2. Zastosowanie zależności trygonometrycznych - M_R_W07_M3 Zależności trygonometryczne kąta ostrego

RijfuvLzKcNt4

W VI w n. e. hinduski astronom Varahamihira posługiwał się funkcjami trygonometrycznymi i korzystał ze znanego nam wzoru na tzw. jedynkę trygonometryczną.

W tym materiale wykorzystamy jedynkę trygonometryczną, czyli wzór

\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1

oraz inne związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta, do rozwiązywania zadań.

Twoje cele

Poznasz zastosowanie prostych zależności między funkcjami trygonometrycznymi: $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ , $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .
Znając wartość jednej z funkcji: sinus, cosinus lub tangens wyznaczysz wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego.

W poniższych przykładach wykorzystamy definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego oraz związki między nimi:

\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1

tg α = \frac{\sin α}{\cos α}

Będziemy przekształcać wyrażenia i równości do równoważnych postaci, aby łatwiej wyciągnąć interesujące nas wnioski.

Przykład 1

Sprawdzimy, czy istnieje kąt ostry $α$ , taki, że:

a) $\sin α = \frac{3}{5}$ i $\cos α = \frac{4}{5}$ ;

b) $\cos α = \frac{1}{3}$ i $tg α = 2$ ;

c) $tg α = \frac{4}{3 \cdot \cos α}$ .

Rozwiązanie:

a) $\sin α = \frac{3}{5}$ i $\cos α = \frac{4}{5}$

Kąt $α$ istnieje, gdy pomiędzy sinusemsinus kąta $α$ sinusem a cosinusemcosinus kąta $α$ cosinusem kąta $α$ zachodzi związek: $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

Podstawiając wartości $\sin α = \frac{3}{5}$ i $\cos α = \frac{4}{5}$ , otrzymujemy: $\sin^{2} α + \cos^{2} α = {(\frac{3}{5})}^{2} + {(\frac{4}{5})}^{2} = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$ .

Odpowiedź:

Taki kąt $α$ istnieje.

b) $\cos α = \frac{1}{3}$ i $tg α = 2$

Obliczamy wartość $\sin α$ , korzystając z zależności $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ . Wiemy, że $tg α = 2$ , więc $\frac{\sin α}{\cos α} = 2$ , stąd $\sin α = 2 \cdot \cos α = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ .

Kąt $α$ istnieje, gdy pomiędzy sinusem a cosinusem kąta $α$ cosinus kąta $α$ cosinusem kąta $α$ zachodzi związek: $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

Podstawiając do tego wzoru wartości $\sin α = \frac{2}{3}$ i $\cos α = \frac{1}{3}$ , otrzymujemy: $\sin^{2} α + \cos^{2} α = {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{5}{9} \neq 1$

Odpowiedź:

Nie istnieje taki kąt $α$ , dla którego $\cos α = \frac{1}{3}$ i $tg α = 2$ .

c) $tg α = \frac{4}{3 \cdot \cos α}$

Korzystając z zależności $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ , dokonamy przekształceń, które umożliwią nam wyliczenie wartości sinusa i cosinusa kąta $α$ :

$tg α = \frac{4}{3 \cdot \cos α}$ ,

czyli $tg α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{4}{3 \cdot \cos α}$ i $\cos α \neq 0$ .

Mnożymy obie strony równości $\frac{\sin α}{\cos α} = \frac{4}{3 \cdot \cos α}$ przez $\cos α$ $(\cos α \neq 0)$

$\frac{\sin α}{\cos α} \cdot \cos α = \frac{4}{3 \cdot \cos α} \cdot \cos α$ , stąd $\sin α = \frac{4}{3}$ .

Zgodnie z definicją, w trójkącie prostokątnym sinus kąta $α$ sinus kąta $α$ sinus kąta $α$ jest stosunkiem długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $α$ do długości przeciwprostokątnej.

Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem, więc niemożliwe jest, aby stosunek krótszego boku do dłuższego dawał wynik większy niż jeden.

Otrzymaliśmy wartość większą od jeden: $\sin α = \frac{4}{3} > 1$ , nie ma więc takiego kąta $α$ .

Odpowiedź:

Nie istnieje taki kąt $α$ , dla którego $tg α = \frac{4}{3 \cdot \cos α}$ .

Przykład 2

Wiedząc, że kąt $α$ jest ostry i $\sin α = \frac{3}{5}$ , obliczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta $(90 ° - α)$ .

Rozwiązanie:

Mając $\sin α = \frac{3}{5}$ , budujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnej $a$ leżącej naprzeciw kąta $α$ długości $3 x$ i przeciwprostokątnej długości $5 x$ , gdzie $x > 0$ .

R1QFa8pXDnS6R

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie b, pionowej przyprostokątnej opisanej jako a=3x oraz o przeciwprostokątnej opisanej jako c=5x. Zaznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt β między bokami a i c oraz kąt α między bokami b i c.

Z twierdzenia Pitagorasa: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ wyznaczamy długość przyprostokątnej $b$ :

${(5 x)}^{2} = {(3 x)}^{2} + b^{2}$ ,

$b^{2} = {(5 x)}^{2} - {(3 x)}^{2} = 25 x^{2} - 9 x^{2} = 16 x^{2}$ , więc

$b = \sqrt{16 x^{2}} = 4 x$ .

