10. Powtórzenie - własności figur geometrycznych na płaszczyźnie - Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

RSqdCaxK9BJGC

10. Powtórzenie - własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

RZoOYKmBF2cq71

Zdjęcie przedstawia oświetlone od środka dwie ściany szklanej piramidy stojącej przed budynkiem muzeum Luwr. — Źródło: Edgar Chaparro, dostępny w internecie: www.unslpash.com.

Trudno znaleźć figury płaskie wokół nas, bowiem na ogół są one bryłami. Weźmy za przykład takie piramidy w Egipcie, czy Piramidę Luwru. To bryły. Gdyby tak jednak spojrzeć na nie z przodu… zobaczymy zwyczajny trójkąt.

Rhppg31MIr4RU1

Widok z góry na budynek siedziby Departamentu Obrony Stanów Zjednoczonych zwany Pentagonem. — Źródło: David Mark, dostępny w internecie: https://pixabay.com/.

Dodatkowo możemy również patrzeć na otaczający nas świat z góry – Internet nam to umożliwia. I gdy dla przykładu przyjrzymy się siedzibie Departamentu Obrony Stanów Zjednoczonych czyli Pentagonowi, zobaczymy pięciokąt (na co sama nazwa wskazuje).

W tej lekcji powtórzymy i utrwalimy wiadomości dotyczące figur.

R5zhOO7LEK2ck

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RIiMJpz5o3ifj

Ćwiczenie 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem. Oblicz miarę kąta $x$ .

RupPwO769vpcp1

Rysunek trzech prostych przecinających się w jednym punkcie. Proste tworzą kąty o miarach 3x, x i 20 stopni. Suma tych kątów tworzy kąt półpełny. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RggBRK46qaQlJ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Korzystając w faktu, że suma miar kątów przyległych wynosi $180 °$ ułóż odpowiednie równanie.

Ćwiczenie 4

Korzystając z informacji opisujących zależność między $α$ i $β$ , wybierz poprawną odpowiedź.

Ro5C28ZGI73Fy

R1TZZQ1sxDuN3

RyjaEfnJpf4zQ

Rozwiąż test składający się z trzech pytań.

RET5M8hCuMGYA

RpiZTkdpco7En

R1Wt6KxGGCzZs

Ćwiczenie 5

Na rysunkach przecinające się proste tworzą trójkąt. Jakie miary mają kąty $α$ i $β$ ? Ile wynosi suma miar kątów w utworzonym trójkącie?

Ra65qaULX7HCz

R1FlBOAuksmOB

$α =$ ............ $°$
$β =$ ............ $°$
Suma miar kątów w trójkącie wynosi ............ $°$ .

R1TzaCus2UcJ3

R1DELxb48c3bh

$α =$ ............ $°$
$β =$ ............ $°$
Suma miar kątów w trójkącie wynosi ............ $°$ .

RhDhFrZxfrsNY

Ćwiczenie 6

Na rysunku przedstawione są dwie przecinające się proste oraz wyrażenia algebraiczne ze zmienną $x$ opisujące miarę kątów w stopniach. Wyznacz miary kątów wypukłych $∢ A C E$ i $∢ B C E$ .

RPSGSG0y2qyec

Rysunek przedstawia dwie ukośne proste: prostą A B i prostą D E, które przecinają się w punkcie C. Zaznaczono przyległe kąty przecięcia, czyli kąt B C D opisany jako 2 x dodać 20 stopnie oraz kąt A C D opisany jako 3 x dodać 10

$2 x + 20 ° + 3 x + 10 ° = 180 °$

$5 x + 30 ° = 180 °$

$5 x = 150 °$

$x = 30 °$

$∢ B C E = ∢ A C D = 3 x + 10^{\circ} = 100^{\circ}$

$∢ A C E = ∢ B C D = 2 x + 20^{\circ} = 80^{\circ}$

Ćwiczenie 7

RG3F6mnZvJYoj

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Ile różnych prostokątów można utworzyć z $12$ przystających kwadratów? Który z tych prostokątów będzie miał najmniejszy obwód?

R11XbzYUQlJf5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeśli przyjąć, że długość boku kwadratu jest równa $1$ , to prostokąty, które można utworzyć, mają wymiary: $4 \times 3$ , $6 \times 2$ , $1 \times 12$ . Ich obwody są odpowiednio równe: $14$ , $16$ , $26$ .

Najmniejszy obwód ma prostokąt o wymiarach $4 \times 3$ .

Ćwiczenie 9

Trapezy równoramienne $A$ i $B$ są przystające. Oblicz obwód trapezu $A$ .

RWaGeIDw4Tile1

Rysunek dwóch przystających trapezów równoramiennych. W trapezie A krótsza dolna podstawa ma długość 4, a ramię długość sześć. W trapezie B wysokość poprowadzona do dłuższej podstawy wyznaczyła trójkąt prostokątny. Krótsza przyprostokątna, która jest jednocześnie kawałkiem dłuższej podstawy, w tym trójkącie ma długość trzy. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ROelsVnW0t750

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1OWIhcyIrlKN

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R10gPvc9tn0qP

Ćwiczenie 11

$1,7 cm$
$170 cm$
$170 mm$
$17 m$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RYF6vllWQVAgb

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RWxN5yaitbOQz

Ćwiczenie 13

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

Wykaż, że jeśli dwa trójkąty równoboczne mają równe wysokości, to są przystające.

R1DpWdBaoZ3I8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Każdy trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równej długości. Wysokość każdego trójkąta równobocznego zależy od długości jego boku zgodnie ze wzorem $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Oznacza to, że jeżeli dwa trójkąty równoboczne mają takie same wysokości, to muszą mieć boki tej samej długości, tym samym są przystające.

Ćwiczenie 15

Uzasadnij, że pole równoległoboku $A B C D$ jest czterokrotnie większe od pola trójkąta $A O B$ .

RdPeBUFov4p4e1

Rysunek równoległoboku A B C D, którego przekątne przecinają się w punkcie O. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RCdEYiBH5ATPn

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykaż, że trójkąty $A O B$ oraz $D O C$ to para trójkątów przystających. Podobnie trójkąty $A O D$ oraz $B O C$ to para trójkątów przystających. Poprowadź również wysokość trójkąta $A B C$ do podstawy $A C$ .

R1MyBgOrzr9XO

Rysunek równoległoboku A B C D, którego przekątne przecinają się w punkcie O. Dodatkowo zaznaczono na rysunku wysokość trójkąta A B C, która opada na podstawę AC, która jest jednocześnie przekątną czworokąta. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekątne w równoległoboku przecinają się w połowie swoich długości, a kąty wierzchołkowe między przekątnymi mają takie same miary. Oznacza to, że trójkąty $A O B$ i $D O C$ tak samo jak trójkąty $A O D$ oraz $B O C$ są przystające na mocy cechy bok – kąt – bok. Zauważmy, że odcinek $B E$ , który jest wysokością trójkąta $A B C$ , jest również wysokością trójkątów $B O C$ i $A O B$ . Odcinki $A O$ i $O C$ mają takie same długości, więc trójkąty $A O B$ i $B O C$ mają takie same pola. Korzystając z tego faktu oraz z przystawania trójkątów wiemy, że wszystkie trójkąty mają takie same pola. Oznacza to, że pole trójkąta $A O B$ jest czterokrotnie mniejsze od pola równoległoboku $A B C D$ .

Ćwiczenie 16

Zapoznaj się z poniższą ilustracją, która przedstawia dwa trójkąty przystające.

ResewzfQkpJit

Na ilustracji znajdują się dwa trójkąty. Pierwszy trójkąt ma bok długości a na przeciwko kąta alfa, bok długości b na przeciwko kąta 35 stopni i najdłuższy bok długości c na przeciwko kąta beta. Drugi trójkąt ma bok długości d na przeciwko kąta gamma, bok długości e na przeciwko kąta 100 stopni i najkrótszy bok długości f na przeciwko kąta delta. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RJl0BDWRUQjat

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

Pole trójkąta jest równe $24 {cm}^{2}$ .

Podstawa trójkąta ma długość $6 cm$ . Oblicz długość wysokości poprowadzonej do tej podstawy.
Wysokość trójkąta jest równa $8 cm$ . Oblicz długość podstawy trójkąta, na którą poprowadzono tę wysokość.

RtfkSqWWj3j9w

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Skorzystaj ze wzoru na pole trójkąta: $P = \frac{1}{2} a h$ , gdzie $a$ to długość podstawy, $h$ to wysokość trójkąta.

$P = 24 {cm}^{2}$
$24 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h$
$h = 8 cm$
$P = 24 {cm}^{2}$
$24 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 8$
$a = 6 cm$

Ćwiczenie 18

RG0XtJj9Gm9Pu

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Środek ciężkości dzieli każdą ze środkowych trójkąta w stosunku $2 : 1$ , licząc od wierzchołka.

R4kM9h6gMFFhQ

Ćwiczenie 19

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R19HDEn3pMPAF

Ćwiczenie 20

$20$
$25$
$30$
$40$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RqdmYd19ifQAP

Ćwiczenie 21

Oblicz pole trójkąta prostokątnego, w którym: jedna z przyprostokątnych ma długość

6 cm

, a przeciwprostokątna ma długość

6, 5 cm

Możliwe odpowiedzi: 1.

b^{2} + 6^{2} = {(6, 5)}^{2}

b = 2, 5 cm

- długość drugiej przyprostokątnej

P = \frac{6 \cdot 2, 5}{2} = 7, 5 ({cm}^{2})

, 2.

x = 2 \sqrt{5}

2 \sqrt{5} cm

4 \sqrt{5} cm

- długości przyprostokątnych

P = \frac{2 \sqrt{5} \cdot 4 \sqrt{5}}{2} = 20 ({cm}^{2})

, 3.

a^{2} + {(1 \frac{2}{5})}^{2} = 5^{2}

a = 4 \frac{4}{5} m

--- długość drugiej przyprostokątnej

P = \frac{1}{2} \cdot 1 \frac{2}{5} \cdot 4 \frac{4}{5} = 3 \frac{9}{25} ({cm}^{2})

przeciwprostokątna ma długość

10 cm

, a jedna z przyprostokątnych jest dwukrotnie krótsza od drugiej Możliwe odpowiedzi: 1.

b^{2} + 6^{2} = {(6, 5)}^{2}

b = 2, 5 cm

- długość drugiej przyprostokątnej

P = \frac{6 \cdot 2, 5}{2} = 7, 5 ({cm}^{2})

, 2.

x = 2 \sqrt{5}

2 \sqrt{5} cm

4 \sqrt{5} cm

- długości przyprostokątnych

P = \frac{2 \sqrt{5} \cdot 4 \sqrt{5}}{2} = 20 ({cm}^{2})

, 3.

a^{2} + {(1 \frac{2}{5})}^{2} = 5^{2}

a = 4 \frac{4}{5} m

--- długość drugiej przyprostokątnej

P = \frac{1}{2} \cdot 1 \frac{2}{5} \cdot 4 \frac{4}{5} = 3 \frac{9}{25} ({cm}^{2})

jedna z przyprostokątnych ma długość

1 \frac{2}{5} m

, a przeciwprostokątna ma długość

5 m

Możliwe odpowiedzi: 1.

b^{2} + 6^{2} = {(6, 5)}^{2}

b = 2, 5 cm

- długość drugiej przyprostokątnej

P = \frac{6 \cdot 2, 5}{2} = 7, 5 ({cm}^{2})

, 2.

x = 2 \sqrt{5}

2 \sqrt{5} cm

4 \sqrt{5} cm

- długości przyprostokątnych

P = \frac{2 \sqrt{5} \cdot 4 \sqrt{5}}{2} = 20 ({cm}^{2})

, 3.

a^{2} + {(1 \frac{2}{5})}^{2} = 5^{2}

a = 4 \frac{4}{5} m

--- długość drugiej przyprostokątnej

P = \frac{1}{2} \cdot 1 \frac{2}{5} \cdot 4 \frac{4}{5} = 3 \frac{9}{25} ({cm}^{2})

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RXd6VNBIxiZmv

Ćwiczenie 22

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1MX2qYxv7zqv

Ćwiczenie 22

Poniżej przedstawiono zdania oraz ich zakończenia. Połącz w pary opisy z wartościami pola powierzchni kwadratu. Pole kwadratu zbudowanego na przyprostokątnej wynosi

7

, a na przeciwprostokątnej

12

. Pole kwadratu zbudowanego na drugiej przyprostokątnej jest równe Możliwe odpowiedzi: 1.

8

, 2.

5

, 3.

15

Pole kwadratu zbudowanego na przyprostokątnej wynosi

5

, a na przeciwprostokątnej

20

. Pole kwadratu zbudowanego na drugiej przyprostokątnej jest równe Możliwe odpowiedzi: 1.

8

, 2.

5

, 3.

15

Pola kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych wynoszą kolejno

6

2

. Pole kwadratu zbudowanego na drugiej przeciwprostokątnej jest równe Możliwe odpowiedzi: 1.

8

, 2.

5

, 3.

15

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 23

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem i oblicz długość $x$ w każdym rombie. Uzupełnij luki w zdaniach, wpisując odpowiednią liczbę.

R4fPjPZKmOlUl1

Rysunki trzech rombów. Romb A ma przekątne długości 20 i x oraz kąt rozwarty równy 120 stopni. Romb B ma bok długości 5 i wysokość x oraz kąt ostry równy 30 stopni. Romb C ma boki długości 4 i x oraz kąt pomiędzy przekątną a bokiem rombu równy 60 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Qbt8zwserNZ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 24

Dany jest okrąg o środku w punkcie $S$ i promieniu $3 m$ , gdzie $m$ jest liczbą naturalną dodatnią. Z punktu $P$ leżącego poza okręgiem poprowadzono styczne do okręgu, przecinające się pod kątem $120 °$ . Ile wynosi długość odcinka $S P$ ? Rozważ dwa przypadki.

Zastanów się jak mogą leżeć kąty przecięcia stycznych w stosunku do okręgu. Znajdź szczególne trójkąty prostokątne aby znaleźć długość odcinka $S P$ .

Długość odcinka $S P$ wynosi $2 \sqrt{3} m$ albo $6 m$ .

Ćwiczenie 25

Metalowy element ozdobny ma kształt trapezu przedstawionego na rysunku. Ile $m^{2}$ blachy potrzeba na jego wykonanie?

R1D4se1nZsUJn1

Rysunek trapezu o górnej podstawie równej 8 m i wysokości 5 m. Kąt między lewym ramieniem a dolną podstawą ma miarę 45 stopni. Kąt między wysokością (poprowadzoną z prawego wierzchołka górnej podstawy) a prawym ramieniem trapezu ma miarę 60 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RT3DATBxMhtwt

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$P = \frac{8 + 5 + 8 + 5 \sqrt{3}}{2} \cdot 5$

$P = 52,5 + 12,5 \sqrt{3} (m^{2})$

Ćwiczenie 26

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem, na którym znajdują się trzy trapezy.

RkTaEcDVYhZ6s1

Rysunki trzech trapezów. Trapez A o podstawie górnej 40 cm i podstawie dolnej 20 cm. Kąty przy podstawie górnej mają miarę 45 stopni. Trapez B o górnej podstawie 8 cm i wysokości 10 cm. Kąty przy dolnej podstawie mają miarę 45 stopni. Trapez C prostokątny o dolnej podstawie cztery pierwiastki z dwóch. Kąt przy dolnej podstawie o mierze 45 stopni, a krótsza przekątna tego trapezu jest prostopadła do dłuższego ramienia. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1JgmsdYGlO9W

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

9. Dowody geometryczne

Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

10. Powtórzenie - własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

Notatnik