• Zastosujesz wiadomości z zakresu wielomianów o rozkładaniu na czynniki do zapisania licznika i mianownika w postaci iloczynowej.

• Wykonasz mnożenie tak zapisanych ułamków.

• Wykonasz dzielenie wyrażeń wymiernych, zastępując je mnożeniem przez odwrotność.

• Sformułujesz warunki, przy których wykonanie podanych działań jest możliwe (określisz założenia).

Aby pomnożyć dwa wyrażenia wymiernewyrażenie wymiernewyrażenia wymierne, należy wykonać opisane poniżej operacje.

1. Jeśli to możliwe, możemy sprowadzić liczniki i mianowniki do postaci iloczynowej.

2. Jeżeli w licznikach i mianownikach występują wspólne czynniki, możemy je skrócić (czynnik z licznika z takim samym czynnikiem z mianownika tego samego lub drugiego ułamka).

3. Mnożymy wyrażenia, mnożąc licznik przez licznik i mianownik przez mianownik:

   $$\frac{F\left(x\right)}{P\left(x\right)}·\frac{G\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{F\left(x\right)·G\left(x\right)}{P\left(x\right)·Q\left(x\right)}$$.

4. Podajemy założenia wynikające z tego, że mianowniki ułamków (również przed ewentualnym skracaniem) nie mogą przyjmować wartości $0$.

Obliczmy iloczyn $\frac{x-2}{x-3}·\frac{x-4}{x-5}$.

• W tym przykładzie ułamków nie da się skrócić, więc wymnażamy licznik przez licznik oraz mianownik przez mianownik.

  $\frac{x-2}{x-3}·\frac{x-4}{x-5}=\frac{\left(x-2\right)\left(x-4\right)}{\left(x-3\right)\left(x-5\right)}$

• W zależności od potrzeb wynik mnożenia wyrażeń wymiernych można oczywiście przedstawić w innej postaci, np.:

  $\frac{x^2-6x+8}{\left(x-3\right)\left(x-5\right)}$ lub $\frac{x^2-6x+8}{x^2-8x+15}$.

• Dziedzinadziedzina wyrażenia wymiernegoDziedzina: $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{3;5\right\}$.

Obliczmy $\frac{x^2-2x}{x^2+3x}·\frac{x+3}{x+2}$.

• Tam, gdzie to możliwe, zapiszmy wielomiany w postaci iloczynu.

• $\frac{x^2-2x}{x^2+3x}·\frac{x+3}{x+2}=$

  $=\frac{x\left(x-2\right)}{x\left(x+3\right)}·\frac{x+3}{x+2}=\left(i\right)$

• Możemy teraz dokonać skrócenia przez $x$ oraz przez $x+3$.

  $\left(i\right)=\frac{x^2-2x}{x^2+3x}·\frac{x+3}{x+2}=$

  $=\frac{\bcancel{x}\left(x-2\right)}{\bcancel{x}\bcancel{\left(x+3\right)}}·\frac{\bcancel{x+3}}{x+2}=$

  $=\frac{x-2}{1}·\frac{1}{x+2}=$

  $=\frac{x-2}{x+2}$

• $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-3;-2;0\right\}$

  Pamiętajmy, żeby przy określaniu założeń uwzględnić istnienie wszystkich ułamków, również w postaci przed skracaniem.

Obliczmy $\frac{x^2-x-6}{x^2+3x+2}·\frac{x^2-x-12}{x^2-2x-3}$.

• Zapiszmy na początek wszystkie wielomiany w postaci iloczynowej. Następnie wykonajmy wszystkie możliwe skrócenia.

• $\frac{x^2-x-6}{x^2+3x+2}·\frac{x^2-x-12}{x^2-2x-3}=$

  $=\frac{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}·\frac{\left(x+3\right)\left(x-4\right)}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}=$

  $=\frac{\bcancel{\left(x-3\right)}\bcancel{\left(x+2\right)}}{\left(x+1\right)\bcancel{\left(x+2\right)}}·\frac{\left(x+3\right)\left(x-4\right)}{\bcancel{\left(x-3\right)}\left(x+1\right)}=$

  $=\frac{\left(x+3\right)\left(x-4\right)}{{\left(x+1\right)}^2}$

• $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2;-1;3\right\}$

• Możemy oczywiście, jeśli z jakiegoś powodu będzie to potrzebne, zapisać wynik w innej postaci. Przykładowo – jeżeli przemnożymy ułamki bez wcześniejszego skracania, uzyskamy:

  $\frac{x^2-x-6}{x^2+3x+2}·\frac{x^2-x-12}{x^2-2x-3}=$

  $=\frac{x^4-2x^3-17x^2+18x+72}{x^4+x^3-7x^2-13x-6}$

  przy podanych wyżej założeniach.

