2. Działania na wektorach

R1QIGhkJYVEPn

Wiesz już, czym jest wektor oraz potrafisz rozpoznać wektory równe i przeciwne. Okazuje się, że w zbiorze wszystkich wektorów na płaszczyźnie można wykonywać pewne działania - pod pewnymi względami podobne do tych wykonywanych w zbiorach liczbowych.

Twoje cele

Wyznaczysz sumę dwóch wektorów przy pomocy reguły trójkąta i reguły równoległoboku.
Wyznaczysz sumę dowolnej liczby wektorów przy pomocy reguły łańcucha.
Rozłożysz wektor na składowe.
Wyznaczysz różnicę wektorów.
Wyznaczysz wektor będący iloczynem wektora przez liczbę.

Suma wektorów

Wektor wypadkowywektor wypadkowyWektor wypadkowy. Wyobraźmy sobie uproszczoną mapę z zaznaczonymi miejscowościami $A$ , $B$ , $C$ , $D$ i $E$ . Z miejscowości $A$ do miejscowości $C$ można dostać się bezpośrednio poruszając się wzdłuż wektora $\vec{A C}$ , ale można też zrobić to inaczej. Można najpierw przemieścić się z miejscowości $A$ do miejscowości $B$ , a dopiero później do $C$ . Ale można też zrobić po drodze dwa przystanki: w pierwszym etapie przemieszczamy się z miejscowości $A$ do miejscowości $D$ , w drugim – z miejscowości $D$ do miejscowości $E$ , zaś w trzecim – z miejscowości $E$ do miejscowości $C$ . Sytuację ilustruje poniższy rysunek. W takim przypadku powiemy, że wektor $\vec{A C}$ jest wektorem wypadkowym dla wektorów $\vec{A B}$ i $\vec{B C}$ oraz wektor $\vec{A C}$ jest wektorem wypadkowym dla wektorów $\vec{A D}$ , $\vec{D E}$ i $\vec{E C}$ . Zwróćmy jeszcze uwagę, w jaki sposób powstają łańcuchy wektorów, których wektorem wypadkowym jest $\vec{A C}$ . Każdy z tych łańcuchów spełnia trzy warunki:

początek pierwszego wektora pokrywa się z początkiem wektora wypadkowego,
koniec jednego wektora pokrywa się z początkiem następnego,
koniec ostatniego wektora łańcucha pokrywa się z końcem wektora wypadkowego.

Rko3Nn3J9lK8f

W przykładzie znajduje się kartka w kratkę na której zaznaczone są punkty A, B, C, D oraz E. Punkty te połączone są odcinkami. Od punktu A wychodzą strzałki do punktu B oraz D, od punktu D wychodzi strzałka do punktu E, od punktu E wychodzi strzałka do punktu C, od punktu B również wychodzi strzałka do punktu C. Od punktu A wychodzi duża strzałka do punktu C. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Reguła równoległoboku, reguła trójkąta

Sumę wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$ wyznaczamy następująco: dowolny punkt $O$ płaszczyzny obieramy jako początek wektora $\vec{u}$ , a koniec wektora $\vec{u}$ obieramy za początek wektora $\vec{v}$ .
Wektor, którego początek znajduje się w punkcie $O$ , a końcem jest koniec wektora $\vec{v}$ nazywamy sumą wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$ i oznaczamy $\vec{u} + \vec{v}$ .

R11IUNJsNGG1b

Ilustracja przedstawia dwa ukośne wektory: u→ i v→. Narysowano kolejne wektory u→ i v→, tak że punkt końcowy u→ jest początkiem v→. Narysowano również u→+v→, który ma początek w początku wektora u i koniec w końcu wektora v. Wektory u, v oraz u + v utworzyły trójkąt. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Wektory, których sumę chcemy wyznaczyć nazywamy wektorami składowymi.

Opisana powyżej procedura otrzymywania wektora będącego sumą dwóch wektorów o różnych kierunkach nosi nazwę reguły trójkąta. Jak widać na powyższej ilustracji, gdy wektory mają różne kierunki, początki i końce rozważanych wektorów tworzą wierzchołki trójkąta. Zauważmy jeszcze, że chcąc zastosować opisany algorytm do wektorów, które mają ten sam kierunek, wszystkie początki i końce rozważanych wektorów będą leżeć na jednej prostej, zatem nie utworzą trójkąta. Gdy wektory mające ten sam kierunek, mają ten sam zwrot, wówczas ich suma ma ten sam zwrot, który mają składniki.

R1XtzBfbMZf0o

Ilustracja przedstawia dwa poziome wektory skierowane w prawo u→ i v→. Narysowano kolejne wektory u→ i v→, tak że koniec jednego wektora jest początkiem drugiego. Narysowano u→+v→. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Gdy wektory mające ten sam kierunek, mają przeciwne zwroty, wówczas ich suma ma zwrot taki jak składnik o większej długości.

R1dtAE0ts64WT

Ilustracja przedstawia dwa poziome wektory: u→ skierowany w prawo oraz v→ skierowany w lewo. Narysowano kolejne wektory u→ i v→ oraz u→+v→. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Na powyższych ilustracjach niebieski wektor jest sumą wektorów czerwonego i czarnego.

Aby wyznaczyć sumę dwóch wektorów o różnych kierunkach, możemy też zastosować tzw. regułę równoległoboku, która orzeka, że wektor reprezentujący sumę wektorów $\vec{u}$ , $\vec{v}$ można uzyskać jako przekątną równoległoboku skonstruowanego z użyciem wektorów $\vec{u}$ , $\vec{v}$ .

Opiszemy teraz jak wykorzystać w praktyce regułę równoległoboku dla dwóch wektorów o różnych kierunkach.

R120YOtQjVMOt

Ilustracja przedstawia dwa wektory: u→ jest ukośny, natomiast v→ jest poziomy. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Wektory ustawiamy tak, aby miały wspólny początek.

RgkENiIppSqdA

Ilustracja przedstawia dwa wektory: u→ jest skierowany w prawo i w górę, v→ jest skierowany w prawo. Oba wektory mają ten sam punkt początkowy. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przez końce każdego z wektorów prowadzimy proste równoległe do drugiego z nich. Początek obu wektorów, ich końce i punkt przecięcia prostych równoległych do wektorów są wierzchołkami równoległoboku.

