3. Wektor w układzie współrzędnych

R1Z8wbGh4SBlK

Jedną z podstawowych wielkości fizycznych jest przemieszczenieprzemieszczenieprzemieszczenie, czyli wektor o początku w punkcie będącym położeniem początkowym ciała i końcu w punkcie będącym położeniem końcowym.

R1dc0WyVkxrnW

Ilustracja składa się z dwóch części. Lewa strona przedstawia zdjęcie drogi w zielonym terenie górzystym. Droga jest kręta i wiedzie z naniesionego graficznie punktu A znajdującego na niższym poziomie, do punktu B znajdującego się na wyższym poziomie. Na krętą drogę naniesiony jest fragment krzywej S w kształcie tej drogi. Z punktu A poprowadzony jest również wektor o końcu w punkcie B. Grafika naniesiona na zdjęcie jest przedstawiona po lewej stronie na białym tle, przy czym oznaczenia pozostają takie same, jak na zdjęciu.

Jeżeli wektor przemieszczenia ma tę samą długość co tor ruchu, to taki ruch nazywamy ruchem prostoliniowymruch prostoliniowy, ruch krzywoliniowyruchem prostoliniowym. W przypadku ruchu krzywoliniowegoruch prostoliniowy, ruch krzywoliniowyruchu krzywoliniowego długość toru ruchu jest większa niż długość wektora przemieszczenia.

Twoje cele

Obliczysz współrzędne wektora w układzie współrzędnych, znając współrzędne jego początku i końca.
Wykorzystasz warunek równości wektorów w układzie współrzędnych do rozwiązywania zadań.
Obliczysz długość wektora znając jego współrzędne.
Wykorzystasz wzór na długość wektora do obliczeń związanych z wielokątami umieszczonymi w układzie współrzędnych.

Współrzędne wektora w układzie współrzędnych

Układ współrzędnych na płaszczyźnie zbudowany jest z dwóch osi liczbowych, wektor w nim umieszczony będzie miał zatem dwie współrzędne.

W prostokątnym układzie współrzędnych rozważmy wektor $\vec{A B}$ , gdzie $A = (x_{A}, y_{A})$ , $B = (x_{B}, y_{B})$ .

Ry0vv4fekHUZl

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y bez zaznaczonych współrzędnych. Na płaszczyźnie zaznaczonych jest pięć wektorów. Wektor A prim B prim położony jest na osi X. Jego początek wyznacza punkt A prim należący do ujemnej półosi OX o współrzędnych X A, zero. Jego koniec wyznacza punkt B prim należący do dodatniej półosi OX o współrzędnych X B zero. Nad tym wektorem znajduje się wektor AC, który ma tę samą długość i ten sam zwrot. Jego początek znajduje się w punkcie A o współrzędnych X A Y A (druga ćwiartka), natomiast jego koniec jest w punkcie C o współrzędnych X B Y A (pierwsza ćwiartka). Wektor AC przecina oś Y w punkcie A prim prim równym zero Y A. Na końcu wektora AC zaczepiony jest pionowy wektor CB, którego koniec znajduje się w punkcie X B Y B (pierwsza ćwiartka). Na rysunku widnieje także suma wektorów AC oraz CB, czyli ukośny wektor AB poprowadzony z początku wektora AC do końca wektora CB. Te trzy wektory tworzą trójkąt prostokątny. Na rysunku umieszczony jest również wektor A prim prim B prim prim, który jest równy wektorowi CB co do długości oraz zwrotu. Wektor A prim prim B prim prim leży na osi Y. Jego początek znajduje się w punkcie A prim prim o współrzędnych zero Y A, a koniec w punkcie B prim prim o współrzędnych zero Y B.

Przyjmując oznaczenia jak na rysunku powyżej, możemy zauważyć, że $\vec{A B} = \vec{A C} + \vec{C B}$ , gdzie wektor $\vec{A C}$ jest równoległy do osi $X$ , zaś wektor $\vec{C B}$ jest równoległy do osi $Y$ . Zrzutujmy teraz prostopadle punkty $A$ i $B$ na osie układu. Otrzymamy wówczas punkty $A' = (x_{A}, 0), B' = (x_{B}, 0), A'' = (0, y_{A}), B'' = (0, y_{B})$ . Ponieważ $\vec{A' B'}$ i $\vec{A'' B''}$ są wektorami na osiach, więc ich współrzędne są równe $\vec{A' B'} = [x_{B} - x_{A}]$ i $\vec{A'' B''} = [y_{B} - y_{A}]$ . Możemy ponadto zauważyć, że $\vec{A C} = \vec{A' B'}$ , $\vec{C B} = \vec{A'' B''}$ , czyli $\vec{A C} = [x_{B} - x_{A}]$ , $\vec{C B} = [y_{B} - y_{A}]$ . Liczby te przyporządkowujemy wektorowi $\vec{A C}$ jako jego współrzędne w układzie współrzędnych.

współrzędne wektora w układzie współrzędnych

Definicja: współrzędne wektora w układzie współrzędnych

Jeśli $A = (x_{A}, y_{A})$ , $B = (x_{B}, y_{B})$ , to współrzędnymi wektora $\vec{A B}$ w układzie współrzędnychwspółrzędnymi wektora $\vec{A B}$ w układzie współrzędnych nazywamy liczby $x_{B} - x_{A}$ i $y_{B} - y_{A}$ , co zapisujemy $\vec{A B} = [x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}]$ .

