1. Wektor na płaszczyźnie

Rs6rz5K85MClW

Pojęcie wektora należy do najważniejszych pojęć w naukach ścisłych, na przykład w geometrii służy do opisu wielu przekształceń. Często pojawia się w inżynierii i fizyce, gdzie reprezentuje olbrzymią i ważną klasę obiektów zwanych wielkościami wektorowymi. Wykorzystujemy wektory nawet w życiu codziennym, np. wyznaczając początek i koniec trasy wyznaczamy jednocześnie wektor.

W geometrii każda figura to zbiór punktów. Większość figur to zbiory złożone z nieskończenie wielu punktów, ale są też zbiory wyjątkowe - wyjątkowe pod różnymi względami: po pierwsze składają się z małej liczby punktów, a po drugie kolejność tych punktów ma znaczenie…

Twoje cele

Zinterpretujesz cechy wektora (długość, kierunek i zwrot).
Rozpoznasz wektory o tych samych długościach, kierunkach i zwrotach.
Wyznaczysz liczbę wektorów, które można utworzyć z danego zbioru punktów.
Rozpoznasz wektory równe. Uzasadnisdz, że dane wektory są równe.
Rozpoznasz wektory przeciwne. Uzasadnisdz, że dane wektory są przeciwne.

wektor

Definicja: wektor

Wektorem nazywamy uporządkowaną parę punktów. Innymi słowy każde dwa punkty, o ile wiadomo, który jest pierwszy (początek wektora), a który drugi (koniec wektora), nazywać będziemy wektorem. Początek wektora nazywamy punktem zaczepienia wektora.

R12qdEXOutAfc

Na ilustracji przedstawione są dwa punkty określone jako początek wektora (lewy dolny róg) oraz koniec wektora (prawy górny róg).

Graficznie wektorwektorwektor przedstawiany jest jako “strzałka” - odcinek zakończony grotem. Dzięki grotowi wiemy, który punkt jest początkiem, a który końcem wektora.

R1bfs8Lkywzcw

Na ilustracji przedstawione są dwa punkty: A w lewym dolnym rogu określony jako początek wektora oraz B w lewym dolnym rogu określony jako koniec wektora. Pomiędzy punktami narysowana jest strzałka opisana jako wektor u.

Wektor o początku w punkcie $A$ i końcu w punkcie $B$ oznaczamy $\vec{A B}$ , ale będziemy też używać jednej małej litery ze strzałką, np.: $\vec{u}, \vec{v}, \vec{a}, \vec{b}$ , ...

długość wektora

Definicja: długość wektora

Odległość między początkiem a końcem wektora nazywamy długością (modułem lub wartością) wektora. Długość wektoradługość wektoraDługość wektora o początku w punkcie $A$ i końcu w punkcie $B$ oznaczamy $|\vec{A B}|$ .

kierunek wektora

Definicja: kierunek wektora

Gdy początek i koniec wektora $\vec{A B}$ nie pokrywają się, punkty $A$ i $B$ wyznaczają dokładnie jedną prostą $l$ . Mówimy wtedy, że wektor $\vec{A B}$ jest równoległy do prostej $l$ . Wektor $\vec{A B}$ jest także równoległy do każdej prostej równoległej do prostej $l$ .

RwaT2rqhYkrLZ

Na ilustracji przedstawiona jest prosta l biegnąca z lewego dolnego rogu do prawego górnego rogu, także dwa punkty do niej należące: A będący początkiem wektora oraz B będący końcem wektora. Pomiędzy punktami narysowana jest strzałka.

Dwa niezerowe wektory nazywamy równoległymi, gdy proste wyznaczone przez te wektory są równoległe. O takich wektorach mówimy, że mają ten sam kierunek.

R1bsPkHXgOqv9

Na ilustracji przedstawionych jest siedem ukośnych prostych równoległych do siebie nawzajem. Na drugiej prostej zaznaczone są punkty A i B, a między nimi narysowana jest strzałka. Jest to wektor AB. Podobnie na czwartej prostej narysowany jest wektor CD oraz na szóstej wektor EF, przy czym ostatni wektor ma zwrot przeciwny do dwóch pierwszych, czyli strzałka go oznaczająca skierowana jest w przeciwnym kierunku, niż strzałki symbolizujące pozostałe wektory.

wektor zerowy

Definicja: wektor zerowy

Wektor, którego początek i koniec pokrywają się, nazywamy wektorem zerowym i oznaczamy symbolem $\vec{0}$ . Długość wektora zerowego jest równa $0$ . Wektor zerowywektor zerowyWektor zerowy nie ma kierunku.

R1YDy0kQ5bt67

Na rysunku przedstawiony jest wektor zerowy, którego symbol to zero ze strzałką na górze. Pod tym symbolem znajduje się punkt opisany jako A równa się B, co oznacza, że początek i koniec wektora się pokrywają.

Ważne!

Zwrot wektorazwrot wektoraZwrot wektora

Dwa równoległe wektory mogą być skierowane zgodnie albo przeciwnie.

Rozważmy dwa niezerowe równoległe wektory $\vec{A B}$ i $\vec{C D}$ takie, że proste $A B$ i $C D$ są rozłączne. Łącząc początki tych dwóch wektorów, czyli punkt $A$ z punktem $C$ , otrzymamy odcinek $A C$ . Dalej, gdy połączymy końce wektorów, czyli punkt $B$ z punktem $D$ , otrzymamy odcinek $B D$ . Powiemy, że wektory $\vec{A B}$ i $\vec{C D}$ mają zgodne zwroty (są zgodnie skierowane), gdy naniesione przez nas odcinki $A C$ i $B D$ się nie przecinają. Jeśli natomiast się przecinają, oznacza to, że wektory $\vec{A B}$ i $\vec{C D}$ mają przeciwne zwroty (są przeciwnie skierowane).

R1HRIKotyLbiD

Na ilustracji przedstawione są opisane w tekście proste oraz wektory.

Rozważmy dwa niezerowe równoległe wektory $\vec{A B}$ i $\vec{C D}$ takie, że wektor $\vec{A B}$ leży na prostej $k$ , a wektor $\vec{C D}$ leży na prostej $l$ . Teraz, jeśli proste te pokrywają się, to możemy napisać, że są one sobie równe: $k = l$ (rysunek poniżej). Jeżeli wektory leżą na dwóch prostych, które są rownoległe (lub w szczególności się pokrywają), to wiemy od razu, że wektory te mają ten sam kierunek, ponieważ kierunek określa prosta, na której się znajdują. Chcąc porównywać te wektory, musimy ustalić jeszcze ich zwroty, czyli ustalić ich początki i końce. Jeśli obierzemy punkt $A$ na prostej i punkt $B$ wyznaczymy po jego prawej stronie, to widzimy, że zwrot wektora $\vec{A B}$ jest od lewej do prawej. Jeśli analogicznie oznaczymy punkty $C$ i po jego prawej stronie punkt $D$ , to wektory bedą mieć ten sam zwrot. Jeśli natomiast drugi wektor oznaczymy odwrotnie, tzn. punkt $D$ ustalimy po lewej stronie od punktu $C$ , to wektor będzie miał zwrot z prawej do lewej strony, czyli będziemy mieć do czynienia z wektorami o przeciwnym zwrocie (drugi wariant na rysunku).

