RbTywitNSLN3o
Ilustracja przedstawia szkolną tablicę w kolorze zielonym. Na tablicy znajdują się obliczenia wykonane białą kredą.

Równania - bo świat jest w równowadze

Źródło: Pexels.com, licencja: CC BY 3.0.

1. Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania

R6iy6tJysqwIN1
Na grafice przedstawiona jest waga z odważnikami na prawej szalce oraz trzema jabłkami na lewej szalce.
Źródło: GroMar Sp. z o.o.

Patrząc na wagę, która pozostaje w równowadze, możesz spróbować zgadnąć, ile waży jabłko. Co należy zrobić, aby przekonać się, czy mamy rację?

W przypadku równań, podobnie jak w wyrażeniach algebraicznych, można podstawiać liczby w miejsce niewiadomych. Otrzymane wówczas równości mogą być prawdziwe lub fałszywe. Jest to czasochłonne i czasami wymaga wielu prób, ale daje możliwość odgadnięcia rozwiązania.

Materiał zawiera podstawowe pojęcia związane z równaniami pierwszego stopnia z jedną niewiadomą. Są tu też zamieszczone przykłady rozwiązywania równań i określania ich rodzaju, ze względu na liczbę rozwiązań. Zdobytą wiedzę zastosujesz, określając rozwiązania równań zamieszczonych w ćwiczeniach.

Rozwiązanie równania

Obliczenie wartości liczbowej wyrażenia algebraicznego polega na podstawieniu danych liczb w miejsce liter i wykonaniu wskazanych działań.

W przypadku równań także można podstawiać liczby w miejsce niewiadomych.

Otrzymywane wówczas równości liczbowe mogą być prawdziwe lub fałszywe.

Przykład 1
R13zxxg5iQsY9
Animacja przedstawia w jaki sposób możemy sprawdzić czy równanie zachodzi dla danego x.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R13zxxg5iQsY9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia w jaki sposób możemy sprawdzić czy równanie zachodzi dla danego x.

Przykład 2
RcqT4IDsgcMcU1
Animacja pokazuje w jaki sposób możemy rozwiązać równanie liniowe.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RcqT4IDsgcMcU

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja pokazuje w jaki sposób możemy rozwiązać równanie liniowe.

Wszystkie rozważane w tym materiale równania to równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

Liczba spełniająca dane równanie
Definicja: Liczba spełniająca dane równanie

Liczba spełnia dane równanie, jeżeli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej i wykonaniu działań po obu stronach równania, otrzymamy prawdziwą równość liczbową.

Rozwiązanie równania
Definicja: Rozwiązanie równania

Liczbę, która spełnia dane równanie, nazywamy rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania.

Równania równoważne
Definicja: Równania równoważne

Mówimy, że równania z tymi samymi niewiadomymi są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy posiadają taki sam zbiór rozwiązań.

Przykład 3
R1U07r7eyjAm4
Animacja przedstawia jak za pomocą równania możemy opisać pewną sytuację zachodzącą na wadze szalkowej, która znajduje się w równowadze.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1U07r7eyjAm4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia jak za pomocą równania możemy opisać pewną sytuację zachodzącą na wadze szalkowej, która znajduje się w równowadze.

Zapamiętaj!

Rozwiązać równanie to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które spełniają to równanie lub wykazać, że równanie to nie ma rozwiązania. W tym celu przekształcamy równanie równoważnie, pamiętając o tym, że:

  • do obu stron równania możemy dodać lub od obu stron równania odjąć tę samą liczbę lub wyrażenie,

  • obie strony równania możemy pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera.

Przykład 4
R14PQGRw7Pb5i
Animacja przedstawia jak za pomocą równania możemy opisać pewną sytuację zachodzącą na wadze szalkowej, która znajduje się w równowadze.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R14PQGRw7Pb5i

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia jak za pomocą równania możemy opisać pewną sytuację zachodzącą na wadze szalkowej, która znajduje się w równowadze.

