2. Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych

R11Bj6VRRK5gL

Wiemy, jak dodawać ułamki zwykłe o wspólnym mianowniku.

W przypadku ułamków algebraicznych będzie podobnie - wyrażenia o wspólnym mianowniku dodajemy obliczając sumę ich liczników, a mianownik pozostawiając bez zmian.

Jeżeli mamy dodać lub odjąć ułamki zwykłe, sprowadzamy je na początku do wspólnego mianownika. Przy ułamkach algebraicznych będziemy postępować podobnie.

Aby opanować materiał z bieżącego materiału, potrzebnych będzie kilka umiejętności:

rozkładu wielomianów na czynniki;
sprowadzania wyrażeń wymiernych do wspólnego mianownika;
dodawania i odejmowania wyrażeń wymiernych o wspólnym mianowniku.

Jak zawsze przy ułamkach algebraicznych musimy pamiętać o podaniu odpowiednich założeń.

Twoje cele

Wykonasz obliczenia prowadzące do wyznaczenia sumy lub różnicy ułamków algebraicznych.
Opiszesz założenia, przy których wykonanie danych działań jest możliwe.
Zbadasz, czy uzyskane wyniki można przedstawić w prostszej postaci, wykorzystując skracanie ułamków.

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych o wspólnym mianowniku

Własność: Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych o wspólnym mianowniku

Dane są wielomiany $F (x)$ , $G (x)$ , $Q (x)$ , przy czym $Q (x)$ nie jest wielomianem zerowym.
Rozważmy wyrażenia wymierne $\frac{F (x)}{Q (x)}$ oraz $\frac{G (x)}{Q (x)}$ .

suma wyrażeń: $\frac{F (x)}{Q (x)} + \frac{G (x)}{Q (x)} = \frac{F (x) + G (x)}{Q (x)}$
różnica wyrażeń: $\frac{F (x)}{Q (x)} - \frac{G (x)}{Q (x)} = \frac{F (x) - G (x)}{Q (x)}$

Należy pamiętać o podaniu założeń ( $Q (x) \neq 0$ ).

Przykład 1

Obliczmy sumę i różnicę wyrażeń $\frac{1}{2 x - 7}$ i $\frac{4 x - 3}{2 x - 7}$ .

Zapiszmy sumę:
$\frac{1}{2 x - 7} + \frac{4 x - 3}{2 x - 7} = \frac{1 + 4 x - 3}{2 x - 7} = \frac{4 x - 2}{2 x - 7}$ ;
Określmy dziedzinę, biorąc pod uwagę miejsca zerowe mianownika: $x \in ℝ ∖ {\frac{7}{2}}$ .
Analogicznie obliczmy różnicę:
$\frac{1}{2 x - 7} - \frac{4 x - 3}{2 x - 7} = \frac{1 - (4 x - 3)}{2 x - 7} = \frac{4 - 4 x}{2 x - 7}$ ;
Określmy dziedzinę: $x \in ℝ ∖ {\frac{7}{2}}$ .

Przykład 2

Obliczmy sumę i różnicę ułamków $\frac{2 x}{x - 3}$ oraz $\frac{6}{3 - x}$ .

Zauważmy, że $\frac{6}{3 - x} = - \frac{6}{x - 3}$ .
Obliczmy sumę. Zauważmy, że będzie możliwe skracanie ułamka:
$\frac{2 x}{x - 3} + \frac{6}{3 - x} = \frac{2 x}{x - 3} - \frac{6}{x - 3} = \frac{2 x - 6}{x - 3} = \frac{2 (x - 3)}{x - 3} = 2$ ;
przy czym $x \in ℝ ∖ \{3\}$ .
Obliczmy różnicę:
$\frac{2 x}{x - 3} - \frac{6}{3 - x} = \frac{2 x}{x - 3} + \frac{6}{x - 3} = \frac{2 x + 6}{x - 3}$ ;
tutaj również $x \in ℝ ∖ \{3\}$ .

Przykład 3

Obliczmy sumę i różnicę ułamków $\frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} - 3 x - 10}$ i $\frac{2 x + 4}{x^{2} - 3 x - 10}$ .

