2. Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

R1766LKDM6Z7J

Mnożąc dwa ułamki zwykłe obliczamy iloczyn liczników oraz iloczyn mianowników. Jeżeli zauważymy wspólny dzielnik, możemy przed mnożeniem dokonać skracania.
Ułamki algebraiczne będziemy mnożyć na tej samej zasadzie.

Jeżeli mamy jakąś liczbę podzielić przez ułamek zwykły, możemy pomnożyć ją przez jego odwrotność. Ułamki algebraiczne możemy dzielić na tej samej zasadzie.

Dzielenie możemy zapisać za pomocą znaku dwukropka. Często używa się też zapisu z pomocą kreski ułamkowej – dzielenie dwóch wyrażeń wymiernych może mieć wtedy postać ułamka piętrowego.

Twoje cele

Zastosujesz wiadomości z zakresu wielomianów o rozkładaniu na czynniki do zapisania licznika i mianownika w postaci iloczynowej.
Wykonasz mnożenie tak zapisanych ułamków.
Wykonasz dzielenie wyrażeń wymiernych, zastępując je mnożeniem przez odwrotność.
Sformułujesz warunki, przy których wykonanie podanych działań jest możliwe (określisz założenia).

Mnożenie wyrażeń wymiernych

Reguła: Mnożenie wyrażeń wymiernych

Aby pomnożyć dwa wyrażenia wymiernewyrażenie wymiernewyrażenia wymierne, należy wykonać opisane poniżej operacje.

Jeśli to możliwe, możemy sprowadzić liczniki i mianowniki do postaci iloczynowej.

Jeżeli w licznikach i mianownikach występują wspólne czynniki, możemy je skrócić (czynnik z licznika z takim samym czynnikiem z mianownika tego samego lub drugiego ułamka).

Mnożymy wyrażenia, mnożąc licznik przez licznik i mianownik przez mianownik:
$\frac{F (x)}{P (x)} \cdot \frac{G (x)}{Q (x)} = \frac{F (x) \cdot G (x)}{P (x) \cdot Q (x)}$ .

Podajemy założenia wynikające z tego, że mianowniki ułamków (również przed ewentualnym skracaniem) nie mogą przyjmować wartości $0$ .

Przykład 1

Obliczymy iloczyn $\frac{x - 2}{x - 3} \cdot \frac{x - 4}{x - 5}$ .

W tym przykładzie ułamków nie da się skrócić, więc wymnażamy licznik przez licznik oraz mianownik przez mianownik.
$\frac{x - 2}{x - 3} \cdot \frac{x - 4}{x - 5} = \frac{(x - 2) (x - 4)}{(x - 3) (x - 5)}$

W zależności od potrzeb wynik mnożenia wyrażeń wymiernych można oczywiście przedstawić w innej postaci, np.:
$\frac{x^{2} - 6 x + 8}{(x - 3) (x - 5)}$ lub $\frac{x^{2} - 6 x + 8}{x^{2} - 8 x + 15}$ .

Dziedzinadziedzina wyrażenia wymiernegoDziedzina: $x \in ℝ ∖ \{3; 5\}$ .

Przykład 2

Obliczymy $\frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} + 3 x} \cdot \frac{x + 3}{x + 2}$ .

Tam, gdzie to możliwe, zapiszmy wielomiany w postaci iloczynu.

$\frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} + 3 x} \cdot \frac{x + 3}{x + 2} =$
$= \frac{x (x - 2)}{x (x + 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 2} = (i)$

Możemy teraz dokonać skrócenia przez $x$ oraz przez $x + 3$ .
$(i) = \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} + 3 x} \cdot \frac{x + 3}{x + 2} =$
$= \frac{x (x - 2)}{x (x + 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 2} =$
$= \frac{x - 2}{1} \cdot \frac{1}{x + 2} =$
$= \frac{x - 2}{x + 2}$

$x \in ℝ ∖ \{- 3; - 2; 0\}$
Pamiętajmy, żeby przy określaniu założeń uwzględnić istnienie wszystkich ułamków, również w postaci przed skracaniem.

Przykład 3

Obliczymy $\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2} + 3 x + 2} \cdot \frac{x^{2} - x - 12}{x^{2} - 2 x - 3}$ .