Obliczmy $\left(x^2-8x+16\right)·\frac{5x}{x^2-16}$.

• Postępujemy analogicznie jak poprzednio. Pamiętajmy, że

  $\left(x^2-8x+16\right)=\frac{x^2-8x+16}{1}$.

  Nie musimy sztucznie tworzyć tego ułamka, ale ważne, żebyśmy na przykład przy skracaniu wyrażenie $\left(x^2-8x+16\right)$ traktowali jako znajdujące się w liczniku.

• $\left(x^2-8x+16\right)·\frac{5x}{x^2-16}=$

  $={\left(x-4\right)}^2·\frac{5x}{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}=$

  $=\left(x-4\right)\bcancel{{}^2}·\frac{5x}{\bcancel{\left(x-4\right)}\left(x+4\right)}=$

  $=\frac{5x\left(x-4\right)}{x+4}$

• $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-4;4\right\}$

Obliczmy $\frac{3x^2-12}{x^3-8}·\frac{5x^2+10x+20}{x^2+4x+4}$.

• Rozkładamy wielomiany na czynniki. Zauważmy, że wielomian $x^2+2x+4$ jest nierozkładalny.

• $\frac{3x^2-12}{x^3-8}·\frac{5x^2+10x+20}{x^2+4x+4}=$

  $=\frac{3\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}·\frac{5\left(x^2+2x+4\right)}{{\left(x+2\right)}^2}=$

  $=\frac{3\bcancel{\left(x-2\right)}\bcancel{\left(x+2\right)}}{\bcancel{\left(x-2\right)}\bcancel{\left(x^2+2x+4\right)}}·\frac{5\bcancel{\left(x^2+2x+4\right)}}{\left(x+2\right)\bcancel{{}^2}}=$

  $=\frac{15}{x+2}$

• $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2;2\right\}$

Aby wykonać dzielenie wyrażeń wymiernychwyrażenie wymiernewyrażeń wymiernych $\frac{F\left(x\right)}{P\left(x\right)}:\frac{G\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$, wykonujemy opisane poniżej kroki.

1. Zapisujemy je w postaci mnożenia przez odwrotność dzielnika.

   $\frac{F\left(x\right)}{P\left(x\right)}:\frac{G\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{F\left(x\right)}{P\left(x\right)}·\frac{Q\left(x\right)}{G\left(x\right)}$

2. Wykonujemy mnożenie.

3. Podajemy założenia wynikające z zakazu dzielenia przez $0$.

   $\left\{\begin{array}{l}P\left(x\right)\ne 0\\ Q\left(x\right)\ne 0\\ G\left(x\right)\ne 0\end{array}\right.$

Obliczmy $\frac{1}{x-3}:\frac{x-2}{x-4}$.

• Zapiszmy działanie w postaci iloczynu.

  $\frac{1}{x-3}:\frac{x-2}{x-4}=$

  $=\frac{1}{x-3}·\frac{x-4}{x-2}=$

  $=\frac{x-4}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}$

• Założenia: $\left\{\begin{array}{l}x-2\ne 0\\ x-4\ne 0\\ x-3\ne 0\end{array}\right.$, czyli $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{2;3;4\right\}$.

Obliczmy $\frac{2x+14}{x^2+3x-28}:6$.

• Zamieńmy dzielenie na mnożenie przez odwrotność i sprowadźmy wielomiany do postaci iloczynowej.

• $\frac{2x+14}{x^2+3x-28}:6=$

  $=\frac{2\left(x+7\right)}{\left(x+7\right)\left(x-4\right)}·\frac{1}{2·3}=$

  $=\frac{\bcancel{2}\bcancel{\left(x+7\right)}}{\bcancel{\left(x+7\right)}\left(x-4\right)}\cdot \frac{1}{\bcancel{2}\cdot 3}=$

  $=\frac{1}{3\left(x-4\right)}$

• $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-7;4\right\}$

Obliczmy $\frac{x^2-6x+9}{3x-9}:\frac{x^2+2x-15}{6x^2-150}$.