Warto na początek sprowadzić mianownik do postaci iloczynowej. Dzięki temu łatwo będzie podać założenia i na koniec obliczeń odpowiednio skrócić uzyskany wynik.
Obliczmy sumę:
$\frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} - 3 x - 10} + \frac{2 x + 4}{x^{2} - 3 x - 10} = \frac{x^{2} + 2 x + 2 x + 4}{(x + 2) (x - 5)} =$
$= \frac{x^{2} + 4 x + 4}{(x + 2) (x - 5)} = \frac{(x + 2)^{2}}{(x + 2) (x - 5)} = \frac{x + 2}{x - 5}$ ;
przy czym ze względu na mianownik $x \in ℝ ∖ {- 2; 5}$ .
W podobny sposób obliczmy różnicę:
$\frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} - 3 x - 10} - \frac{2 x + 4}{x^{2} - 3 x - 10} = \frac{x^{2} + 2 x - (2 x + 4)}{(x + 2) (x - 5)} =$
$= \frac{x^{2} + 2 x - 2 x - 4}{(x + 2) (x - 5)} = \frac{x^{2} - 4}{(x + 2) (x - 5)} =$
$= \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 5)} = \frac{x - 2}{x - 5}$ ;
założenia: $x \in ℝ ∖ {- 2; 5}$ .

Uwaga

Dodając lub odejmując ułamki o tych samych mianownikachDodając lub odejmując ułamki o tych samych mianownikach warto w miarę możliwości zapisać mianownik w postaci iloczynowej.
Może to ułatwić wyznaczenie dziedzinydziedzina wyrażenia algebraicznegodziedziny oraz ewentualne skracanie uzyskanego wyniku.

Przykład 4

Przedstawmy w najprostszej postaci wyrażenie
$\frac{x^{2} + 3 x}{x^{3} - 9 x} + \frac{3 x - 9}{x^{3} - 9 x} - \frac{6 x}{x^{3} - 9 x}$ .

Sprowadźmy na początek mianownik do postaci iloczynowej.
$\frac{x^{2} + 3 x}{x^{3} - 9 x} + \frac{3 x - 9}{x^{3} - 9 x} - \frac{6 x}{x^{3} - 9 x} =$
$= \frac{x^{2} + 3 x + 3 x - 9 - 6 x}{x (x + 3) (x - 3)} = \frac{x^{2} - 9}{x (x + 3) (x - 3)} =$
$= \frac{(x + 3) (x - 3)}{x (x + 3) (x - 3)} = \frac{1}{x}$ ;
Zauważmy, że w ostatnim kroku mogliśmy dokonać skrócenia ułamka.
Określmy jeszcze założenia pamiętając, że mianownik (przed skracaniem) nie może przyjąć wartości $0$ : $x \in ℝ ∖ \{- 3; 0; 3\}$ .

Przykład 5

Przedstawmy w najprostszej postaci wyrażenie
$\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1} - \frac{(x - 2)^{2}}{x^{3} - 1} + \frac{2 x^{2} + 3}{x^{3} - 1} + \frac{(x - 1)^{2}}{x^{3} - 1}$ .

Zapiszmy mianownik w postaci iloczynu:
$\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1} - \frac{(x - 2)^{2}}{x^{3} - 1} + \frac{2 x^{2} + 3}{x^{3} - 1} + \frac{(x - 1)^{2}}{x^{3} - 1} =$
$= \frac{x^{3} + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{x^{2} - 4 x + 4}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} + \frac{2 x^{2} + 3}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} + \frac{x^{2} - 2 x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} =$
$= \frac{x^{3} + 1 - x^{2} + 4 x - 4 + 2 x^{2} + 3 + x^{2} - 2 x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = (i)$
Zapiszmy w postaci iloczynowej również licznik i sprawdźmy, czy jest możliwe skrócenie ułamka:
$(i) = \frac{(x + 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{x + 1}{x - 1}$ ;
Określmy dziedzinę: $x \in ℝ ∖ \{1\}$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z czterema zaprezentowanymi w animacji przykładami dodawania i odejmowania ułamków.

Zwróć uwagę na konieczność określenia dziedziny.

R1Q0ASN1ng99E

Polecenie 2

Oblicz sumę $\frac{x^{2} + 3 x}{x^{3} - x} + \frac{1 - x}{x^{3} - x}$ .