Rrc0ray8YXbA6

Ilustracja przedstawia dwa wektory. Ukośny u→ oraz poziomy v→ mają ten sam początek. Narysowano przerywaną linią dwie proste: jedna jest równoległa do v→ i przechodzi przez punkt końcowy u→, druga prosta jest równoległa do u→ i przechodzi przez punkt końcowy v→. Proste przecinają się ze sobą i tworzą wraz z wektorami u i v równoległobok. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przekątna równoległoboku zawiera wektor będący sumą rozważanych wektorów: jego początek jest wspólnym początkiem obu wektorów składowych, zaś koniec jest punktem przecięcia poprowadzonych prostych.

R1OyLFpNxnRxn

Ilustracja przedstawia trzy wektory. Z jednego punktu początkowego wychodzą wektory: ukośny u→, poziomy v→ oraz ukośny u→+v→. Zaznaczono dwie proste równoległe do u→ oraz v→. Oba wektory wraz z prostymi tworzą równoległobok, którego dłuższa przekątna o początku we wspólnym początku trzech wektorów i o końcu w punkcie przecięcia dwóch prostych, jest sumą wektorów u i v. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Reguła łańcucha

Jeśli chcemy dodać więcej niż dwa wektory korzystamy z tzw. reguły łańcucha, która polega na utworzeniu łańcucha wektorów w taki sposób, że koniec jednego z nich staje się początkiem następnego. Sumą wektorów użytych do utworzenia łańcucha nazywamy wektor o początku w początku pierwszego wektora i końcu w końcu ostatniego wektora. Poniżej przedstawiono zastosowanie reguły łańcucha dla otrzymania sumy trzech wektorów: $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ .

RDLr6TEiUdo3x

Ilustracja przedstawia trzy grupy wektorów na kratkowanym tle. Grupa pierwsza. Grupa ta przedstawia trzy wektory narysowane blisko siebie: u→ o przesunięciu dwie kratki w górę oraz dwie kratki w prawo, v→ o przesunięciu dwie kratki w dół oraz siedem kratek w prawo, w→ o przesunięciu dwie kratki w prawo oraz pięć kratek w górę. Grupa druga. Grupa te przedstawia poprzednio narysowane wektory w kolejności: u→, v→, w→, lecz tym razem w punkcie końcowym wektora, zaczyna się kolejny wektor. Grupa trzecia. Grupa ta przedstawia to co poprzednia grupa, ale teraz narysowano wektor u dodać v dodać w, który ma początek w początku wektora u i koniec w końcu wektora w. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Regułę łańcucha można stosować dla dowolnie wielu wektorów.

dodawanie wektorów

Własność: dodawanie wektorów

Dla dowolnych wektorów $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ zachodzą następujące równości:

$\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ (przemienność)
$\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$ (łączność)
$\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$ (wektor zerowy jest elementem neutralnym dodawania wektorów)
$\vec{u} + (- \vec{u}) = \vec{0}$

Dowód

Ad. 1) Aby udowodnić, że dodawanie wektorów jest przemienne można posłużyć się równoległobokiem. Rozważmy równoległobok $A B C D$ i przyjmijmy, że $\vec{A B} = \vec{u}$ i $\vec{A D} = \vec{v}$ . Z własności równoległoboku wynika, że $\vec{D C} = \vec{u}$ i $\vec{B C} = \vec{v}$ . Z definicji sumy wektorów otrzymujemy równości:

$\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{u} + \vec{v}$

$\vec{A C} = \vec{A D} + \vec{D C} = \vec{v} + \vec{u}$ ,

stąd $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$

Ad. 2) Aby wykazać, że dodawanie wektorów jest łączne, wybierzmy dowolne cztery punkty płaszczyzny i oznaczmy $\vec{A B} = \vec{u}$ , $\vec{B C} = \vec{v}$ , $\vec{C D} = \vec{w}$ .

Wówczas na podstawie definicji sumy wektorów otrzymujemy:

$\vec{A D} = \vec{A C} + \vec{C D} = (\vec{A B} + \vec{B C}) + \vec{C D} = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$

$\vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B D} = \vec{A B} + (\vec{B C} + \vec{C D}) = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$

Stąd $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$

Ad. 3) Dla dowodu równości trzeciej wystarczy zauważyć, że początek i koniec wektora zerowego znajdują się w tym samym punkcie, zatem po zastosowaniu reguły łańcucha można zauważyć, że koniec drugiego wektora (zerowego) pokrywa się z końcem pierwszego wektora $\vec{u}$ , zatem suma wektorówsuma wektorówsuma wektorów $\vec{u}$ i $\vec{0}$ jest równa wektorowi $\vec{u}$ .

Ad. 4) Przypomnijmy, że wektor przeciwny do danego wektora $\vec{u}$ ma ten sam kierunek i długość, co wektor $\vec{u}$ . Wektor $\vec{u}$ i wektor do niego przeciwny różnią się jedynie zwrotem, zatem jeśli $\vec{u} = \vec{A B}$ , to $- \vec{u} = \vec{B A}$ . Po przyłożeniu początku wektora $\vec{B A}$ do końca wektora $\vec{A B}$ , koniec wektora $\vec{B A}$ znajduje się w punkcie $A$ , czyli w punkcie przyłożenia wektora $\vec{A B}$ . Zatem suma wektorów $\vec{A B}$ i $\vec{B A}$ jest wektorem zerowym.

Polecenie 1

Obejrzyj poniższą animację. Na jej podstawie rozwiąż polecenie $2$ .

Zapoznaj się z opisem poniższej animacji. Na jej podstawie rozwiąż polecenie $2$ .