Suma kątów w trójkącie wynosi $180 °$ : $α + β + 90 ° = 180 °$ , więc $α + β = 180 ° - 90 ° = 90 °$ . Oznacza to, że kąt leżący naprzeciw przyprostokątnej $b$ ma miarę $β = 90 ° - α$ .

Z definicji funkcji trygonometrycznych:

$\sin (90 ° - α) = \frac{4 x}{5 x} = \frac{4}{5}$ ;

$\cos (90 ° - α) = \frac{3 x}{5 x} = \frac{3}{5}$ ;

$tg (90 ° - α) = \frac{4 x}{3 x} = \frac{4}{3}$ .

Odpowiedź:

$\sin (90 ° - α) = \frac{4}{5}$ , $\cos (90 ° - α) = \frac{3}{5}$ i $tg (90 ° - α) = \frac{4}{3}$ .

Przykład 3

Uzasadnimy, że $\sin α \cdot \cos α \leq \frac{1}{2}$ dla dowolnego kąta $α$ .

Rozwiązanie:

Uzasadniając powyższą nierówność, wykorzystamy fakt, że ${(\sin α - \cos α)}^{2} \geq 0$ .

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy

${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

i ze wzoru $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ , otrzymujemy

${(\sin α - \cos α)}^{2} = \sin^{2} α - 2 \cdot \sin α \cdot \cos α + \cos^{2} α =$

$= \sin^{2} α + \cos^{2} α - 2 \cdot \sin α \cdot \cos α = 1 - 2 \cdot \sin α \cdot \cos α \geq 0$ ,

$1 - 2 \cdot \sin α \cdot \cos α \geq 0$ , czyli

$- 2 \cdot \sin α \cdot \cos α \geq - 1$ .

Dzieląc stronami przez $(- 2)$ , otrzymujemy:

$\sin α \cdot \cos α \leq \frac{1}{2}$ , co należało wykazać.

Przykład 4

Wiedząc, że $tg α + \frac{1}{tg α} = 4$ , obliczymy ${tg}^{3} α + \frac{1}{{tg}^{3} α}$ .

Rozwiązanie:

${tg}^{3} α + \frac{1}{{tg}^{3} α} = {(tg α)}^{3} + {(\frac{1}{tg α})}^{3}$

Korzystając ze wzoru na sumę sześcianów $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , otrzymujemy:

${tg}^{3} α + \frac{1}{{tg}^{3} α} =$

$= {(tg α)}^{3} + {(\frac{1}{tg α})}^{3} =$

$= (tg α + \frac{1}{tg α}) ({(tg α)}^{2} + {(\frac{1}{tg α})}^{2} - tg α \cdot \frac{1}{tg α})$ .

Ponadto, korzystając ze wzoru ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b$ , wyznaczymy

$((tg α^{2}) + {(\frac{1}{tg α})}^{2})$ .

${(tg α)}^{2} + {(\frac{1}{tg α})}^{2} =$

$= {(tg α + \frac{1}{tg α})}^{2} - 2 \cdot tg α \cdot \frac{1}{tg α} =$

$= {(tg α + \frac{1}{tg α})}^{2} - 2 \cdot 1 =$

$= {(tg α + \frac{1}{tg α})}^{2} - 2$

Wówczas otrzymujemy:

${tg}^{3} α + \frac{1}{{tg}^{3} α} =$

$= (tg α + \frac{1}{tg α}) ({(tg α)}^{2} + {(\frac{1}{tg α})}^{2} - tg α \cdot \frac{1}{tg α}) =$

$= (tg α + \frac{1}{tg α}) ({(tg α)}^{2} + {(\frac{1}{tg α})}^{2} - 1) =$

(podstawiamy: ${(tg α)}^{2} + {(\frac{1}{tg α})}^{2} = {(tg α + \frac{1}{tg α})}^{2} - 2$ oraz $tg α + \frac{1}{tg α} = 4$ )

$= (tg α + \frac{1}{tg α}) ({(tg α + \frac{1}{tg α})}^{2} - 2 - 1) =$

$= 4 \cdot (4^{2} - 2 - 1) =$

$= 4 \cdot (16 - 2 - 1) =$

$= 4 \cdot 13 = 52$

Odpowiedź:

${tg}^{3} α + \frac{1}{{tg}^{3} α} = 52$ .

Przykład 5

Sprawdzimy, czy równość $(1 + \sin α) (\frac{1}{\cos α} - tg α) = \cos α$ jest prawdziwa.

Rozwiązanie:

Będziemy przekształcać lewą stronę równości tak długo, aż dojdziemy do prawej strony. Jeśli jednak do niej nie dojdziemy, to pokażemy w ten sposób, że powyższa równość jest sprzeczna.

$L$ – lewa strona równości;

$P$ – prawa strona równości.

$L = (1 + \sin α) (\frac{1}{\cos α} - tg α)$

$P = \cos α$

Wykorzystamy związki między funkcjami trygonometrycznymi:

$tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ i $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$

oraz wzór skróconego mnożenia:

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .

$L = (1 + \sin α) (\frac{1}{\cos α} - tg α) =$

$= (1 + \sin α) (\frac{1}{\cos α} - \frac{\sin α}{\cos α}) =$

$= \frac{(1 + \sin α)}{1} \cdot \frac{(1 - \sin α)}{\cos α} =$

$= \frac{(1 + \sin α) (1 - \sin α)}{\cos α} =$

$= \frac{1 - \sin^{2} α}{\cos α} =$

$= \frac{\cos^{2} α}{\cos α} =$

$= \cos α = P$

Odpowiedź:

Równość $(1 + \sin α) (\frac{1}{\cos α} - tg α) = \cos α$ jest prawdziwa.