$\frac{x^{2} + 3 x}{x^{3} - x} + \frac{1 - x}{x^{3} - x} = \frac{x^{2} + 3 x}{x (x + 1) (x - 1)} + \frac{1 - x}{x (x + 1) (x - 1)} =$
$= \frac{x^{2} + 3 x + 1 - x}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1) (x - 1)} =$
$= \frac{(x + 1)^{2}}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{x + 1}{x (x - 1)}$ ;
$x \in ℝ ∖ {- 1; 0; 1}$ .

Polecenie 3

Oblicz różnicę $\frac{5 x}{3 x^{2} - 18 x + 24} - \frac{3 x - 4}{3 x^{2} - 18 x + 24}$ .

$\frac{5 x}{3 x^{2} - 18 x + 24} - \frac{3 x - 4}{3 x^{2} - 18 x + 24} = \frac{5 x}{3 (x - 2) (x - 4)} - \frac{3 x - 4}{3 (x - 2) (x - 4)} =$
$= \frac{5 x - 3 x + 4}{3 (x - 2) (x - 4)} = \frac{2 x + 4}{3 (x - 2) (x - 4)}$ ;
$x \in ℝ ∖ \{2; 4\}$ .

Polecenie 4

Oblicz $\frac{x}{x - 7} + \frac{21}{7 - x} + \frac{2 x}{x - 7}$ .

$\frac{x}{x - 7} + \frac{21}{7 - x} + \frac{2 x}{x - 7} = \frac{x}{x - 7} - \frac{21}{x - 7} + \frac{2 x}{x - 7}$

$\frac{x}{x - 7} + \frac{21}{7 - x} + \frac{2 x}{x - 7} = \frac{x}{x - 7} - \frac{21}{x - 7} + \frac{2 x}{x - 7} =$
$= \frac{x - 21 + 2 x}{x - 7} = \frac{3 x - 21}{x - 7} = \frac{3 (x - 7)}{x - 7} = 3$ ;
$x \in ℝ ∖ \{7\}$

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

Reguła: Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

Aby dodać lub odjąć dwa wyrażenia wymiernewyrażenie wymiernewyrażenia wymierne, postępujęmy zgodnie z poniższymi krokami.

Sprowadzamy je do wspólnego mianownika, uzyskując ułamki postaci $\frac{F (x)}{P (x)}$ i $\frac{G (x)}{P (x)}$ ; gdzie $F (x)$ , $G (x)$ , $P (x)$ to wielomiany, a wielomian $P (x)$ nie jest wielomianem zerowym.

Dodajemy lub odejmujemy liczniki:
$\frac{F (x)}{P (x)} + \frac{G (x)}{P (x)} = \frac{F (x) + G (x)}{P (x)}$ ;
$\frac{F (x)}{P (x)} - \frac{G (x)}{P (x)} = \frac{F (x) - G (x)}{P (x)}$ .

Podajemy założenia wynikające z tego, że mianowniki ułamków nie mogą przyjmować wartości $0$ .

Przykład 6

Obliczmy sumę i różnicę ułamków $\frac{x - 5}{x + 5}$ i $\frac{6 - x}{3 x + 15}$ .

Aby obliczyć sumę, na początek sprowadzamy mianowniki do postaci iloczynowej tak, by łatwo było wyznaczyć wspólny mianownik.
$\frac{x - 5}{x + 5} + \frac{6 - x}{3 x + 15} =$
$= \frac{x - 5}{x + 5} + \frac{6 - x}{3 (x + 5)}$

Następnie sprowadzamy oba ułamki do wspólnego mianownika - w tym przypadku $3 (x + 5)$ - i dodajemy.
$\frac{x - 5}{x + 5} + \frac{6 - x}{3 x + 15} =$
$= \frac{x - 5}{x + 5} + \frac{6 - x}{3 (x + 5)} =$
$= \frac{3 (x - 5)}{3 (x + 5)} + \frac{6 - x}{3 (x + 5)} =$
$= \frac{3 x - 15}{3 (x + 5)} + \frac{6 - x}{3 (x + 5)} =$
$= \frac{3 x - 15 + 6 - x}{3 (x + 5)} =$
$= \frac{2 x - 9}{3 (x + 5)}$

Różnicę obliczamy analogicznie.
$\frac{x - 5}{x + 5} - \frac{6 - x}{3 x + 15} =$
$= \frac{x - 5}{x + 5} - \frac{6 - x}{3 (x + 5)} =$
$= \frac{3 x - 15}{3 (x + 5)} - \frac{6 - x}{3 (x + 5)} =$
$= \frac{3 x - 15 - (6 - x)}{3 (x + 5)} =$
$= \frac{3 x - 15 - 6 + x}{3 (x + 5)} =$
$= \frac{4 x - 21}{3 (x + 5)}$

Założenia (wspólne dla dodawania wyrażeń wymiernych i odejmowania wyrażeń wymiernych): $x \in ℝ ∖ \{- 5\}$ .