Zauważmy jeszcze, że jeśli początek danego wektora znajduje się w początku układu współrzędnych, to współrzędne końca tego wektora są równe współrzędnym wektora.

R15jXSVF4tBwQ

Na ilustracji przedstawiony jest fragment układu współrzędnych w postaci pierwszej ćwiartki z poziomą osią X oraz pionową osią Y bez zaznaczonych współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowany jest wektor OP poprowadzony z początku układu współrzędnych do punktu P o współrzędnych A B. Liniami przerywanymi narysowane są także rzuty punktu na osie.

Ponadto współrzędne wektora zerowego są zerami: $\vec{0} = [0, 0]$ .

Przykład 1

Dane są punkty: $A = (1, 2), B = (- 2, 3), C = (3, - 4)$ . Wyznaczymy współrzędne wektorów:

$\vec{A B} = [- 2 - 1, 3 - 2] = [- 3, 1]$

$\vec{B C} = [3 - (- 2), - 4 - 3] = [5, - 7]$

$\vec{A C} = [3 - 1, - 4 - 2] = [2, - 6]$

Przykład 2

Wyznaczymy wartość parametru $m$ tak, aby wektor $\vec{A B}$ miał współrzędne $[m - 1, - 7]$ , gdzie $A = (2 m - 2, 7), B = (4 m, 0)$ .

Zgodnie z definicją współrzędnych wektora są one równe różnicy współrzędnych końca i początku, czyli $[4 m - (2 m - 2), 0 - 7] = [2 m + 2, - 7]$ . Z warunków zadania otrzymane współrzędne mają być równe $[m - 1, - 7]$ . Drugie współrzędne są równe dla każdej wartości parametru $m$ , zaś z równości pierwszych współrzędnych wynika równanie:

$2 m + 2 = m - 1 m = - 3$

Zatem warunki zadania spełnia $m = - 3$ .

Poczyńmy jeszcze tylko jedno spostrzeżenie: współrzędne wektorawspółrzędne wektora to “instrukcja”, jak się poruszać, żeby dostać się z początku tego wektora do jego końca. Pierwsza współrzędna określa przemieszczenie w poziomie (jeśli jest dodatnia, to ruch wykonujemy w prawo, jeśli ujemna - w lewo), druga - w pionie (jeśli jest dodatnia, to ruch wykonujemy w górę, jeśli ujemna - w dół). Na przykład współrzędne $\vec{H I} = [- 3, 2]$ oznaczają, że aby przemieścić się z punktu $H$ do punktu $I$ , wystarczy poruszyć się o $3$ jednostki w lewo i $2$ jednostki do góry.

RfMOZWLE6u2RV

Na ilustracji widnieje siatka, na której narysowane są trzy wektory, które razem budują trójkąt prostokątny. Na rysunku przyjęte jest, że dwie kratki siatki to jeden. Z punktu H umieszczonego po prawej stronie poprowadzony jest w lewo poziomy wektor podpisany jako minus trzy. Z jego końca do góry poprowadzony jest pionowy wektor do punktu I podpisany jako dwa. Z punktu H jest poprowadzony również wektor HI, którego koniec znajduje się w punkcie I.

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładami przedstawionymi na filmie.

R1YzVqsHUy9Vq

Polecenie 2

Oblicz współrzędne wektora o początku w punkcie $C = (- 4, - 3)$ i końcu w punkcie $D = (- 6, 4)$ .

$\vec{C D} = [- 6 - (- 4), 4 - (- 3)] = [- 2, 7]$

Równość wektorów w układzie współrzędnych

Podamy teraz i udowodnimy dwa wzajemnie odwrotne twierdzenia.

o wektorach w układzie współrzędnych

Twierdzenie: o wektorach w układzie współrzędnych

Jeżeli wektory w prostokątnym układzie współrzędnych mają równe odpowiednie współrzędne, to są one wektorami równymi.

Dowód

Niech $\vec{u} = [a, b]$ oraz $\vec{v} = [a, b]$ . Skorzystamy z interpretacji współrzędnych wektorów jako przemieszczenia w pionie i w poziomie, które prowadzą od początku do końca wektora. Możemy zauważyć, że w obu przypadkach, aby z początku wektora dotrzeć do jego końca, należy przemieścić się w poziomie o tę samą liczbę jednostek w tę samą stronę; przemieszczenie w pionie również jest takie samo w obu przypadkach. Oznacza to, że oba trójkąty prostokątne widoczne na rysunkach poniżej są przystające (na mocy cechy bkbcecha bkb przystawania trójkątówcechy bkb), zatem wektory zawarte w przeciwprostokątnych są równe.