Przykład 5
R1ABvdhmyZ8pg
Animacja przedstawia jak za pomocą równania możemy opisać pewną sytuację zachodzącą na wadze szalkowej, która znajduje się w równowadze.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1ABvdhmyZ8pg

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia jak za pomocą równania możemy opisać pewną sytuację zachodzącą na wadze szalkowej, która znajduje się w równowadze.

Zapamiętaj!

Dodawanie lub odejmowanie od obu stron równania tego samego wyrażenia inaczej można nazwać przenoszeniem tego wyrażenia z przeciwnym znakiem na drugą stronę równania.

Np. aby rozwiązać równanie: 2x-5=x+1, przenosimy z przeciwnym znakiem:

  • x na lewą stronę równania

2x-x-5=1,

  • -5 na prawą stronę równania

2x-x=1+5
x=6.

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest liczba 6.

Równanie z jedną niewiadomą

Równania z jedną niewiadomą mogą mieć skończoną liczbę rozwiązań, np. jedno, dwa, trzy, cztery. Są również takie równania, które nie mają rozwiązania lub mają nieskończenie wiele rozwiązań.

Zbiór rozwiązań równania
Definicja: Zbiór rozwiązań równania

Zbiór wszystkich liczb spełniających dane równanie nazywamy zbiorem rozwiązań równania.

Przykład 6

Rozwiąż równania

  • x+4=0
    Rozwiązanie: x=-4.

  • x+4=4 
    Rozwiązanie: x=0.

  • x+4=x-4
    Rozwiązanie: brak rozwiązania.

Przykład 7

Znajdź pierwiastek równania.

  • 2a+3=7
    Pierwiastek równania to a=2.

  • x-9=0
    Pierwiastek równania to x=9.

Przykład 8

  • Równania, które nie mają rozwiązania:

x+2=x, 2x-5=2x+1.

  • Równania, które mają nieskończenie wiele rozwiązań:

2x-2x+2x=2x, 0·x=0.

Równanie sprzeczne
Definicja: Równanie sprzeczne

Równanie, które nie ma rozwiązania, nazywamy równaniem sprzecznym.

Równanie tożsamościowe
Definicja: Równanie tożsamościowe

Równanie, które jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą, nazywamy równaniem tożsamościowym.

Ważne!

Liczba rozwiązań równania.

Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą może:

  • nie mieć rozwiązania,

  • mieć dokładnie jedno rozwiązanie,

  • mieć nieskończenie wiele rozwiązań.