Przykład 7

Obliczmy sumę i różnicę ułamków $\frac{7 x + 3}{x^{2} - 3 x}$ i $\frac{2 x - 1}{x^{2} - 2 x}$ .

Zacznijmy od zapisania mianowników w postaci iloczynowej i określenia wspólnego mianownika.

Najpierw obliczymy sumę.
$\frac{7 x + 3}{x^{2} - 3 x} + \frac{2 x - 1}{x^{2} - 2 x} =$
$= \frac{7 x + 3}{x (x - 3)} + \frac{2 x - 1}{x (x - 2)} =$
$= \frac{(7 x + 3) (x - 2)}{x (x - 2) (x - 3)} + \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{x (x - 2) (x - 3)} =$
$= \frac{7 x^{2} - 11 x - 6 + 2 x^{2} - 7 x + 3}{x (x - 2) (x - 3)} =$
$= \frac{9 x^{2} - 18 x - 3}{x (x - 2) (x - 3)}$

Teraz obliczymy różnicę.
$\frac{7 x + 3}{x^{2} - 3 x} - \frac{2 x - 1}{x^{2} - 2 x} =$
$= \frac{(7 x + 3) (x - 2)}{x (x - 2) (x - 3)} - \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{x (x - 2) (x - 3)} =$
$= \frac{7 x^{2} - 11 x - 6 - 2 x^{2} + 7 x - 3}{x (x - 2) (x - 3)} =$
$= \frac{5 x^{2} - 4 x - 9}{x (x - 2) (x - 3)}$

$x \in ℝ ∖ \{0; 2; 3\}$

Przykład 8

Obliczmy $\frac{5}{x + 2} - \frac{3 x}{x - 2} + \frac{7}{x^{2} - 4}$ .

Zauważmy, że wspólnym mianownikiem będzie mianownik ostatniego ułamka.

$\frac{5}{x + 2} - \frac{3 x}{x - 2} + \frac{7}{x^{2} - 4} =$
$= \frac{5}{x + 2} - \frac{3 x}{x - 2} + \frac{7}{(x + 2) (x - 2)} =$
$= \frac{5 (x - 2) - 3 x (x + 2) + 7}{(x + 2) (x - 2)} =$
$= \frac{5 x - 10 - 3 x^{2} - 6 x + 7}{(x + 2) (x - 2)} =$
$= \frac{- 3 x^{2} - x - 3}{(x + 2) (x - 2)}$

$x \in ℝ ∖ \{- 2; 2\}$

Przykład 9

Obliczmy $\frac{3 x}{2 x^{2} - 5 x} - \frac{x + 1}{4 x^{2} - 25} + 2$ .

Zaczynamy od rozłożenia mianowników na czynniki i ustalenia wspólnego mianownika. Liczbę całkowitą $2$ również zapisujemy w postaci ułamka i doprowadzamy do wspólnego mianownika odpowiednio rozszerzając ułamek $\frac{2}{1}$ .

$\frac{3 x}{2 x^{2} - 5 x} - \frac{x + 1}{4 x^{2} - 25} + 2 =$
$= \frac{3 x}{x (2 x - 5)} - \frac{x + 1}{(2 x - 5) (2 x + 5)} + 2 =$
$= \frac{3 (2 x + 5)}{(2 x - 5) (2 x + 5)} - \frac{x + 1}{(2 x - 5) (2 x + 5)} + \frac{2 (4 x^{2} - 25)}{(2 x - 5) (2 x + 5)} =$
$= \frac{6 x + 15 - x - 1 + 8 x^{2} - 50}{(2 x - 5) (2 x + 5)} =$
$= \frac{8 x^{2} + 5 x - 36}{(2 x - 5) (2 x + 5)}$

$x \in ℝ ∖ \{- \frac{5}{2}; 0; \frac{5}{2}\}$

Przykład 10

Obliczmy $\frac{3 x^{4} - 11 x^{3} - x - 6}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x - 3} - \frac{x^{2}}{x^{2} - x + 1} - 2$ .