R1ecGO2CxN283

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Oś pozioma X ma liczby z zakresu od minus 1 do 17, natomiast oś pionowa Y ma liczby z zakresu od minus 1 do osiem. Na układzie współrzędnych znajdują się dwa wektory u→ i v→. Każdy z wektorów rozłożono na dwa wektory: pionowy i poziomy. Wektor u→ = a;b ma punkt zaczepienia w punkcie 8;7, a koniec w punkcie 2;3. Wektor rozłożono na wektor poziomy a;0 oraz wektor pionowy 0;b. Wektor v→ = a;b ma punkt zaczepienia w punkcie 16;5, a koniec w punkcie 10;1. Wektor rozłożono na wektor poziomy a;0 oraz wektor pionowy 0;b.

o równości współrzędnych dwóch wektorów

Twierdzenie: o równości współrzędnych dwóch wektorów

Jeśli wektory w układzie współrzędnych są równe, to mają równe współrzędne.

Dowód

Wektory równe mają ten sam kierunek, zwrot i długość, zatem trójkąty prostokątne zbudowane na tych wektorach jako na przeciwprostokątnych o przyprostokątnych równoległych do osi układu mają równe kąty i przystające przeciwprostokątne. Zatem na mocy cechy KBK są przystające.

R1XVhKIeDwVl3

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Oś pozioma została oznaczona jako X, oś pionowa jako Y. Na osi X znajdują się liczby z zakresu od minus 1 do 17, natomiast na osi Y od minus 1 do osiem. Na układ współrzędnych naniesiono w dwóch punktach wektor o współrzędnych 5;6. Jeden z nich zaczepiono w punkcie 3;1, drugi w 11;1. Każdy z wektorów rozłożono na wektor poziomy x;0 i pionowy 0;y. Powstały dwa identyczne trójkąty prostokątne. W obu trójkątach zaznaczono kąty przy najdłuższym boku: alfa oraz gamma.

Wektory zawarte w przyprostokątnych są wektorami parami równymi w obu trójkątach prostokątnych. Rrasa jaką należy pokonać, aby przemieścić się od początku wektora do końca jest taka sama dla wektorów zawartych w każdej z przeciwprostokątnych. Oznacza to, że wektory zawarte w przeciwprostokątnych mają równe współrzędne.

Powyższe dwa twierdzenia można zapisać jako jedno:

o równości wektorów w układzie współrzędnych

Twierdzenie: o równości wektorów w układzie współrzędnych

Wektory w układzie współrzędnych są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe współrzędne.

Przykład 3

Wyznaczymy wartości parametru $m$ tak, aby wektory o współrzędnych $[m^{2} - 4; m + 3]$ oraz $[5; 2 m + 6]$ były równe.

Zgodnie z kryterium równości wektorów w układzie współrzędnychkryterium równości wektorów w układzie współrzędnych wektory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe współrzędne. Wobec tego, wektory będą równe dokładnie wtedy, gdy spełnione będą równania: $m^{2} - 4 = 5$ i $m + 3 = 2 m + 6$ , czyli wystarczy rozwiązać układ

$\{\begin{cases} m^{2} - 4 = 5 \\ m + 3 = 2 m + 6, \end{cases}$

który jest równoważny z układem

$\{\begin{cases} m^{2} = 9 \\ - 3 = m \end{cases}$ .

Jedyną liczbą spełniającą warunki zadania jest liczba $m = - 3$ .

Przykład 4

Dane są punkty $A = (4; 0)$ , $B = (6; 3)$ , $C = (2; 5)$ . Wyznaczymy wierzchołek $D = (x; y)$ równoległoboku $A B C D$ . Zauważmy, że wektory $\vec{B A} = [4 - 6; 0 - 3] = [- 2; - 3]$ oraz $\vec{C D} = [x - 2; y - 5]$ są równe. Oznacza to, że odpowiednie współrzędne są równe, czyli spełnione są równania: $- 2 = x - 2$ oraz $- 3 = y - 5$ , czyli $x = 0$ i $y = 2$ . Zatem $D = (0, 2)$ .

Polecenie 3

Przeanalizuj poniższą infografikę. Na podstawie informacji w niej zawartych rozwiąż zadania.

R114HTHzHZdG7

Polecenie 4

R8sbR5XrCktdw

Polecenie 5

RZvDP3gbx1AUY

Długość wektora w układzie współrzędnych

Rozważmy wektor $\vec{A B}$ o współrzędnych $x_{2} - x_{1}$ i $y_{2} - y_{1}$ . Wyrazimy teraz długość tego wektora w zależności od tych współrzędnych. Rozważymy trzy przypadki:

Przypadek $I$ : $x_{1} = x_{2}$
RPmemCzhwwi5p
Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y. Na osiach nie są zaznaczone wartości, rysunek zawiera pierwszą ćwiartkę. Na płaszczyźnie przestawione są dwa pionowe wektory o tej samej długości i tym samym zwrocie. Wektor A B ma swój początek w punkcie A o współrzędnych X 1 Y 1 i koniec w punkcie B o współrzędnych X 1 Y 2. Wektor A prim prim B prim prim jest mu równy, przy czym leży na osi Y na tej samej wysokości, co wektor A B. Z punktu A poprowadzona jest pozioma linia przerywana do punktu A prim prim. Analogicznie z punktu B poprowadzona jest pozioma linia przerywana do punktu B prim prim. Narysowany jest także rzut punktu A na oś X.
Wówczas $|\vec{A B}| = |\vec{A " B "}| = |y_{2} - y_{1}|$ .
Przypadek $II$ : $y_{1} = y_{2}$
R1D1z8eo6RDPH
Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y. Na osiach nie są zaznaczone wartości, rysunek zawiera pierwszą i drugą ćwiartkę. Na płaszczyźnie przestawione są dwa poziome wektory o tej samej długości i tym samym zwrocie. Wektor A B ma swój początek w punkcie A o współrzędnych X 1 Y 1 i koniec w punkcie B o współrzędnych X 2 Y 1. Wektor A prim B prim jest mu równy, przy czym leży na osi X. Z punktu A poprowadzona jest pionowa linia przerywana do punktu A prim. Analogicznie z punktu B poprowadzona jest pionowa linia przerywana do punktu B prim.
Wówczas $|\vec{A B}| = |\vec{A' B'}| = |x_{2} - x_{1}|$ .
Przypadek $III$ : $x_{1} \neq x_{2}, y_{1} \neq y_{2}$
R1D1ayJiumKsY
Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y. Na osiach nie są zaznaczone wartości, rysunek zawiera pierwszą i drugą ćwiartkę. Na płaszczyźnie przestawione są trzy wektory. Wektor A B jest ukośny, zaczyna się w drugiej ćwiartce, a jego koniec jest w pierwszej ćwiartce. Jego początek, punkt A ma współrzędne X 1 Y 1, a koniec B X 2 Y 2. Z puntu A narysowany jest rzut na oś X. Rzut ten oznaczony jest jako punkt A prim o współrzędnych X 1 zero i leży on na ujemnej półosi OX. Z pukntu A prim poprowadzony jest wektor A prim B prim, przy czym punkt B prim jest rzutem punktu B na oś X i ma współrzędne X 2 zero. Wektor A prim B prim określa długość wektora AB względem osi X. Wektor A prim B prim jest przesunięty do góry na wysokość Y 1 i narysowany linią przerywaną: jest zaczepiony w punkcie A o współrzędnych X 1 Y 1, natomiast jego koniec jest w punkcie C o współrzędnych X 2 Y 1. Stanowi on podstawę trójkąta prostokątnego o przekątnej będącej wektorem A B. Trzeci narysowany na płaszczyźnie wektor leży na osi Y. Jest to skierowany do góry wektor A prim prim, B prim prim, przy czym A prim prim ma współrzędne zero Y 1, B prim prim natomiast zero Y 2. Wektor ten określa długość wektora A B względem osi Y i jest on przesunięty w prawo i narysowany linią przerywaną z punktu B do punktu C, dając trzeci bok trójkąta prostokątnego.
Wówczas $|\vec{A C}| = |\vec{A' B'}| = |x_{2} - x_{1}|$ i $|\vec{C B}| = |\vec{A " B "}| = |y_{2} - y_{1}|$ .

Z twierdzenia Pitagorasatwierdzenie Pitagorasatwierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta prostokątnego $A B C$ otrzymujemy
$|\vec{A B}| = \sqrt{{|\vec{A C}|}^{2} + {|\vec{C B}|}^{2}} = \sqrt{{|x_{2} - x_{1}|}^{2} + {|y_{2} - y_{1}|}^{2}} = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Oczywiście wzory z przypadków 1. i 2. zawierają się w przypadku 3. Innymi słowy długość wektorów w układzie współrzędnychdługość wektorów w układzie współrzędnych równa jest pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów różnic odpowiednich współrzędnych początku i końca tego wektora. Zauważmy jeszcze, że długość wektora zaczepionego w początku układu współrzędnych jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów współrzędnych jego końca:

RDUVrh3HmvrSn

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y. Na osiach nie są zaznaczone wartości, rysunek zawiera pierwszą ćwiartkę. Na płaszczyźnie przestawiony jest wektor O P o współrzędnych X Y. Wektor zaczepiony jest w początku układu współrzędnych i skierowany jest ukośnie w prawy górny róg ilustracji pod kątem około czterdziestu stopni względem osi X.

$|\vec{O P}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Przykład 5

Obliczymy długość wektora $|\vec{A B}|$ , dla $A = (- 2; 2)$ , $B = (3; - 4)$ . Zgodnie z definicją długość wektora jest równa pierwiastkowi z sumy kwadratów różnic odpowiednich współrzędnych początku i końca wektora:

$|\vec{A B}| = \sqrt{{(3 - (- 2))}^{2} + {(- 4 - 2)}^{2}} = \sqrt{5^{2} + {(- 6)}^{2}} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}$

Zatem długość wektora o początku w punkcie $A = (- 2; 2)$ i końcu w punkcie $B = (3; - 4)$ jest równa $\sqrt{61}$ .