RbCjq5zHf7Omu
Ćwiczenie 1
Połącz równanie z jego rozwiązaniem. jeden Możliwe odpowiedzi: 1. zet, plus, jeden, równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, minus, jeden, 3. dwa y, równa się, y, minus, jeden, 4. dwa x, równa się, x, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. dwa x, równa się, minus, cztery, 6. x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, zero, 7. zet, równa się, trzy zet, minus, cztery, 8. trzy x, plus, dwa, równa się, pięć minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. zet, plus, jeden, równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, minus, jeden, 3. dwa y, równa się, y, minus, jeden, 4. dwa x, równa się, x, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. dwa x, równa się, minus, cztery, 6. x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, zero, 7. zet, równa się, trzy zet, minus, cztery, 8. trzy x, plus, dwa, równa się, pięć dwa Możliwe odpowiedzi: 1. zet, plus, jeden, równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, minus, jeden, 3. dwa y, równa się, y, minus, jeden, 4. dwa x, równa się, x, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. dwa x, równa się, minus, cztery, 6. x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, zero, 7. zet, równa się, trzy zet, minus, cztery, 8. trzy x, plus, dwa, równa się, pięć minus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. zet, plus, jeden, równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, minus, jeden, 3. dwa y, równa się, y, minus, jeden, 4. dwa x, równa się, x, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. dwa x, równa się, minus, cztery, 6. x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, zero, 7. zet, równa się, trzy zet, minus, cztery, 8. trzy x, plus, dwa, równa się, pięć początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. zet, plus, jeden, równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, minus, jeden, 3. dwa y, równa się, y, minus, jeden, 4. dwa x, równa się, x, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. dwa x, równa się, minus, cztery, 6. x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, zero, 7. zet, równa się, trzy zet, minus, cztery, 8. trzy x, plus, dwa, równa się, pięć minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. zet, plus, jeden, równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, minus, jeden, 3. dwa y, równa się, y, minus, jeden, 4. dwa x, równa się, x, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. dwa x, równa się, minus, cztery, 6. x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, zero, 7. zet, równa się, trzy zet, minus, cztery, 8. trzy x, plus, dwa, równa się, pięć jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. zet, plus, jeden, równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, minus, jeden, 3. dwa y, równa się, y, minus, jeden, 4. dwa x, równa się, x, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. dwa x, równa się, minus, cztery, 6. x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, zero, 7. zet, równa się, trzy zet, minus, cztery, 8. trzy x, plus, dwa, równa się, pięć minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. zet, plus, jeden, równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, minus, jeden, 3. dwa y, równa się, y, minus, jeden, 4. dwa x, równa się, x, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. dwa x, równa się, minus, cztery, 6. x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, zero, 7. zet, równa się, trzy zet, minus, cztery, 8. trzy x, plus, dwa, równa się, pięć
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Q1AyiAbKGTA
Ćwiczenie 2
Zaznacz prawidłową odpowiedź. Liczbą spełniającą równanie dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, plus, dwa, równa się, cztery x, plus, czternaście jest Możliwe odpowiedzi: 1. minus, siedem., 2. siedem., 3. sześć początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka., 4. początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R5rwAelILqnDu
Ćwiczenie 3
Zaznacz prawidłową odpowiedź. Liczbą spełniającą równanie x nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden może być Możliwe odpowiedzi: 1. minus, jeden, 2. jeden, 3. dwa, 4. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RcI5ZAoauyfFD
Ćwiczenie 4