R1RCiBNbKP6Dw

Zwróćmy jeszcze uwagę, że niezerowe wektory $\vec{A B}$ i $\vec{B A}$ mają przeciwne zwroty (są przeciwnie skierowane).

Zwróćmy jeszcze uwagę, że niezerowe wektory $\vec{A B}$ i $\vec{D C}$ mają przeciwne zwroty (są przeciwnie skierowane).

Ważne!

Cechy wektorów

Podsumujmy, każdy wektor ma następujące cechy:

długość,
kierunek,
zwrot,

Polecenie 1

Zapoznaj się z informacjami na temat wektora przedstawionymi w animacji.

R1QX74NigiJxq

Polecenie 2

Rm38Jj1ArDd3c

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Podaj, czym charakteryzują się: wektor zerowy, wektory przeciwne, wektor $\vec{A B}$ oraz wektory o zgodnych zwrotach.

Równość wektorów

Powiemy, że wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ są równe, gdy mają ten sam kierunek, równe długości i zgodne zwroty, co zapisujemy:

$\vec{u} = \vec{v} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \vec{u} ∥ \vec{v} \\ |\vec{u}| = |\vec{v}| \\ \vec{u}, \vec{v} mają zgodne zwroty \end{cases} .$

Przyjmujemy ponadto, że każde dwa wektory zerowe są równe.

Wektory równewektory równeWektory równe mogą mieć różne początki. Mając dany wektor, możemy w każdym punkcie zaczepić wektor mu równy.

R15lKsZf5nE2c

Na ilustracji przedstawionych siedem wektorów równych, zaczepionych w różnych punktach. Jeden z nich podpisany jest jako wektor u.

Przykład 1

W równoległoboku $A B C D$ wektorami równymi są wektory: $\vec{A B} = \vec{D C}, \vec{B A} = \vec{C D}, \vec{A D} = \vec{B C}, \vec{D A} = \vec{C B}$ , ale $\vec{A B} \neq \vec{B A}, \vec{B A} \neq \vec{D C}, \vec{A D} \neq \vec{D C}, \vec{D A} \neq \vec{A B}$ .

Rb2R223oAPcpx

Na ilustracji przedstawiony jest równoległobok ABCD.

Przykład 2

Rozważmy sześciokąt foremny $A B C D E F$ . Punkt przecięcia dłuższych przekątnych sześciokąta oznaczmy literą $G$ . Z własności sześciokąta foremnego wynika, że odcinki $A B, F C$ i $E D$ są równoległe. Tę samą własność mają odcinki $A F, B E$ i $C D$ . Równoległe są również odcinki $B C, A D$ i $F E$ . Ponadto wiadomo, że każdy z trójkątów $A B G, B C G, C D G, D E G, E F G$ i $F A G$ jest równoboczny i przystający do pozostałych.

RtlnSHohbUKb7

Na ilustracji przedstawiony jest sześciokąt foremny ABCDEF wraz z przekątnymi przecinającymi się w punkcie G.

Wówczas:

$\vec{A D} \neq \vec{B C}$ , ponieważ wektory mają różne długości, pomimo że mają ten sam kierunek i taki sam zwrot,
$\vec{A B} \neq \vec{D E}$ , ponieważ wektory mają przeciwne zwroty, pomimo że mają ten sam kierunek i tę samą długość,
$\vec{A G} \neq \vec{B G}$ , ponieważ wektory mają różne kierunki, pomimo że mają tę samą długość.

Przykład 3

Dany jest trójkąt $A B C$ . Niech $K$ będzie środkiem boku $A B$ , przez $L$ oznaczmy środek boku $B C$ , zaś środek boku $A C$ nazwijmy $M$ . Uzasadnimy, że $\vec{K L} = \vec{A M}$ .

R1CWTrZQ7u0Tn

Na ilustracji przedstawiony jest duży trójkąt równoboczny ABC podzielony na cztery równe trójkąty. Na każdym boku zaznaczony jest jego środek. Na boku AB jest środek K, na boku BC środek L, na boku CA środek M. Wszystkie środki są połączone w trójkąt KLM, który to rozdziela trójkąt ABC na cztery mniejsze trójkąty.

Uzasadnienie: zauważmy, że odcinek $K L$ jest linią środkową trójkątalinia środkowa trójkątalinią środkową trójkąta $A B C$ (łączy środki boków $A B$ i $B C$ trójkąta $A B C$ ). Z twierdzenia o linii środkowej trójkąta wiemy, że jest ona równoległa do trzeciego boku trójkąta i jej długość jest połową długości trzeciego boku. Ponieważ $M$ jest środkiem boku $A C$ , więc długość odcinka $A M$ jest również równa połowie długości boku $A C$ . Wynika stąd, że wektory $\vec{K L}$ i $\vec{A M}$ są zawarte w równoległych odcinkach, więc mają ten sam kierunek wektorakierunek wektorakierunek wektora, a długość każdego z nich jest równa połowie długości boku $A C$ . Z uporządkowania punktów $K$ i $L$ oraz $A$ i $M$ widzimy, że zwroty wektorów $\vec{K L}$ i $\vec{A M}$ również są takie same. Zatem wektory $\vec{K L}$ i $\vec{A M}$ są równe. Ponadto możemy zauważyć, że $\vec{K L} = \vec{A M} = \vec{M C}$ .

Przykład 4

Uzasadnimy równość odpowiednich wektorów z poniższego rysunku. Za jednostkę przyjmijmy jedną kratkę.

R19DJtLFbeQoL

Na ilustracji przedstawiona jest siatka, na której narysowanych jest sześć ukośnych wektorów. Wektor AB w poziomie przesuwa o jedną kratkę, w pionie o trzy. Jego zwrot skierowany jest w górę w prawo. Wektor CD w poziomie przesuwa o cztery kratki, w pionie o trzy. Jego zwrot skierowany jest w dół w lewo. Wektor EF w poziomie przesuwa o trzy kratki, w pionie o sześć. Jego zwrot skierowany jest w dół w prawo. Wektor HG w poziomie przesuwa o jedną kratkę, w pionie o trzy. Jego zwrot skierowany jest w górę w prawo. Wektor HI w poziomie przesuwa o cztery kratki, w pionie o trzy. Jego zwrot skierowany jest w górę w prawo. Wektor CJ w poziomie przesuwa o trzy kratki, w pionie o sześć. Jego zwrot skierowany jest w dół w prawo.

Zauważmy, że aby przemieścić się z punktu $A$ do punktu $B$ wystarczy przesunąć się o jedną jednostkę w prawo i trzy jednostki do góry. Dokładnie taki sam ruch pozwala przemieścić się z punktu $H$ do punktu $G$ . Oznacza to, że wektory $\vec{A B}$ i $\vec{H G}$ są równoległe (mają to samo nachylenie do poziomych linii siatki) i mają równe długości (wynika to np. z twierdzenia Pitagorasa lub przystawania odpowiednich trójkątów prostokątnych). Kierunki ruchu od punktów początkowych do końcowych wskazują też, że te wektory mają takie same zwroty. Zatem wektory $\vec{A B}$ i $\vec{H G}$ są równe.

Zwróćmy uwagę, że aby dostać się z punktu $E$ do punktu $F$ możemy wykonać przesunięcie o trzy jednostki w prawo i sześć jednostek w dół. Dokładnie taka sama sekwencja ruchów pozwala przemieścić się z punktu $C$ do punktu $J$ . Argumenty analogiczne jak w poprzednim przypadku pozwalają stwierdzić, że wektory $\vec{E F}$ i $\vec{C J}$ są równe.

Możemy też zauważyć, że wektory $\vec{H I}$ i $\vec{C D}$ nie są równe. Mimo, że mają ten sam kierunek, a nawet długość wektoradługość wektoradługość wektora, to ich zwroty są przeciwne.

Przykład 5

Romb $D E F G$ składa się z dwóch trójkątów przystających do trójkąta równobocznego $A B C$ . Porównamy wektory w obu wielokątach.

RtEbbU1Vu3SA4

Na dole ilustracji narysowana jest pozioma prosta, na której leżą podstawy dwóch figur: trójkąta ABC znajdującego się po lewej stronie oraz równoległoboku DEFG znajdującego się po prawej stronie. Równoległobok ma również narysowane obie przekątne.

Zauważmy, że następujące wektory są równe:

$\vec{A B} = \vec{D E} = \vec{G F}$ ,

$\vec{A C} = \vec{D G} = \vec{E F}$ ,

$\vec{B C} = \vec{E G}$ ,

a także

$\vec{A G} = \vec{B F}$ .

Wektor $\vec{D F}$ nie ma swojego odpowiednika wśród wektorów o końcach będących wierzchołkami rozważanych wielokątów.

Polecenie 3

Zapoznaj się z poniższą infografiką, a następnie rozwiąż zadanie.

RIfzfwnuJ5nj9

Rdva5t4bUOywd

Na ilustracji przedstawionych osiem wektorów o początkach i końcach zaznaczonych w punktach, punkty są opisane literami. Pierwsza para to R i A, kolejne to D i B, E i C, F i H, N i J, K i G, L i M oraz O i P.

Polecenie 4

RxpA6GMewxLMh

Na podstawie warunków podanych w infografice dotyczących wektorów równych, określ, czy wektory leżące na tych prostych mogą być równe. Wariant pierwszy: $y = 3 x + 4, y = 3 x$ . Wariant drugi: $y = 0, x = 0$ . Wariant trzeci: $y = \frac{|x| - 5}{7}, y = \sqrt{\frac{x^{2}}{49}} - 3$ . Wariant czwarty: $y = |x - 4|, y = |x| - 4$ .

Wektory przeciwne

Powiemy, że wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ są przeciwne, gdy mają równe długościdługość wektoradługości, ten sam kierunekkierunek wektorakierunek, ale przeciwne zwroty.

Wektor przeciwny do wektora $\vec{u}$ oznaczamy $- \vec{u}$ .

W związku z powyższym $\vec{u} = - \vec{v}$ oznacza, że wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ są przeciwne.

Możemy zapisać: $\vec{u} = - \vec{v} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} |\vec{u}| = |\vec{v}| \\ \vec{u} ∥ \vec{v} \\ \vec{u} i \vec{v} o przeciwnych zwrotach \end{matrix}$

Wektory przeciwnewektory przeciwneWektory przeciwne, tak jak w przypadku każdego innego wektora, możemy zaczepić w dowolnym punkcie, co oznacza, że możemy wybrać dowolny, wygodny do obliczeń punkt rozpatrywanej przestrzeni, do którego przesuniemy wektor. Punkt zaczepienia będzie stanowił początek badanego wektora.

Wektory $\vec{A B}$ i $\vec{B A}$ są wektorami przeciwnymi, co ilustruje poniższy rysunek. Możemy zanotować $\vec{A B} = - \vec{B A}$ .

R1ZShqhtQaSm1

Ilustracja przedstawia poziomą oś. Zaznaczono na niej punkty A po lewej stronie oraz B po prawej. Zaznaczono kolorem fioletowym AB→, kolorem niebieskim natomiast zaznaczono BA→. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Zwróćmy uwagę, że jeśli wektory $\vec{A B}$ i $\vec{C D}$ są przeciwne, to $\vec{A B}$ i $- \vec{C D}$ są wektorami równymi, a zatem $\vec{A B} = - \vec{C D}$ .

Przykład 6

Wypiszemy teraz kilka par wektorów przeciwnych wyznaczonych przez wierzchołki równoległoboku. Wektorami przeciwnymi są na przykład $\vec{A B}$ i $\vec{C D}$ , $\vec{B A}$ i $\vec{D C}$ , $\vec{A D}$ i $\vec{C B}$ , $\vec{D A}$ i $\vec{B C}$ . Możemy zapisać ten fakt z użyciem znaków równości: $\vec{A B} = - \vec{C D}$ , $\vec{B A} = - \vec{D C}$ , $\vec{A D} = - \vec{C B}$ , $\vec{D A} = - \vec{B C}$ .

R8vwYW9vMp6wh

Na ilustracji znajduje się równoległobok ABCD. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przykład 7

Rozważmy sześciokąt foremny $A B C D E F$ . Punkt przecięcia dłuższych przekątnych sześciokąta oznaczmy literą $G$ . Z własności sześciokąta foremnego wynika, że odcinki $A B$ , $F C$ , $E D$ są równoległe. Tę samą własność mają odcinki $A F$ , $B E$ , $C D$ . Równoległe są również odcinki $B C$ , $A D$ i $F E$ . Ponadto wiadomo, że każdy z trójkatów $A B G$ , $B C G$ , $C D G$ , $D E G$ , $E F G$ i $F A G$ jest równoboczny i przystający do pozostałych.

RAJ6Wq0OBQrRA

Na ilustracji znajduje się sześciokąt ABCDEF. Oznaczmy przez G środek tego sześciokąta. Są też zaznaczone dłuższe przekątne sześciokąta, które tworzą sześć trójkątów równobocznych. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Wówczas:

wektory $\vec{A D}$ i $\vec{C B}$ nie są przeciwne, ponieważ mają różne długości, pomimo że mają ten sam kierunek i przeciwne zwroty,
wektory $\vec{A B}$ i $\vec{E D}$ nie są przeciwne, ponieważ mają zgodne zwroty, pomimo że mają ten sam kierunek i tę samą długość,
wektory $\vec{A G}$ i $\vec{G B}$ nie są przeciwne, ponieważ wektory mają różne kierunki, pomimo że mają tę samą długość.

Przykład 8

Dany jest czworokąt wypukły $A B C D$ . Niech $K$ , $L$ , $M$ , $N$ będą odpowiednio środkami boków $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ tego czworokąta. Uzasadnimy, że wektory $\vec{K L}$ i $M N$ są przeciwne.

RkXBI1WYYhdyE

Ilustracja przedstawia czworokąt wypukły A B C D. W połowie odcinka A D zaznaczono punkt N, w połowie odcinka D C zaznaczono punkt M, w połowie odcinka B C zaznaczono punkt L, w połowie odcinka A B zaznaczono punkt K. Zaznaczono wektory: KL→ oraz MN→. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Uzasadnienie

Zauważmy, że odcinek $K L$ jest linią środkową trójkąta $A B C$ (łączy środki boków $A B$ i $B C$ trójkąta $A B C$ ), zaś odcinek $M N$ jest linią środkową trójkątalinia środkowa trójkątalinią środkową trójkąta $A C D$ (łączy środki boków $A D$ i $C D$ trójkąta $A C D$ ). Z twierdzenia o linii środkowej trójkąta wiemy, że jest ona równoległa do trzeciego boku trójkąta i jej długość jest połową długości trzeciego boku. Ponieważ każdy z odcinków $M N$ i $K L$ jest równoległy do odcinka $A C$ i ich długości są równe połowie długości odcinka $A C$ , więc wektory $\vec{K L}$ i $\vec{M N}$ są zawarte w równoległych odcinkach. Mają więc ten sam kierunek oraz równe długości. Z uporządkowania punktów $K$ i $L$ oraz $N$ i $M$ widzimy, że zwroty wektorów $\vec{K L}$ i $\vec{M N}$ są przeciwne. Zatem wektory $\vec{K L}$ i $\vec{M N}$ są przeciwne.

Przykład 9

Uzasadnimy, że wybrane pary wektorów są parami wektorów przeciwnych.

RHIuoWyCi3S42

Na ilustracji znajduje się kartka w kratkę. Oznaczono, że jedna kratka to jedna jednostka. Na kartce oznaczone są punkty: A, B, C, D, E, F, G oraz H. Od punktu C leżącego w dolnym lewym rogu obrazka odchodzi strzałka do punktu B leżącego nad C o trzy kratki wyżej i dwie kratki w prawo. Od punktu B odchodzi strzałka do punktu F leżącego trzy kratki w prawo i jedną w dół od punktu B. Od punktu F odchodzą dwie strzałki. Jedna strzałka do punktu G leżącego dwie kratki w lewo i jedną w dół od punktu F oraz strzałka do punktu E leżącego dwie kratki w prawo i jedną w górę od punktu F. Od punktu E odchodzi strzałka do punktu D leżącego trzy kratki w lewo i jedną w górę od punktu E. Od punktu A leżącego na górze obrazka odchodzą dwie strzałki: jedna do punktu B leżącego dwie kratki w lewo i trzy w dół od punktu A oraz strzałka do punktu H leżącego trzy kratki w prawo i jedną w dół od punktu A. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Zauważmy, że aby przemieścić się z punktu $A$ do punktu $B$ wystarczy przesunąć się o dwie jednostki w lewo i trzy jednostki w dół. Dokładnie taki sam ruch pozwala przemieścić się z punktu $B$ do punktu $C$ . Oznacza to, że wektory $\vec{A B}$ i $\vec{B C}$ są równoległe (mają to samo nachylenie do poziomych lini siatki) i mają równe długości (wynika to np. z twierdzenia Pitagorasa lub przystawania odpowiednich trójkątów prostokątnych). Kierunki ruchu od punktów początkowych do końcowych wskazują też, że te wektory mają takie same zwroty. Zatem wektory $\vec{A B}$ i $\vec{B C}$ są równe, a wektory $\vec{A B}$ i $\vec{C B}$ są przeciwne.

Zwróćmy uwagę, że aby dostać się z punktu $A$ do punktu $H$ możemy wykonać przesunięcie o trzy jednostki w prawo i jedną jednostkę w dół. Dokładnie taka sama sekwencja ruchów pozwala przemieścić się z punktu $D$ do punktu $E$ oraz z punktu $B$ do punktu $F$ . Argumenty analogiczne jak w poprzednim przypadku pozwalają stwierdzić, że wektory $\vec{A H}$ , $\vec{D E}$ i $\vec{B F}$ są równe. Wynika stąd, że wektor $\vec{E D}$ jest przeciwny do wektorów $\vec{A H}$ i $\vec{B F}$ .

Zauważmy jeszcze, że wektory $\vec{F E}$ i $\vec{F G}$ są wektorami przeciwnymi - z powodów podobnych do powyższych.

Przykład 10

Romb $A B C D$ i trapez $E G H J$ można podzielić na przystające trójkąty równoboczne $A B D$ , $D B C$ , $E F J$ , $F H J$ , $F G H$ . Wypiszemy przykładowe pary wektorów przeciwnych.

RnwWAJeqNxpE8

Ilustracja przedstawia dwie figury geometryczne. Pierwsza z nich to romb A B C D, zaznaczono w nim również przekątne. Druga z figur to trapez równoramienny E G H J. Punkt F leży dokładnie w połowie dłuższej podstawy E G. Zaznaczono na trapezie odcinki J F oraz H F, dzieląc tym samym trapez na trzy trójkąty równoboczne. Wyróżniono również w trapezie przekątną E H. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Zauważmy, że przeciwne są m. in. wektory w następujących parach:

$\vec{A D}$ i $\vec{J E}$
$\vec{A B}$ i $\vec{F E}$
$\vec{A C}$ i $\vec{A C}$
$\vec{A C}$ i $\vec{H E}$
$\vec{D B}$ i $\vec{F J}$
$\vec{B D}$ i $\vec{H G}$
$\vec{D C}$ i $\vec{G F}$ .

Polecenie 5

Przyjrzyj się uważnie narysowanym poniżej wektorom i odpowiedz na pytanie umieszczone poniżej. Sprawdź, czy Twoja odpowiedź była prawidłowa, klikając w Warunek $1$ , $2$ i $3$ . Pamiętaj, że wszystkie warunki muszą być spełnione jednocześnie, aby odpowiedź była prawidłowa.

RTuZabiClWmL8

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

ROv9JFDcPpF1D

R16qXGr1rehhe

Polecenie 6

Rozstrzygnij, czy podane pary wektorów są przeciwne.

RMBSkjgwETSzn

Na ilustracji znajduje się wiele par wektorów. Wszystkie wektory są skośne. Różnią się tym, że jedne skierowane są w górę, a inne w dół. Wektor A B skierowany jest w górę. Wektor C D skierowany jest w górę. Wektor G H skierowany jest w górę. Wektor E F skierowany jest w górę. Wektor I J skierowany jest w górę. Wektor K L skierowany jest w dół. Wektor M N skierowany jest w dół. Wektor O P skierowany jest w dół. Wektor R S skierowany jest w dół. Wektor T U skierowany jest w dół. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

RiIbLgjq5ZMgU

RRoeyBqpRj1Qo

Uzupełnij luki w taki sposób, aby podane wektory były przeciwne.

Poziomy wektor wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy oraz ma zwrot w prawo. Wektor do niego przeciwny to wektor 1. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 2. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 3. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 4. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 5. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 6. dół, 7. górę, 8. prawo, 9. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 10. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 11. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 12. lewo, który ma zwrot w 1. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 2. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 3. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 4. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 5. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 6. dół, 7. górę, 8. prawo, 9. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 10. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 11. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 12. lewo.

Pionowy wektor wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy oraz ma zwrot w górę. Wektor do niego przeciwny to wektor 1. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 2. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 3. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 4. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 5. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 6. dół, 7. górę, 8. prawo, 9. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 10. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 11. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 12. lewo, który ma zwrot w 1. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 2. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 3. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 4. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 5. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 6. dół, 7. górę, 8. prawo, 9. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 10. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 11. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 12. lewo.

Poziomy wektor wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy oraz ma zwrot w lewo. Wektor do niego przeciwny to wektor 1. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 2. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 3. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 4. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 5. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 6. dół, 7. górę, 8. prawo, 9. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 10. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 11. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 12. lewo, który ma zwrot w 1. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 2. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 3. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 4. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 5. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 6. dół, 7. górę, 8. prawo, 9. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 10. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 11. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 12. lewo.

Pionowy wektor wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy oraz ma zwrot w dół. Wektor do niego przeciwny to wektor 1. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 2. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 3. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 4. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 5. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 6. dół, 7. górę, 8. prawo, 9. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 10. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 11. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 12. lewo, który ma zwrot w 1. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 2. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 3. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 4. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 5. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 6. dół, 7. górę, 8. prawo, 9. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 10. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 11. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 12. lewo.

Uzupełnij luki w taki sposób, aby podane wektory były przeciwne.

Poziomy wektor wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy oraz ma zwrot w prawo. Wektor do niego przeciwny to wektor 1. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 2. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 3. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 4. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 5. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 6. dół, 7. górę, 8. prawo, 9. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 10. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 11. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 12. lewo, który ma zwrot w 1. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 2. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 3. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 4. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 5. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 6. dół, 7. górę, 8. prawo, 9. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 10. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 11. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 12. lewo.

Pionowy wektor wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy oraz ma zwrot w górę. Wektor do niego przeciwny to wektor 1. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 2. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 3. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 4. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 5. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 6. dół, 7. górę, 8. prawo, 9. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 10. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 11. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 12. lewo, który ma zwrot w 1. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 2. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 3. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 4. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 5. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 6. dół, 7. górę, 8. prawo, 9. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 10. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 11. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 12. lewo.

Poziomy wektor wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy oraz ma zwrot w lewo. Wektor do niego przeciwny to wektor 1. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 2. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 3. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 4. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 5. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 6. dół, 7. górę, 8. prawo, 9. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 10. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 11. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 12. lewo, który ma zwrot w 1. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 2. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 3. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 4. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 5. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 6. dół, 7. górę, 8. prawo, 9. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 10. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 11. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 12. lewo.

Pionowy wektor wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy oraz ma zwrot w dół. Wektor do niego przeciwny to wektor 1. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 2. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 3. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 4. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 5. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 6. dół, 7. górę, 8. prawo, 9. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 10. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 11. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 12. lewo, który ma zwrot w 1. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 2. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 3. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 4. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 5. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 6. dół, 7. górę, 8. prawo, 9. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 10. minus, wartość bezwzględna z, wektor A B, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 11. wartość bezwzględna z, wektor B A, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy, 12. lewo.

Ćwiczenie 1

Co to jest wektor i jakie ma cechy? Zaznacz odpowiednie pojęcia.

RquxZalPjVv73

RhTt9Qpk747Qm

RL5Np6YB5hSrB1

Ćwiczenie 2

R1JVYiKSl17KF2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

R1KaZ7Gp6cxdv

R1FVWiVuf7TIU2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Na rysunku poniżej przedstawiony jest sześciokąt foremny.

RsMFdfi9E3QFM

Na ilustracji przedstawiony jest sześciokąt foremny. Ma on zaznaczone wierzchołki oraz środek punktami

RVEW5XvulpqeZ

Mając sześciokąt foremny, podaj, ile można opisać wektorów równych, a ile przeciwnych na jego bokach.

R15S9BniHylXP3

Ćwiczenie 7

R1gDC2fVVlFGc3

Ćwiczenie 8

Ćwiczenie 9

W trójkącie $A B C$ poprowadzono odcinki $K L, L M$ i $M K$ łączące odpowiednio środki $K, L, M$ boków $A C, B C, A B$ tego trójkąta. Połącz w pary wektory równe.

R9mQpHWLzr4Db

Na ilustracji przedstawiony jest duży trójkąt ABC podzielony na cztery mniejsze trójkąty. Na każdym boku zaznaczony jest jego środek. Na boku AB jest środek M, na boku BC środek L, na boku CA środek K. Wszystkie środki są połączone w trójkąt MLK, który to rozdziela trójkąt ABC na cztery mniejsze trójkąty.

Rz1ogQpByzLUa

Ćwiczenie 10

Dany jest trapez $A B C D$ zbudowany z siedmiu przystających trójkątów. Zaznacz wszystkie wektory równe podanemu wektorowi.

R3CmVs13jFiIt

Na ilustracji przedstawiony jest trapez ABCD składający się z siedmiu przystających trójkątów. Dolna podstawa AB jest podzielona na cztery odcinki. Między lewym końcem A oraz prawym końcem B odcinka AB znajdują się kolejno punkty: E, F, G. Zatem podstawa składa się z czterech mniejszych odcinków, będących podstawami czterech trójkątów przystających. Odcinki te kolejno: AE, EF, FG, GB. Punkty E, F oraz G są z kolei wierzchołkami trójkątów, których podstawa leży na górnej podstawie trapezu. Analogicznie jest w przypadku górnej podstawy. Odcinek DC podzielony jest na trzy mniejsze odcinki punktami kolejno K oraz H. Górna podstawa składa się zatem trzech mniejszych odcinków: DK, KH oraz HC. Odcinki te są podstawami trzech trójkątów. Punkty D, K, H, C są wierzchołkami czterech trójkątów. Trójkąty o podstawie na odcinku AB to kolejno od lewej: AED, EFK, FGH oraz GBC. Trójkąty o podstawie na odcinku DC to kolejno od lewej: DEK, KFH, HGC.

R1M140NpMhja3

Opisz, czym charakteryzują się wektory równe.

Ćwiczenie 11

Na poniższym rysunku punkty wyznaczają wektory. Dla każdego wektora wskaż wektor równy i połącz je w pary.

RBWHtdm9O0Uki

Grafika przedstawia punkty ułożone na kratce. Są to punkty A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L

R4MWJQkPyclkF

Mając dany prostokąt ABCD, w którym narysowane przekątne przecinają się w punkcie E, wskaż cztery pary wektorów równych i uzasadnij ich równość poznanymi w tej lekcji warunkami równości wektorów.

Ćwiczenie 12

Przedstawiona na rysunku siatka jest zbudowana z trójkątów równobocznych, których wierzchołki wyznaczają wektory. Jakie cechy mają powstałe w ten sposób wymienione niżej wektory? Przeciągnij odpowiednie cechy na pola po lewej stronie.

R10v7ifDVM8Aa

Grafika przedstawia punkty ułożone na siatce w kształcie trójkątów. Są to punkty A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K

R1PfmxoE9CJ9h

Jakie cechy mają niżej wymienione wektory? Siatka jest zbudowana z trójkątów równobocznych. Przeciągnij i upuść. wektor AC i wektor GJ Możliwe odpowiedzi: 1. są równej długości, 2. mają ten sam zwrot, 3. są prostopadłe, 4. mają ten sam kierunek, 5. są równej długości, 6. mają ten sam punkt przyłożenia, 7. mają ten sam kierunek, 8. są równej długości, 9. mają ten sam punkt przyłożenia, 10. mają ten sam punkt przyłożenia, 11. są równej długości, 12. mają ten sam kierunek, 13. mają ten sam zwrot, 14. są równe wektor AF i wektor B H Możliwe odpowiedzi: 1. są równej długości, 2. mają ten sam zwrot, 3. są prostopadłe, 4. mają ten sam kierunek, 5. są równej długości, 6. mają ten sam punkt przyłożenia, 7. mają ten sam kierunek, 8. są równej długości, 9. mają ten sam punkt przyłożenia, 10. mają ten sam punkt przyłożenia, 11. są równej długości, 12. mają ten sam kierunek, 13. mają ten sam zwrot, 14. są równe wektor GF i wektor GE Możliwe odpowiedzi: 1. są równej długości, 2. mają ten sam zwrot, 3. są prostopadłe, 4. mają ten sam kierunek, 5. są równej długości, 6. mają ten sam punkt przyłożenia, 7. mają ten sam kierunek, 8. są równej długości, 9. mają ten sam punkt przyłożenia, 10. mają ten sam punkt przyłożenia, 11. są równej długości, 12. mają ten sam kierunek, 13. mają ten sam zwrot, 14. są równe wektor B F i wektor B H Możliwe odpowiedzi: 1. są równej długości, 2. mają ten sam zwrot, 3. są prostopadłe, 4. mają ten sam kierunek, 5. są równej długości, 6. mają ten sam punkt przyłożenia, 7. mają ten sam kierunek, 8. są równej długości, 9. mają ten sam punkt przyłożenia, 10. mają ten sam punkt przyłożenia, 11. są równej długości, 12. mają ten sam kierunek, 13. mają ten sam zwrot, 14. są równe wektor B F i wektor CD Możliwe odpowiedzi: 1. są równej długości, 2. mają ten sam zwrot, 3. są prostopadłe, 4. mają ten sam kierunek, 5. są równej długości, 6. mają ten sam punkt przyłożenia, 7. mają ten sam kierunek, 8. są równej długości, 9. mają ten sam punkt przyłożenia, 10. mają ten sam punkt przyłożenia, 11. są równej długości, 12. mają ten sam kierunek, 13. mają ten sam zwrot, 14. są równe wektor CG i wektor KD Możliwe odpowiedzi: 1. są równej długości, 2. mają ten sam zwrot, 3. są prostopadłe, 4. mają ten sam kierunek, 5. są równej długości, 6. mają ten sam punkt przyłożenia, 7. mają ten sam kierunek, 8. są równej długości, 9. mają ten sam punkt przyłożenia, 10. mają ten sam punkt przyłożenia, 11. są równej długości, 12. mają ten sam kierunek, 13. mają ten sam zwrot, 14. są równe wektor GH i wektor GB Możliwe odpowiedzi: 1. są równej długości, 2. mają ten sam zwrot, 3. są prostopadłe, 4. mają ten sam kierunek, 5. są równej długości, 6. mają ten sam punkt przyłożenia, 7. mają ten sam kierunek, 8. są równej długości, 9. mają ten sam punkt przyłożenia, 10. mają ten sam punkt przyłożenia, 11. są równej długości, 12. mają ten sam kierunek, 13. mają ten sam zwrot, 14. są równe

Dany jest trójkąt równoramienny ABE wpisany w prostokąt ABCD. W trójkącie poprowadzona jest pionowa wysokość z wierzchołka E do środka podstawy AB w punkcie I. Prawy bok prostokąta podzielony jest na dwa równe odcinki punktem G. Lewy bok trójkąta podzielony jest również na dwa równe odcinki punktem H. Punkty H i G tworzą odcinek HG. Wysokość trójkąta EI przecina się z odcinkiem HG pod kątem prostym w punkcie F. Wskaż cztery pary wektorów równych. Uzasadnij ich równość poznanymi w tej lekcji warunkami równości wektorów.

Ćwiczenie 13

Dany jest czworokąt wypukły $A B C D$ . Punkty $K, L, M, N$ są odpowiednio środkami boków $A D, D C, C B, B A$ tego czworokąta. Uzasadnij, że $\vec{K N}$ i $\vec{L M}$ są równe. Skorzystaj z twierdzenia o linii środkowej trójkąta.

Poprowadź przekątną $D B$ czworokąta $A B C D$ .

Znajdź zależność między wektorami $\vec{K N}$ i $\vec{D B}$ oraz wektorami $\vec{L M}$ i $\vec{D B}$ .

Poprowadźmy przekątną $B D$ tego czworokąta. Odcinki $L M$ i $K N$ łączą środki boków trójkątów $A B D$ i $B C D$ , zatem każdy z nich jest równoległy do odcinka $B D$ , zaś ich długości są równe połowie długości odcinka $B D$ . Stąd wynika, że wektory $\vec{K N}$ i $\vec{L M}$ mają takie same długości i kierunki. Zgodność zwrotów możemy odczytać z rysunku. Zatem wektory $\vec{K N}$ i $\vec{L M}$ są równe.

Ćwiczenie 14

Trójkąt prostokątny $A B C$ z kątem prostym przy wierzchołku $C$ jest wpisany w okrąg o środku $O$ . Udowodnij, że $\vec{A O} = \vec{O B}$ . Zwróć uwagę, na jakim odcinku leży punkt $O$ .

Wystarczy powołać się na własność okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym: jego środek leży w połowie przeciwprostokątnej. Zatem punkt $O$ jest środkiem odcinka $A B$ . Wynika stąd, że wektory $\vec{A O}$ i $\vec{O B}$ mają taki sam kierunek, długość i zwrot, zatem są równe.

Ćwiczenie 15

Dany jest trapez równoramienny $A B C D$ o podstawach $A B$ i $C D$ , w którym $|A B| > |C D|$ . Z punktu $D$ opuszczono wysokość, której spodkiem jest punkt $E$ . Punkty $K$ i $L$ są odpowiednio środkami boków $A D$ i $B C$ . Udowodnij, że $\vec{K L}$ i $\vec{E B}$ są równe. Wyznacz pomocniczo odcinek łączący środki ramion.

W każdym trapezie odcinek łączący środki ramion jest równoległy do podstaw, zaś jego długość jest średnią arytmetyczną długości podstaw. W trapezie równoramiennym odległość spodka wysokości od bardziej oddalonego wierzchołka jest równa średniej arytmetycznej podstaw. Zatem wektory $\vec{K L}$ i $\vec{E B}$ mają równe długości, ten sam kierunek i zwrot, czyli są równe.

Ćwiczenie 16

Dany jest trapez równoramienny $A B C D$ o podstawach $C D$ i $A B$ , w którym $|A B| > |C D|$ . Z punktu $D$ opuszczono wysokość, której spodkiem jest punkt $E$ . Punkty $K$ i $L$ są odpowiednio środkami przekątnych $A C$ i $B D$ . Udowodnij, że $\vec{K L}$ i $\vec{A E}$ są równe.

W każdym trapezie odcinek łączący środki przekątnych jest równoległy do podstaw, zaś jego długość jest połową różnicy długości podstaw.

Rozważmy trapez $A B C D$ (oznaczenia jak na rysunku), w którym punkty $K$ i $N$ są środkami ramion $A D$ i $B C$ , zaś punkty $L$ i $M$ środkami przekątnych $B D$ i $A C$ odpowiednio. $F$ niech będzie punktem przecięcia przekątnych, zaś $E$ - punktem przecięcia prostych zawierających ramiona trapezu.

RR8pnis0TbF68

Na ilustracji przedstawiony jest duży trójkąt DCE zawierający mniejsze figury. Bok CE podzielony jest punktami N i leżącym wyżej B na trzy odcinki, z czego CN oraz NB są równe. Odcinek BE narysowany jest linią przerywaną. Bok ED dużego trójkąta również podzielony jest na trzy odcinki punktami A oraz niżej K. Odcinek EA jest narysowany linią przerywaną. Odcinki AK i KD są równe. Między bokami dużego trójkąta narysowane są poziome odcinki mające swoje początki i końce w punktach dzielących boki. Tak powstał w dużym trójkącie mały trapez KNBA. Mamy teraz trzy trapezy w dużym trójkącie, jeśli rozszerzymy jego pole w dół trójkąta do jego podstawy, otrzymamy duży trapez DCBA oraz mniejszy trapez o takiej samej podstawie DCNK. Teraz z wierzchołka dużego trójkąta DCE poprowadzony jest odcinek do punku A należącego do ramienia ED. W ten sposób powstaje trójkąt DCA. Pole tego trójkąta jest zaznaczone kolorem. Odcinek CA przecina się z dolną podstawą małego trapezu KNBA w punkcie M. Teraz z wierzchołka D dużego trójkąta DCE poprowadzony jest odcinek do punktu B należącego do przeciwległego ramienia CE. Odcinek DB przecina się z dolną podstawą małego trapezu KNBA w punkcie L. Oba odcinki wychodzące z wierzchołków dużego trójkąta DCE, czyli odcinek CA oraz DB przecinają się w punkcie F.

Ponieważ odcinki na jednym ramieniu kąta $D E C$ są proporcjonalne do odcinków na drugim ramieniu tego kąta, więc z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa odcinek $K N$ jest równoległy do podstaw $A B$ i $D C$ trapezu. Z twierdzenia Talesa zastosowanego do kąta $B C A$ wynika, że $M$ jest środkiem odcinka $A C$ .

Zatem odcinek $M N$ łączy środki boków trójkąta $A B C$ , więc $|M N| = \frac{1}{2} |A B|$ . Ponadto odcinek $K M$ łączy środki boków trójkąta $D C A$ , więc $|K M| = \frac{1}{2} |D C|$ .

Stąd $|K N| = |K M| + |M N| = \frac{1}{2} |D C| + \frac{1}{2} |A B| = \frac{|D C| + |A B|}{2}$ .

Zatem odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość równą średniej arytmetycznej długości jego podstaw.

Z twierdzenia Talesa zastosowanego do kąta $A D B$ wynika, że $L$ jest środkiem odcinka $B D$ . Zatem $|K L| = \frac{1}{2} |A B|$ .

Wynika stąd, że $|L M| = |K M| - |K L| = \frac{1}{2} |D C| - \frac{1}{2} |A B| = \frac{|D C| - |A B|}{2}$ .

Czyli długość odcinka łączącego środki przekątnych trapezu jest równa połowie różnicy długości jego podstaw.

W trapezie równoramiennym odległość spodka wysokości od bliższego wierzchołka jest równa połowie różnicy długości podstaw. Zatem wektory $\vec{K L}$ i $\vec{A E}$ mają równe długości, ten sam kierunek i zwrot, czyli są równe.

Ćwiczenie 17

W trójkącie $A B C$ poprowadzono odcinki $K L$ , $L M$ i $M K$ łączące odpowiednio środki $K$ , $L$ , $M$ boków $A C$ , $B C$ , $A B$ tego trójkąta. Połącz w pary wektory przeciwne.

RGYAKljXj8xlZ

RPBmlzsK3O1Or

Na ilustracji znajduje się trójkąt z wierzchołkami A, B oraz C. Pomiędzy punktem A a B na ścianie trójkąta znajduje się punkt M. Pomiędzy punktami B a C na ścianie trójkąta znajduje się punkt L. Pomiędzy punktami C a A znajduje się na ścianie trójkąta punkt K. W środku trójkąta znajdują się trzy linie Linie łączą ze sobą punkty K, M oraz L. M połączone jest z L oraz K. L połączone jest z K oraz M. K połączone jest z L oraz M.

RgvRMoIy5XhSs

Ćwiczenie 18

Dany jest trapez $A B C D$ zbudowany z pięciu przystających trójkątów $A D E$ , $E G F$ , $F C B$ , $G D E$ , $C G F$ . Zaznacz, które z wektorów są przeciwne do wymienionego wektora.

R1K1qax6N9UKH

Na ilustracji znajduje się trapez. Trapez posiada wierzchołki A, B, C oraz D. Pomiędzy wierzchołkami A i B znajdują się punkty E oraz F. Pomiędzy wierzchołkami D i C znajduje się punkt G. W środku trapezu znajdują się linie, łączące ze sobą punkty. D połączone jest z E. E połączone jest z G. G połączone jest z F. F połączone jest z C.

R195ZaVsVw5SJ

RCibv2Y7AAcSo

Ćwiczenie 19

Na podstawie ilustracji połącz w pary wektory przeciwne.

R8blMx32pYmnc

Na ilustracji znajduje się kartka papieru w kratkę. Na kartce rozproszone jest wiele punktów. Punkty od lewej strony od góry na kartce to: E, A, B, D, G, F, C, J, K, I, H oraz L.

RaHO6Kleu571O

Rm7XfpxMe6hWo

Ćwiczenie 20

Jakie cechy mają niżej wymienione wektory? Siatka przedstawiona na rysunku zbudowana jest z sześciokątów foremnych.

RdHp3aM4mMrM3

Na ilustracji znajduje się wiele sześciokątów. Sześciokąty te mają jako swoje wierzchołki punkty oznaczone literami. Punkty te rozproszone są po całym polu ilustracji. Punkty od lewej strony od góry: A, T, F, R, P, K, B, E, X, O, S, L, W, C, M, H, Y, N, G, Z oraz D. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1QCEFdnb6tMO

Jakie cechy mają niżej wymienione wektory? Siatka przedstawiona na powyższym rysunku zbudowana jest z sześciokątów foremnych. Przeciągnij i upuść. wektor D H i wektor G B Możliwe odpowiedzi: 1. mają ten sam punkt przyłożenia, 2. mają ten sam kierunek, 3. są prostopadłe, 4. jeden z wektorów jest trzy razy dłuższy od drugiego, 5. mają ten sam punkt przyłożenia, 6. mają przeciwne zwroty, 7. mają ten sam kierunek, 8. mają ten sam kierunek, 9. mają przeciwne zwroty, 10. są równej długości, 11. jeden z wektorów jest dwa razy dłuższy od drugiego, 12. są równej długości, 13. mają ten sam zwrot, 14. są przeciwne wektor L N i wektor Y O Możliwe odpowiedzi: 1. mają ten sam punkt przyłożenia, 2. mają ten sam kierunek, 3. są prostopadłe, 4. jeden z wektorów jest trzy razy dłuższy od drugiego, 5. mają ten sam punkt przyłożenia, 6. mają przeciwne zwroty, 7. mają ten sam kierunek, 8. mają ten sam kierunek, 9. mają przeciwne zwroty, 10. są równej długości, 11. jeden z wektorów jest dwa razy dłuższy od drugiego, 12. są równej długości, 13. mają ten sam zwrot, 14. są przeciwne wektor Y X i wektor B D Możliwe odpowiedzi: 1. mają ten sam punkt przyłożenia, 2. mają ten sam kierunek, 3. są prostopadłe, 4. jeden z wektorów jest trzy razy dłuższy od drugiego, 5. mają ten sam punkt przyłożenia, 6. mają przeciwne zwroty, 7. mają ten sam kierunek, 8. mają ten sam kierunek, 9. mają przeciwne zwroty, 10. są równej długości, 11. jeden z wektorów jest dwa razy dłuższy od drugiego, 12. są równej długości, 13. mają ten sam zwrot, 14. są przeciwne wektor K B i wektor K W Możliwe odpowiedzi: 1. mają ten sam punkt przyłożenia, 2. mają ten sam kierunek, 3. są prostopadłe, 4. jeden z wektorów jest trzy razy dłuższy od drugiego, 5. mają ten sam punkt przyłożenia, 6. mają przeciwne zwroty, 7. mają ten sam kierunek, 8. mają ten sam kierunek, 9. mają przeciwne zwroty, 10. są równej długości, 11. jeden z wektorów jest dwa razy dłuższy od drugiego, 12. są równej długości, 13. mają ten sam zwrot, 14. są przeciwne wektor M B i wektor M N Możliwe odpowiedzi: 1. mają ten sam punkt przyłożenia, 2. mają ten sam kierunek, 3. są prostopadłe, 4. jeden z wektorów jest trzy razy dłuższy od drugiego, 5. mają ten sam punkt przyłożenia, 6. mają przeciwne zwroty, 7. mają ten sam kierunek, 8. mają ten sam kierunek, 9. mają przeciwne zwroty, 10. są równej długości, 11. jeden z wektorów jest dwa razy dłuższy od drugiego, 12. są równej długości, 13. mają ten sam zwrot, 14. są przeciwne

R1VDhzJhrTz7d

R1NhKSbWlLKed2

Ćwiczenie 21

R9XJmgI9QoS3H2

Ćwiczenie 22

R1SqMNfwcmyqQ3

Ćwiczenie 23

R1NHZqKhE6l0Y3

Ćwiczenie 24

Słownik

wektor

uporządkowana para punktów

długość wektora

odległość między początkiem a końcem wektora

kierunek wektora

prosta poprowadzona przez początek i koniec wektora

wektor zerowy

wektor, którego początek i koniec pokrywają się

zwrot wektora

określa nam, które zakończenie odcinka symbolizującego wektor jest jego początkiem, a które końcem

wektory równe

wektory, które mają ten sam kierunek, zwrot i równą długość

linia środkowa trójkąta

odcinek łączący punkty będące środkami dwóch boków trójkąta

wektory przeciwne

wektory, które mają ten sam kierunek, równe długości i przeciwne zwroty

2. Działania na wektorach

M_R_W08_M1 Wektor w układzie współrzędnych