Przykład 6

Wyznaczymy wartości parametru $m$ , dla których długość wektora o początku w punkcie $A = (1; 2)$ i końcu w punkcie $B = (m; 6)$ .

Zgodnie z definicją długość wektora $\vec{A B}$ wyraża się formułą $|\vec{A B}| = \sqrt{{(m - 1)}^{2} + {(6 - 2)}^{2}}$ . Zatem aby wyznaczyć $m$ wystarczy rozwiązać równanie $\sqrt{{(m - 1)}^{2} + {(6 - 2)}^{2}} = 5$ , które jest równoważne kolejno $\sqrt{{(m - 1)}^{2} + 16} = 5$ .

${(m - 1)}^{2} + 16 = 25$

${(m - 1)}^{2} = 9$

$m - 1 = 3$ lub $m - 1 = - 3$

$m = 4$ lub $m = - 2$

Przykład 7

Obliczymy obwód trójkąta o wierzchołkach $A = (- 1; 2)$ , $B = (- 2; 1)$ , $C = (3; 3)$ . W tym celu wyznaczymy najpierw współrzędne wektorów $\vec{A B}$ , $\vec{B C}$ , $\vec{C A}$ :

$\vec{A B} = [- 2 - (- 1); 1] - 2 = [- 1; - 1]$

$\vec{B C} = [3 - (- 2); 3 - 1] = [5; 2]$

$\vec{C A} = [- 1 - 3; 2 - 3] = [- 4; - 1]$

Zatem obwód trójkąta $A B C$ jest równy

$|\vec{A B}| + |\vec{B C}| + |\vec{C A}| = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{2}} + \sqrt{5^{2} + 2^{2}} + \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 1)}^{2}} =$

Polecenie 6

Prześledź wyprowadzenie wzoru na długość wektora w układzie współrzędnych pokazane w poniższej animacji. Na tej podstawie wykonaj poniższe zadanie.

RmVqCDXImAJIe

Polecenie 7

RsFkzFRVGx4vG

Polecenie 8

R1GyxtZ7vjjDm

Ćwiczenie 1

RaOP2y9HOJNFv

Oblicz współrzędne wektora, którego początek jest punkcie $A$ , natomiast koniec w punkcie $B$ . $1 . A = (0, 0), B = (1, - 3), 2 . A = (1, 2), B = (- 1, - 1), 3 . A = (5, 5), B = (0, 0), 4 . A = (3, 0), B = (0, 4) .$

RKjWOA9CHER0l

Ćwiczenie 2

RaOP2y9HOJNFv

Zakładając, że wszystkie podane wektory zaczepione są w początku układu współrzędnych, oceń, w której ćwiartce leżą wektory o końcach w następujących punktach: $1 . B = (- 1, 1), 2 . B = (- 1, - 1), 3 . B = (1, - 1), 4 . B = (1, 1) .$

R1esCcBJqzDxO

Ruc3nm2kJY9sT1

Ćwiczenie 3

RGTo3i04ixYHQ2

Ćwiczenie 4

RwRTZbja6DxXZ2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

R4bVYVaRF48Fs

Mając podane współrzędne wektora oraz jego początku i końca, podaj wartość parametru $m$ . Współrzędne: $\vec{A B} = [2 m - 1; 5], A = (3; - 2), B = (m; 3)$ .

R1V0qpdJi8NUN

Ćwiczenie 7

R1CjWpeQtUAzb

Mając podane współrzędne początku i końca wektora, podaj wartość parametru $m$ . Współrzędne: $\vec{A B} = [m^{2}; m], A = (3; - 2), B = (4; - 3)$ .

RWq39tPQHO9Va

Ćwiczenie 8

RGzrzhvnJjejW

Mając podane współrzędne wektora, jego początku i końca, podaj wartość parametrów $k$ oraz $m$ . Współrzędne: $\vec{A B} = [3 m - 1; 2 k + 5], A = (3; - k), B = (m; 3)$ .

R1UqTUZaRN2Ow

Ćwiczenie 9

R1YBS5FPAp7Yg

W której ćwiartce znajduje się wektor minus dwa minus trzy, zakładając, że jego początek jest w punkcie $(0; 0)$ ?