R1ThvPBJN4fcI

Polecenie 2

R861OwsxhRgZB

RfIiGM7lXHksK

Na powyższej siatce zaznaczono kilkanaście punktów, które są początkami i końcami pewnych wektorów. Połącz w pary wektory równe. wektor A B, plus, wektor B C Możliwe odpowiedzi: 1. wektor F D, 2. wektor D E, 3. wektor K C, plus, wektor M K, 4. wektor E I, plus, wektor H E, 5. wektor B I, plus, wektor A B, plus, wektor I E, 6. wektor L J, plus, wektor G L, plus, wektor D G, 7. wektor M D, plus, wektor F M, plus, wektor D E, 8. wektor F G, plus, wektor G M wektor D A, plus, wektor A B Możliwe odpowiedzi: 1. wektor F D, 2. wektor D E, 3. wektor K C, plus, wektor M K, 4. wektor E I, plus, wektor H E, 5. wektor B I, plus, wektor A B, plus, wektor I E, 6. wektor L J, plus, wektor G L, plus, wektor D G, 7. wektor M D, plus, wektor F M, plus, wektor D E, 8. wektor F G, plus, wektor G M wektor G H, plus, wektor D G Możliwe odpowiedzi: 1. wektor F D, 2. wektor D E, 3. wektor K C, plus, wektor M K, 4. wektor E I, plus, wektor H E, 5. wektor B I, plus, wektor A B, plus, wektor I E, 6. wektor L J, plus, wektor G L, plus, wektor D G, 7. wektor M D, plus, wektor F M, plus, wektor D E, 8. wektor F G, plus, wektor G M wektor E C, plus, wektor M E Możliwe odpowiedzi: 1. wektor F D, 2. wektor D E, 3. wektor K C, plus, wektor M K, 4. wektor E I, plus, wektor H E, 5. wektor B I, plus, wektor A B, plus, wektor I E, 6. wektor L J, plus, wektor G L, plus, wektor D G, 7. wektor M D, plus, wektor F M, plus, wektor D E, 8. wektor F G, plus, wektor G M wektor L E, plus, wektor F L Możliwe odpowiedzi: 1. wektor F D, 2. wektor D E, 3. wektor K C, plus, wektor M K, 4. wektor E I, plus, wektor H E, 5. wektor B I, plus, wektor A B, plus, wektor I E, 6. wektor L J, plus, wektor G L, plus, wektor D G, 7. wektor M D, plus, wektor F M, plus, wektor D E, 8. wektor F G, plus, wektor G M wektor G E, plus, wektor M G, plus, wektor E D Możliwe odpowiedzi: 1. wektor F D, 2. wektor D E, 3. wektor K C, plus, wektor M K, 4. wektor E I, plus, wektor H E, 5. wektor B I, plus, wektor A B, plus, wektor I E, 6. wektor L J, plus, wektor G L, plus, wektor D G, 7. wektor M D, plus, wektor F M, plus, wektor D E, 8. wektor F G, plus, wektor G M wektor I E, plus, wektor A K, plus, wektor K I Możliwe odpowiedzi: 1. wektor F D, 2. wektor D E, 3. wektor K C, plus, wektor M K, 4. wektor E I, plus, wektor H E, 5. wektor B I, plus, wektor A B, plus, wektor I E, 6. wektor L J, plus, wektor G L, plus, wektor D G, 7. wektor M D, plus, wektor F M, plus, wektor D E, 8. wektor F G, plus, wektor G M wektor D H, plus, wektor H I, plus, wektor I J Możliwe odpowiedzi: 1. wektor F D, 2. wektor D E, 3. wektor K C, plus, wektor M K, 4. wektor E I, plus, wektor H E, 5. wektor B I, plus, wektor A B, plus, wektor I E, 6. wektor L J, plus, wektor G L, plus, wektor D G, 7. wektor M D, plus, wektor F M, plus, wektor D E, 8. wektor F G, plus, wektor G M

REHOHhMVdQ5Rk

Różnica wektorów

Przypomnijmy, że aby od liczby $b$ odjąć liczbę $a$ (czyli wykonać działanie $b - a$ ), wystarczy do $b$ dodać liczbę przeciwną do liczby $a$ (czyli wykonać działanie $b + (- a)$ ). Analogicznie definiujemy odejmowanie w zbiorze wektorów.

Aby od wektora $\vec{u}$ odjąć wektor $\vec{v}$ (czyli wykonać działanie $\vec{u} - \vec{v} = \vec{w}$ ), wystarczy do wektora $\vec{u}$ dodać wektor przeciwny do wektora $\vec{v}$ (czyli wykonać działanie $\vec{u} + (- \vec{v}) = \vec{w}$ ). Dla porządku przypomnijmy tutaj, że wektor przeciwny do wektora $\vec{v}$ ma ten sam kierunek i długość, co wektor $\vec{v}$ , ale przeciwny zwrot.

Różnica dwóch wektorów – reguła równoległoboku, reguła trójkąta. Skoro różnicę wektorów definiujemy poprzez sumę, to oczywistym wydaje się fakt, że do odejmowania wektorów można zastosować regułę równoległoboku i regułę trójkąta.

Aby wyznaczyć różnicę wektorówróżnica wektorówróżnicę wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$ działamy następująco: obieramy dowolny punkt $O$ , który będzie stanowił początek wektora $\vec{u}$ . Na jego końcu zaczepiamy (umieszczamy) wektor $- \vec{v}$ (przeciwny do $\vec{v}$ ). Teraz, rysując odcinek od punktu $O$ do końca wektora $- \vec{v}$ , otrzymamy wektor $\vec{u} - \vec{v}$ , który nazywamy różnicą wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$ . Zauważmy, że po wyznaczeniu określonego uprzednio odcinka, otrzymujemy trójkąt.

ROSVGQ3t0zUlW

Ilustracja przedstawia dwa zestawy wektorów umieszczonych po lewej i prawej stronie. u oraz fau przedstawione jako strzałki o różnych długościach i kierunkach. Wektory umieszczone po lewej stronie są niepołączone mają jedynie pokazać że wektory mają różne kierunki oraz różne długości, a tym samym różne współrzędne. Po prawej stronie obrazka pokazany jest sposób dodawania wektorów - jest to sposób graficzny. Aby dodać wektory graficznie wybieramy pierwszy, którego początek ustalamy w punkcie O następnie drugi wektor osadzamy w wierzchołku wektora poprzedniego. W tym przypadku wektor u jest wektorem początkowym osadzonym w punkcie O następnie skierowany w prawą górną stronę wskazuje na początek wektora minus fau, który wskazuje w lewą górną stronę tym samym wierzchołek pokazany wektorem minus fau jest sumą wektorów u minus fau.