Polecenie 1

Zapoznaj się z filmem prezentującym rozwiązania zadań z wyrażeniami zawierającymi funkcje trygonometryczne. Rozwiąż zadania znajdujące się pod filmem i porównaj swoje wyniki z odpowiedziami.

ROsMRnj6rbRGc

Polecenie 2

Wiedząc, że $\cos α = \frac{1}{2}$ , oblicz $\frac{\sin^{2} α}{1 + \cos α}$ .

Przekształcając lewą stronę, wykorzystujemy wzory:

1) $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ , stąd

$\sin^{2} α = 1 - \cos^{2} α$

oraz

2) $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ , więc

${(1)}^{2} - \cos^{2} α = (1 - \cos α) (1 + \cos α)$ .

$\frac{\sin^{2} α}{1 + \cos α} = \frac{1 - \cos^{2} α}{1 + \cos α} = \frac{(1 - \cos α) (1 + \cos α)}{1 + \cos α} = 1 - \cos α = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ i $(1 + \cos α) \neq 0$

$\frac{\sin^{2} α}{1 + \cos α} = \frac{1}{2}$

Polecenie 3

Wykaż, że dla dowolnego kąta $α$ : $\frac{{tg}^{2} α}{{tg}^{2} α + 1} = \sin^{2} α$ .

$\frac{{tg}^{2} α}{{tg}^{2} α + 1} = \sin^{2} α$

Przekształcamy lewą stronę wyrażenia tak długo, aż dojdziemy do prawej.

$\frac{{tg}^{2} α}{{tg}^{2} α + 1} = \frac{{(\frac{\sin α}{\cos α})}^{2}}{{(\frac{\sin α}{\cos α})}^{2} + 1} = \frac{\frac{\sin^{2} α}{\cos^{2} α}}{\frac{\sin^{2} α}{\cos^{2} α} + \frac{\cos^{2} α}{\cos^{2} α}} =$

$= \frac{\frac{\sin^{2} α}{\cos^{2} α}}{\frac{\sin^{2} α + \cos^{2} α}{\cos^{2} α}} = \frac{\frac{\sin^{2} α}{\cos^{2} α}}{\frac{1}{\cos^{2} α}} = \frac{\sin^{2} α}{\cos^{2} α} \cdot \frac{\cos^{2} α}{1} = \sin^{2} α$

Przekształcając lewą stronę, wykorzystaliśmy wzory: $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ i $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

Dla dowolnego kąta $α$ równość $\frac{{tg}^{2} α}{{tg}^{2} α + 1} = \sin^{2} α$ jest prawdziwa.

Wielka Krokiew, skocznia narciarska w Zakopanem, ma rozbieg o długości $98, 7 m$ – jest to odległość najwyższej belki startowej od progu skoczni, liczona wzdłuż rozbiegu.
Licząc w poziomie – odległość najwyższej belki od progu to $80, 85 m$ .
Belkę startową można obniżyć maksymalnie o $22 m$ , licząc wzdłuż rozbiegu – na tej długości można ustalić próg startowy w jednym z $35$ miejsc.

R1VF5NXUK7U34

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o dłuższej przyprostokątnej w podstawie o długości osiemdziesiąt przecinek osiem pięć metrów, przeciwprostokątnej o długości dziewięćdziesiąt osiem przecinek siedem metrów. Kąt alfa znajduje się pomiędzy tymi dwoma bokami. Na rysunku przedstawiony jest także odcinek zaznaczony na przeciwprostokątnej o długości 22 metrów rozpoczynając od górnego wierzchołka trójkąta. Przez zakończenie owego odcina poprowadzona została pionowa prosta oznaczona jako szukana.

Przykład 6

Zastanówmy się, jak wysoko nad progiem startowym znajduje się skoczek narciarski, siedząc na najniższej możliwej belce startowej.

Oczywiście, możemy poradzić sobie z problemem, korzystając z twierdzenia Pitagorasa oraz podobieństwa trójkątówpodobieństwo trójkątówpodobieństwa trójkątów. Jest to jednak okrężna droga. Wykorzystamy zatem trygonometrię, aby uprościć problem.

Możemy łatwo policzyć cosinus kąta $α$ – kąta nachylenia skoczni:

$\cos α = \frac{80, 85}{98, 7} \approx 0, 82$ .

R16E8R2MJ5K1H

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny leżący na dłuższej przyprostokątnej. W trójkącie poprowadzono odcinek o długości x który jest równoległy do krótszej przyprostokątnej i łączy dłuższą przyprostokątną z przeciwprostokątną. Kąt alfa znajduje się pomiędzy przeciwprostokątną, a podstawą trójkąta. Nad przeciwprostokątną znajduje się równanie dziewięćdziesiąt osiem przecinek siedem, minus, dwadzieścia dwa, równa się, siedemdziesiąt sześć przecinek siedem.n>7.

Rozważmy teraz trójkąt prostokątny, którego przyprostokątną jest szukana wysokość. Znamy przeciwprostokątną tego trójkąta oraz $\cos α$ . Pamiętajmy, że $x$ jest przyprostokątną leżącą na przeciw kąta $α$ , więc powinniśmy korzystać z wartości $\sin α$ .