Zacznijmy od zapisania wielomianów z mianowników w postaci iloczynowej. Tu trzeba sobie w razie potrzeby przypomnieć metody rozkładania wielomianów na czynniki nierozkładalne.
$\frac{3 x^{4} - 11 x^{3} - x - 6}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x - 3} - \frac{x^{2}}{x^{2} - x + 1} - 2 =$
$= \frac{3 x^{4} - 11 x^{3} - x - 6}{(x^{2} - x + 1) (x + 1) (x - 3)} + \frac{3 x}{(x + 1) (x - 3)} - \frac{x^{2}}{x^{2} - x + 1} - 2 =$

Teraz łatwo możemy zauważyć, że iloczyn z mianownika pierwszego ułamka będzie wspólnym mianownikiem w całym działaniu. Pozostałe ułamki (również liczba $2$ , na którą można popatrzyć jako na ułamek $\frac{2}{1}$ ) musimy odpowiednio rozszerzyć.
$= \frac{3 x^{4} - 11 x^{3} - x - 6}{(x^{2} - x + 1) (x + 1) (x - 3)} + \frac{3 x (x^{2} - x + 1)}{(x^{2} - x + 1) (x + 1) (x - 3)} +$
$- \frac{x^{2} (x^{2} - 2 x - 3)}{(x^{2} - x + 1) (x + 1) (x - 3)} - \frac{2 (x^{4} - 3 x^{3} + x - 3)}{(x^{2} - x + 1) (x + 1) (x - 3)} =$
$= \frac{3 x^{4} - 11 x^{3} - x - 6 + 3 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - x^{4} + 2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x^{4} + 6 x^{3} - 2 x + 6}{(x^{2} - x + 1) (x + 1) (x - 3)} =$
$= 0$
Zauważmy, że wszystkie wyrazy w liczniku się zredukują.

$x \in ℝ ∖ \{- 1; 3\}$

Polecenie 5

Zapoznaj się z przykładami dodawania i odejmowania ułamków przedstawionymi w filmie.

Zwróć uwagę, że postać iloczynowa mianowników jest nam potrzebna zarówno do określania wspólnego mianownika obu ułamków jak i do wyznaczenia dziedziny wyrażenia.

R12cKIpWpEoOo

Polecenie 6

Oblicz $\frac{3 x}{x - 3} + \frac{2}{x + 1} - \frac{5}{x^{2} - 2 x - 3}$ .

Zauważmy, że wspólnym mianownikiem będzie iloczyn $(x - 3) (x + 1) = x^{2} - 2 x - 3$ .

$\frac{3 x}{x - 3} + \frac{2}{x + 1} - \frac{5}{x^{2} - 2 x - 3} =$
$= \frac{3 x (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{2 (x - 3)}{(x - 3) (x + 1)} - \frac{5}{(x - 3) (x + 1)} =$
$= \frac{3 x^{2} + 3 x + 2 x - 6 - 5}{(x - 3) (x + 1)} =$
$= \frac{3 x^{2} + 5 x - 11}{(x - 3) (x + 1)}$

$x \in ℝ ∖ \{- 1; 3\}$

Polecenie 7

Oblicz $\frac{3}{4 - 2 x} + \frac{x + 1}{x^{2} - 4} - \frac{5}{x + 2}$ .

Zauważmy, że jako wspólny mianownik warto przyjąć wyrażenie $2 (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{3}{4 - 2 x} + \frac{x + 1}{x^{2} - 4} - \frac{5}{x + 2} =$
$= \frac{- 3}{2 (x - 2)} + \frac{x + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{5}{x + 2} =$
$= \frac{- 3 (x + 2)}{2 (x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x + 2) (x - 2)} - \frac{10 (x - 2)}{2 (x + 2) (x - 2)} =$
$= \frac{- 3 x - 6 + 2 x + 2 - 10 x + 20}{2 (x + 2) (x - 2)} =$
$= \frac{- 11 x + 16}{2 (x + 2) (x - 2)}$

$x \in ℝ ∖ \{- 2; 2\}$

Polecenie 8

Oblicz $\frac{3 x^{2}}{x - 3} - \frac{7}{x^{2} - 9} - \frac{2 x + 1}{x^{2} - 6 x + 9}$ .

