1. Zależności trygonometryczne

R9rT1vP7he1ry

Rfzhugsgn6y5y1

Zdjęcie przedstawia skoczka narciarskiego w locie. Skoczek znajduje się paręnaście metrów nad ziemią i przygotowuje się do lądowania. — Źródło: Todd Trapani, dostępny w internecie: https://unsplash.com/photos/11hnchukldg.

Zapewne zdarzyło Ci się oglądać Puchar Świata w Skokach Narciarskich lub tylko jego fragment, gdy zmieniana jest belka startowa, ze względu na warunki atmosferyczne, o czym decydują sędziowie.

Być może zastanawiające wydało Ci się to, jak wraz ze zmianą belki zmienia się odległość skoczka od progu, liczona poziomo a nie wzdłuż rozbiegu, oraz wysokość belki, liczona od poziomu ziemi...

Na to pytanie można łatwo odpowiedzieć, jeśli będziemy umieli znaleźć wartość cosinusa nachylenia skoczni, znając sinus tego kąta.

Twoje cele

Obliczysz wartości cosinusa kąta, znając jego sinus.
Obliczysz wartość sinusa kąta, znając jego cosinus.

Twoje cele

Poznasz twierdzenie dotyczące jedynki trygonometrycznej.
Wyznaczysz wartość sinusa, gdy dany jest cosinus kąta ostrego i na odwrót.
Wykorzystasz związki między funkcjami trygonometrycznymi do przedstawienia wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne w prostszej postaci.

Już wiesz

R1XmU9URp06Qw

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie b, pionowej przyprostokątnej a oraz o przeciwprostokątnej c. Zaznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami a i b oraz kąt α między bokami b i c.

Sinusem kąta ostrego $α$ nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

Cosinusem kąta ostrego $α$ nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej.

Tangensem kąta ostrego $α$ nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie.

jedynka trygonometryczna

Twierdzenie: jedynka trygonometryczna

Dla dowolnego kąta ostrego $α$ w trójkącie prostokątnym zachodzi równość:

\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1

Wzór ten nazywamy jedynką trygonometryczną.

Dowód

Narysujmy dowolny trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $a$ i $b$ , przeciwprostokątnej długości $c$ oraz kącie ostrym $α$ , leżącym przy boku $b$ .

ROvtU64upiauq

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o bokach a, b, c, przy czym bok a jest pionowy, bok b jest postawą trójkąta, a kąt między nimi wynosi 90 stopni. Bok c jest przeciwprostokątną. Między bokami b i c znajduje się kąt alfa.

Z definicji funkcji trygonometrycznych wiadomo, że:

$\sin α = \frac{a}{c}$ oraz $\cos α = \frac{b}{c}$ .

Zatem:

$\sin^{2} α + \cos^{2} α = {(\frac{a}{c})}^{2} + {(\frac{b}{c})}^{2} = \frac{a^{2}}{c^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = \frac{c^{2}}{c^{2}} = 1$ .

Ważne!

Stosując równanie jedynki trygonometrycznej możemy wyznaczyć wartość sinusa kąta mając podany cosinus lub odwrotnie. Wzór ten stosujemy również dla kątów większych od $90 °$ .

Przykład 1

Wyznaczymy wartość $\cos α$ , jeżeli dany jest $\sin α = \frac{1}{3}$ oraz $α$ jest kątem ostrym.

W celu wyznaczenia wartości $\cos α$ wykorzystamy wzór $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

Podstawiamy wartość $\sin α = \frac{1}{3}$ .

Otrzymujemy równanie:

${(\frac{1}{3})}^{2} + \cos^{2} α = 1$ .

Stąd $\cos^{2} α = \frac{8}{9}$ , więc $\cos α = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ lub $\cos α = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ . Ponieważ kąt $α$ jest ostry, zatem $\cos α = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ .

Ważne!

Dla dowolnego kąta $α \in (0, 90 °)$ mamy, że $\sin α > 0$ oraz $\cos α > 0$ , zaś dla $α \in (90 °, 180 °)$ zachodzą warunki: $\sin α > 0$ oraz $\cos α < 0$ .