Zapiszemy na początek wszystkie wielomiany w postaci iloczynowej. $\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2} + 3 x + 2} \cdot \frac{x^{2} - x - 12}{x^{2} - 2 x - 3}$ $= \frac{(x - 3) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 4)}{(x - 3) (x + 1)} =$

Jak zamieniliśmy wielomiany na postać iloczynową

Dla każdego z trójmianów kwadratowych obliczamy jego wyróżnik i pierwiastki:

x^{2} - x - 6

Δ = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6) = 1 + 24 = 25

x_{1} = \frac{- (- 1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{- 4}{2} = - 2 x_{2} = \frac{- (- 1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3

x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)

x^{2} + 3 x + 2

Δ = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1

x_{1} = \frac{- 3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{- 4}{2} = - 2 x_{2} = \frac{- 3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{- 2}{2} = - 1

x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)

x^{2} - x - 12

Δ = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12) = 1 + 48 = 49

x_{1} = \frac{- (- 1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{- 6}{2} = - 4 x_{2} = \frac{- (- 1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4

x^{2} - x - 12 = (x + 3) (x - 4)

x^{2} - 2 x - 3

Δ = {(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 4 + 12 = 16

x_{1} = \frac{- (- 2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{- 2}{2} = - 1 x_{2} = \frac{- (- 2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3

x^{2} - 2 x - 3 = (x + 1) (x - 3)

Skracamy powtarzające się czynniki
$= \frac{(x - 3) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 4)}{(x - 3) (x + 1)} =$
$= \frac{(x + 3) (x - 4)}{{(x + 1)}^{2}}$
$x \in ℝ ∖ \{- 2; - 1; 3\}$

Możemy oczywiście, jeśli z jakiegoś powodu będzie to potrzebne, zapisać wynik w innej postaci. Przykładowo – jeżeli przemnożymy ułamki bez wcześniejszego skracania, uzyskamy:
$\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2} + 3 x + 2} \cdot \frac{x^{2} - x - 12}{x^{2} - 2 x - 3} =$
$= \frac{x^{4} - 2 x^{3} - 17 x^{2} + 18 x + 72}{x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} - 13 x - 6}$
przy podanych wyżej założeniach.

Przykład 4

Obliczymy $(x^{2} - 8 x + 16) \cdot \frac{5 x}{x^{2} - 16}$ .

Postępujemy analogicznie jak poprzednio. Pamiętajmy, że
$(x^{2} - 8 x + 16) = \frac{x^{2} - 8 x + 16}{1}$ .
Nie musimy sztucznie tworzyć tego ułamka, ale ważne, żebyśmy na przykład przy skracaniu wyrażenie $(x^{2} - 8 x + 16)$ traktowali jako znajdujące się w liczniku.

$(x^{2} - 8 x + 16) \cdot \frac{5 x}{x^{2} - 16} =$

Jak zamieniliśmy wielomiany na postać iloczynową

Zauważmy, że obie sumy algebraiczne możemy zamienić na iloczyn wykorzystując wzory skróconego mnożenia:

x^{2} - 8 x + 16 = x^{2} - 2 \cdot 4 \cdot x + 4^{2} = {(x + 4)}^{2}

x^{2} - 16 = x^{2} - 4^{2} = (x - 4) (x + 4)

$= {(x - 4)}^{2} \cdot \frac{5 x}{(x - 4) (x + 4)} =$

$= (x - 4)^{2} \cdot \frac{5 x}{(x - 4) (x + 4)} =$

$= \frac{5 x (x - 4)}{x + 4}$

$x \in ℝ ∖ \{- 4; 4\}$

Dzielenie wyrażeń wymiernych

Reguła: Dzielenie wyrażeń wymiernych

Aby wykonać dzielenie wyrażeń wymiernychwyrażenie wymiernewyrażeń wymiernych $\frac{F (x)}{P (x)} : \frac{G (x)}{Q (x)}$ , wykonujemy opisane poniżej kroki.

Zapisujemy je w postaci mnożenia przez odwrotność dzielnika.
$\frac{F (x)}{P (x)} : \frac{G (x)}{Q (x)} = \frac{F (x)}{P (x)} \cdot \frac{Q (x)}{G (x)}$

Wykonujemy mnożenie.

Podajemy założenia wynikające z zakazu dzielenia przez $0$ .
$\{\begin{cases} P (x) \neq 0 \\ Q (x) \neq 0 \\ G (x) \neq 0 \end{cases}$

Przykład 5

Obliczymy $\frac{1}{x - 3} : \frac{x - 2}{x - 4}$ .

Zapiszmy działanie w postaci iloczynu.
$\frac{1}{x - 3} : \frac{x - 2}{x - 4} =$
$= \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x - 4}{x - 2} =$
$= \frac{x - 4}{(x - 2) (x - 3)}$

Założenia: $\{\begin{cases} x - 2 \neq 0 \\ x - 4 \neq 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{cases}$ , czyli $x \in ℝ ∖ \{2; 3; 4\}$ .

Przykład 6

Obliczymy $\frac{2 x + 14}{x^{2} + 3 x - 28} : 6$ .

Zamienimy dzielenie na mnożenie przez odwrotność i sprowadzimy wielomiany do postaci iloczynowej. $\frac{2 x + 14}{x^{2} + 3 x - 28} : 6 =$

Jak zamieniliśmy wielomiany na postać iloczynową

W dwumianie wyłączamy czynnik liczbowy przed nawias:

2 x + 14 = 2 (x + 7)

Dla trójmianu kwadratowego obliczamy jego wyróżnik i pierwiastki:

x^{2} + 3 x - 28

Δ = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28) = 9 + 112 = 121

x_{1} = \frac{- 3 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{- 14}{2} = - 7 x_{2} = \frac{- 3 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4

x^{2} + 3 x - 28 = (x + 7) (x - 4)

$= \frac{2 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4)} \cdot \frac{1}{2 \cdot 3} =$

$= \frac{1}{3 (x - 4)}$

$x \in ℝ ∖ \{- 7; 4\}$

Przykład 7

Obliczymy $\frac{x^{2} - 6 x + 9}{3 x - 9} : \frac{x^{2} + 2 x - 15}{6 x^{2} - 150}$ .

Zamienimy dzielenie na mnożenie przez odwrotność i sprowadzimy wielomiany do postaci iloczynowej, a następnie skrócimy.

$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{3 x - 9} : \frac{x^{2} + 2 x - 15}{6 x^{2} - 150} =$

$= \frac{x^{2} - 6 x + 9}{3 x - 9} \cdot \frac{6 x^{2} - 150}{x^{2} + 2 x - 15} =$

Jak zamieniliśmy wielomiany na postać iloczynową

W dwumianie liniowym wyłączamy czynnik liczbowy przed nawias:

3 x - 9 = 3 (x - 3)

W dwumianie kwadratowym wyłączamy czynnik liczbowy przed nawias i stosujemy wzór na różnicę kwadratów:

6 x^{2} - 150 = 6 (x^{2} - 25) = 6 (x - 5) (x + 5)

Dla trójmianów kwadratowych obliczamy ich wyróżniki i pierwiastki:

x^{2} + 2 x - 15

Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15) = 4 + 60 = 64

x_{1} = \frac{- 2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{- 10}{2} = - 5 x_{2} = \frac{- 2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3

x^{2} + 2 x - 15 = (x + 5) (x - 3)

x^{2} - 6 x + 9

Δ = {(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0

x_{1} = x_{2} = \frac{- (- 6)}{2 \cdot 1} = 3

x^{2} - 6 x + 9 = {(x - 3)}^{2}

Oczywiście, dla tego wielomianu, zamiast obliczać wyróżnik $Δ$ można wykorzystać wzory skróconego mnożenia.

$= \frac{{(x - 3)}^{2}}{3 (x - 3)} \cdot \frac{2 \cdot 3 (x - 5) (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)} =$

$= \frac{(x - 3)^{2}}{3 (x - 3)} \cdot \frac{2 \cdot 3 (x - 5) (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)} = 2 (x - 5)$

Zapisujemy dziedzinędziedzina wyrażenia wymiernegodziedzinę, uwzględniając warunki istnienia zarówno drugiego ułamka, jak i jego odwrotności.
$x \in ℝ ∖ \{- 5; 3; 5\}$

Przykład 8

Obliczymy $\frac{2}{x^{2} - 4 x + 4} : \frac{2 x + 4}{3 x^{2} - 12}$ .

Zacznijmy od zapisania dzielenia jako mnożenia przez odwrotność i zapisania wielomianów w postaci iloczynowej.

$\frac{2}{x^{2} - 4 x + 4} : \frac{2 x + 4}{3 x^{2} - 12} =$
$= \frac{2}{x^{2} - 4 x + 4} \cdot \frac{3 x^{2} - 12}{2 x + 4} =$
$= \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{3 (x - 2) (x + 2)}{2 (x + 2)} =$
$= \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{3 (x - 2) (x + 2)}{2 (x + 2)} =$
$= \frac{3}{x - 2}$

$x \in ℝ ∖ \{- 2; 2\}$

Gry edukacyjne

Polecenie 1

Zagraj w grę, a następnie wykonaj poniższe polecenia.

RL8KCB21GAKL21

R1L7E6EHMJ2AV

Dla x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, otwarcie nawiasu klamrowego, minus, jeden, przecinek, minus, dwa przecinek dwa zamknięcie nawiasu klamrowego, początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, razy, początek ułamka, x, plus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, dwa, koniec ułamka, równa się=1. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 6. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 7. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, mianownik, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 8. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka.

Dla x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, otwarcie nawiasu klamrowego, dwa, przecinek, minus, trzy przecinek minus, pięć przecinek minus, dwa zamknięcie nawiasu klamrowego, początek ułamka, x, plus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, sześć, koniec ułamka, razy, początek ułamka, x, plus, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, siedem x, plus, dziesięć, koniec ułamka, równa się1. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 6. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 7. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, mianownik, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 8. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka.

Dla x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, otwarcie nawiasu klamrowego, minus, dwa, przecinek, trzy przecinek jeden zamknięcie nawiasu klamrowego, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, sześć, koniec ułamka, razy, początek ułamka, x, minus, trzy, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, jeden, koniec ułamka, równa się1. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 6. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 7. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, mianownik, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 8. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka.

Dla x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, otwarcie nawiasu klamrowego, jeden, przecinek, dwa przecinek trzy zamknięcie nawiasu klamrowego, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, trzy, koniec ułamka, razy, początek ułamka, x, minus, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, równa się1. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 6. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 7. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, mianownik, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 8. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka.

Dla x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, otwarcie nawiasu klamrowego, minus, jeden, przecinek, minus, dwa przecinek dwa zamknięcie nawiasu klamrowego, początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, minus, cztery, koniec ułamka, razy, początek ułamka, x, plus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, dwa, koniec ułamka, równa się1. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 6. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 7. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, mianownik, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 8. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka.

Dla x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, otwarcie nawiasu klamrowego, minus, jeden, przecinek, minus, dwa przecinek dwa przecinek pięć zamknięcie nawiasu klamrowego, początek ułamka, x, minus, pięć, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście x, minus, dziesięć, koniec ułamka, razy, początek ułamka, x, plus, dwa, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka, równa się1. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 6. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 7. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, mianownik, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 8. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka.

Dla x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, otwarcie nawiasu klamrowego, minus, jeden, przecinek, minus, dwa przecinek dwa zamknięcie nawiasu klamrowego, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, plus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, razy, początek ułamka, x, plus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, dwa, koniec ułamka, równa się1. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 6. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 7. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, mianownik, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 8. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka.

Dla x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, otwarcie nawiasu klamrowego, jeden, przecinek, minus, dwa przecinek dwa przecinek minus, trzy zamknięcie nawiasu klamrowego, początek ułamka, x, plus, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, dwa, koniec ułamka, razy, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, sześć, koniec ułamka, równa się1. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 6. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 7. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, mianownik, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 8. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka.

Dla x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, otwarcie nawiasu klamrowego, minus, jeden, przecinek, minus, dwa przecinek pięć przecinek dwa zamknięcie nawiasu klamrowego, początek ułamka, x, minus, pięć, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, razy, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, siedem x, plus, dziesięć, koniec ułamka, równa się1. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 6. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 7. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, mianownik, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 8. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka.

Dla x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, otwarcie nawiasu klamrowego, minus, jeden, przecinek, minus, dwa przecinek dwa zamknięcie nawiasu klamrowego, początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, razy, początek ułamka, x, plus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, dwa, koniec ułamka, równa się=1. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 6. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 7. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, mianownik, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 8. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka.

Dla x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, otwarcie nawiasu klamrowego, dwa, przecinek, minus, trzy przecinek minus, pięć przecinek minus, dwa zamknięcie nawiasu klamrowego, początek ułamka, x, plus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, sześć, koniec ułamka, razy, początek ułamka, x, plus, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, siedem x, plus, dziesięć, koniec ułamka, równa się1. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 6. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 7. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, mianownik, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 8. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka.

Dla x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, otwarcie nawiasu klamrowego, minus, dwa, przecinek, trzy przecinek jeden zamknięcie nawiasu klamrowego, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, sześć, koniec ułamka, razy, początek ułamka, x, minus, trzy, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, jeden, koniec ułamka, równa się1. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 6. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 7. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, mianownik, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 8. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka.

Dla x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, otwarcie nawiasu klamrowego, jeden, przecinek, dwa przecinek trzy zamknięcie nawiasu klamrowego, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, trzy, koniec ułamka, razy, początek ułamka, x, minus, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, równa się1. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 6. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 7. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, mianownik, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 8. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka.

Dla x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, otwarcie nawiasu klamrowego, minus, jeden, przecinek, minus, dwa przecinek dwa zamknięcie nawiasu klamrowego, początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, minus, cztery, koniec ułamka, razy, początek ułamka, x, plus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, dwa, koniec ułamka, równa się1. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 6. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 7. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, mianownik, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 8. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka.

Dla x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, otwarcie nawiasu klamrowego, minus, jeden, przecinek, minus, dwa przecinek dwa przecinek pięć zamknięcie nawiasu klamrowego, początek ułamka, x, minus, pięć, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście x, minus, dziesięć, koniec ułamka, razy, początek ułamka, x, plus, dwa, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka, równa się1. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 6. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 7. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, mianownik, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 8. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka.

Dla x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, otwarcie nawiasu klamrowego, minus, jeden, przecinek, minus, dwa przecinek dwa zamknięcie nawiasu klamrowego, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, plus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, razy, początek ułamka, x, plus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, dwa, koniec ułamka, równa się1. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 6. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 7. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, mianownik, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 8. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka.

Dla x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, otwarcie nawiasu klamrowego, jeden, przecinek, minus, dwa przecinek dwa przecinek minus, trzy zamknięcie nawiasu klamrowego, początek ułamka, x, plus, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, dwa, koniec ułamka, razy, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, sześć, koniec ułamka, równa się1. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 6. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 7. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, mianownik, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 8. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka.

Dla x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, otwarcie nawiasu klamrowego, minus, jeden, przecinek, minus, dwa przecinek pięć przecinek dwa zamknięcie nawiasu klamrowego, początek ułamka, x, minus, pięć, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, razy, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, siedem x, plus, dziesięć, koniec ułamka, równa się1. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 6. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 7. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, mianownik, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 8. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka.

Polecenie 2

Oblicz $\frac{4 x - 12}{x^{2} - 6 x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 15}{6 x^{2} - 150}$ .

Pamiętaj o skracaniu.
Określ dziedzinę.

$\frac{4 x - 12}{x^{2} - 6 x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 15}{6 x^{2} - 150} =$
$= \frac{4 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{(x - 3) (x + 5)}{6 (x - 5) (x + 5)}$

$\frac{4 x - 12}{x^{2} - 6 x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 15}{6 x^{2} - 150} =$
$= \frac{4 (x - 3)}{(x - 3)^{2}} \cdot \frac{(x - 3) (x + 5)}{6 (x - 5) (x + 5)} =$
$= \frac{4}{6 (x - 5)} = \frac{2}{3 (x - 5)}$

$x \in ℝ ∖ \{- 5; 3; 5\}$

Polecenie 3

Oblicz $\frac{x^{2} - 5 x - 6}{4 x - 24} \cdot \frac{6 x - 6}{x^{2} - 1}$ .

Pamiętaj o skracaniu.
Określ dziedzinę.

$\frac{x^{2} - 5 x - 6}{4 x - 24} \cdot \frac{6 x - 6}{x^{2} - 1} =$
$= \frac{(x - 6) (x + 1)}{4 (x - 6)} \cdot \frac{6 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

$\frac{x^{2} - 5 x - 6}{4 x - 24} \cdot \frac{6 x - 6}{x^{2} - 1} =$
$= \frac{(x - 6) (x + 1)}{4 (x - 6)} \cdot \frac{6 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} =$
$= \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$x \in ℝ ∖ \{- 1; 1; 6\}$

Polecenie 4

Oblicz $\frac{15 x^{2} - 4 x - 4}{9 x^{2} - 4} \cdot \frac{x^{2} - x - 12}{25 x^{2} - 4}$ .

Pamiętaj o skracaniu.
Określ dziedzinę.

$\frac{15 x^{2} - 4 x - 4}{9 x^{2} - 4} \cdot \frac{x^{2} - x - 12}{25 x^{2} - 4} =$
$= \frac{(5 x + 2) (3 x - 2)}{(3 x - 2) (3 x + 2)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 4)}{(5 x + 2) (5 x - 2)}$

$\frac{15 x^{2} - 4 x - 4}{9 x^{2} - 4} \cdot \frac{x^{2} - x - 12}{25 x^{2} - 4} =$
$= \frac{(5 x + 2) (3 x - 2)}{(3 x - 2) (3 x + 2)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 4)}{(5 x + 2) (5 x - 2)} =$
$= \frac{(x + 3) (x - 4)}{(3 x + 2) (5 x - 2)}$

$x \in ℝ ∖ \{- \frac{2}{3}; - \frac{2}{5}; \frac{2}{5}; \frac{2}{3}\}$

Polecenie 5

Rozwiąż poniższy quiz.

R68JU7DRKFN8N

RUL4AAK9T5UQO

R11Z4J9S7VJB7

R398UVQO1XRC8

R18D6U52KNPMO

R1MGRBVOAGOSA1

Polecenie 6

Oblicz $\frac{x^{2}}{x - 2} : \frac{x^{2} + 2 x}{4 - x^{2}}$ .
Pamiętaj o skracaniu.
Określ dziedzinę.

$\frac{x^{2}}{x - 2} : \frac{x^{2} + 2 x}{4 - x^{2}} =$
$= \frac{x^{2}}{x - 2} \cdot \frac{4 - x^{2}}{x^{2} + 2 x} =$
$= \frac{x^{2}}{x - 2} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{x (x + 2)}$

$\frac{x^{2}}{x - 2} : \frac{x^{2} + 2 x}{4 - x^{2}} =$
$= \frac{x^{2}}{x - 2} \cdot \frac{- (x + 2) (x - 2)}{x (x + 2)} =$
$= - x$
$x \in ℝ ∖ \{- 2; 0; 2\}$

Polecenie 7

Oblicz $\frac{3 x + 13}{3 x^{2} + 19 x + 26} : \frac{x + 7}{x^{2} + 2 x}$ .
Pamiętaj o skracaniu.
Określ dziedzinę.

$\frac{3 x + 13}{3 x^{2} + 19 x + 26} : \frac{x + 7}{x^{2} + 2 x} =$
$= \frac{3 x + 13}{3 x^{2} + 19 x + 26} \cdot \frac{x^{2} + 2 x}{x + 7} =$
$= \frac{3 x + 13}{(3 x + 13) (x + 2)} \cdot \frac{x (x + 2)}{x + 7}$

$\frac{3 x + 13}{3 x^{2} + 19 x + 26} : \frac{x + 7}{x^{2} + 2 x} =$
$= \frac{3 x + 13}{(3 x + 13) (x + 2)} \cdot \frac{x (x + 2)}{x + 7} =$
$= \frac{x}{x + 7}$
$x \in ℝ ∖ \{- 7; - \frac{13}{3}; - 2; 0\}$

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

RH4SX9QLEQAQS1

Ćwiczenie 1

R1VH4XKVTK47B1

Ćwiczenie 2

R1LCSDBCESLQT1

Ćwiczenie 3

Przeciągnij w puste pola właściwe wyrażenia. cztery x, razy, początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, dwa x, plus, sześć, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, plus, dwa, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, 4. początek ułamka, x, minus, dwa, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy x, plus, trzy, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka
trzy, razy, początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, plus, dwa, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, 4. początek ułamka, x, minus, dwa, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy x, plus, trzy, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka
dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, plus, dwa, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, 4. początek ułamka, x, minus, dwa, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy x, plus, trzy, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka
x, razy, początek ułamka, x, plus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, plus, dwa, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, 4. początek ułamka, x, minus, dwa, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy x, plus, trzy, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka

R1CL7J2P6MXDZ1

Ćwiczenie 4

Dopasuj działania i ich wyniki. początek ułamka, x, plus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, dwa, koniec ułamka, razy, początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, razy, początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka początek ułamka, x, minus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, koniec ułamka, razy, początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka

R1L3SRK5UB1CO1

Ćwiczenie 5

R58HAQ1O4OGJ82

Ćwiczenie 6

RM9UMZZZ7BAAX3

Ćwiczenie 7

R1FFEABUMR36V1

Ćwiczenie 8

R1R7AFA5T4RPP1

Ćwiczenie 9

Połącz w pary działania z ich wynikami. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, mianownik, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, podzielić na, x Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, x, minus, dwa, mianownik, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x, mianownik, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwa x, minus, jeden, mianownik, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, mianownik, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka początek ułamka, sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, podzielić na, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, x, minus, dwa, mianownik, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x, mianownik, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwa x, minus, jeden, mianownik, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, mianownik, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka początek ułamka, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa, mianownik, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, podzielić na, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, x, minus, dwa, mianownik, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x, mianownik, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwa x, minus, jeden, mianownik, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, mianownik, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka początek ułamka, osiem x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, podzielić na, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, x, minus, dwa, mianownik, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x, mianownik, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwa x, minus, jeden, mianownik, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, mianownik, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka

R1G6ZDVCCC9FG1

Ćwiczenie 10

R11ENA5PMBVF22

Ćwiczenie 11

RGUABOX4GT43T2

Ćwiczenie 12

R1B73JF357GL82

Ćwiczenie 13

R1LR4F69HE9UO2

Ćwiczenie 14

RH2OL8MS7FT862

Ćwiczenie 15

Przeciągnij w puste pola właściwe wyrażenia.

początek ułamka, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 2. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, koniec ułamka, 3. x, 4. początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, x nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, koniec ułamka, 6. początek ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, koniec ułamka

początek ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 2. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, koniec ułamka, 3. x, 4. początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, x nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, koniec ułamka, 6. początek ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, koniec ułamka

początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, x, plus, dwa, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 2. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, koniec ułamka, 3. x, 4. początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, x nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, koniec ułamka, 6. początek ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, koniec ułamka

początek ułamka, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, dwa x, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 2. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, koniec ułamka, 3. x, 4. początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, x nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, koniec ułamka, 6. początek ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, koniec ułamka

Przeciągnij w puste pola właściwe wyrażenia.

początek ułamka, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 2. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, koniec ułamka, 3. x, 4. początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, x nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, koniec ułamka, 6. początek ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, koniec ułamka

początek ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 2. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, koniec ułamka, 3. x, 4. początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, x nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, koniec ułamka, 6. początek ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, koniec ułamka

początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, x, plus, dwa, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 2. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, koniec ułamka, 3. x, 4. początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, x nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, koniec ułamka, 6. początek ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, koniec ułamka

początek ułamka, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, dwa x, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 2. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, koniec ułamka, 3. x, 4. początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, x nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, koniec ułamka, 6. początek ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, koniec ułamka

RCZ87NSQK2SFT2

Ćwiczenie 16

Połacz w pary działania z ich wynikami. początek ułamka, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, pięć x, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć x, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć x, plus, jeden, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, 4. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa, mianownik, x, plus, dwa, koniec ułamka początek ułamka, dziesięć x, plus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć x, plus, dziewięć, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, dwa, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć x, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć x, plus, jeden, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, 4. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa, mianownik, x, plus, dwa, koniec ułamka początek ułamka, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziewięć, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć x, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć x, plus, jeden, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, 4. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa, mianownik, x, plus, dwa, koniec ułamka początek ułamka, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, piętnaście x, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy, mianownik, x, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć x, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć x, plus, jeden, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, 4. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa, mianownik, x, plus, dwa, koniec ułamka

RKJCULVVZPXCC3

Ćwiczenie 17

R4TXHDLEZLL9C3

Ćwiczenie 18

R1G2LOAA49MDQ3

Ćwiczenie 19

Słownik

wyrażenie wymierne

zmiennej rzeczywistej $x$ to wyrażenie algebraiczne postaci $\frac{P (x)}{Q (x)}$ , w którym $P (x)$ i $Q (x)$ są wielomianami zmiennej $x$ , przy czym $Q (x)$ nie jest wielomianem zerowym;

dziedzina wyrażenia wymiernego

zbiór liczb, dla których wyrażenie wymierne ma sens liczbowy

1. Wyrażenia wymierne. Skracanie wyrażeń wymiernych

Wyrażenia wymierne