Jak ją znaleźć?

Przypomnijmy sobie tożsamości trygonometrycznetożsamości trygonometrycznetożsamości trygonometryczne, a konkretnie jedynkę trygonometrycznąjedynka trygonometrycznajedynkę trygonometryczną:

$\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

Stąd $\sin^{2} α = 1 - \cos^{2} α \approx 1 - {(0, 82)}^{2} = 0, 3276$ ,
więc $\sin α \approx 0, 57$ lub $\sin α \approx - 0, 57$ .

Wiemy jednak, że kąt $α$ jest ostry, więc wybieramy dodatnią wartość funkcji sinus.

Zatem $\frac{x}{76, 5} \approx 0, 57$ , stąd $x \approx 43, 61 m$ .

Znając $\sin α$ , możemy łatwo policzyć na jakiej wysokości znajduje się skoczek siedząc na każdej z $35$ belek startowych.

Polecenie 4

Ułóż matematyczne puzzle, a następnie rozwiąż polecenie 2 i 3.

R1VQOXTTFf7Jk

Dopasuj trójkąty prostokątne do wartości trygonometrycznych kąta alfa.

Trójkąt ma przyprostokątną o długości a, równa się, trzy oraz przeciwprostokątną o długości c, równa się, siedem. Boki te rozpinają kąt alfa. Zatem 1. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. sinus alfa, równa się, zero przecinek jeden jeden nawias, sześć, zamknięcie nawiasu, 3. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sto osiemnaście, mianownik, jeden, koniec ułamka.

Trójkąt ma przyprostokątne o długości a, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy oraz b i przeciwprostokątną o długości c, równa się, jedenaście. Boki a oraz c rozpinają kąt alfa. Zatem 1. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. sinus alfa, równa się, zero przecinek jeden jeden nawias, sześć, zamknięcie nawiasu, 3. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sto osiemnaście, mianownik, jeden, koniec ułamka.

Trójkąt ma przyprostokątne o długości a oraz b, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzydzieści pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka i przeciwprostokątną o długości c, równa się, dwa. Boki b oraz c rozpinają kąt alfa. Zatem 1. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. sinus alfa, równa się, zero przecinek jeden jeden nawias, sześć, zamknięcie nawiasu, 3. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sto osiemnaście, mianownik, jeden, koniec ułamka.

Trójkąt ma przyprostokątne o długości a, równa się, cztery oraz b i przeciwprostokątną o długości c, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia. Boki b oraz c rozpinają kąt alfa. Zatem 1. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. sinus alfa, równa się, zero przecinek jeden jeden nawias, sześć, zamknięcie nawiasu, 3. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sto osiemnaście, mianownik, jeden, koniec ułamka.

Trójkąt ma przyprostokątne o długości a oraz b, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa i przeciwprostokątną o długości c, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy. Boki b oraz c rozpinają kąt alfa. Zatem 1. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. sinus alfa, równa się, zero przecinek jeden jeden nawias, sześć, zamknięcie nawiasu, 3. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sto osiemnaście, mianownik, jeden, koniec ułamka.

Dopasuj trójkąty prostokątne do wartości trygonometrycznych kąta alfa.

Trójkąt ma przyprostokątną o długości a, równa się, trzy oraz przeciwprostokątną o długości c, równa się, siedem. Boki te rozpinają kąt alfa. Zatem 1. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. sinus alfa, równa się, zero przecinek jeden jeden nawias, sześć, zamknięcie nawiasu, 3. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sto osiemnaście, mianownik, jeden, koniec ułamka.

Trójkąt ma przyprostokątne o długości a, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy oraz b i przeciwprostokątną o długości c, równa się, jedenaście. Boki a oraz c rozpinają kąt alfa. Zatem 1. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. sinus alfa, równa się, zero przecinek jeden jeden nawias, sześć, zamknięcie nawiasu, 3. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sto osiemnaście, mianownik, jeden, koniec ułamka.

Trójkąt ma przyprostokątne o długości a oraz b, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzydzieści pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka i przeciwprostokątną o długości c, równa się, dwa. Boki b oraz c rozpinają kąt alfa. Zatem 1. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. sinus alfa, równa się, zero przecinek jeden jeden nawias, sześć, zamknięcie nawiasu, 3. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sto osiemnaście, mianownik, jeden, koniec ułamka.

Trójkąt ma przyprostokątne o długości a, równa się, cztery oraz b i przeciwprostokątną o długości c, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia. Boki b oraz c rozpinają kąt alfa. Zatem 1. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. sinus alfa, równa się, zero przecinek jeden jeden nawias, sześć, zamknięcie nawiasu, 3. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sto osiemnaście, mianownik, jeden, koniec ułamka.

Trójkąt ma przyprostokątne o długości a oraz b, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa i przeciwprostokątną o długości c, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy. Boki b oraz c rozpinają kąt alfa. Zatem 1. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. sinus alfa, równa się, zero przecinek jeden jeden nawias, sześć, zamknięcie nawiasu, 3. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sto osiemnaście, mianownik, jeden, koniec ułamka.

RBQbrwGKLSzD61

Polecenie 5

Znajdź wartości $\sin α$ i $\cos α$ wiedząc, że spełnione jest równanie $\sin α = 2 \cos α$ .

Znów korzystamy z jedynki trygonometrycznej.