• Zamieńmy dzielenie na mnożenie przez odwrotność i sprowadźmy wielomiany do postaci iloczynowej. Pamiętajmy o skracaniu.

• $\frac{x^2-6x+9}{3x-9}:\frac{x^2+2x-15}{6x^2-150}=$

  $=\frac{x^2-6x+9}{3x-9}·\frac{6x^2-150}{x^2+2x-15}=$

  $=\frac{{\left(x-3\right)}^2}{3\left(x-3\right)}·\frac{2·3\left(x-5\right)\left(x+5\right)}{\left(x-3\right)\left(x+5\right)}=$

  $=\frac{\bcancel{\left(x-3\right)}\bcancel{{}^2}}{\bcancel{3}\bcancel{\left(x-3\right)}}\cdot \frac{2\cdot \bcancel{3}\left(x-5\right)\bcancel{\left(x+5\right)}}{\bcancel{\left(x-3\right)}\bcancel{\left(x+5\right)}}=2\left(x-5\right)$

• Nie zapomnijmy, by wyznaczając dziedzinędziedzina wyrażenia wymiernegodziedzinę, uwzględnić istnienie zarówno drugiego ułamka, jak i jego odwrotności.

  $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-5;3;5\right\}$

Obliczmy $\frac{\frac{x^3+27}{x-3}}{\frac{x^2-3x+9}{x^2-9}}$.

• Ten przykład rozwiążemy dwiema metodami.

Obliczmy $\frac{2}{x^2-4x+4}:\frac{2x+4}{3x^2-12}$.

• Zacznijmy od zapisania dzielenia jako mnożenia przez odwrotność i  zapisania wielomianów w postaci iloczynowej.

• $\frac{2}{x^2-4x+4}:\frac{2x+4}{3x^2-12}=$

  $=\frac{2}{x^2-4x+4}·\frac{3x^2-12}{2x+4}=$

  $=\frac{2}{{\left(x-2\right)}^2}·\frac{3\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{2\left(x+2\right)}=$

  $=\frac{\bcancel{2}}{{\left(x-2\right)}^{\bcancel{2}}}·\frac{3\bcancel{\left(x-2\right)}\bcancel{\left(x+2\right)}}{\bcancel{2}\bcancel{\left(x+2\right)}}=$

  $=\frac{3}{x-2}$

• $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2;2\right\}$

Obliczmy $\frac{15x^4-30x^3-120x+240}{12-12x^2}:\frac{5x^2+10x+20}{6x-6}$.

• Zacznijmy od zapisania dzielenia jako mnożenia przez odwrotność i zapisania wielomianów w postaci iloczynowej. Nie zapomnijmy o wyłączeniu znaku „$-$” w mianowniku pierwszego ułamka.

• $\frac{15x^4-30x^3-120x+240}{12-12x^2}:\frac{5x^2+10x+20}{6x-6}=$

  $=\frac{15x^4-30x^3-120x+240}{12-12x^2}·\frac{6x-6}{5x^2+10x+20}=$

  $=\frac{15{\left(x-2\right)}^2\left(x^2+2x+4\right)}{-12\left(x-1\right)\left(x+1\right)}·\frac{6\left(x-1\right)}{5\left(x^2+2x+4\right)}=$

  $=\frac{3\cdot \bcancel{5}{\left(x-2\right)}^2\bcancel{\left(x^2+2x+4\right)}}{-2\cdot \bcancel{6}\bcancel{\left(x-1\right)}\left(x+1\right)}\cdot \frac{\bcancel{6}\bcancel{\left(x-1\right)}}{\bcancel{5}\bcancel{\left(x^2+2x+4\right)}}=$

  $=-\frac{3{\left(x-2\right)}^2}{2\left(x+1\right)}$

• $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-1;1\right\}$

zmiennej rzeczywistej $x$ to wyrażenie algebraiczne postaci $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$, w którym $P\left(x\right)$ i $Q\left(x\right)$ są wielomianami zmiennej $x$, przy czym $Q\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym;

zbiór liczb, dla których wyrażenie wymierne ma sens liczbowy