Sprawdź, czy podana liczba jest rozwiązaniem danego równania. Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Rozwiązaniem równania minus, trzy nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, plus, cztery, równa się, sześć, minus, x jest x, równa się, minus, cztery., 2. Rozwiązaniem równania minus, nawias, minus, osiem x, plus, siedem, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, minus, trzy jest x, równa się, cztery., 3. Rozwiązaniem równania dwa nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, minus, trzy nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu jest x, równa się, minus, jeden., 4. Rozwiązaniem równania początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, minus, początek ułamka, dwa, minus, x, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, x, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka jest x, równa się, trzy., 5. Rozwiązaniem równania nawias, dwa x, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, trzy x, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, x nawias, cztery x, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu jest x, równa się, jeden.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RpHRrRXq3nR4b
Ćwiczenie 5
Sprawdź, które równania są spełnione przez liczbę minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka. Możliwe odpowiedzi: 1. dwa nawias, trzy x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, jeden, plus, cztery x, 2. jeden, plus, x, równa się, początek ułamka, x, plus, dwa, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. sześć x nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, cztery nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R4MRj1UirpOs8
Ćwiczenie 6
Przeciągnij odpowiednie elementy z dolnej sekcji do górnej. Brak rozwiązań Możliwe odpowiedzi: 1. minus, dwa nawias, cztery, minus, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x, minus, osiem, 2. x, równa się, x, 3. dwa x, plus, trzy, równa się, trzy, plus, dwa x, 4. zero, razy, zet, równa się, zero, 5. minus, x, plus, cztery, równa się, minus, x, 6. pięć, razy, x, równa się, minus, pięć, 7. dwa x, minus, jeden, równa się, dwa x, plus, jeden, 8. zero, razy, x, równa się, trzynaście, 9. x, plus, trzy, równa się, trzy Jedno rozwiązanie Możliwe odpowiedzi: 1. minus, dwa nawias, cztery, minus, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x, minus, osiem, 2. x, równa się, x, 3. dwa x, plus, trzy, równa się, trzy, plus, dwa x, 4. zero, razy, zet, równa się, zero, 5. minus, x, plus, cztery, równa się, minus, x, 6. pięć, razy, x, równa się, minus, pięć, 7. dwa x, minus, jeden, równa się, dwa x, plus, jeden, 8. zero, razy, x, równa się, trzynaście, 9. x, plus, trzy, równa się, trzy Nieskończenie wiele rozwiązań Możliwe odpowiedzi: 1. minus, dwa nawias, cztery, minus, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x, minus, osiem, 2. x, równa się, x, 3. dwa x, plus, trzy, równa się, trzy, plus, dwa x, 4. zero, razy, zet, równa się, zero, 5. minus, x, plus, cztery, równa się, minus, x, 6. pięć, razy, x, równa się, minus, pięć, 7. dwa x, minus, jeden, równa się, dwa x, plus, jeden, 8. zero, razy, x, równa się, trzynaście, 9. x, plus, trzy, równa się, trzy
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R3cJF8IhjDFSD
Ćwiczenie 7
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Równanie początek ułamka, trzynaście, mianownik, x, koniec ułamka, równa się, zero jest równaniem sprzecznym., 2. Równanie a, plus, siedemnaście, równa się, dwa a, plus, siedemnaście, minus, a jest równaniem tożsamościowym., 3. Równanie x, minus, dwa, równa się, dwa, minus, x jest równaniem sprzecznym., 4. Równanie x, równa się, x, plus, jedenaściejest równaniem tożsamościowym.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RlXaFedBuY9Ar
Ćwiczenie 8
Które z podanych równań jest sprzeczne? Zaznacz wszystkie sprzeczne równania . Możliwe odpowiedzi: 1. trzy x, minus, jeden, równa się, trzy x, plus, jeden, 2. x, minus, dziesięć, równa się, dziesięć, minus, x, 3. dwa x, równa się, minus, dwa x, plus, jeden, 4. x, plus, cztery, równa się, x, 5. x, plus, dziewięć, równa się, x, plus, dziewięć
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1NjnH5NfNGf2
Ćwiczenie 9
Które z podanych równań jest sprzeczne? Możliwe odpowiedzi: 1. minus, sześć x, plus, sześć, równa się, minus, sześć x, 2. x, plus, x, minus, jeden, równa się, dwa x, minus, jeden, 3. x, minus, dziesięć, równa się, x, plus, dziesięć, 4. zero, razy, y, równa się, minus, jeden, 5. dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x, minus, jeden
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RlFnkBksC1wRU
Ćwiczenie 10
Które z podanych równań są tożsamościowe? Zaznacz wszystkie prawidłowe odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. dwa x, równa się, dwa x, 2. minus, nawias, x, minus, siedem, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x, minus, siedem, 3. zero, razy, x, równa się, zero, 4. cztery nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery x, plus, dwa, 5. x, plus, sześć, równa się, sześć, 6. minus, nawias, x, minus, siedem, zamknięcie nawiasu, równa się, siedem, minus, x, 7. x, minus, cztery, równa się, cztery, minus, x, 8. cztery nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery x, plus, osiem
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1NrwW76azv2i
Ćwiczenie 11
Jaką liczbę należy wpisać w miejsce, aby rozwiązaniem równania była podana obok wartość?
Przeciągnij w luki takie liczby tak, aby dana liczba x była rozwiązaniem równania. trzy x, minus 1. minus, cztery, 2. trzy, 3. dwa, 4. dwa, 5. cztery równa się, trzy, x, równa się, dwa dwa x, plus, trzy, równa się, x, minus 1. minus, cztery, 2. trzy, 3. dwa, 4. dwa, 5. cztery, x, równa się, minus, siedem minus, dwa nawias x, plus1. minus, cztery, 2. trzy, 3. dwa, 4. dwa, 5. cztery zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x, plus, jeden, x, równa się, minus, pięć 1. minus, cztery, 2. trzy, 3. dwa, 4. dwa, 5. cztery razy, x, plus, osiem, równa się, dwadzieścia, x, równa się, minus, trzy minus, nawias, x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, plus 1. minus, cztery, 2. trzy, 3. dwa, 4. dwa, 5. cztery równa się, minus, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, x, równa się, minus, dziewięć
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rkv6VLelRhAvq
Ćwiczenie 12
Jaki jednomian należy wpisać, aby otrzymane równanie było sprzeczne? Przeciągnij w luki odpowiednie jednomiany. sześć x, równa się 1. dziewięć x, 2. minus, trzy x, 3. minus, x, 4. x, 5. minus, dwa x, 6. sześć x plus, jeden cztery x, plus 1. dziewięć x, 2. minus, trzy x, 3. minus, x, 4. x, 5. minus, dwa x, 6. sześć x równa się, x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka minus, cztery x, plus 1. dziewięć x, 2. minus, trzy x, 3. minus, x, 4. x, 5. minus, dwa x, 6. sześć x równa się, minus, pięć x, minus, pięć dwa nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, równa się, x, plus 1. dziewięć x, 2. minus, trzy x, 3. minus, x, 4. x, 5. minus, dwa x, 6. sześć x trzy nawias 1. dziewięć x, 2. minus, trzy x, 3. minus, x, 4. x, 5. minus, dwa x, 6. sześć x minus, cztery zamknięcie nawiasu, równa się, minus, sześć x dwa x, minus, nawias, sześć, minus, siedem x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa, plus 1. dziewięć x, 2. minus, trzy x, 3. minus, x, 4. x, 5. minus, dwa x, 6. sześć x
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RGTeMu6YCBACy
Ćwiczenie 13
Jaki jednomian należy wpisać, aby otrzymane równanie było tożsamościowe? Przeciągnij w luki odpowiednie jednomiany. trzy x, równa się, siedem x, plus 1. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, x, 2. dwa x, 3. pięć x, 4. minus, cztery x, 5. siedem x dwanaście x, minus, pięć x, równa się 1. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, x, 2. dwa x, 3. pięć x, 4. minus, cztery x, 5. siedem x cztery nawias x, minus 1. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, x, 2. dwa x, 3. pięć x, 4. minus, cztery x, 5. siedem x zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x minus, x, plus, sześć x, minus, osiem, równa się 1. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, x, 2. dwa x, 3. pięć x, 4. minus, cztery x, 5. siedem x minus, jeden, minus, siedem minus, pięć nawias 1. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, x, 2. dwa x, 3. pięć x, 4. minus, cztery x, 5. siedem x minus, jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, trzy x, plus, x
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RXLI9kw7XyGWg
Ćwiczenie 14
Przyporządkuj do odpowiedniej grupy takie wyrażenie algebraiczne, aby równanie trzy x, minus, jeden, równa się, x, plus, wielokropek miało jedno rozwiązanie Możliwe odpowiedzi: 1. dwa x, 2. dwa x, minus, jeden, 3. x, plus, siedem nie miało rozwiązania Możliwe odpowiedzi: 1. dwa x, 2. dwa x, minus, jeden, 3. x, plus, siedem miało nieskończenie wiele rozwiązań Możliwe odpowiedzi: 1. dwa x, 2. dwa x, minus, jeden, 3. x, plus, siedem
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 15

Uzasadnij, że równanie x=x nie jest równaniem tożsamościowym. Ile rozwiązań ma to równanie?

R1b3x5zir29ld
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2. Równania z dodawaniem i odejmowaniem