$\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$
${(2 \cos α)}^{2} + \cos^{2} α = 1$
$5 \cos^{2} α = 1$
$\cos^{2} α = \frac{1}{5}$
$\cos α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ lub $\cos α = - \frac{\sqrt{5}}{5}$
$\sin α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ lub $\sin α = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Polecenie 6

Wiedząc, że $\sin α = (\sqrt{3} - \sqrt{2})$ i kąt $α$ jest rozwarty, oblicz $\cos α$ .

$\cos^{2} α = 1 - \sin^{2} α = 1 - {(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} = 1 - (3 - 2 \sqrt{6} + 2) = - 4 + 2 \sqrt{6}$

$\cos α = \sqrt{2 \sqrt{6} - 4}$ lub $\cos α = - \sqrt{2 \sqrt{6} - 4}$ .

Wybieramy wartość ujemną, ponieważ kąt $α$ jest rozwarty.

Odpowiedź: $\cos α = - \sqrt{2 \sqrt{6} - 4}$ .

Poniżej wyznaczymy wartość sinusa kąta ostrego, gdy dany jest tangens tego kąta. Pokażemy dwie metody rozwiązywania tego typu problemów. Jeden sposób będzie opierał się na konstrukcji trójkąta prostokątnego o odpowiednich własnościach, drugi na związkach algebraicznych między funkcjami trygonometrycznymi.

$I$ metoda: konstrukcyjna

Jeśli $α$ jest kątem ostrym, to możemy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego kąta obliczyć, budując trójkąt prostokątny, w którym stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $α$ do drugiej przyprostokątnej jest równy wartości tangensa tego kąta.

Zapiszmy równanie dla kąta ostrego $α$ : $tg α = k$ , gdzie $k \in ℝ_{+}$ .

Każdą liczbę $k \in ℝ_{+}$ możemy zapisać w postaci $k = \frac{p}{q}$ , gdzie $q \in ℤ_{+}$ .

Po zapisaniu $tg α$ w postaci

tg α = \frac{p}{q},

budujemy trójkąt, w którym przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta $α$ jest długości $p$ , a druga przyprostokątna jest długości $q$ .

Teraz, korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego, wyznaczamy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych.

R1CMI8vY6BqGH

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o bokach p, q i c. C jest przeciwprostokątną trójkąta. Pomiędzy bokami q i c znajduje się kąt alfa.

Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość przeciwprostokątnej:

c^{2} = p^{2} + q^{2}

czyli

c = \sqrt{p^{2} + q^{2}}

Stosując definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym otrzymujemy:

\sin α = \frac{p}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}

oraz

\cos α = \frac{q}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}

Przykład 7

Wyznaczymy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego $α$ , jeśli $tg α = 4$ .

Zauważmy, że

$tg α = 4 = \frac{4}{1}$ .

Zależność $tg α = 4$ zachodzi zatem w dowolnym trójkącie o przyprostokątnych pozostających w stosunku $4 : 1$ , w szczególności w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości $4$ i $1$ . Budujemy więc trójkąt prostokątny o przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $α$ długości $4$ i drugiej przyprostokątnej długości $1$ .

R1Mug6yUWV0nS

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o bokach 4, 1 i c. C jest przeciwprostokątną trójkąta. Pomiędzy bokami 1 i c znajduje się kąt alfa.

Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość przeciwprostokątnej:

$c^{2} = 4^{2} + 1^{2}$ ,

stąd

$c = \sqrt{4^{2} + 1^{2}} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$ .

Z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym:

$\sin α = \frac{4}{\sqrt{17}} = \frac{4 \sqrt{17}}{17}$ i $\cos α = \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{\sqrt{17}}{17}$ .

Odpowiedź: $\sin α = \frac{4 \sqrt{17}}{17}$ i $\cos α = \frac{\sqrt{17}}{17}$ .

Przykład 8

Wiedząc, że $tg α = 2 \frac{2}{3}$ i $α$ jest kątem ostrym, obliczymy wartości $\sin α$ i $\cos α$ .

Ponieważ $tg α = 2 \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$ , to możemy przyjąć, że długości przyprostokątnych wynoszą odpowiednio $8$ i $3$ .

Budujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $α$ o długości $8$ i drugiej przyprostokątnej o długości $3$ .

R1SoO3Ggqfeqs

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o bokach 8 3 i c. C jest przeciwprostokątną trójkąta. Pomiędzy bokami 3 i c znajduje się kąt alfa.

Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość przeciwprostokątnej.

$c^{2} = 8^{2} + 3^{2}$ , stąd

$c = \sqrt{8^{2} + 3^{2}} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$ .

Z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym wyznaczamy wartości sinusa i cosinusa kąta $α$ :

$\sin α = \frac{8}{\sqrt{73}} = \frac{8 \sqrt{73}}{73}$ i $\cos α = \frac{3}{\sqrt{73}} = \frac{3 \sqrt{73}}{73}$ .

Odpowiedź: $\sin α = \frac{8 \sqrt{73}}{73}$ i $\cos α = \frac{3 \sqrt{73}}{73}$ .

$II$ metoda: wykorzystanie związków między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta

W tej metodzie, korzystając ze związków pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta ostrego:

tg α = \frac{\sin α}{\cos α}

\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1,

pokażemy, jak można wyznaczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, gdy dany jest tangens kąta $α$ w trójkącie prostokątnymtangens kąta $α$ w trójkącie prostokątnym kąta $α$ .