Przykład 2

Wyznaczymy wartość $\sin α$ , jeżeli dany jest $\cos α = \frac{2}{5}$ oraz $α$ jest kątem ostrym.

W celu wyznaczenia wartości $\sin α$ wykorzystamy wzór $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

Podstawiamy wartość $\cos α = \frac{2}{5}$ .

Otrzymujemy równanie:

$\sin^{2} α + {(\frac{2}{5})}^{2} = 1$ .

Stąd $\sin^{2} α = \frac{21}{25}$ , więc $\sin α = \frac{\sqrt{21}}{5}$ lub $\sin α = - \frac{\sqrt{21}}{5}$ . Ponieważ kąt $α$ jest ostry, zatem $\sin α = \frac{\sqrt{21}}{5}$ .

Przykład 3

Sprawdzimy, czy istnieje taki kąt $α$ , dla którego $\sin α = \frac{\sqrt{2}}{3}$ oraz $\cos α = \frac{1}{4}$ .

Podane wartości $\sin α$ oraz $\cos α$ podstawiamy do jedynki trygonometrycznej.

Otrzymujemy: ${(\frac{\sqrt{2}}{3})}^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} = \frac{2}{9} + \frac{1}{16} = \frac{32 + 9}{144} = \frac{41}{144}$ .

Ponieważ $\frac{41}{144} \neq 1$ , zatem nie istnieje taki kąt.

Przykład 4

Wyznaczymy wartość $\sin α$ oraz $\cos α$ , jeżeli wiadomo że $α$ jest kątem ostrym oraz sinus tego kąta jest dwa razy większy od cosinusa.

Z zadania możemy ułożyć następujący warunek:

$\sin α = 2 \cos α$ .

Podany warunek podstawiamy do jedynki trygonometrycznej. Otrzymujemy równanie:

${(2 \cos α)}^{2} + \cos^{2} α = 1$ , zatem $5 \cos^{2} α = 1$ .

Czyli $\cos^{2} α = \frac{1}{5}$ , więc $\cos α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ lub $\cos α = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Ponieważ $α$ jest kątem ostrym, zatem $\cos α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ oraz $\sin α = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

Przykład 5

Wyznaczymy wartość wyrażenia ${(\sin α + \cos α)}^{2}$ , jeżeli $\sin α \cos α = \frac{2}{9}$ .

Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

Zatem mamy:

${(\sin α + \cos α)}^{2} = \sin^{2} α + \cos^{2} α + 2 \sin α \cdot \cos α = 1 + 2 \cdot \frac{2}{9} = 1 + \frac{4}{9} = 1 \frac{4}{9}$ .

Przykład 6

Wiadomo, że stosunek sinusa pewnego kąta ostrego $α$ do cosinusa tego kąta wynosi $\frac{12}{5}$ . Wyznaczymy wartość wyrażenia $\sin α + \cos α$ .

Z warunku podanego w zadaniu mamy, że $\frac{\sin α}{\cos α} = \frac{12}{5}$ , zatem $\sin α = \frac{12}{5} \cos α$ .

Podstawiamy to wyrażenie do jedynki trygonometrycznej i otrzymujemy: ${(\frac{12}{5} \cos α)}^{2} + \cos^{2} α = 1$ , co po przekształceniu daje $\frac{169}{25} \cos^{2} α = 1$ .

Z równania otrzymujemy, że $\cos^{2} α = \frac{25}{169}$ , więc $\cos α = \frac{5}{13}$ , bo $α$ jest kątem ostrym.

Zatem $\sin α = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13}$ .

Szukana suma wynosi $\sin α + \cos α = \frac{12}{13} + \frac{5}{13} = \frac{17}{13}$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją dotyczącą zastosowania jedynki trygonometrycznej do wyznaczania sinusa lub cosinusa kąta.

RtmPG2DYNHXRl

Polecenie 2

Wyznacz wartość $\cos α$ , jeżeli:

a) $\sin α = 3 \cos α$ i $α$ jest kątem ostrym,

b) $\sin α = \frac{1}{6}$ oraz $α$ jest kątem rozwartym.

a) Równość $\sin α = 3 \cos α$ podstawiamy do jedynki trygonometrycznej.

Otrzymujemy, że: ${(3 \cos α)}^{2} + \cos^{2} α = 1$ , zatem $10 \cos^{2} α = 1$ .

Z równania wynika, że $\cos^{2} α = \frac{1}{10}$ , więc $\cos α = \frac{\sqrt{10}}{10}$ lub $\cos α = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

Ponieważ $α$ jest kątem ostrym, to $\cos α = \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

b) Wartość $\sin α = \frac{1}{6}$ podstawiamy do jedynki trygonometrycznej.

Otrzymujemy równanie: ${(\frac{1}{6})}^{2} + \cos^{2} α = 1$ .

Z równania mamy, że $\cos^{2} α = \frac{35}{36}$ , więc $\cos α = \frac{\sqrt{35}}{6}$ lub $\cos α = - \frac{\sqrt{35}}{6}$ .

Ponieważ $α$ jest kątem rozwartym, to $\cos α = - \frac{\sqrt{35}}{6}$ .

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

R1XmU9URp06Qw

Wówczas

\sin α = \frac{a}{c}

\cos α = \frac{b}{c}

tg α = \frac{a}{b}

Ważne!

Wartość drugiego kąta ostrego w podanym trójkącie wynosi $90 ° - α$ . Zatem:

\sin (90^{\circ} - α) = \frac{b}{c}

\cos (90 ° - α) = \frac{a}{c}

tg (90 ° - α) = \frac{b}{a}

Porównując z powyższymi zależnościami, mamy następujące wzory:

\sin (90 ° - α) = \cos α

\cos (90 ° - α) = \sin α

tg (90 ° - α) = \frac{1}{tg α}

Przykład 7

Równość $\frac{\sin 20 ° + \cos 70 °}{- \cos 70 °}$ możemy zapisać jako $\frac{\sin 20 ° + \sin 20 °}{- \sin 20 °} = \frac{2 \sin 20 °}{- \sin 20 °} = - 2$ .

Przykład 8

Wyrażenie

$(1 - \sin (90 ° - α)) (1 + \sin (90 ° - α))$

po przekształceniu wynosi

$(1 - \cos α) (1 + \cos α) = 1 - \cos^{2} α = \sin^{2} α$ .

Związki między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego

Twierdzenie: Związki między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego

Dla dowolnego kąta ostrego $α$ zachodzą następujące zależności:

a) $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ (jedynka trygonometryczna),

b) $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

Dowód

RWFnjMG40EOxT

a) Z rysunku możemy odczytać, że: $\sin α = \frac{a}{c}$ oraz $\cos α = \frac{b}{c}$ .

Zatem mamy:

$\sin^{2} α + \cos^{2} α = {(\frac{a}{c})}^{2} + {(\frac{b}{c})}^{2} = \frac{a^{2}}{c^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = \frac{c^{2}}{c^{2}} = 1$ .

b) Z rysunku odczytujemy, że $tg α = \frac{a}{b}$ .

Z definicji sinusa oraz cosinusa kąta $α$ mamy, że:

$tg α = \frac{a}{b} = \frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}} = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

Ważne!

Z powyższego twierdzenia mamy zależność:

\frac{1}{tg α} = \frac{\cos α}{\sin α}

Przykład 9

Wyznaczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego $α$ , jeżeli wiadomo, że $\cos (90 ° - α) = \frac{1}{4}$ .

Z zależności w trójkącie prostokątnym mamy, że $\cos (90 ° - α) = \sin α$ , zatem $\sin α = \frac{1}{4}$ .

Po podstawieniu do jedynki trygonometrycznej mamy, że ${(\frac{1}{4})}^{2} + \cos^{2} α = 1$ .

Otrzymujemy, że $\cos^{2} α = \frac{15}{16}$ , zatem $\cos α = \frac{\sqrt{15}}{4}$ lub $\cos α = - \frac{\sqrt{15}}{4}$ .

Ponieważ $α$ jest kątem ostrym, więc $\cos α = \frac{\sqrt{15}}{4}$ .

Zatem $tg α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}$ .

Przykład 10

Wyznaczymy wartość wyrażenia $\cos α tg α$ , jeżeli $\cos α = \frac{\sqrt{2}}{3}$ oraz $α$ jest kątem ostrym.

Po przekształceniu wyrażenie $\cos α tg α$ jest postaci $\cos α tg α = \cos α \frac{\sin α}{\cos α} = \sin α$ .

Wartość $\sin α$ wyznaczymy z jedynki trygonometrycznej.

Zatem mamy: $\sin^{2} α + {(\frac{\sqrt{2}}{3})}^{2} = 1$ .

Z obliczeń mamy, że $\sin^{2} α = \frac{7}{9}$ , więc $\sin α = \frac{\sqrt{7}}{3}$ lub $\sin α = - \frac{\sqrt{7}}{3}$ .

Ponieważ $α$ jest kątem ostrym, zatem $\sin α = \frac{\sqrt{7}}{3}$ .

Szukana wartość wyrażenia wynosi $\frac{\sqrt{7}}{3}$ .

Przykład 11

Czy istnieje kąt ostry $α$ , dla którego $tg α = \frac{\sqrt{2}}{3}$ oraz $\cos α = \frac{1}{4}$ ?

W celu sprawdzenia, czy istnieje taki kąt, wyznaczymy wartość $\sin α$ , a następnie wykorzystamy jedynkę trygonometrycznąjedynka trygonometrycznajedynkę trygonometryczną.

Zatem mamy: $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

Podstawiając, otrzymujemy równanie: $\frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{\sin α}{\frac{1}{4}}$ , więc $\sin α = \frac{\sqrt{2}}{12}$ .

Sprawdzamy, czy zachodzi równość $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

Po podstawieniu mamy: ${(\frac{\sqrt{2}}{12})}^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{72} + \frac{1}{16} = \frac{11}{144} \neq 1$ .

Zatem nie istnieje taki kąt.

Polecenie 3

Zapoznaj się z infografiką i wykonaj poniższe polecenie.

R6kL2Nkta82qR

Ilustracja. Zagadnienie: Jak inaczej udowodnić wzór na jedynkę trygonometryczną? W prostokątnym układzie współrzędnych narysujmy okrąg o promieniu jeden i zastosujmy twierdzenie Pitagorasa dla współrzędnych punktu nawias, x, przecinek, y, zamknięcie nawiasu leżącego na okręgu jednostkowym x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X praz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano okrąg jednostkowy i zaznaczono jego punkty charakterystyczne o współrzędnych: nawias, jeden, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, minus, jeden, średnik, zero, zamknięcie nawiasu oraz nawias, zero, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. Na płaszczyźnie poprowadzono ukośną prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych i przecinającą okrąg w dwóch punktach. Prosta ta nachylona jest do osi X pod kątem THETA. Pierwszy punkt znajduje się w trzeciej ćwiartce, drugi w pierwszej. Punkt leżący w pierwszej ćwiartce ma współrzędne nawias, kosinus THETA, średnik, sinus THETA, zamknięcie nawiasu. Z tego punktu poprowadzono pionowy odcinek do osi X. Ma on długość wartość bezwzględna z, sinus THETA, koniec wartości bezwzględnej. Kolorem wyróżniono także odcinek leżący na osi X o początku w punkcie nawias, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu i końcu wspólnym z pionowym odcinkiem. Poziomy odcinek ma długość wartość bezwzględna z, kosinus THETA, koniec wartości bezwzględnej. W ten sposób powstał trójkąt prostokątny, o przyprostokątnych wartość bezwzględna z, kosinus THETA, koniec wartości bezwzględnej i wartość bezwzględna z, sinus THETA, koniec wartości bezwzględnej oraz o przekątnej będącej promieniem okręgu. Długość promienia wynosi jeden. Kąt między bokami trójkąta wartość bezwzględna z, kosinus THETA, koniec wartości bezwzględnej a przeciwprostokątną to kąt nachylenia prostej do osi C, czyli jest to kąt THETA. Koniec opisu. Rozwiązanie. Zapisujemy równanie na mocy twierdzenia Pitagorasa. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden Pod x i y podstawiamy wartości, jakie uzyskaliśmy na rysunku, zatem równanie przyjmuje postać: kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, THETA, plus, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, THETA, równa się, jeden, co należało wykazać.

Polecenie 4

Na podstawie zdobytych wiadomości wykonaj zadania:

a) uprość wyrażenie $tg α + \frac{1}{tg α}$ ,

b) wyznacz wartości funkcji $\sin α$ oraz $\cos α$ kąta ostrego $α$ , jeżeli $tg α = 3$ .

a) Do uproszczenia wyrażenia $tg α + \frac{1}{tg α}$ wykorzystamy wzór $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

Zatem mamy: $tg α + \frac{1}{tg α} = \frac{\sin α}{\cos α} + \frac{1}{\frac{\sin α}{\cos α}} = \frac{\sin α}{\cos α} + \frac{\cos α}{\sin α}$ .

Otrzymane wyrażenie możemy zapisać jako:

$\frac{\sin α}{\cos α} + \frac{\cos α}{\sin α} = \frac{\sin^{2} α}{\sin α \cos α} + \frac{\cos^{2} α}{\sin α \cos α} = \frac{1}{\sin α \cos α}$ .

b) Z danych w zadaniu wynika, że $α$ jest kątem ostrym oraz $tg α = 3$ .

Wykorzystamy wzór $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

Otrzymujemy równanie $\frac{\sin α}{\cos α} = 3$ , co po przekształceniu daje $\sin α = 3 \cos α$ .

Równość tą podstawiamy do jedynki trygonometrycznej: ${(3 \cos α)}^{2} + \cos^{2} α = 1$ .

Zatem $9 \cos^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

$10 \cos^{2} α = 1$ , więc $\cos α = \frac{\sqrt{10}}{10}$ lub $\cos α = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

Ponieważ $α$ jest kątem ostrym, więc $\cos α = \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

Stąd $\sin α = 3 \cdot \cos α = 3 \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ .

Ćwiczenie 1

RYGQkGnZBr9u7

Dany jest kąt ostry alfa. Połącz wartość sinusa z odpowiadającą mu wartością cosinusa: sinus alfa, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, mianownik, siedem, koniec ułamka, 2. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 3. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka sinus alfa, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, mianownik, siedem, koniec ułamka, 2. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 3. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka sinus alfa, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, mianownik, siedem, koniec ułamka, 2. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 3. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka sinus alfa, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, mianownik, siedem, koniec ułamka, 2. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 3. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka

Ćwiczenie 2

R1cqhYd2nsTQB

Ćwiczenie 3

Rg0S1kqEOnVvp

Ćwiczenie 4

RZWs8qGDIKNUo

Ćwiczenie 5

R16Qadp5nBu9e

Rm5hdsqNHWf6k

Ćwiczenie 6

RK0lbzM9WT51t

Ćwiczenie 7

RPuvSlUHxlNrY

Ćwiczenie 8

R7lHB9g5fdbDz

Ćwiczenie 9

R1WZ7WSgPqS65

Ćwiczenie 10

RI6Zc62jW6Hl0

Ćwiczenie 11

R1MuKDxPn54vY

Ćwiczenie 12

RMvYDjtwbckVk

Ćwiczenie 13

RcIYdwXaCD3Du

Ćwiczenie 14

RpfU23cd3ZDbq

Ćwiczenie 15

R1RQqEAPJ55UY

Ćwiczenie 16

RvH8w7CPdoADa

Słownik

jedynka trygonometryczna

dla dowolnego kąta $α$ zachodzi równość $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$

2. Zastosowanie zależności trygonometrycznych

M_R_W07_M3 Zależności trygonometryczne kąta ostrego

1. Zależności trygonometryczne

Słownik