że wówczas wykładnik $\alpha=-\frac73$ . Stosując się do wprowadzonego powyżej wzoru, otrzymamy $f'\left(x\right)=\left(x^{-\frac73}\right)'=-\frac73\cdot x^{-\frac73-1}=-\frac73 x^{-\frac{10}3}=-\frac7{3\sqrt[3]{x^{10}}}$ .

Polecenie 4

Aby utrwalić wzór na pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym, zagraj w poniższą grę.

Wykonaj dwanaście poniższych zadań.

ReiAMiP6qY3I6

RXcqlYp2z1iGa

R1GKIGGdIyRk4

RJq0K2ao2tf4U

RrGf6J53FngaY

RZGgSP9NJKcdO

RUOCtXhOCydEh

R11kN7rZ02uW7

RvQbUODMM3GzL

R3F7WR7xEEyJD

R1dTPsUvde0iX

RHjculjGnM9AE

RvIBYlXP8uIPV1

Polecenie 5

Wyznacz pochodne następujących funkcji potęgowych:

$f\left(x\right)=\sqrt[6]{x}$ ,
$g\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt[5]{x}}$ .

Funkcje $f$ i $g$ zapisz w postaci potęg o wykładniku rzeczywistym, a następnie skorzystaj z wzoru $\left(x^\alpha\right)'=\alpha\cdot x^{\alpha-1}$ .

Aby wyznaczyć pochodną funkcji $f$ , zapiszmy ją w postaci potęgi o wykładniku rzeczywistym $f\left(x\right)=x^\frac16$ . Otrzymamy $f'\left(x\right)=\left(x^\frac16\right)'=\frac16\cdot x^{\frac16-1}=\frac16x^{-\frac56}=\frac{1}{6\sqrt[6]{x^5}}$ .

Funkcję $g$ zapiszemy jako $g\left(x\right)=x^{-\frac15}$ i skorzystamy z wzoru na pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym. Wówczas $g'\left(x\right)=\left(x^{-\frac15}\right)'=-\frac15\cdot x^{-\frac15-1}=-\frac15 x^{-\frac65}=-\frac{1}{5\sqrt[5]{x^6}}$ .

Polecenie 6

Znajdź pochodne poniższych funkcji potęgowych o wykładniku rzeczywistym:

$f\left(x\right)=\sqrt[9]{x^4}$ ,
$g\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^4}}$ .

Funkcje $f$ i $g$ zapisz w postaci potęg o wykładniku rzeczywistym, a następnie skorzystaj z wzoru $\left(x^\alpha\right)'=\alpha\cdot x^{\alpha-1}$ .

Funkcję $f$ należy zapisać w postaci potęgi o wykładniku rzeczywistym $f\left(x\right)=x^\frac49$ . Pochodna funkcji $f$ będzie wówczas równa $f'\left(x\right)=\left(x^\frac49\right)'=\frac49\cdot x^{\frac49-1}=\frac49x^{-\frac59}=\frac{4}{9\sqrt[9]{x^5}}$ .

Podobnie funkcję $g$ zapiszemy w postaci $g\left(x\right)=x^{-\frac43}$ i skorzystamy z wzoru na pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym. Otrzymamy $g'\left(x\right)=\left(x^{-\frac43}\right)'=-\frac43\cdot x^{-\frac43-1}=-\frac43 x^{-\frac73}=-\frac{4}{3\sqrt[3]{x^7}}$ .

R12wBlDUtXTQC1

Ćwiczenie 1

R1QfHtFKvwNh31

Ćwiczenie 2

R18WmBuFU3pBr1

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Wyznacz pochodne następujących funkcji:

$f\left(x\right)=2000$ ,
$g(\left(x\right)=x^{8}$ ,
$h\left(x\right)=x^{27}$ .

Zastosuj poniższe wzory opisujące pochodne funkcji stałych i potęgowych, odpowiednio:

$\left(c\right)'=0,$
$\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}.$

Pochodna dowolnej funkcji stałej jest równa zero, więc $f'\left(x\right)=\left(2000\right)'=0$ .

Aby wyznaczyć pochodną funkcji $g$ , korzystamy z wzoru na pochodną funkcji potęgowej $\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}$ . Otrzymamy $g'\left(x\right)=\left(x^{8}\right)'=8\cdot x^{8-1}=8x^{7}.$

Wykorzystując ponownie wzór na pochodną funkcji potęgowej, znajdziemy pochodną funkcji $h$ . Dostaniemy $h'\left(x\right)=\left(x^{27}\right)'= 27\cdot x^{27-1}=27x^{26}$ .

R1OJONHAWrOYn2

Ćwiczenie 5

Dopasuj poniższe funkcje z odpowiadającymi im pochodnymi. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z siedem, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z siedem, koniec ułamka, 6. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, sinus x f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem indeks górny, x, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z siedem, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z siedem, koniec ułamka, 6. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, sinus x f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie siedem z x Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z siedem, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z siedem, koniec ułamka, 6. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, sinus x f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm naturalny z x Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z siedem, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z siedem, koniec ułamka, 6. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, sinus x f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, sinus x Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z siedem, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z siedem, koniec ułamka, 6. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, sinus x f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z siedem, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z siedem, koniec ułamka, 6. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, sinus x

R1CZbEUHt8dRG2

Ćwiczenie 6

RZkylIZIM1seO3

Ćwiczenie 7

f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, szesnaście x indeks górny, piętnaście, koniec indeksu górnego, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z dwanaście, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwanaście indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z dwanaście, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, zero f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, czterysta Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, szesnaście x indeks górny, piętnaście, koniec indeksu górnego, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z dwanaście, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwanaście indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z dwanaście, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, zero f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwanaście indeks górny, x, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, szesnaście x indeks górny, piętnaście, koniec indeksu górnego, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z dwanaście, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwanaście indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z dwanaście, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, zero f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, szesnaście x indeks górny, piętnaście, koniec indeksu górnego, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z dwanaście, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwanaście indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z dwanaście, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, zero f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie dwanaście z x Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, szesnaście x indeks górny, piętnaście, koniec indeksu górnego, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z dwanaście, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwanaście indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z dwanaście, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, zero

RQ0P1EHuR4vsu3

Ćwiczenie 8

Ćwiczenie 9

Korzystając bezpośrednio z definicji pochodnej funkcji, wyznacz pochodną funkcji $f\left(x\right)=x^3$ w dowolnym punkcie $x$ , w którym funkcja jest określona.

Wykorzystaj definicję pochodnej funkcji jako granicy ilorazu różnicowego $f'\left(x\right)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$ dla $f\left(x\right)=x^3$ .

Korzystamy bezpośrednio z definicji pochodnej funkcji jako granicy ilorazu różnicowego $f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$ dla funkcji $f\left(x\right)=x^3$ .

Przypomnijmy najpierw wzór skróconego mnożenia opisujący sześcian sumy: $\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ .

Pochodna funkcji $f\left(x\right)=x^3$ dla dowolnego argumentu $x_0=x\in\mathbb{R}$ będzie miała postać: $f'\left(x\right) = \lim\limits_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} = \lim\limits_{h\to0}\frac{\left(x+h\right)^3-x^3}{h} = \lim\limits_{h\to0}\frac{\left(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3\right)-x^3}{h} =$ $\lim\limits_{h\to0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h} = \lim\limits_{h\to0}\left(3x^2+3xh+h^2\right) = 3x^2$ . Czyli ostatecznie $f'\left(x\right)=\left(x^3\right)'=3x^2$ .

Ćwiczenie 10

Wyznacz pochodne następujących funkcji:

$f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$ ,
$g\left(x\right)=\frac{1}{x^2}$ ,
$h\left(x\right)=\sqrt{x^3}$ .

Wzory opisujące funkcje $f$ , $g$ , $h$ zapisz w postaci potęgi i zastosuj wzór na pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym $\left(x^\alpha\right)'=\alpha\cdot x^{\alpha-1}$ .

Funkcję $f$ zapisujemy jako $f\left(x\right)=x^\frac{1}{3}$ . Stosując wzór na pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym $\left(x^\alpha\right)'=\alpha\cdot x^{\alpha-1}$ dla $\alpha=\frac13$ dostaniemy $f'\left(x\right)=\left(x^\frac{1}{3}\right)'=\frac{1}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ .

Podobnie zapisujemy funkcje $g$ oraz $h$ w postaci $g\left(x\right)=x^{-2}$ , $h\left(x\right)=x^\frac32$ , a następnie wykorzystujemy wzór na pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym, otrzymując $g'\left(x\right)=\left(x^{-2}\right)'=-2\cdot x^{-2-1}=-2\cdot x^{-3}=-\frac{2}{x^3}$ oraz $h'\left(x\right)=\left(x^{\frac{3}{2}}\right)'=\frac{3}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}-1}=\frac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}=\frac{3\sqrt{x}}{2}$ .

RMVVNXUYx9GQ21

Ćwiczenie 11

RjKISVvB1jWhs1

Ćwiczenie 12

R1Q3eJrm1NIP92

Ćwiczenie 13

Połącz w pary poniższe funkcje i odpowiadające im pochodne. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć pierwiastek stopnia sześć z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery pierwiastek stopnia cztery z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, koniec ułamka, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek stopnia cztery z x koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć pierwiastek stopnia sześć z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery pierwiastek stopnia cztery z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, koniec ułamka, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć pierwiastek stopnia sześć z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery pierwiastek stopnia cztery z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, koniec ułamka, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek stopnia sześć z x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć pierwiastek stopnia sześć z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery pierwiastek stopnia cztery z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, koniec ułamka, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć pierwiastek stopnia sześć z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery pierwiastek stopnia cztery z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, koniec ułamka, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

RPMaGLJtQS2GR2

Ćwiczenie 14

RBqBAUPfqwO2V2

Ćwiczenie 15

RG0067Zb0aFKk3

Ćwiczenie 16

Połącz w pary poniższe funkcje i odpowiadające im pochodne. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek stopnia pięć z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, osiem, mianownik, x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, pięć pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, pięć pierwiastek stopnia pięć z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, osiem, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z x indeks górny, jeden, koniec indeksu górnego, jeden koniec pierwiastka, koniec ułamka f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, osiem, mianownik, x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, pięć pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, pięć pierwiastek stopnia pięć z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, osiem, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z x indeks górny, jeden, koniec indeksu górnego, jeden koniec pierwiastka, koniec ułamka f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, osiem, mianownik, x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, pięć pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, pięć pierwiastek stopnia pięć z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, osiem, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z x indeks górny, jeden, koniec indeksu górnego, jeden koniec pierwiastka, koniec ułamka f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek sześcienny z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, osiem, mianownik, x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, pięć pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, pięć pierwiastek stopnia pięć z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, osiem, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z x indeks górny, jeden, koniec indeksu górnego, jeden koniec pierwiastka, koniec ułamka f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek sześcienny z x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, osiem, mianownik, x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, pięć pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, pięć pierwiastek stopnia pięć z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, osiem, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z x indeks górny, jeden, koniec indeksu górnego, jeden koniec pierwiastka, koniec ułamka

RCJnt7reDqElS3

Ćwiczenie 17

Słownik

iloraz różnicowy

to stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu funkcji. Dla funkcji $f\colon X\to Y$ oraz argumentów $x_1,x_2\in X$ iloraz różnicowy wyrażony jest jako

$\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$

funkcje elementarne

to funkcje, które możemy otrzymać z tak zwanych podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych, składania oraz odwracania funkcji. Do podstawowych funkcji elementarnych należą:

funkcje stałe
funkcje potęgowe
funkcje wykładnicze
funkcje logarytmiczne
funkcje trygonometryczne

dwumian Newtona

jeśli $x,y\in\mathbb{R}$ , to każdą naturalną potegę dwumianu $x+y$ możemy przedstawić w postaci sumy:

$\left(x+y\right)^n=\binom{n}{0}\cdot x^n+\binom{n}{1}\cdot x^{n-1}y+\ldots+\binom{n}{n-1}\cdot xy^{n-1}+\binom{n}{n}\cdot y^n$

lub krócej przy pomocy notacji sumacyjnej

$\left(x+y\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}y^k$

logarytm naturalny

to logarytm o podstawie $e$ (liczba Eulera), gdzie $e\approx 2,718281828$ . Logarytm naturalny oznaczany jest symbolem $\ln$

funkcja potęgowa o wykładniku $\alpha$

funkcja określona wzorem $f\left(x\right)=x^\alpha$ . Dziedzina funkcji potęgowej zależy od wykładnika $\alpha$

pochodna funkcji w punkcie

granica właściwa ilorazu różnicowego

$f'\left(x\right)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$

1. Pochodna funkcji w punkcie

3. Działania na pochodnych

Pochodna funkcji stałej $f\left(x\right)=c$ , $c\in\mathbb{R}$

Pochodna funkcji potęgowej $f\left(x\right)=x^n$ dla $n\in\mathbb{N}$

Pochodna logarytmu naturalnego $f\left(x\right)=\ln x$ dla $x\in\mathbb{R}^+$

Podsumowanie

Słownik

1. Pochodna funkcji w punkcie

3. Działania na pochodnych

M_R_W19_M3 Pochodna funkcji

Pochodna funkcji stałej f\left(x\right)=c, c\in\mathbb{R}

Pochodna funkcji potęgowej f\left(x\right)=x^n dla n\in\mathbb{N}

Pochodna logarytmu naturalnego f\left(x\right)=\ln x dla x\in\mathbb{R}^+

Podsumowanie

Słownik

Pochodna funkcji stałej $f\left(x\right)=c$ , $c\in\mathbb{R}$

Pochodna funkcji potęgowej $f\left(x\right)=x^n$ dla $n\in\mathbb{N}$

Pochodna logarytmu naturalnego $f\left(x\right)=\ln x$ dla $x\in\mathbb{R}^+$