Po sprowadzeniu mianowników do postaci iloczynu łatwo zauważyć, że najprostszym wspólnym mianownikiem będzie iloczyn $(x + 3) {(x - 3)}^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{x - 3} - \frac{7}{x^{2} - 9} - \frac{2 x + 1}{x^{2} - 6 x + 9} =$
$= \frac{3 x^{2}}{x - 3} - \frac{7}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{2 x + 1}{{(x - 3)}^{2}} =$
$= \frac{3 x^{2} (x^{2} - 9)}{(x + 3) {(x - 3)}^{2}} - \frac{7 (x - 3)}{(x + 3) {(x - 3)}^{2}} - \frac{(2 x + 1) (x + 3)}{(x + 3) {(x - 3)}^{2}} =$
$= \frac{3 x^{4} - 27 x^{2} - 7 x + 21 - 2 x^{2} - 7 x - 3}{(x + 3) {(x - 3)}^{2}} =$
$= \frac{3 x^{4} - 29 x^{2} - 14 x + 18}{(x + 3) {(x - 3)}^{2}}$

$x \in ℝ ∖ \{- 3; 3\}$

RlKmc1PiCRajM1

Ćwiczenie 1

R12sFsuK9aezG1

Ćwiczenie 2

RqpvrUWrptw3F1

Ćwiczenie 3

R1A7ioJ8wh8Pp1

Ćwiczenie 4

Do każdego działania dobierz jego wynik: początek ułamka, nawias x, plus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, dwa, koniec ułamka, minus, początek ułamka, dwa x, plus, dwa, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, mianownik, x, plus, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka początek ułamka, nawias x, minus, dwa zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, dwa, koniec ułamka, plus, początek ułamka, pięć x, minus, sześć, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, mianownik, x, plus, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka początek ułamka, nawias x, plus, trzy zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, dwa, koniec ułamka, minus, początek ułamka, trzy x, plus, siedem, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, mianownik, x, plus, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka

R1YD5SRvqMSw92

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

RU9gsxE9D07Wy

R1AmxYp7ZlD1W

Dobierz w pary ułamki, których suma wynosi trzy. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, pięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, x, plus, piętnaście, mianownik, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy x, plus, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, koniec ułamka początek ułamka, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, pięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, x, plus, piętnaście, mianownik, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy x, plus, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, koniec ułamka początek ułamka, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, pięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, x, plus, piętnaście, mianownik, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy x, plus, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, koniec ułamka początek ułamka, nawias x, plus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, pięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, x, plus, piętnaście, mianownik, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy x, plus, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, koniec ułamka początek ułamka, x nawias x, minus, trzy zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, pięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, pięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, x, plus, piętnaście, mianownik, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy x, plus, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, koniec ułamka początek ułamka, dwa x nawias trzy x, minus, dwa zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, pięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, pięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, x, plus, piętnaście, mianownik, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy x, plus, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, koniec ułamka

R8Ax6l2aBvXQG2

Ćwiczenie 7

R1aDLSgySchPQ2

Ćwiczenie 8

RoiPQI2UhhFS81

Ćwiczenie 9

RP8GXDP99kcG41

Ćwiczenie 10

Ry7ijWd9eX6iE1

Ćwiczenie 11

R13oFQ1Eq3OiB1

Ćwiczenie 12

RQiJ0iMdF5AE12

Ćwiczenie 13

Przeciągnij w puste pola właściwe wyrażenia. początek ułamka, x, plus, trzy, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka, minus, początek ułamka, x, plus, dwa, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, plus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy x, plus, pięć, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, cztery, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, pięć, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, koniec ułamka

początek ułamka, x, plus, trzy, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka, plus, początek ułamka, x, plus, dwa, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, plus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy x, plus, pięć, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, cztery, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, pięć, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, koniec ułamka

początek ułamka, x, minus, dwa, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka, plus, początek ułamka, x, plus, trzy, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, plus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy x, plus, pięć, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, cztery, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, pięć, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, koniec ułamka