Do wyznaczenia powyższej różnicy zastosowaliśmy regułę trójkąta, którą omówiliśmy szczegółowo w rozdziale dotyczącym dodawania wektorów.

Aby wyznaczyć różnicę dwóch wektorów o różnych kierunkach, możemy też zastosować regułę równoległoboku, która orzeka, że wektor reprezentujący różnicę wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$ można uzyskać jako przekątną równoległoboku rozpiętego przez $\vec{u}$ i $- \vec{v}$ , czyli takiego, którego odpowiednie (widoczne na rysunku poniżej) boki możemy utożsamić z wektorami $\vec{u}$ i $- \vec{v}$ . Regułę równoległoboku również omówiliśmy szczegółowo w rozdziale dotyczącym dodawania wektorów, tutaj spójrzmy tylko na ilustrację poniżej:

R6Eggl9EPxShE

Ilustracja przedstawia dwa zestawy wektorów umieszczone po lewej i prawej stronie. Po lewej stronie pokazane są jedynie wektory u oraz fau, gdzie zaprezentowane jest to, że mają one różne długości oraz kierunki. Po prawej stronie wektory u oraz minus fau są umieszczone w tym samym punkcie O, gdzie dodatkowo trzeci wektor pokazujący ich sumę - oznaczony jest innym kolorem - wierzchołek tego wektora jest początkiem dwóch prostych narysowanych linią przerywaną, które przecinają odpowiednio wierzchołki dwóch pozostałych wektorów, a tym samym tworząc równoległobok.

Suma przynajmniej trzech wektorów - reguła łańcucha

Przykład 1

Wyznaczymy graficznie wektor $\vec{u} - \vec{v} - \vec{w}$ . Aby wykonać zadanie będą nam potrzebne wektory przeciwne do wektorów $\vec{v}$ i $\vec{w}$ . Po ich wyznaczeniu wystarczy zastosować regułę łańcucha i wykonać dodawanie $\vec{u} + (- \vec{v}) + (- \vec{w})$ .

R1UAyyMFPIjjH

Ilustracja przedstawia cztery zestawy wektorów trzy umieszczone są na górze mają one przedstawić jak wyglądają wektory, które będą używane. Następnie na dole przedstawiony jest sposób dodawania ich graficzne tak zwaną regułą łańcucha. Grupa dolna rozpoczyna się wektorem u, którego wierzchołek jest punktem zaczepu dla wektora minus fua i dalej wierzchołek wektora minus fau jest punktem zaczepu wektora minus wu, którego to koniec wskazuje sumę wektorów u minus fau oraz minus wu. Na obrazku kolorem czerwonym jest zaznaczona owa suma natomiast kolorem niebieskim są pokazane wszystkie inne wektory początkowe. Wektor ukazujący sumę wektorów rozpoczyna się w tym samym punkcie, w którym zaczyna się początkowy wektor w tym przypadku wektor u, a kończy się w punkcie wierzchołka ostatniego wektora dodanego regułą łańcucha, w tym przypadku wektora minus wu.

Zwróćmy jeszcze uwagę, że na wektorach możemy wykonywać operacje dodawania i odejmowania podobnie jak na liczbach czy wyrażeniach algebraicznych. Właśności tych działań przenoszą się na wektory.

Dla przykładu rozważmy:

$\vec{u} + \vec{v} = \vec{w}$

do obu stron równania dodajemy wektor przeciwny do wektora $\vec{v}$

$(\vec{u} + \vec{v}) + (- \vec{v}) = \vec{w} + (- \vec{v})$

korzystamy z łączności dodawania wektorów

$\vec{u} + (\vec{v} + (- \vec{v})) = \vec{w} + (- \vec{v})$

korzystamy z faktu, że suma wektora i wektora do niego przeciwnego jest wektorem zerowym

$\vec{u} + \vec{0} = \vec{w} + (- \vec{v})$

korzystamy z faktu, że wektor zerowy jest elementem neutralnym dodawaniaelement neutralny dodawaniaelementem neutralnym dodawania wektorów

$\vec{u} = \vec{w} + (- \vec{v})$

korzystamy z definicji odejmowania wektorów

$\vec{u} = \vec{w} - \vec{v}$

Obrazowo możemy powiedzieć (podobnie jak w równościach zawierających wyrażenia algebraiczne), że przenieśliśmy wektor $\vec{v}$ na drugą stronę znaku równości ze zmienionym znakiem.

Polecenie 3

Zapozna się z filmem samouczkiem. Na jego podstawie rozwiąż poniższe zadanie.

RMMvU8ioxo3lA

Polecenie 4

Na siatce zaznaczono kilkanaście punktów, które są początkami i końcami pewnych wektorów. Połącz w pary wektory równe.

R1BCfjZL0934c

R8kdcToufQuhy

Na powyższej siatce zaznaczono kilkanaście punktów, które są początkami i końcami pewnych wektorów. Połącz w pary wektory równe. wektor A B Możliwe odpowiedzi: 1. wektor L J, plus, wektor G L, minus, wektor D H, 2. wektor E I, minus, wektor D G, 3. wektor F G, minus, wektor E D, 4. wektor M D, plus, wektor F M, minus, wektor F L, 5. wektor F D, minus, wektor A B, 6. wektor B I, minus, wektor K I, 7. wektor K C, minus, wektor M E, 8. wektor D E, minus, wektor B C wektor D A Możliwe odpowiedzi: 1. wektor L J, plus, wektor G L, minus, wektor D H, 2. wektor E I, minus, wektor D G, 3. wektor F G, minus, wektor E D, 4. wektor M D, plus, wektor F M, minus, wektor F L, 5. wektor F D, minus, wektor A B, 6. wektor B I, minus, wektor K I, 7. wektor K C, minus, wektor M E, 8. wektor D E, minus, wektor B C wektor G H, minus, wektor H E Możliwe odpowiedzi: 1. wektor L J, plus, wektor G L, minus, wektor D H, 2. wektor E I, minus, wektor D G, 3. wektor F G, minus, wektor E D, 4. wektor M D, plus, wektor F M, minus, wektor F L, 5. wektor F D, minus, wektor A B, 6. wektor B I, minus, wektor K I, 7. wektor K C, minus, wektor M E, 8. wektor D E, minus, wektor B C wektor E C, minus, wektor M K Możliwe odpowiedzi: 1. wektor L J, plus, wektor G L, minus, wektor D H, 2. wektor E I, minus, wektor D G, 3. wektor F G, minus, wektor E D, 4. wektor M D, plus, wektor F M, minus, wektor F L, 5. wektor F D, minus, wektor A B, 6. wektor B I, minus, wektor K I, 7. wektor K C, minus, wektor M E, 8. wektor D E, minus, wektor B C wektor L E, minus, wektor D E Możliwe odpowiedzi: 1. wektor L J, plus, wektor G L, minus, wektor D H, 2. wektor E I, minus, wektor D G, 3. wektor F G, minus, wektor E D, 4. wektor M D, plus, wektor F M, minus, wektor F L, 5. wektor F D, minus, wektor A B, 6. wektor B I, minus, wektor K I, 7. wektor K C, minus, wektor M E, 8. wektor D E, minus, wektor B C wektor G E, plus, wektor M G, minus, wektor G M Możliwe odpowiedzi: 1. wektor L J, plus, wektor G L, minus, wektor D H, 2. wektor E I, minus, wektor D G, 3. wektor F G, minus, wektor E D, 4. wektor M D, plus, wektor F M, minus, wektor F L, 5. wektor F D, minus, wektor A B, 6. wektor B I, minus, wektor K I, 7. wektor K C, minus, wektor M E, 8. wektor D E, minus, wektor B C wektor I E, plus, wektor A K, minus, wektor A B, minus, wektor I E Możliwe odpowiedzi: 1. wektor L J, plus, wektor G L, minus, wektor D H, 2. wektor E I, minus, wektor D G, 3. wektor F G, minus, wektor E D, 4. wektor M D, plus, wektor F M, minus, wektor F L, 5. wektor F D, minus, wektor A B, 6. wektor B I, minus, wektor K I, 7. wektor K C, minus, wektor M E, 8. wektor D E, minus, wektor B C wektor H I, minus, wektor D G Możliwe odpowiedzi: 1. wektor L J, plus, wektor G L, minus, wektor D H, 2. wektor E I, minus, wektor D G, 3. wektor F G, minus, wektor E D, 4. wektor M D, plus, wektor F M, minus, wektor F L, 5. wektor F D, minus, wektor A B, 6. wektor B I, minus, wektor K I, 7. wektor K C, minus, wektor M E, 8. wektor D E, minus, wektor B C

RwFpheevxoE2w

Iloczyn wektora przez liczbę

Mając dany wektor $\vec{u}$ , możemy narysować wektory:

$\vec{u} + \vec{u}, \vec{u} + \vec{u} + \vec{u}, \vec{u} + \vec{u} + \vec{u} + \vec{u}$

RL5NSUxr6xmvj

Na ilustracji znajdują się wektory oznaczone jako U ułożone w różnej długości sekwencje. Wszystkie wektory wskazują prawą stronę. Na samej górze widnieje pojedynczy wektor. Pod nim są trzy sekwencje o różnej długości. Od lewej strony: sekwencja składająca się z dwóch wektorów U, sekwencja składająca się z trzech wektorów U oraz sekwencja składająca się z czterech wektorów U. Nad pierwszą sekwencją widnieje równanie wektor U plus wektor U, nad drugą wektor U plus wektor U plus wektor U oraz nad ostatnią wektor U plus wektor U plus wektor U plus wektor U.

Możemy zauważyć, że każdy z wykreślonych wektorów jest równoległy do $\vec{u}$ i ma zwrot z nim zgodny, a długości tych wektorów są równe odpowiednio: $2 |\vec{u}|, 3 |\vec{u}|, 4 |\vec{u}|$ .

Narysujmy teraz wektory:

$- \vec{u} - \vec{u}, - \vec{u} - \vec{u} - \vec{u}, - \vec{u} - \vec{u} - \vec{u} - \vec{u}$

RP1B61bJwc4hr

Na ilustracji znajdują się wektory oznaczone jako U ułożone w różnej długości sekwencje. Na samej górze widnieje pojedynczy wektor wskazujący w prawą stronę. Pod nim są trzy sekwencje o różnej długości. Wszystkie wektory w sekwencjach wskazują w lewą stronę. Od lewej strony: sekwencja składająca się z dwóch wektorów minus U, sekwencja składająca się z trzech wektorów minus U oraz sekwencja składająca się z czterech wektorów minus U. Nad pierwszą sekwencją widnieje równanie minus wektor U minus wektor U, nad drugą minus wektor U minus wektor U minus wektor U oraz nad ostatnią minus wektor U minus wektor U minus wektor U minus wektor U.

Zauważmy, że każdy z nich jest równoległy do $\vec{u}$ , ale ma do niego przeciwny zwrot. Długości tych wektorów są równe odpowiednio: $2 |\vec{u}|, 3 |\vec{u}|, 4 |\vec{u}|$ .

Przede wszystkim zauważmy, że po pomnożeniu niezerowego wektora $\vec{u}$ przez niezerową liczbę rzeczywistą $k$ otrzymujemy wektor. Będziemy ten iloczyn zapisywać jako $k \cdot \vec{u}$ lub po prostu $k \vec{u}$ .

Aby szczegółowo omówić zagadnienie mnożenia wektora przez liczbę rozważymy kilka przykładów. Zanim to jednak zrobimy, zwróćmy uwagę, że kierunek danego wektora i wektora otrzymanego przez pomnożenie go przez różną od zera liczbę $k$ jest taki sam. Zatem możemy zapisać, że $\vec{u} ∥ k \vec{u}$ , dla dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej $k$ i niezerowego wektora $\vec{u}$ .

Przykład 2

Jeśli pomnożymy wektor $\vec{u}$ przez $1$ , otrzymamy ten sam wektor $\vec{u}$ .

RbW8WQfaPzKDI

Na ilustracji znajduje się wektor pokazujący na górę w skos. Po prawej stronie wektora znajduje się następujące równanie: jeden razy wektor U równa się wektor U.

Przykład 3

Jeśli pomnożymy wektor $\vec{u}$ przez $(- 1)$ , otrzymamy wektor $- \vec{u}$ przeciwny do danego. Możemy zauważyć, że $- 1 \cdot (- \vec{u}) = \vec{u}$ .

R1BF80uZbH4l4

Na ilustracji znajdują się dwa wektory. Jeden wektor pokazuje na skos na górę oznaczony jest on jako wektor U. Drugi wektor styka się swoim końcem z końcem wektora U. Oznaczony jest on jako wektor minus U i pokazuje on w dół na skos. W miejscu styku wektorów umieszone jest zapełnione pole. Po lewej stronie wektorów znajduje się równanie minus jeden razy wektor U równa się minus wektor U.

Przykład 4

Jeśli pomnożymy wektor $\vec{u}$ przez $2$ , otrzymamy wektor $2 \vec{u}$ dwa razy dłuższy o tym samym kierunku i zwrocie. Możemy zauważyć, że $2 \cdot \vec{u} = \vec{u} + \vec{u}$ .

R1ZmcOs4Iaxro

Na ilustracji znajdują się trzy wektory. Dwa krótsze wektory wskazują w górę na skos, oznaczone są jako wektory U. Koniec jednego wektora styka się z początkiem drugiego. Po prawej stronie znajduje się trzeci wektor pokazujący w górę na skos. Jego długość jest równa długości dwóch mniejszych wektorów. Po prawej stronie długiego wektora znajduje się równanie dwa wektory U równa się wektor U plus wektor U.

Przykład 5

Jeśli pomnożymy wektor $\vec{u}$ przez $(- 2)$ , otrzymamy wektor $- 2 \vec{u}$ dwa razy dłuższy o tym samym kierunku i przeciwnym zwrocie. Możemy zauważyć, że $- 2 \cdot \vec{u} = - \vec{u} - \vec{u}$ .

R1VBNOiWrFqZs

Na ilustracji znajdują się dwa wektory. Jeden krótszy wektor pokazuje w górę na skos, oznaczony jest on jako wektor U. Drugi dłuższy wektor pokazuje na skos w dół. Po jego prawej stronie widnieje równanie minus dwa wektory U równa się minus wektor U minus wektor U.

Przykład 6

Jeśli pomnożymy wektor $\vec{u}$ przez $\frac{1}{2}$ , otrzymamy wektor $\frac{1}{2} \vec{u}$ dwa razy krótszy o tym samym kierunku i zwrocie.

RMo6CL8ienrPB

Na ilustracji znajdują się dwa wektory. Jeden długi wektor oznaczony jako U pokazuje na skos w górę. Po jego prawej stronie znajduje się mniejszy wektor, również pokazujący na skos w górę, oznaczony jako jeden dzielone na dwa wektor U.

Przykład 7

Jeśli pomnożymy wektor $\vec{u}$ przez $(- \frac{1}{2})$ , otrzymamy wektor $- \frac{1}{2} \vec{u}$ dwa razy krótszy o tym samym kierunku i przeciwnym zwrocie.

R4wqAst2jHkgo

Na ilustracji znajdują się dwa wektory. Pierwszy długi wektor pokazuje w górę na skos, oznaczony jest on jako wektor U. Po jego prawej stronie znajduje się mniejszy wektor pokazujący na skos w dół, oznaczony jest on jako minus jeden dzielone na dwa wektor U.

Podsumujmy powyższe rozważania.

iloczyn wektora

Definicja: iloczyn wektora

Iloczynem $k \vec{u}$ wektora niezerowego $\vec{u}$ i liczby rzeczywistej $k \neq 0$ nazywamy wektor, który:

jest równoległywektory równoległerównoległy do wektora $\vec{u}$ (ma kierunek wektorakierunek wektorakierunek wektora $\vec{u}$ );
ma długość równą $|k| \cdot |\vec{u}|$ ;
ma zwrot zgodny ze zwrotem wektora $\vec{u}$ , gdy $k > 0$ , zaś przeciwny, gdy $k < 0$ .

Jeśli $\vec{u}$ jest wektorem zerowym lub $k = 0$ , to przyjmujemy, że iloczyn wektorailoczyn wektorailoczyn wektora $\vec{u}$ i liczby $k$ jest wektorem zerowym.

Polecenie 5

Zapoznaj się z apletem. Porównaj swoje obserwacje z definicją:

Zapoznaj się z definicją iloczynu wektora niezerowego, a następnie z opisem apletu.

Iloczynem wektora niezerowego $\vec{u}$ i liczby rzeczywistej $a \neq 0$ nazywamy wektor, który:

jest równoległy do wektora $\vec{u}$ (ma kierunek wektora $\vec{u}$ );
ma długość równą $| a | \cdot | \vec{u} |$ ;
ma zwrot zgodny ze zwrotem wektora $\vec{u}$ , gdy $a > 0$ , zaś przeciwny, gdy $a < 0$ .

Jeśli u jest wektorem zerowym lub $a = 0$ , to przyjmujemy, że iloczyn wektora $\vec{u}$ i liczby $a$ jest wektorem zerowym.

R1dg4OoZ4gB1M

Polecenie 6

R1HAcsYHWidju

R1B5dK1pLbYoM1

Ćwiczenie 1

Rr00CEvzDDxZ21

Ćwiczenie 2

RRFV7p3kHhUnM2

Ćwiczenie 3

Dany jest czworokąt wypukły ABCD, w którym E jest punktem przecięcia przekątnych. Połącz w pary wektory równe. wektor B C Możliwe odpowiedzi: 1. wektor D B, plus, wektor C D, plus, wektor A C, 2. wektor D B, plus, wektor A D, plus, wektor C A, 3. wektor A C, plus, wektor B A, plus, wektor D B, 4. wektor E C, plus, wektor B E, 5. wektor E D, plus, wektor A B, plus, wektor C E, plus, wektor B E, plus, wektor E A, 6. wektor C D, plus, wektor D A, plus, wektor B C wektor C B Możliwe odpowiedzi: 1. wektor D B, plus, wektor C D, plus, wektor A C, 2. wektor D B, plus, wektor A D, plus, wektor C A, 3. wektor A C, plus, wektor B A, plus, wektor D B, 4. wektor E C, plus, wektor B E, 5. wektor E D, plus, wektor A B, plus, wektor C E, plus, wektor B E, plus, wektor E A, 6. wektor C D, plus, wektor D A, plus, wektor B C wektor D C Możliwe odpowiedzi: 1. wektor D B, plus, wektor C D, plus, wektor A C, 2. wektor D B, plus, wektor A D, plus, wektor C A, 3. wektor A C, plus, wektor B A, plus, wektor D B, 4. wektor E C, plus, wektor B E, 5. wektor E D, plus, wektor A B, plus, wektor C E, plus, wektor B E, plus, wektor E A, 6. wektor C D, plus, wektor D A, plus, wektor B C wektor C D Możliwe odpowiedzi: 1. wektor D B, plus, wektor C D, plus, wektor A C, 2. wektor D B, plus, wektor A D, plus, wektor C A, 3. wektor A C, plus, wektor B A, plus, wektor D B, 4. wektor E C, plus, wektor B E, 5. wektor E D, plus, wektor A B, plus, wektor C E, plus, wektor B E, plus, wektor E A, 6. wektor C D, plus, wektor D A, plus, wektor B C wektor A B Możliwe odpowiedzi: 1. wektor D B, plus, wektor C D, plus, wektor A C, 2. wektor D B, plus, wektor A D, plus, wektor C A, 3. wektor A C, plus, wektor B A, plus, wektor D B, 4. wektor E C, plus, wektor B E, 5. wektor E D, plus, wektor A B, plus, wektor C E, plus, wektor B E, plus, wektor E A, 6. wektor C D, plus, wektor D A, plus, wektor B C wektor B A Możliwe odpowiedzi: 1. wektor D B, plus, wektor C D, plus, wektor A C, 2. wektor D B, plus, wektor A D, plus, wektor C A, 3. wektor A C, plus, wektor B A, plus, wektor D B, 4. wektor E C, plus, wektor B E, 5. wektor E D, plus, wektor A B, plus, wektor C E, plus, wektor B E, plus, wektor E A, 6. wektor C D, plus, wektor D A, plus, wektor B C

R1S6FUjAUtgfz2

Ćwiczenie 4

Dany jest sześciokąt foremny ABCDEF, w którym punkt przecięcia dłuższych przekątnych to G. Pogrupuj wektory tak, aby w jednej kolumnie znalazły się wektory równe tym wymienionym w nagłówku. Przeciągnij i upuść. wektor F A Możliwe odpowiedzi: 1. wektor E G, plus, wektor F E, plus, wektor G D, 2. wektor E A, plus, wektor F E, 3. wektor D C, plus, wektor E D, plus, wektor F E, 4. wektor D C, plus, wektor F A, plus, wektor A D, 5. wektor B G, plus, wektor A B, plus, wektor F A, 6. wektor G A, plus, wektor F G, 7. wektor A D, plus, wektor F A, 8. wektor E D, plus, wektor C G, plus, wektor D C, plus, wektor F E, 9. wektor E D, plus, wektor D G, plus, wektor F E, 10. wektor E D, plus, wektor F E, 11. wektor E B, plus, wektor F E, plus, wektor B C, 12. wektor B A, plus, wektor F C, plus, wektor C B wektor F G Możliwe odpowiedzi: 1. wektor E G, plus, wektor F E, plus, wektor G D, 2. wektor E A, plus, wektor F E, 3. wektor D C, plus, wektor E D, plus, wektor F E, 4. wektor D C, plus, wektor F A, plus, wektor A D, 5. wektor B G, plus, wektor A B, plus, wektor F A, 6. wektor G A, plus, wektor F G, 7. wektor A D, plus, wektor F A, 8. wektor E D, plus, wektor C G, plus, wektor D C, plus, wektor F E, 9. wektor E D, plus, wektor D G, plus, wektor F E, 10. wektor E D, plus, wektor F E, 11. wektor E B, plus, wektor F E, plus, wektor B C, 12. wektor B A, plus, wektor F C, plus, wektor C B wektor F C Możliwe odpowiedzi: 1. wektor E G, plus, wektor F E, plus, wektor G D, 2. wektor E A, plus, wektor F E, 3. wektor D C, plus, wektor E D, plus, wektor F E, 4. wektor D C, plus, wektor F A, plus, wektor A D, 5. wektor B G, plus, wektor A B, plus, wektor F A, 6. wektor G A, plus, wektor F G, 7. wektor A D, plus, wektor F A, 8. wektor E D, plus, wektor C G, plus, wektor D C, plus, wektor F E, 9. wektor E D, plus, wektor D G, plus, wektor F E, 10. wektor E D, plus, wektor F E, 11. wektor E B, plus, wektor F E, plus, wektor B C, 12. wektor B A, plus, wektor F C, plus, wektor C B wektor F D Możliwe odpowiedzi: 1. wektor E G, plus, wektor F E, plus, wektor G D, 2. wektor E A, plus, wektor F E, 3. wektor D C, plus, wektor E D, plus, wektor F E, 4. wektor D C, plus, wektor F A, plus, wektor A D, 5. wektor B G, plus, wektor A B, plus, wektor F A, 6. wektor G A, plus, wektor F G, 7. wektor A D, plus, wektor F A, 8. wektor E D, plus, wektor C G, plus, wektor D C, plus, wektor F E, 9. wektor E D, plus, wektor D G, plus, wektor F E, 10. wektor E D, plus, wektor F E, 11. wektor E B, plus, wektor F E, plus, wektor B C, 12. wektor B A, plus, wektor F C, plus, wektor C B

RbtezVOj5mjhR2

Ćwiczenie 5

R1GhlJqPiD3aj21

Ćwiczenie 6

R1RLGY4ucMGcp3

Ćwiczenie 7

Dany jest sześciokąt foremny ABCDEF, gdzie wektor A B, równa się, wektor a, przecinek, wektor B C, równa się, wektor b, przecinek, wektor C D, równa się, wektor c, przecinek, wektor D E, równa się, wektor d, przecinek, wektor E F, równa się, wektor e, przecinek, wektor F A, równa się, wektor f . Połącz w pary wektory równe. wektor A E Możliwe odpowiedzi: 1. wektor b, plus, wektor c, plus, nawias wektor minus, e zamknięcie nawiasu, 2. wektor c, plus, wektor a, plus, nawias wektor minus, d zamknięcie nawiasu, 3. wektor a, plus, wektor b, plus, wektor d, plus, wektor c, 4. wektor b, plus, nawias wektor minus, d zamknięcie nawiasu, plus, wektor e, 5. wektor b, plus, wektor c wektor A D Możliwe odpowiedzi: 1. wektor b, plus, wektor c, plus, nawias wektor minus, e zamknięcie nawiasu, 2. wektor c, plus, wektor a, plus, nawias wektor minus, d zamknięcie nawiasu, 3. wektor a, plus, wektor b, plus, wektor d, plus, wektor c, 4. wektor b, plus, nawias wektor minus, d zamknięcie nawiasu, plus, wektor e, 5. wektor b, plus, wektor c wektor A C Możliwe odpowiedzi: 1. wektor b, plus, wektor c, plus, nawias wektor minus, e zamknięcie nawiasu, 2. wektor c, plus, wektor a, plus, nawias wektor minus, d zamknięcie nawiasu, 3. wektor a, plus, wektor b, plus, wektor d, plus, wektor c, 4. wektor b, plus, nawias wektor minus, d zamknięcie nawiasu, plus, wektor e, 5. wektor b, plus, wektor c wektor A B Możliwe odpowiedzi: 1. wektor b, plus, wektor c, plus, nawias wektor minus, e zamknięcie nawiasu, 2. wektor c, plus, wektor a, plus, nawias wektor minus, d zamknięcie nawiasu, 3. wektor a, plus, wektor b, plus, wektor d, plus, wektor c, 4. wektor b, plus, nawias wektor minus, d zamknięcie nawiasu, plus, wektor e, 5. wektor b, plus, wektor c wektor A F Możliwe odpowiedzi: 1. wektor b, plus, wektor c, plus, nawias wektor minus, e zamknięcie nawiasu, 2. wektor c, plus, wektor a, plus, nawias wektor minus, d zamknięcie nawiasu, 3. wektor a, plus, wektor b, plus, wektor d, plus, wektor c, 4. wektor b, plus, nawias wektor minus, d zamknięcie nawiasu, plus, wektor e, 5. wektor b, plus, wektor c

R1XLo1p5nLgEi3

Ćwiczenie 8

R1B5dK1pLbYoM1

Ćwiczenie 9

RDDvAHcN4vxCj1

Ćwiczenie 10

Ra354zqUPcZuS2

Ćwiczenie 11

RRjLDjlL3Qp0T21

Ćwiczenie 12

RaCdSUylUrTt421

Ćwiczenie 13

R1XLpOwVuzbuU21

Ćwiczenie 14

R1GwV8LHm6wI53

Ćwiczenie 15

RjS077n2vCyAQ3

Ćwiczenie 16

R17LwIISZR8Rf1

Ćwiczenie 17

Ćwiczenie 18

Dla podanej pary wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$ wyznacz liczbę rzeczywistą $k$ , aby wektor $\vec{u}$ był iloczynem wektora $\vec{v}$ i liczby $k$ .

R1WB1mWvg3LO3

R1G8jzXwxSFA7

RNOJupnqT5j3Z

R80KngBysv5Ue2

Ćwiczenie 19

Ćwiczenie 20

Dany jest wektor $\vec{u}$

R1QVzqiHUoLCj

Wektor u przebiega przez dwie przekątne kratek i jest zwrócony w górę w prawo.

R1DeZyA4kq3CY

RXDOtYqijHSCz

R1UutjtxHoUKB21

Ćwiczenie 21

RvxoSooIbBKyS21

Ćwiczenie 22

Ćwiczenie 23

R1Bg2csMmSmOq

R6gXnsSzcozsr

Ćwiczenie 24

RbCJSRgmcijg1

RoxUNJxNGzgoy

Słownik

suma wektorów

wektor, który powstaje po ułożeniu wektorów składowych w łańcuch w taki sposób, że koniec jednego wektora jest początkiem następnego - sumą wektorów składowych jest wektor o początku w początku pierwszego wektora łańcucha i końcu w końcu ostatniego wektora łańcucha

wektor wypadkowy

suma wektorów; w pewnych szczególnych przypadkach (np. składanie sił lub przemieszczeń) wektor wypadkowy zastępuje działanie kilku innych wektorów

różnica wektorów

jeśli określimy wektory jako uporządkowane pary punktów w przestrzeni dwuwymiarowej, to różnicę wektorów $\vec{u} = [u_{1}, u_{2}]$ i $\vec{v} = [v_{1}, v_{2}]$ określamy jako: $\vec{u} - \vec{v} = [u_{1} - v_{1}, u_{2} - v_{2}]$ , co możemy też przedstawić za pomocą sumy wektora $\vec{u}$ i wektora przeciwnego do $\vec{v}$ , co zapisujemy: $\vec{u} + (- \vec{v}) = \vec{w}$

element neutralny dodawania

elementem neutralnym dowolnego zbioru $A$ jest takie $e \in A$ , że dla dowolnego elementu $a$ ze zbioru $A$ zachodzi: $e + a = a$ oraz $a + e = a$ , np.: w zbiorze liczb całkowitych $ℤ$ jest to zero, a w zbiorze wektorów to wektor zerowy

iloczyn wektora

dla niezerowego wektora $\vec{u}$ i liczby $k \neq 0$ wektor $k \vec{u}$ jest wektorem równoległym do $\vec{u}$ o długości równej $|k| \cdot |\vec{u}|$ oraz zwrocie zgodnym ze zwrotem $\vec{u}$ , gdy $k > 0$ , przeciwnym do zwrotu $\vec{u}$ , gdy $k < 0$ ; jeśli $\vec{u}$ jest wektorem zerowym lub $k = 0$ , to iloczyn $\vec{u}$ przez $k$ jest wektorem zerowym

kierunek wektora

prosta, na której leży wektor

wektory równoległe

wektory, które zawarte są w prostych równoległych; nie definiujemy równoległości do wektora zerowego

1. Wektor na płaszczyźnie

3. Wektor w układzie współrzędnych