Przyjmując $tg α = k$ i stosując wzór $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ , otrzymujemy $tg α = \frac{\sin α}{\cos α} = k$ i $\cos α \neq 0$ .

\frac{\sin α}{\cos α} = k

, więc

\sin α = k \cdot \cos α

Ponadto $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

Rozwiązujemy układ równań z niewiadomymi $\sin α$ i $\cos α$ .

$\{\begin{cases} \sin α = k \cdot \cos α (1) \\ \sin^{2} α + \cos^{2} α = 1 (2) \end{cases}$

Podstawiając $\sin α = k \cdot \cos α$ do równania $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ , otrzymujemy:

${(k \cdot \cos α)}^{2} + \cos^{2} α = 1$

$k^{2} \cdot \cos^{2} α + \cos^{2} α = 1$

$(k^{2} + 1) \cos^{2} α = 1$ .

Zatem $\cos^{2} α = \frac{1}{k^{2} + 1}$ , a ponieważ funkcje trygonometryczne przyjmują dla kątów ostrych tylko wartości dodatnie, to:

\cos α = \frac{1}{\sqrt{k^{2} + 1}} .

Obliczamy teraz wartość $\sin α$ , podstawiając $\cos α = \frac{1}{\sqrt{k^{2} + 1}}$ do pierwszego równania:

\sin α = k \cdot \cos α = k \cdot \frac{1}{\sqrt{k^{2} + 1}} = \frac{k}{\sqrt{k^{2} + 1}} .

Jeżeli $tg α = k$ , to $\sin α = \frac{k}{\sqrt{k^{2} + 1}}$ oraz $\cos α = \frac{1}{\sqrt{k^{2} + 1}}$ .

Przykład 9

Wyznaczymy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego $α$ , jeśli $tg α = 2$ .

Jako, że $tg α = 2$ , więc wykorzystując wzór $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ , otrzymujemy, że $\frac{\sin α}{\cos α} = 2$ , stąd: $\sin α = 2 \cdot \cos α$ .

Rozwiązujemy układ równań z niewiadomymi $\sin α$ i $\cos α$

$\{\begin{cases} \sin α = 2 \cdot \cos α \\ \sin^{2} α + \cos^{2} α = 1 \end{cases}$

Podstawiając $\sin α = 2 \cdot \cos α$ do równania $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ , otrzymujemy: ${(2 \cdot \cos α)}^{2} + \cos^{2} α = 1$ , co daje: $5 \cdot \cos^{2} α = 1$ i ostatecznie: $\cos^{2} α = \frac{1}{5}$ .

Rozwiązaniem równania $\cos^{2} α = \frac{1}{5}$ są liczby: $\sqrt{\frac{1}{5}}$ lub $- \sqrt{\frac{1}{5}}$ .

Funkcje trygonometryczne przyjmują dla kątów ostrych tylko wartości dodatnie, zatem:

$\cos α = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Obliczoną wartość $\cos α$ podstawiamy do równania $\sin α = 2 \cdot \cos α$ i otrzymujemy:

$\sin α = 2 \cdot \cos α = \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{5}$ .

Odpowiedź: $\sin α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ i $\cos α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Przykład 10

Wyznaczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego $α$ wiedząc, że $tg α = \frac{3}{4 \cdot \cos α}$ .

Skoro $tg α = \frac{3}{4 \cdot \cos α}$ , to korzystając ze wzoru $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ , mamy $\frac{\sin α}{\cos α} = \frac{3}{4 \cdot \cos α}$ .

Mnożymy obie strony równania $\frac{\sin α}{\cos α} = \frac{3}{4 \cdot \cos α}$ przez $\cos α$ , przy czym $\cos α \neq 0$ .

$\frac{\sin α}{\cos α} \cdot \cos α = \frac{3}{4 \cdot \cos α} \cdot \cos α$

Po skróceniu otrzymujemy: $\sin α = \frac{3}{4}$ .

Cosinus kąta $α$ w trójkącie prostokątnymCosinus kąta $α$ w trójkącie prostokątnym kąta $α$ wyliczymy z zależności:

$\cos^{2} α = 1 - \sin^{2} α$ .

Podstawiając $\sin α = \frac{3}{4}$ , otrzymujemy:

$\cos^{2} α = 1 - {(\frac{3}{4})}^{2} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$ .

Rozwiązaniem równania $\cos^{2} α = \frac{7}{16}$ są dwie liczby $\frac{\sqrt{7}}{4}$ lub $- \frac{\sqrt{7}}{4}$ .

Funkcje trygonometryczne przyjmują dla kątów ostrych tylko wartości dodatnie, więc $\cos α = \frac{\sqrt{7}}{4}$ , natomiast $tg α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{3 \sqrt{7}}{7}$ .

Przykład 11

Wyznaczymy sinus kąta $α$ w trójkącie prostokątnymsinus kąta $α$ w trójkącie prostokątnym kąta ostego $α$ , jeśli $tg α = \sqrt{5}$ .

Skoro $tg α = \sqrt{5}$ , to: $\frac{\sin α}{\cos α} = \sqrt{5}$ , zatem: $\cos α = \frac{\sin α}{\sqrt{5}}$ .

