1. Wyrażenia wymierne. Skracanie wyrażeń wymiernych

R1RRC5BQJFR8U

Korzystając z liczb całkowitych tworzymy liczby wymierne - czyli ułamki zwykłe, których licznik i mianownik to liczby całkowite, przy czym mianownik nie może być zerem. Takie ułamki możemy rozszerzać i skracać, mamy też określone dla nich podstawowe działania - dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie.

Postępując analogicznie z wielomianami jednej zmiennej uzyskamy ułamki algebraiczne, w których liczniku i mianowniku mamy wielomiany - takie ułamki nazwiemy wyrażeniami wymiernymi. Każde wyrażenie wymierne określa odpowiednią funkcję wymierną.

Twoje cele

Podasz definicję wyrażenia wymiernego
Obliczysz wartość wyrażenia wymiernego
Określisz dziedzinę wyrażenia wymiernego
Sprawdzisz, kiedy wyrażenia wymierne są równe.

Rozważmy ilorazy wyrażeń algebraicznych zapisanych z wykorzystaniem kreski ułamkowej, czyli tzw. ułamki algebraiczne. Czy zawsze możemy obliczyć ich wartość? Czy możemy je skrócić?

RbYoaAj7Eo2Gn

początek ułamka, cztery p indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, q, mianownik, pięć p indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, q indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Zauważmy, że ułamek ten jest określony (tzn. można obliczyć jego wartość), gdy mianownik jest różny od zero.
Określmy zatem dziedzinę tego wyrażenia:
pięć p indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, q indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, nie równa się, zero wtedy i tylko wtedy, gdy p, nie równa się, zero oraz q, nie równa się, zero.
Czyli ułamek jest określony, gdy p, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego i q, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego.
Zauważmy, że ułamek można skrócić (analogicznie do skracania ułamków zwykłych):
początek ułamka, cztery p indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, q, mianownik, pięć p indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, q indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć p q indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka; p, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego i q, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego.

, początek ułamka, trzydzieści dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Ułamek ten jest określony, gdy x, nie równa się, zero, y, nie równa się, zero, zet, nie równa się, zero.
Można go skrócić przez osiem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego:
początek ułamka, trzydzieści dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka.
Pamiętajmy jednak, że skrócenie nie powoduje zmiany założeń - powyższe wyrażenia algebraiczne są równe tylko gdy x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, y, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, zet, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego.

, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a b, mianownik, a b, minus, dwa a, koniec ułamka

Zapiszmy licznik i mianownik ułamka w postaci iloczynu:
początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a b, mianownik, a b, minus, dwa a, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a nawias, a, plus, trzy b, zamknięcie nawiasu, mianownik, a nawias, b, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka.
Ułamek jest określony gdy a, nie równa się, zero i b, nie równa się, dwa.
Można go skrócić przez a:
początek ułamka, a nawias, a, plus, trzy b, zamknięcie nawiasu, mianownik, a nawias, b, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a, plus, trzy b, mianownik, b, minus, dwa, koniec ułamka
pamiętając o początkowych założeniach: a, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, b, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego.

, początek ułamka, x, plus, y, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x y, plus, dwa y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Zauważmy, że
początek ułamka, x, plus, y, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x y, plus, dwa y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, x, plus, y, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x y, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, x, plus, y, mianownik, nawias, x, plus, y, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka.
Mianownik został zapisany jako suma kwadratów, może więc przyjąć wartość zero tylko, gdy jednocześnie x, równa się, zero oraz y, równa się, zero.
Ułamek zatem jest określony, jeżeli przynajmniej jedna z liczb x, y jest różna od zero.
Taki warunek można zapisać na kilka sposobów, na przykład:
- możemy powiedzieć, że x, nie równa się, zero lub y, nie równa się, zero,
- możemy ten warunek przedstawić w formie x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nie równa się, zero.

, początek ułamka, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, n, minus, n, mianownik, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa m, plus, jeden, koniec ułamka

Przekształćmy ułamek wyłączając wspólny czynnik przed nawias i stosując wzory skróconego mnożenia:
początek ułamka, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, n, minus, n, mianownik, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa m, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, n nawias, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, n nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, m, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka.
Ułamek jest określony gdy m, nie równa się, minus, jeden i można go skrócić przez m, plus, jeden:
początek ułamka, n nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, m, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, n nawias, m, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, m, plus, jeden, koniec ułamka.

Zauważmy, że ułamek ten jest określony (tzn. można obliczyć jego wartość), gdy mianownik jest różny od zero.
Określmy zatem dziedzinę tego wyrażenia:
pięć p indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, q indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, nie równa się, zero wtedy i tylko wtedy, gdy p, nie równa się, zero oraz q, nie równa się, zero.
Czyli ułamek jest określony, gdy p, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego i q, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego.
Zauważmy, że ułamek można skrócić (analogicznie do skracania ułamków zwykłych):
początek ułamka, cztery p indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, q, mianownik, pięć p indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, q indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć p q indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka; p, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego i q, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego.

Ułamek ten jest określony, gdy x, nie równa się, zero, y, nie równa się, zero, zet, nie równa się, zero.
Można go skrócić przez osiem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego:
początek ułamka, trzydzieści dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka.
Pamiętajmy jednak, że skrócenie nie powoduje zmiany założeń - powyższe wyrażenia algebraiczne są równe tylko gdy x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, y, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, zet, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego.

, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a b, mianownik, a b, minus, dwa a, koniec ułamka

Zapiszmy licznik i mianownik ułamka w postaci iloczynu:
początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a b, mianownik, a b, minus, dwa a, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a nawias, a, plus, trzy b, zamknięcie nawiasu, mianownik, a nawias, b, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka.
Ułamek jest określony gdy a, nie równa się, zero i b, nie równa się, dwa.
Można go skrócić przez a:
początek ułamka, a nawias, a, plus, trzy b, zamknięcie nawiasu, mianownik, a nawias, b, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a, plus, trzy b, mianownik, b, minus, dwa, koniec ułamka
pamiętając o początkowych założeniach: a, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, b, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego.

, początek ułamka, x, plus, y, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x y, plus, dwa y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Zauważmy, że
początek ułamka, x, plus, y, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x y, plus, dwa y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, x, plus, y, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x y, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, x, plus, y, mianownik, nawias, x, plus, y, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka.
Mianownik został zapisany jako suma kwadratów, może więc przyjąć wartość zero tylko, gdy jednocześnie x, równa się, zero oraz y, równa się, zero.
Ułamek zatem jest określony, jeżeli przynajmniej jedna z liczb x, y jest różna od zero.
Taki warunek można zapisać na kilka sposobów, na przykład:
- możemy powiedzieć, że x, nie równa się, zero lub y, nie równa się, zero,
- możemy ten warunek przedstawić w formie x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nie równa się, zero.

, początek ułamka, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, n, minus, n, mianownik, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa m, plus, jeden, koniec ułamka

Przekształćmy ułamek wyłączając wspólny czynnik przed nawias i stosując wzory skróconego mnożenia:
początek ułamka, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, n, minus, n, mianownik, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa m, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, n nawias, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, n nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, m, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka.
Ułamek jest określony gdy m, nie równa się, minus, jeden i można go skrócić przez m, plus, jeden:
początek ułamka, n nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, m, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, n nawias, m, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, m, plus, jeden, koniec ułamka.

Przykład 1

Obliczymy wartości wyrażeń algebraicznych dla $a = - 3$ , $b = 2$ , $c = - 1$ .

RTR2HffN3Bpq6

początek ułamka, pięć a, plus, siedem, mianownik, trzy b, plus, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

początek ułamka, pięć a, plus, siedem, mianownik, trzy b, plus, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, minus, piętnaście, plus, siedem, mianownik, sześć, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, minus, początek ułamka, osiem, mianownik, siedem, koniec ułamka

, początek ułamka, a indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego, b indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, c indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Możemy najpierw uprościć ułamek (podane wartości a, b, c należą do dziedziny podanego wyrażenia).
początek ułamka, a indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego, b indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, c indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego, b indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, c indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, czternaście, koniec indeksu górnego, b indeks górny, czternaście, koniec indeksu górnego, c indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, c indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, mianownik, b, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, minus, dwadzieścia siedem, razy, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwadzieścia siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka

, początek ułamka, a, plus, b, plus, c, mianownik, a, plus, b, minus, c, koniec ułamka

Zauważmy, że a, plus, b, minus, c, równa się, minus, trzy, plus, dwa, plus, jeden, równa się, zero.
Zatem ułamek początek ułamka, a, plus, b, plus, c, mianownik, a, plus, b, minus, c, koniec ułamka nie jest określony dla podanych wartości a, b, c.

, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a b, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć a c, koniec ułamka

Sprowadźmy licznik i mianownik do postaci iloczynu:
początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a b, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć a c, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a nawias, a, plus, trzy b, zamknięcie nawiasu, mianownik, a nawias, a, plus, pięć c, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka.
Widzimy, że dla podanych wartości a, b, c ułamek jest określony (mianownik jest różny od zera) i można go skrócić przez a.
początek ułamka, a nawias, a, plus, trzy b, zamknięcie nawiasu, mianownik, a nawias, a, plus, pięć c, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a, plus, trzy b, mianownik, a, plus, pięć c, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, minus, trzy, plus, sześć, mianownik, minus, trzy, minus, pięć, koniec ułamka, równa się, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka

, początek ułamka, a b, plus, trzy b, mianownik, a c, plus, trzy c, koniec ułamka

Można spróbować skrócić ułamek:
początek ułamka, a b, plus, trzy b, mianownik, a c, plus, trzy c, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, b nawias, a, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, mianownik, c nawias, a, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, b, mianownik, c, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, minus, jeden, koniec ułamka, równa się, minus, dwa.
Ważne jest jednak zawsze sprawdzenie, czy dany ułamek dla określonych wartości zmiennych istnieje. W naszym przypadku wyrażenie c nawias, a, plus, trzy, zamknięcie nawiasu dla a, równa się, minus, trzy przyjmuje wartość zero, więc dla podanych wartości zmiennych ułamek początek ułamka, a b, plus, trzy b, mianownik, a c, plus, trzy c, koniec ułamka nie ma określonej wartości.

początek ułamka, pięć a, plus, siedem, mianownik, trzy b, plus, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

początek ułamka, pięć a, plus, siedem, mianownik, trzy b, plus, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, minus, piętnaście, plus, siedem, mianownik, sześć, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, minus, początek ułamka, osiem, mianownik, siedem, koniec ułamka

Możemy najpierw uprościć ułamek (podane wartości a, b, c należą do dziedziny podanego wyrażenia).
początek ułamka, a indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego, b indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, c indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego, b indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, c indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, czternaście, koniec indeksu górnego, b indeks górny, czternaście, koniec indeksu górnego, c indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, c indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, mianownik, b, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, minus, dwadzieścia siedem, razy, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwadzieścia siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka

, początek ułamka, a, plus, b, plus, c, mianownik, a, plus, b, minus, c, koniec ułamka

Zauważmy, że a, plus, b, minus, c, równa się, minus, trzy, plus, dwa, plus, jeden, równa się, zero.
Zatem ułamek początek ułamka, a, plus, b, plus, c, mianownik, a, plus, b, minus, c, koniec ułamka nie jest określony dla podanych wartości a, b, c.

, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a b, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć a c, koniec ułamka

Sprowadźmy licznik i mianownik do postaci iloczynu:
początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a b, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć a c, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a nawias, a, plus, trzy b, zamknięcie nawiasu, mianownik, a nawias, a, plus, pięć c, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka.
Widzimy, że dla podanych wartości a, b, c ułamek jest określony (mianownik jest różny od zera) i można go skrócić przez a.
początek ułamka, a nawias, a, plus, trzy b, zamknięcie nawiasu, mianownik, a nawias, a, plus, pięć c, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a, plus, trzy b, mianownik, a, plus, pięć c, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, minus, trzy, plus, sześć, mianownik, minus, trzy, minus, pięć, koniec ułamka, równa się, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka

, początek ułamka, a b, plus, trzy b, mianownik, a c, plus, trzy c, koniec ułamka

Można spróbować skrócić ułamek:
początek ułamka, a b, plus, trzy b, mianownik, a c, plus, trzy c, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, b nawias, a, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, mianownik, c nawias, a, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, b, mianownik, c, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, minus, jeden, koniec ułamka, równa się, minus, dwa.
Ważne jest jednak zawsze sprawdzenie, czy dany ułamek dla określonych wartości zmiennych istnieje. W naszym przypadku wyrażenie c nawias, a, plus, trzy, zamknięcie nawiasu dla a, równa się, minus, trzy przyjmuje wartość zero, więc dla podanych wartości zmiennych ułamek początek ułamka, a b, plus, trzy b, mianownik, a c, plus, trzy c, koniec ułamka nie ma określonej wartości.

Przykład 2

Skrócimy ułamki, podając potrzebne założenia.

RblMoiuJpoOup

początek ułamka, czterdzieści dwa x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, mianownik, osiemnaście x indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Zauważmy, że ułamek można skrócić przez sześć x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego:
początek ułamka, czterdzieści dwa x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, mianownik, osiemnaście x indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, siedem, mianownik, trzy x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, przecinek
przy czym x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, zero, zamknięcie nawiasu, .

, początek ułamka, dwadzieścia pięć a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, b indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, mianownik, czterdzieści pięć a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, b, koniec ułamka

Ten ułamek możemy skrócić przez pięć a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, b:
początek ułamka, dwadzieścia pięć a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, b indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, mianownik, czterdzieści pięć a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, b, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, pięć b indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, dziewięć a, koniec ułamka, przecinek
przy czym a, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, b, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, zero, zamknięcie nawiasu, .

, początek ułamka, x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, y indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Po skróceniu przez x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, uzyskamy
początek ułamka, x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, y indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, mianownik, zet indeks górny, dziewiętnaście, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, przecinek
przy czym x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, y, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, zet, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, zero, zamknięcie nawiasu, .

początek ułamka, czterdzieści dwa x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, mianownik, osiemnaście x indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Zauważmy, że ułamek można skrócić przez sześć x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego:
początek ułamka, czterdzieści dwa x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, mianownik, osiemnaście x indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, siedem, mianownik, trzy x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, przecinek
przy czym x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, zero, zamknięcie nawiasu, .

Ten ułamek możemy skrócić przez pięć a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, b:
początek ułamka, dwadzieścia pięć a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, b indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, mianownik, czterdzieści pięć a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, b, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, pięć b indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, dziewięć a, koniec ułamka, przecinek
przy czym a, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, b, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, zero, zamknięcie nawiasu, .

Po skróceniu przez x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, uzyskamy
początek ułamka, x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, y indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, mianownik, zet indeks górny, dziewiętnaście, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, przecinek
przy czym x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, y, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, zet, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, zero, zamknięcie nawiasu, .

Sformalizujmy pojęcie ułamka algebraicznego.

wyrażenie wymierne

Definicja: wyrażenie wymierne

Wyrażeniem wymiernym zmiennej rzeczywistej $x$ nazywamy wyrażenie algebraiczne postaci $\frac{P (x)}{Q (x)}$ , w którym $P (x)$ i $Q (x)$ są wielomianami zmiennej $x$ , przy czym $Q (x)$ nie jest wielomianem zerowymwielomian zerowywielomianem zerowym.

Dziedziną wyrażenia wymiernego $\frac{P (x)}{Q (x)}$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem pierwiastków wielomianupierwiastek wielomianupierwiastków wielomianu $Q (x)$ .

Przykład 3

Wyznaczymy dziedzinę wyrażeń:

RNTNPDZS56KFQ

początek ułamka, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa, mianownik, pięć x, plus, jedenaście, koniec ułamka

Do dziedziny należą wszystkie liczby rzeczywiste prócz rozwiązań równania
pięć x, plus, jedenaście, równa się, zero.
Rozwiązaniem równania jest x, równa się, minus, początek ułamka, jedenaście, mianownik, pięć, koniec ułamka.
Zatem x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, minus, początek ułamka, jedenaście, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu.

, początek ułamka, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście, koniec ułamka

Rozwiązujemy równanie x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście, równa się, zero
nawias, x, minus, pierwiastek kwadratowy z trzynaście koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, pierwiastek kwadratowy z trzynaście koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, równa się, zero
x, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzynaście koniec pierwiastka lub x, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z trzynaście koniec pierwiastka.
Zatem x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z trzynaście koniec pierwiastka, średnik, pierwiastek kwadratowy z trzynaście koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu.

, początek ułamka, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, cztery, koniec ułamka

Rozwiązujemy równanie x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, cztery, równa się, zero
DELTA, równa się, dziewięć, minus, szesnaście, mniejszy niż, zero, więc równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Zatem x, należy do, liczby rzeczywiste.

, początek ułamka, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, trzydzieści, koniec ułamka

Rozwiązujemy równanie kwadratowe x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, trzydzieści, równa się, zero
Ma ono dwa rozwiązania: x, równa się, minus, pięć lub x, równa się, sześć.
Zatem x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, minus, pięć, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu.

Przykład 4

Wyznaczmy dziedzinę wyrażeniadziedzinę wyrażenia $\frac{1}{x^{4} - 9}$ .

Szukamy rozwiązań równania $x^{4} - 9 = 0$ .
Używając wzorów skróconego mnożenia (różnica kwadratów) możemy zapisać
$(x^{2} - 3) (x^{2} + 3) = 0$
$(x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) (x^{2} + 3) = 0$
Zatem rozwiązaniami rzeczywistymi są $x = - \sqrt{3}$ , $x = \sqrt{3}$ .
Dziedzina wyrażenia to zatem zbiór $ℝ ∖ \{- \sqrt{3}; \sqrt{3}\}$ .

Przykład 5

Skrócimy wyrażenia wymierne, podając potrzebne założenia.

R10DyPt3FDjij

początek ułamka, nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, siedem, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka

Ułamek możemy skrócić przez nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu:
początek ułamka, nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, siedem, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, x, minus, cztery, mianownik, x, minus, siedem, koniec ułamka,
przy czym x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, minus, dwa, średnik, siedem, zamknięcie nawiasu.

, początek ułamka, nawias, dwa x, minus, jeden indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, x, minus, dwa indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, minus, dwa x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka

Zauważmy, że początek ułamka, nawias, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, nawias, jeden, minus, dwa x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, nawias, dwa x, minus, jeden indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, mianownik, minus, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, nawias, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka.
Ułamek możemy więc skrócić przez nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu:
początek ułamka, nawias, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, mianownik, minus, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, nawias, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa x, minus, jeden, mianownik, minus, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa x, minus, jeden, mianownik, minus, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, minus, dwa x, mianownik, nawias, dwa, minus, x, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka,

x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu., początek ułamka, nawias, dwa x, plus, sześć, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, cztery x, minus, osiem, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, trzy x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Po wyłączeniu wspólnych czynników z nawiasów w liczniku i mianowniku, uzyskamy
początek ułamka, nawias, dwa x, plus, sześć, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, cztery x, minus, osiem, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, trzy x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, cztery nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, trzy nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się
równa się, początek ułamka, dwa nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, szesnaście nawias, x, minus, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, trzy nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, szesnaście nawias, x, minus, dwa indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka.
Skracając ułamek przez szesnaście nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mamy
początek ułamka, dwa nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, szesnaście nawias, x, minus, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, trzy nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, szesnaście nawias, x, minus, dwa indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka,
przy założeniu, że x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, minus, trzy, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu.
Dodajmy, że wyrażenie nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu dla żadnej liczby rzeczywistej nie przyjmuje wartości zero.

Ułamek możemy skrócić przez nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu:
początek ułamka, nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, siedem, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, x, minus, cztery, mianownik, x, minus, siedem, koniec ułamka,
przy czym x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, minus, dwa, średnik, siedem, zamknięcie nawiasu.

Zauważmy, że początek ułamka, nawias, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, nawias, jeden, minus, dwa x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, nawias, dwa x, minus, jeden indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, mianownik, minus, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, nawias, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka.
Ułamek możemy więc skrócić przez nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu:
początek ułamka, nawias, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, mianownik, minus, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, nawias, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa x, minus, jeden, mianownik, minus, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa x, minus, jeden, mianownik, minus, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, minus, dwa x, mianownik, nawias, dwa, minus, x, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka,

Po wyłączeniu wspólnych czynników z nawiasów w liczniku i mianowniku, uzyskamy
początek ułamka, nawias, dwa x, plus, sześć, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, cztery x, minus, osiem, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, trzy x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, cztery nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, trzy nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się
równa się, początek ułamka, dwa nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, szesnaście nawias, x, minus, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, trzy nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, szesnaście nawias, x, minus, dwa indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka.
Skracając ułamek przez szesnaście nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mamy
początek ułamka, dwa nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, szesnaście nawias, x, minus, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, trzy nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, szesnaście nawias, x, minus, dwa indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka,
przy założeniu, że x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, minus, trzy, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu.
Dodajmy, że wyrażenie nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu dla żadnej liczby rzeczywistej nie przyjmuje wartości zero.

równość wyrażeń wymiernych

Definicja: równość wyrażeń wymiernych

Wyrażenia wymiernewyrażenie wymierneWyrażenia wymierne są równe, gdy mają tą samą dziedzinę i dla każdego argumentu z dziedziny przyjmują odpowiednio te same wartości.

Przykład 6

Porównajmy wyrażenia wymiernerówność wyrażeń wymiernychPorównajmy wyrażenia wymierne $\frac{2 x}{3 x^{2}}$ , $\frac{2}{3 x}$ i $\frac{2 x + 6}{3 x^{2} + 9 x}$ .

Na początek określmy dziedzinę wyrażenia $\frac{2 x}{3 x^{2}}$ :
ze względu na mianownik $x \in ℝ ∖ \{0\}$ .
Ułamek możemy skrócić przez $x$ :
Zatem $\frac{2 x}{3 x^{2}} = \frac{2}{3 x}$ ; $x \in ℝ ∖ {0}$ .
Drugie wyrażenie to ułamek nieskracalny, po określeniu dziedziny możemy zapisać
$\frac{2}{3 x}$ ; $x \in ℝ ∖ \{0\}$ .
Określmy dziedzinę wyrażenia $\frac{2 x + 6}{3 x^{2} + 9 x}$ rozwiązując równanie
$3 x^{2} + 9 x = 0$
$3 x (x + 3) = 0$
$x = 0$ lub $x = - 3$ - te liczby nie należą do dziedziny wyrażenia.
Zauważmy, że ułamek można skrócić przez $x + 3$ .
Zatem
$\frac{2 x + 6}{3 x^{2} + 9 x} = \frac{2 (x + 3)}{3 x (x + 3)} = \frac{2}{3 x}$ ; $x \in ℝ ∖ \{- 3; 0\}$ .
Podsumowując: wszystkie trzy wyrażenia da się sprowadzić do postaci $\frac{2}{3 x}$ , trzecie z nich ma jednak inną dziedzinę, niż dwa poprzednie.
Możemy powiedzieć, że wyrażenia $\frac{2 x}{3 x^{2}}$ i $\frac{2}{3 x}$ są równe.
Możemy też stwierdzić, że wyrażenia $\frac{2 x}{3 x^{2}}$ , $\frac{2}{3 x}$ i $\frac{2 x + 6}{3 x^{2} + 9 x}$ są równe dla $x \in ℝ ∖ \{- 3; 0\}$ .

Przykład 7

Wykażemy, że wyrażenia $\frac{x - 4}{x + 4}$ oraz $\frac{x^{2} - 16}{x^{2} + 8 x + 16}$ są równe.

Wyrażenie $\frac{x - 4}{x + 4}$ jest nieskracalne, jego dziedzina to $ℝ ∖ \{- 4\}$ .
Zapiszmy drugie wyrażenie używając wzorów skróconego mnożenia:
$\frac{x^{2} - 16}{x^{2} + 8 x + 16} = \frac{(x - 4) (x + 4)}{{(x + 4)}^{2}}$ .
Wyrażenie z mianownika przyjmuje wartość $0$ tylko dla $x = - 4$ , po skróceniu przez $x + 4$ mamy
$\frac{x^{2} - 16}{x^{2} + 8 x + 16} = \frac{(x - 4) (x + 4)}{{(x + 4)}^{2}} = \frac{x - 4}{x + 4}$ ; $x \in ℝ ∖ \{- 4\}$ .
Oba wyrażenia można zatem sprowadzić do postaci $\frac{x - 4}{x + 4}$ oraz oba wyrażenia mają taką samą dziedzinę $ℝ ∖ \{- 4\}$ , są więc równe.

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z przedstawionymi w animacji przykładami wyznaczania dziedziny i skracania wyrażenia wymiernego.

RS1BL27UOOKSU

Polecenie 1

Zapoznaj się z przedstawionymi w animacji przykładami skracania wyrażeń wymiernych.

Zwróć uwagę na konieczność podania założeń.

RVG21EMPOM27A

Polecenie 2

Skróć ułamek $\frac{10 x^{4} y^{2} - 20 x^{3} y^{2}}{30 x y^{3} - 15 x^{2} y^{3}}$ .

Zapiszmy licznik i mianownik w postaci iloczynu

$\frac{10 x^{4} y^{2} - 20 x^{3} y^{2}}{30 x y^{3} - 15 x^{2} y^{3}} = \frac{10 x^{3} y^{2} (x - 2)}{15 x y^{3} (2 - x)} = \frac{10 x^{3} y^{2} (x - 2)}{- 15 x y^{3} (x - 2)}$ .

$\frac{10 x^{4} y^{2} - 20 x^{3} y^{2}}{30 x y^{3} - 15 x^{2} y^{3}} = - \frac{2 x^{2}}{3 y}$

Założenia $\{\begin{array}{lc} x \in ℝ ∖ \{0; 2\} \\ y \in ℝ ∖ \{0\} \end{array}$ .

Polecenie 3

Skróć wyrażenie wymierne $\frac{2 x^{2} + x - 6}{4 x^{2} - 16 x + 15}$ .

Sprowadźmy wielomiany w liczniku i mianowniku do postaci iloczynowej

$\frac{2 x^{2} + x - 6}{4 x^{2} - 16 x + 15} = \frac{(2 x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (2 x - 5)}$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 6}{4 x^{2} - 16 x + 15} = \frac{(2 x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (2 x - 5)} = \frac{x + 2}{2 x - 5}$

Założenia $x \in ℝ ∖ \{\frac{3}{2}; \frac{5}{2}\}$ .

Polecenie 4

Wyznacz dziedzinę wyrażeń wymiernych. Uprość wyrażenia, jeśli to możliwe.

$\frac{x^{2} - 6 x}{2 x^{2} - 3 x}$
$\frac{x^{2} + x + 1}{x^{3} - 1}$
$\frac{2 x^{2} - 11 x + 5}{2 x^{2} + 5 x - 3}$

Pomocne będzie zapisanie licznika i mianownika w postaci iloczynu:

$\frac{x^{2} - 6 x}{2 x^{2} - 3 x} = \frac{x (x - 6)}{x (2 x - 3)}$
$\frac{x^{2} + x + 1}{x^{3} - 1} = \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$
$\frac{2 x^{2} - 11 x + 5}{2 x^{2} + 5 x - 3} = \frac{(2 x - 1) (x - 5)}{(x + 3) (2 x - 1)}$

$\frac{x^{2} - 6 x}{2 x^{2} - 3 x} = \frac{x (x - 6)}{x (2 x - 3)} = \frac{x - 6}{2 x - 3}$ ;
$x \in ℝ ∖ \{0; \frac{3}{2}\}$
$\frac{x^{2} + x + 1}{x^{3} - 1} = \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{1}{x - 1}$ ;
$x \in ℝ ∖ \{1\}$
$\frac{2 x^{2} - 11 x + 5}{2 x^{2} + 5 x - 3} = \frac{(2 x - 1) (x - 5)}{(x + 3) (2 x - 1)} = \frac{x - 5}{x + 3}$ ;
$x \in ℝ ∖ \{- 3; \frac{1}{2}\}$

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

RQ1JBGVA491KC1

Ćwiczenie 1

RFNAQCOS5TBNQ1

Ćwiczenie 2

R1T2ZVHQ5CA633

Ćwiczenie 3

Przesuń ułamki do obszarów wskazując dla jakich x przyjmują wartość nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. x, równa się, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa x, plus, jeden, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x, plus, jeden, mianownik, x, minus, dziesięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, trzy x, mianownik, x, minus, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, x, mianownik, x, minus, sześć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwa, minus, cztery x, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dwa, mianownik, x, minus, cztery, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dwa x, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka x, równa się, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa x, plus, jeden, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x, plus, jeden, mianownik, x, minus, dziesięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, trzy x, mianownik, x, minus, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, x, mianownik, x, minus, sześć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwa, minus, cztery x, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dwa, mianownik, x, minus, cztery, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dwa x, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka x, równa się, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa x, plus, jeden, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x, plus, jeden, mianownik, x, minus, dziesięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, trzy x, mianownik, x, minus, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, x, mianownik, x, minus, sześć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwa, minus, cztery x, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dwa, mianownik, x, minus, cztery, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dwa x, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka

R1UR7LMFZTORL1

Ćwiczenie 4

R18EBCMEV66B21

Ćwiczenie 5

RHMN2PQJ4AQGP1

Ćwiczenie 6

RQ687173AB4B31

Ćwiczenie 7

R138PAMJEKHL21

Ćwiczenie 8

RO28ZSQQNERFC1

Ćwiczenie 9

R1PRNAZ5MJQUS1

Ćwiczenie 10

RQRS4VHTQUFU51

Ćwiczenie 11

R1A38HXF2RSRG1

Ćwiczenie 12

Połacz w pary wyrażenia o tej samej dziedzinie. początek ułamka, trzy x, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, dwa x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, minus, dwa x, mianownik, nawias, dziewięć x, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, nawias, sześć x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, jeden, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięć x, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka początek ułamka, x, plus, cztery, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, dwa x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, minus, dwa x, mianownik, nawias, dziewięć x, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, nawias, sześć x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, jeden, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięć x, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka początek ułamka, trzy, mianownik, dziewięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, dwa x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, minus, dwa x, mianownik, nawias, dziewięć x, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, nawias, sześć x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, jeden, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięć x, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka początek ułamka, trzy, mianownik, jeden, minus, dwa x, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, dwa x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, minus, dwa x, mianownik, nawias, dziewięć x, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, nawias, sześć x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, jeden, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięć x, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka

R134Z7X7J4PKN1

Ćwiczenie 13

R1ATL2O96Z23C1

Ćwiczenie 14

R1UVO9QS7FSQ31

Ćwiczenie 15

RTKXEFBJH683P1

Ćwiczenie 16

RMMU5QQGZSBVF1

Ćwiczenie 17

R4PXGGKDXMJAT1

Ćwiczenie 18

RLXAaOcI0oZJ21

Ćwiczenie 19

R15t64VCCrBtQ1

Ćwiczenie 20

Ro2wnYDfYZg5H2

Ćwiczenie 21

RejiOXikCC5Cl2

Ćwiczenie 22

R159K2MN0eiTi3

Ćwiczenie 23

Przeciągnij w puste pola właściwe wyrażenia. początek ułamka, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, plus, jeden, mianownik, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, jeden, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, trzy x, plus, jeden, mianownik, dwa x, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, 2. początek ułamka, trzy x, plus, dwa, mianownik, x, plus, dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, plus, dwa, mianownik, dwa </mnx+ dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, dwa x, minus, jeden, koniec ułamka, równa się, 5. początek ułamka, trzy x, plus, dwa, mianownik, dwa </mnx+ dwa, koniec ułamka
początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, trzy, mianownik, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, minus, trzy, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, trzy x, plus, jeden, mianownik, dwa x, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, 2. początek ułamka, trzy x, plus, dwa, mianownik, x, plus, dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, plus, dwa, mianownik, dwa </mnx+ dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, dwa x, minus, jeden, koniec ułamka, równa się, 5. początek ułamka, trzy x, plus, dwa, mianownik, dwa </mnx+ dwa, koniec ułamka
początek ułamka, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, plus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, trzy x, plus, jeden, mianownik, dwa x, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, 2. początek ułamka, trzy x, plus, dwa, mianownik, x, plus, dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, plus, dwa, mianownik, dwa </mnx+ dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, dwa x, minus, jeden, koniec ułamka, równa się, 5. początek ułamka, trzy x, plus, dwa, mianownik, dwa </mnx+ dwa, koniec ułamka

Słownik

równość wyrażeń wymiernych

wyrażenia wymierne są równe, gdy mają tą samą dziedzinę i dla każdego argumentu z dziedziny przyjmują odpowiednio te same wartości

wielomian zerowy

wielomian określony wzorem $W (x) = 0$ (czyli funkcja stała przyjmująca wartość $0$ dla każdej liczby rzeczywistej); wielomian ten nie ma określonego stopnia

wyrażenie wymierne

zmiennej rzeczywistej $x$ to wyrażenie algebraiczne postaci $\frac{P (x)}{Q (x)}$ , w którym $P (x)$ i $Q (x)$ są wielomianami zmiennej $x$ , przy czym $Q (x)$ nie jest wielomianem zerowym.

dziedzina wyrażenia wymiernego

\frac{P (x)}{Q (x)}

dziedzina wyrażenia wymiernego

\frac{P (x)}{Q (x)}

to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem pierwiastków wielomianu $Q (x)$

pierwiastek wielomianu

Pierwiastkiem wielomianu $W (x)$ nazywamy taką liczbę rzeczywistą $a$ , dla której zachodzi warunek $W (a) = 0$ .

2. Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

Wyrażenia wymierne