RfruqISd85yV92

Ćwiczenie 14

Połacz w pary działania z ich wynikami. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, x, plus, cztery, koniec ułamka, minus, początek ułamka, dwa, minus, x, mianownik, x, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, plus, szesnaście, mianownik, x nawias, x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, minus, dwanaście, mianownik, x nawias, x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, osiem, mianownik, x nawias, x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, minus, cztery, mianownik, x nawias, x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka początek ułamka, cztery, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, x, mianownik, x, plus, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, plus, szesnaście, mianownik, x nawias, x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, minus, dwanaście, mianownik, x nawias, x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, osiem, mianownik, x nawias, x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, minus, cztery, mianownik, x nawias, x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, x, mianownik, x, plus, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, plus, szesnaście, mianownik, x nawias, x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, minus, dwanaście, mianownik, x nawias, x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, osiem, mianownik, x nawias, x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, minus, cztery, mianownik, x nawias, x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka początek ułamka, dwa x, mianownik, x, plus, cztery, koniec ułamka, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, plus, szesnaście, mianownik, x nawias, x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, minus, dwanaście, mianownik, x nawias, x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, osiem, mianownik, x nawias, x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, minus, cztery, mianownik, x nawias, x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka

Rm3lL4tKN44IL3

Ćwiczenie 15

RZJ6zzYPUTQz53

Ćwiczenie 16

Przeciągnij w puste pola właściwe działania. 1. początek ułamka, x, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka, plus, początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, x, plus, cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x, koniec ułamka, 2. początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka, plus, początek ułamka, x, minus, trzy, mianownik, x, plus, cztery, koniec ułamka, minus, początek ułamka, dwa, minus, x, mianownik, x, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x, plus, cztery, koniec ułamka, minus, początek ułamka, dwa, minus, x, mianownik, x, koniec ułamka, 4. początek ułamka, x, minus, dwa, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka, plus, początek ułamka, x, plus, trzy, mianownik, x, plus, cztery, koniec ułamka, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka równa się, początek ułamka, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiemnaście x, plus, dwanaście, mianownik, x nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka
1. początek ułamka, x, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka, plus, początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, x, plus, cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x, koniec ułamka, 2. początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka, plus, początek ułamka, x, minus, trzy, mianownik, x, plus, cztery, koniec ułamka, minus, początek ułamka, dwa, minus, x, mianownik, x, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x, plus, cztery, koniec ułamka, minus, początek ułamka, dwa, minus, x, mianownik, x, koniec ułamka, 4. początek ułamka, x, minus, dwa, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka, plus, początek ułamka, x, plus, trzy, mianownik, x, plus, cztery, koniec ułamka, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka równa się, początek ułamka, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, dwadzieścia cztery, mianownik, x nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka
1. początek ułamka, x, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka, plus, początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, x, plus, cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x, koniec ułamka, 2. początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka, plus, początek ułamka, x, minus, trzy, mianownik, x, plus, cztery, koniec ułamka, minus, początek ułamka, dwa, minus, x, mianownik, x, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x, plus, cztery, koniec ułamka, minus, początek ułamka, dwa, minus, x, mianownik, x, koniec ułamka, 4. początek ułamka, x, minus, dwa, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka, plus, początek ułamka, x, plus, trzy, mianownik, x, plus, cztery, koniec ułamka, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka równa się, początek ułamka, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, dwadzieścia cztery, mianownik, x nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka

Słownik

dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych o wspólnym mianowniku

suma wyrażeń: $\frac{F (x)}{Q (x)} + \frac{G (x)}{Q (x)} = \frac{F (x) + G (x)}{Q (x)}$

różnica wyrażeń: $\frac{F (x)}{Q (x)} - \frac{G (x)}{Q (x)} = \frac{F (x) - G (x)}{Q (x)}$

należy określić dziedzinę ( $Q (x) \neq 0$ )

dziedzina wyrażenia algebraicznego

wszystkie liczby rzeczywiste, dla których to wyrażenie ma sens liczbowy

wyrażenie wymierne

zmiennej rzeczywistej $x$ to wyrażenie algebraiczne postaci $\frac{P (x)}{Q (x)}$ , w którym $P (x)$ i $Q (x)$ są wielomianami zmiennej $x$ , przy czym $Q (x)$ nie jest wielomianem zerowym;

1. Ułamek algebraiczny i jego dziedzina

3. Mnożenie i dzielenie ułamków algebraicznych