RpXqfWmbngVUb3

Ćwiczenie 10

Łączenie par. Wskaż poprawne dokończenie zdania.. nawias, minus, cztery, przecinek, minus, pięć zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: Dany jest wektor wektor A B, równa się, nawias kwadratowy, minus, pięć, średnik, osiem, zamknięcie nawiasu kwadratowego i punkt B, równa się, nawias dwa, przecinek, cztery zamknięcie nawiasu. Punkt A ma współrzędne, Dane są wektor wektor A B, równa się, nawias kwadratowy, m, plus, sześć, średnik, minus, m, minus, k, zamknięcie nawiasu kwadratowego oraz punkty A, równa się, nawias m, przecinek, minus, sześć, plus, k zamknięcie nawiasu i B, równa się, nawias trzy k, minus, sześć, przecinek, m zamknięcie nawiasu. Wartości parametrów m i k są równe:. nawias, minus, pięć, przecinek, minus, cztery zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: Dany jest wektor wektor A B, równa się, nawias kwadratowy, minus, pięć, średnik, osiem, zamknięcie nawiasu kwadratowego i punkt B, równa się, nawias dwa, przecinek, cztery zamknięcie nawiasu. Punkt A ma współrzędne, Dane są wektor wektor A B, równa się, nawias kwadratowy, m, plus, sześć, średnik, minus, m, minus, k, zamknięcie nawiasu kwadratowego oraz punkty A, równa się, nawias m, przecinek, minus, sześć, plus, k zamknięcie nawiasu i B, równa się, nawias trzy k, minus, sześć, przecinek, m zamknięcie nawiasu. Wartości parametrów m i k są równe:. nawias osiem, przecinek, trzynaście zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: Dany jest wektor wektor A B, równa się, nawias kwadratowy, minus, pięć, średnik, osiem, zamknięcie nawiasu kwadratowego i punkt B, równa się, nawias dwa, przecinek, cztery zamknięcie nawiasu. Punkt A ma współrzędne, Dane są wektor wektor A B, równa się, nawias kwadratowy, m, plus, sześć, średnik, minus, m, minus, k, zamknięcie nawiasu kwadratowego oraz punkty A, równa się, nawias m, przecinek, minus, sześć, plus, k zamknięcie nawiasu i B, równa się, nawias trzy k, minus, sześć, przecinek, m zamknięcie nawiasu. Wartości parametrów m i k są równe:

RxtKvj32DQHfn1

Ćwiczenie 11

Połącz w pary wektory równe. wektor AB, gdzie A, równa się, nawias jeden, średnik, dwa zamknięcie nawiasu, przecinek, B, równa się, nawias osiem, średnik, dziesięć zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. wektor u, równa się, nawias kwadratowy dwa, średnik, trzy zamknięcie nawiasu kwadratowego, 2. wektor u, równa się, nawias kwadratowy jeden, średnik, jeden zamknięcie nawiasu kwadratowego, 3. wektor u, równa się, nawias kwadratowy siedem, średnik, minus, siedem zamknięcie nawiasu kwadratowego, 4. wektor u, równa się, nawias kwadratowy siedem, średnik, osiem zamknięcie nawiasu kwadratowego wektor AB, gdzie A, równa się, nawias, minus, trzy, średnik, cztery zamknięcie nawiasu, przecinek, B, równa się, nawias cztery, średnik, minus, trzy zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. wektor u, równa się, nawias kwadratowy dwa, średnik, trzy zamknięcie nawiasu kwadratowego, 2. wektor u, równa się, nawias kwadratowy jeden, średnik, jeden zamknięcie nawiasu kwadratowego, 3. wektor u, równa się, nawias kwadratowy siedem, średnik, minus, siedem zamknięcie nawiasu kwadratowego, 4. wektor u, równa się, nawias kwadratowy siedem, średnik, osiem zamknięcie nawiasu kwadratowego wektor AB, gdzie A, równa się, nawias dwa, średnik, minus, pięć zamknięcie nawiasu, przecinek, B, równa się, nawias cztery, średnik, minus, dwa zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. wektor u, równa się, nawias kwadratowy dwa, średnik, trzy zamknięcie nawiasu kwadratowego, 2. wektor u, równa się, nawias kwadratowy jeden, średnik, jeden zamknięcie nawiasu kwadratowego, 3. wektor u, równa się, nawias kwadratowy siedem, średnik, minus, siedem zamknięcie nawiasu kwadratowego, 4. wektor u, równa się, nawias kwadratowy siedem, średnik, osiem zamknięcie nawiasu kwadratowego wektor AB, gdzie A, równa się, nawias, minus, pięć, średnik, minus, trzy zamknięcie nawiasu, przecinek, B, równa się, nawias, minus, cztery, średnik, minus, dwa zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. wektor u, równa się, nawias kwadratowy dwa, średnik, trzy zamknięcie nawiasu kwadratowego, 2. wektor u, równa się, nawias kwadratowy jeden, średnik, jeden zamknięcie nawiasu kwadratowego, 3. wektor u, równa się, nawias kwadratowy siedem, średnik, minus, siedem zamknięcie nawiasu kwadratowego, 4. wektor u, równa się, nawias kwadratowy siedem, średnik, osiem zamknięcie nawiasu kwadratowego

RKpt25AVj222I11

Ćwiczenie 12

R19sQIgKjErkn2

Ćwiczenie 13

R9dcufjXkl2j72

Ćwiczenie 14

RVWpaH0c8R47e2

Ćwiczenie 15

Ćwiczenie 16

Krótszą podstawą trapezu $A B C D$ jest odcinek $A B$ , gdzie $A = (3; 2)$ , $B = (2; - 1)$ . Podstawa $C D$ jest dwa razy dłuższa od $A B$ i ma środek $S = (1; 1)$ . Wyznacz pozostałe wierzchołki trapezu.

Wektor $\vec{B A}$ ma współrzędne $[1; 3]$ . Z treści zadania wynika, że wektory $\vec{S D}$ i $\vec{C S}$ są równe wektorowi $\vec{B A}$ , więc również mają współrzędne $[1; 3]$ . Jeśli $D = (x; y)$ , to $[1; 3] = \vec{B A} = \vec{S D} = [x - 1; y - 1]$ , czyli $1 = x - 1$ i $3 = y - 1$ . Zatem $x = 2, y = 4$ , więc $D = (2; 4)$ .

Niech teraz $C = (u; v)$ . Analogicznie $[1; 3] = \vec{B A} = \vec{C S} = [1 - u; 1 - v]$ , czyli $1 = 1 - u$ oraz $3 = 1 - v$ . Zatem $u = 0$ i $v = - 2$ , więc $C = (0; - 2)$ .

RsDkVlzcVsWqm3

Ćwiczenie 17

Uzupełnij tekst. Przeciągnij i upuść. Dany jest sześciokąt foremny ABCDEF, gdzie B, równa się, nawias jeden, średnik, zero zamknięcie nawiasu i C, równa się, nawias trzy, średnik, zero zamknięcie nawiasu.
Długość boku sześciokąta ABCDEF jest równa 1. nawias zero, średnik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias zero, średnik, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 2. nawias dwa, średnik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias dwa, średnik, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 3. nawias jeden, średnik, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias jeden, średnik, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 4. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. dwa, 6. nawias trzy, średnik, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias trzy, średnik, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 7. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. cztery.
Krótsza przekątna sześciokąta ABCDEF ma długość 1. nawias zero, średnik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias zero, średnik, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 2. nawias dwa, średnik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias dwa, średnik, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 3. nawias jeden, średnik, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias jeden, średnik, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 4. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. dwa, 6. nawias trzy, średnik, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias trzy, średnik, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 7. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. cztery.
Dłuższa przekątna sześciokąta ABCDEF ma długość 1. nawias zero, średnik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias zero, średnik, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 2. nawias dwa, średnik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias dwa, średnik, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 3. nawias jeden, średnik, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias jeden, średnik, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 4. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. dwa, 6. nawias trzy, średnik, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias trzy, średnik, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 7. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. cztery.
Promień okręgu wpisanego w sześciokąt ABCDEF ma długość 1. nawias zero, średnik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias zero, średnik, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 2. nawias dwa, średnik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias dwa, średnik, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 3. nawias jeden, średnik, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias jeden, średnik, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 4. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. dwa, 6. nawias trzy, średnik, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias trzy, średnik, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 7. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. cztery.
Współrzędne punktu A mogą być równe: 1. nawias zero, średnik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias zero, średnik, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 2. nawias dwa, średnik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias dwa, średnik, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 3. nawias jeden, średnik, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias jeden, średnik, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 4. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. dwa, 6. nawias trzy, średnik, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias trzy, średnik, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 7. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. cztery.
Współrzędne punktu D mogą być równe: 1. nawias zero, średnik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias zero, średnik, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 2. nawias dwa, średnik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias dwa, średnik, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 3. nawias jeden, średnik, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias jeden, średnik, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 4. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. dwa, 6. nawias trzy, średnik, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias trzy, średnik, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 7. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. cztery.
Współrzędne punktu E mogą być równe: 1. nawias zero, średnik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias zero, średnik, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 2. nawias dwa, średnik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias dwa, średnik, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 3. nawias jeden, średnik, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias jeden, średnik, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 4. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. dwa, 6. nawias trzy, średnik, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias trzy, średnik, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 7. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. cztery.
Współrzędne punktu F mogą być równe: 1. nawias zero, średnik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias zero, średnik, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 2. nawias dwa, średnik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias dwa, średnik, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 3. nawias jeden, średnik, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias jeden, średnik, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 4. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. dwa, 6. nawias trzy, średnik, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu lub nawias trzy, średnik, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, 7. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. cztery.

RmSxSwNr8iTxA3

Ćwiczenie 18

Dane są punkty A, B, C. Wyznacz punkt D tak, aby czworokąt ABCD był kwadratem. Połącz w pary. A, równa się, nawias jeden, średnik, sześć zamknięcie nawiasu, przecinek, B, równa się, nawias trzy, średnik, dwa zamknięcie nawiasu, przecinek, C, równa się, nawias siedem, średnik, cztery zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. D, równa się, nawias cztery, średnik, dziewięć zamknięcie nawiasu, 2. D, równa się, nawias sześć, średnik, siedem zamknięcie nawiasu, 3. D, równa się, nawias pięć, średnik, osiem zamknięcie nawiasu, 4. D, równa się, nawias cztery, średnik, osiem zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias jeden, średnik, sześć zamknięcie nawiasu, przecinek, B, równa się, nawias cztery, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, przecinek, C, równa się, nawias siedem, średnik, sześć zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. D, równa się, nawias cztery, średnik, dziewięć zamknięcie nawiasu, 2. D, równa się, nawias sześć, średnik, siedem zamknięcie nawiasu, 3. D, równa się, nawias pięć, średnik, osiem zamknięcie nawiasu, 4. D, równa się, nawias cztery, średnik, osiem zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias dwa, średnik, siedem zamknięcie nawiasu, przecinek, B, równa się, nawias dwa, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, przecinek, C, równa się, nawias siedem, średnik, cztery zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. D, równa się, nawias cztery, średnik, dziewięć zamknięcie nawiasu, 2. D, równa się, nawias sześć, średnik, siedem zamknięcie nawiasu, 3. D, równa się, nawias pięć, średnik, osiem zamknięcie nawiasu, 4. D, równa się, nawias cztery, średnik, osiem zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias dwa, średnik, cztery zamknięcie nawiasu, przecinek, B, równa się, nawias sześć, średnik, dwa zamknięcie nawiasu, przecinek, C, równa się, nawias osiem, średnik, sześć zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. D, równa się, nawias cztery, średnik, dziewięć zamknięcie nawiasu, 2. D, równa się, nawias sześć, średnik, siedem zamknięcie nawiasu, 3. D, równa się, nawias pięć, średnik, osiem zamknięcie nawiasu, 4. D, równa się, nawias cztery, średnik, osiem zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 19

R1bqlafKpg0eh

Ćwiczenie 20

R7CarOpJV8hga

Ćwiczenie 21

RO4p14YOQ5Upb

RnE7V3qbHP53s2

Ćwiczenie 22

RfNBY46fChf4V2

Ćwiczenie 23

Ćwiczenie 24

R1E1Odi98icjJ1

Ćwiczenie 25

R1OFnAAtlbn0E3

R1G5VhngPJhoS

Przyporządkuj odpowiednie długości do wektorów, mając podane współrzędne punktów początku A i końca B każdego wektora. Możliwe długości: pierwiastek kwadratowy z trzynastu, pierwiastek kwadratowy z dziesięciu, dwa pierwiastki kwadratowe z dwóch, pierwiastek kwadratowy z pięciu. Wektor pierwszy: $A = (1; - 1), B = (2; 2)$ . Wektor drugi: $A = (1; - 1), B = (- 1; 1)$ . Wektor trzeci: $A = (1; - 1), B = (0; - 3)$ . Wektor czwarty: $A = (1; 0), B = (- 2; - 2)$ .

Ćwiczenie 26

Dane są dwa wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ takie, że $\vec{u} = [3 p + 1; 2]$ i $\vec{v} = [4; - 2 p]$ . Wyznacz wartość parametru $p$ tak, aby oba wektory były równej długości.

Długość wektora $\vec{u}$ jest równa

$\sqrt{{(3 p + 1)}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9 p^{2} + 6 p + 5}$ ,

zaś długość wektora $\vec{v}$ jest równa

$\sqrt{4^{2} + {(- 2 p)}^{2}} = \sqrt{16 + 4 p^{2}}$ .

Wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ są równej długości dokładnie wtedy, gdy spełnione jest równanie

$\sqrt{9 p^{2} + 6 p + 5} = \sqrt{16 + 4 p^{2}}$ ,

które jest równoważne równaniu:

$9 p^{2} + 6 p + 5 = 16 + 4 p^{2}$ ,

$5 p^{2} + 6 p - 11 = 0$ ,

$∆ = 256$ ,

$\sqrt{∆} = 16$ ,

$p_{1} = \frac{- 6 + 16}{10} = 1$ i $p_{2} = \frac{- 6 - 16}{10} = - 2, 2$ .

Wektory mają równe długości dla $p \in \{1; - 2, 2\}$ .

Słownik

współrzędne wektora w układzie współrzędnych

liczby równe różnicom współrzędnych końca i początku wektora; dla punktów $A = (x_{A}, y_{A})$ , $B = (x_{B}, y_{B})$ współrzędne wektora $\vec{A B}$ są równe $[x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}]$

przemieszczenie

wektor o początku w punkcie będącym położeniem początkowym ciała i końcu w punkcie będącym położeniem końcowym

ruch prostoliniowy, ruch krzywoliniowy

jeżeli wektor przemieszczenia ma tę samą długość co tor ruchu, to taki ruch nazywamy ruchem prostoliniowym; jeśli długość toru ruchu jest większa niż długość wektora przemieszczenia, mówimy o ruchu krzywoliniowym

kryterium równości wektorów w układzie współrzędnych

twierdzenie orzekające, że wektory w prostokątnym układzie współrzędnych są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe odpowiednie współrzędne

cecha bkb przystawania trójkątów

twierdzenie orzekające, że dwa trójkąty są przystające dokładnie wtedy, gdy dwa boki jednego trójkąta są przystające odpowiednio do dwóch boków drugiego trójkąta oraz kąty między tymi bokami w obu trójkątach również są przystające

długość wektora w układzie współrzędnych

można ją obliczyć znając współrzędne początku i końca wektora: jest równa pierwiastkowi z sumy kwadratów różnic odpowiednich współrzędnych początku i końca wektora

twierdzenie Pitagorasa

w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej

2. Działania na wektorach

4. Działania na wektorach w układzie współrzędnych