Podstawiamy $\cos α = \frac{\sin α}{\sqrt{5}}$ do równania $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ i otrzymujemy:

$\sin^{2} α + {(\frac{\sin α}{\sqrt{5}})}^{2} = 1$ , co daje: $\frac{6}{5} \cdot \sin^{2} α = 1$ i ostatecznie: $\sin^{2} α = \frac{5}{6}$ .

Rozwiązaniem równania $\sin^{2} α = \frac{5}{6}$ są liczby: $\sqrt{\frac{5}{6}}$ lub $- \sqrt{\frac{5}{6}}$ .

Funkcje trygonometryczne przyjmują dla kątów ostrych tylko wartości dodatnie, zatem

$\sin α = \sqrt{\frac{5}{6}} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{30}}{6}$

Odpowiedź: $\sin α = \frac{\sqrt{30}}{6}$ .

Polecenie 7

Zapoznaj się z animacją prezentującą sposób wyznania wartości sinusa, gdy znany jest tangens. Rozwiąż zadania i porównaj z odpowiedziami.

Rf0chpic2QJzf

Polecenie 8

Wiedząc, że $tg α = 9$ i $α$ jest kątem ostrym, oblicz wartości $\sin α$ i $\cos α$ .

Ponieważ $tg α = \frac{9}{1}$ , więc budujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $α$ długości $9$ i drugiej przyprostokątnej długości $1$ .

R1KhpmDD2cAwl

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o bokach 9, 1 i c. C jest przeciwprostokątną trójkąta. Pomiędzy bokami 1 i c znajduje się kąt alfa.

Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość przeciwprostokątnej.

$c^{2} = 9^{2} + 1^{2}$ , zatem $c = \sqrt{9^{2} + 1^{2}} = \sqrt{81 + 1} = \sqrt{82}$

Z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym:

$\sin α = \frac{9}{\sqrt{82}} = \frac{9 \sqrt{82}}{82}$ i $\cos α = \frac{1}{\sqrt{82}} = \frac{\sqrt{82}}{82}$ .

$\sin α = \frac{9 \sqrt{82}}{82}$ i $\cos α = \frac{\sqrt{82}}{82}$ .

Polecenie 9

Wiedząc, że $tg α = \frac{7}{5} \sin α$ i $α$ jest kątem ostrym, wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego $α$ .

Z treści zadania mamy, że $tg α = \frac{7}{5} \sin α$ , czyli $\frac{\sin α}{\cos α} = \frac{7}{5} \sin α$ i $\cos α \neq 0$ .

$\frac{\sin α}{\cos α} = \frac{7 \sin α}{5}$

Po podzieleniu stronami powyższego równania przez $\sin α$ $(\sin α \neq 0)$ , otrzymujemy: $\frac{1}{\cos α} = \frac{7}{5}$ , stąd $\cos α = \frac{5}{7}$ .

Sinus kąta $α$ wyliczymy z zależności: $\sin^{2} α = 1 - \cos^{2} α$ .

Podstawiając $\cos α = \frac{5}{7}$ , otrzymujemy:

$\sin^{2} α = 1 - {(\frac{5}{7})}^{2} = 1 - \frac{25}{49} = \frac{24}{49}$ .

Rozwiązaniem równania $\sin^{2} α = \frac{24}{49}$ są dwie liczby: $\sqrt{\frac{24}{49}}$ lub $- \sqrt{\frac{24}{49}}$ .

Funkcje trygonometryczne przyjmują dla kątów ostrych tylko wartości dodatnie, więc:

$\sin α = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 6}}{\sqrt{7 \cdot 7}} = \frac{2 \sqrt{6}}{7}$ .

Wykorzystując związek $tg α = \frac{7}{5} \sin α$ , wyliczamy $tg α$ .

$tg α = \frac{7}{5} \sin α = \frac{7}{5} \cdot \frac{2 \sqrt{6}}{7} = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

$\cos α = \frac{5}{7}$ , $\sin α = \frac{2 \sqrt{6}}{7}$ i $tg α = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ .

RkEwNXIXUfZnX1

Ćwiczenie 1

RHueShC9PyckL1

Ćwiczenie 2

Dobierz wartość tangens alfa do wartości kosinus alfa, tak aby istniał kąt ostry alfa spełniający oba te warunki jednocześnie. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. tangens alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. tangens alfa, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. tangens alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. tangens alfa, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka kosinus alfa, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. tangens alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. tangens alfa, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. tangens alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. tangens alfa, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka kosinus alfa, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. tangens alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. tangens alfa, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. tangens alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. tangens alfa, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, siedem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. tangens alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. tangens alfa, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. tangens alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. tangens alfa, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka

R1ccLYUThFiSt2

Ćwiczenie 3

RQh8pNKHxKCBi2

Ćwiczenie 4

R1OmEToZK35CD2

Ćwiczenie 5

R1Q3v7ikilRJk2

Ćwiczenie 6

RT3PcvvT1sH0G3

Ćwiczenie 7

RPN7Vjv7fKx603

Ćwiczenie 8

Rc3FJKOeYxzyW1

Ćwiczenie 9

Połącz w pary wartości funkcji sinus i cosinus tego samego kąta. sinus alfa, równa się, zero przecinek jeden dwa Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z tysiąc siedemdziesiąt trzy, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka, 2. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z sto pięćdziesiąt cztery, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dziewięćset pięćdziesiąt siedem, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka sinus alfa, równa się, zero, przecinek, nawias, dwanaście, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z tysiąc siedemdziesiąt trzy, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka, 2. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z sto pięćdziesiąt cztery, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dziewięćset pięćdziesiąt siedem, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka sinus alfa, równa się, pierwiastek kwadratowy z zero, przecinek, nawias, dwanaście, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z tysiąc siedemdziesiąt trzy, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka, 2. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z sto pięćdziesiąt cztery, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dziewięćset pięćdziesiąt siedem, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka sinus alfa, równa się, pierwiastek kwadratowy z zero przecinek jeden dwa Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z tysiąc siedemdziesiąt trzy, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka, 2. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z sto pięćdziesiąt cztery, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dziewięćset pięćdziesiąt siedem, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka

R1IYONqRBJqAT2

Ćwiczenie 10

R14jRnqQgDYXX2

Ćwiczenie 11

RMzU6ZxPxw5yT3

Ćwiczenie 12

R1E0Hxi6PiFRY1

Ćwiczenie 13

RBrDK5Jdofb0W1

Ćwiczenie 14

Dopasuj wartość tangensa kąta ostrego alfa do odpowiadającej mu wartości sinusa lub cosinusa tego kąta. tangens alfa, równa się, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. sinus alfa, równa się, początek ułamka, sześć pierwiastek kwadratowy z trzydzieści siedem koniec pierwiastka, mianownik, trzydzieści siedem, koniec ułamka, 2. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześćdziesiąt pięć koniec pierwiastka, mianownik, sześćdziesiąt pięć, koniec ułamka, 3. sinus alfa, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 4. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sto jeden koniec pierwiastka, mianownik, sto jeden, koniec ułamka tangens alfa, równa się, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. sinus alfa, równa się, początek ułamka, sześć pierwiastek kwadratowy z trzydzieści siedem koniec pierwiastka, mianownik, trzydzieści siedem, koniec ułamka, 2. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześćdziesiąt pięć koniec pierwiastka, mianownik, sześćdziesiąt pięć, koniec ułamka, 3. sinus alfa, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 4. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sto jeden koniec pierwiastka, mianownik, sto jeden, koniec ułamka tangens alfa, równa się, osiem Możliwe odpowiedzi: 1. sinus alfa, równa się, początek ułamka, sześć pierwiastek kwadratowy z trzydzieści siedem koniec pierwiastka, mianownik, trzydzieści siedem, koniec ułamka, 2. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześćdziesiąt pięć koniec pierwiastka, mianownik, sześćdziesiąt pięć, koniec ułamka, 3. sinus alfa, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 4. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sto jeden koniec pierwiastka, mianownik, sto jeden, koniec ułamka tangens alfa, równa się, dziesięć Możliwe odpowiedzi: 1. sinus alfa, równa się, początek ułamka, sześć pierwiastek kwadratowy z trzydzieści siedem koniec pierwiastka, mianownik, trzydzieści siedem, koniec ułamka, 2. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześćdziesiąt pięć koniec pierwiastka, mianownik, sześćdziesiąt pięć, koniec ułamka, 3. sinus alfa, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 4. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sto jeden koniec pierwiastka, mianownik, sto jeden, koniec ułamka

RdoSNHbnBv2Cs1

Ćwiczenie 15

R1FoIR7Gjd5TT2

Ćwiczenie 16

R4vjAQgefXD592

Ćwiczenie 17

RinUf8cIC5iis2

Ćwiczenie 18

RXF93n43u1CpB3

Ćwiczenie 19

R1B5S2UB8exEs3

Ćwiczenie 20

Słownik

sinus kąta

α

sinus kąta

α

w trójkącie prostokątnym stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta $α$ do przeciwprostokątnej

cosinus kąta

α

cosinus kąta

α

w trójkącie prostokątnym stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta $α$ do przeciwprostokątnej

tożsamości trygonometryczne

zależności między funkcjami trygonometrycznymi, będące prawdziwe, bez względu na wartość kąta

jedynka trygonometryczna

jedna z tożsamości trygonometrycznych: dla dowolnego kąta $α$ spełniona jest równość $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$

podobieństwo trójkątów

trójkąty podobne to trójkąty, które mają pary kątów tej samej miary

sinus kąta

α

w trójkącie prostokątnym

sinus kąta

α

w trójkącie prostokątnym

stosunek długości przyprostokątnej $a$ przeciwległej do kąta $α$ do przeciwprostokątnej $c$

cosinus kąta

α

w trójkącie prostokątnym

cosinus kąta

α

w trójkącie prostokątnym

stosunek długości przyprostokątnej $b$ przyległej do kąta $α$ do przeciwprostokątnej $c$

tangens kąta

α

w trójkącie prostokątnym

tangens kąta

α

w trójkącie prostokątnym

stosunek długości przyprostokątnej $a$ przeciwległej do kąta $α$ do przyprostokątnej $b$ przyległej do kąta $α$

1. Zależności trygonometryczne

3. Przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych (DODATEK)

$I$ metoda: konstrukcyjna

$II$ metoda: wykorzystanie związków między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta

Słownik

1. Zależności trygonometryczne

3. Przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych (DODATEK)

M_R_W07_M3 Zależności trygonometryczne kąta ostrego

I metoda: konstrukcyjna

II metoda: wykorzystanie związków między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta

Słownik

$I$ metoda: konstrukcyjna

$II$ metoda: wykorzystanie związków między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta