2. Działania w zbiorze liczb całkowitych

RRMVQV4MB6E6T

Mimo że dziś naszego zdziwienia nie budzi prognoza pogody, w której mówi się o ujemnej temperaturze (czyli mrozach), ani nie przeraża nadto niewielki (!) dług (czyli ujemny stan finansów) na karcie debetowej, to ludzkość przez wiele stuleci rozwoju matematyki borykała się z liczbami ujemnymi nazywając je “absurdalnymi”.

Pierwsze wzmianki sugerujące potrzebę rozważania liczb oznaczających deficyt pojawiają się już w I wieku p.n.e. w Chinach. Później w VII wieku n.e. Indyjczycy używali liczb ujemnych do księgowania długów – podobnie jak później (XIII wiek) czynił to Fibonacci. Ale i tak większość europejskich matematyków odrzucała koncepcję liczb ujemnych aż do XVIII wieku.

Możemy zaryzykować więc stwierdzenie, że przeciętny absolwent dzisiejszej szkoły podstawowej wie o liczbach ujemnych więcej, niż całe rzesze matematyków na przestrzeni setek lat.

Twoje cele

Odróżnisz liczbę całkowitą od niecałkowitej.
Wykonasz podstawowe działania na liczbach całkowitych.
Zastosujesz własności działań na liczbach całkowitych do obliczania wartości wyrażeń arytmetycznych.
Zastosujesz działania na liczbach całkowitych do rozwiązywania zadań praktycznych.

Liczby całkowite

Definicja: Liczby całkowite

Przypomnijmy najpierw, że zbiór liczb naturalnych to

ℕ = \{0, 1, 2, 3, \dots, 9, 10, 11, \dots, 100, 101, \dots\}

Zbiór liczb całkowitych definiujemy jako sumę zbioru liczb naturalnych i zbioru liczb przeciwnych do liczb naturalnych.

Innymi słowy liczba jest całkowita, jeśli jest liczbą naturalną lub liczbą przeciwną do naturalnej.

Zbiór wszystkich liczb całkowitych oznaczamy literą $ℤ$ – symbol pochodzi od niemieckiego słowa Zahl oznaczającego liczbę.

Zatem:

ℤ = \{\dots, - 101, - 100, \dots, - 10, - 9, \dots, - 2, - 1, 0, 1, 2, \dots, 9, 10, \dots, 100, 101, \dots\}

Działania na liczbach całkowitych

Wiemy już, że suma i iloczyn liczb naturalnych jest liczbą naturalną. Możemy powiedzieć, że działania dodawania i mnożenia nie wyprowadzają poza zbiór liczb naturalnych albo inaczej, że zbiór liczb naturalnych to zbiór zamkniętyzbiór zamknięty na dodawanie i mnożenie. Ponieważ różnica liczb naturalnych może być liczbą ujemną (a więc nie liczbą naturalną), powiemy, że odejmowanie wyprowadza poza zbiór liczb naturalnych.

Zauważmy, że suma, różnica i iloczyn liczb całkowitych są liczbami całkowitymi, więc możemy powiedzieć, że dodawanie, odejmowanie i mnożenie nie wyprowadza poza zbiór liczb całkowitych albo, że zbiór liczb całkowitych jest zamknięty na te działania.

Dzielenie wyprowadza poza zbiór liczb całkowitych, ponieważ wynik dzielenia liczb całkowitych może nie być liczbą całkowitą.

W zbiorze liczb całkowitych wykonujemy dzielenie z resztą.

Ważne!

Przypomnijmy, że:

iloczyn dowolnie wielu liczb dodatnich jest liczbą dodatnią,
iloczyn parzyście wielu liczb ujemnych jest liczbą dodatnią,
iloczyn nieparzyście wielu liczb ujemnych jest liczbą ujemną,
iloczyn dwóch liczb o różnych znakach jest liczbą ujemną,

Prawa działań na liczbach całkowitych

Dla dowolnych liczb całkowitych $a$ , $b$ , $c$ :

Własność	Opis
$a + b = b + a$	przemienność dodawania
$(a + b) + c = a + (b + c)$	łączność dodawaniałączność dodawania
$a \cdot b = b \cdot a$	przemienność mnożeniaprzemienność mnożenia
$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$	łączność mnożeniałączność mnożenia
$(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$	rozdzielność mnożenia względem dodawaniarozdzielność mnożenia względem dodawania
$a + 0 = a$	$0$ jest elementem neutralnym dodawania
$a \cdot 1 = a$	$1$ jest elementem neutralnym mnożenia
$a + (- a) = 0$	istnienie liczby przeciwnej do każdej liczby całkowitej
$a - b = a + (- b)$	wykonalność odejmowania

Ponadto dla dowolnych liczb całkowitych zachodzi:

(- a) + (- b) = - (a + b)

(- a) \cdot b = - a b

(- a) \cdot (- b) = a b

- (- a) = a

Zilustrujemy powyższe własności na przykładach.

Przykład 1

Obliczymy:

(- 3) + (- 4) = - (3 + 4) = - 7

(- 7) + 4 = - (7 - 4) = - 3

(- 3) + 8 = 8 - 3 = 5

(- 3) + 3 = 0

(- 3) \cdot (- 4) = 12

(- 3) \cdot 2 = - 6

- (- 4) = 4

6 - (- 2) = 6 + 2 = 8

Przykład 2

Obliczymy:

3 \cdot (- 2) + (- 3) - (- 2) \cdot (- 3) \cdot (- 4) = - 6 + (- 3) - (- 24) =

= - 6 + (- 3) + 24 = - (6 + 3) + 24 = - 9 + 24 = 15

Przykład 3

Zastosujemy prawa łączności i przemienności dodawaniaprzemienności dodawania:

494 + 495 + 496 + 497 + 498 + 499 + 500 +

+ 501 + 502 + 503 + 504 + 505 + 506 =

= (494 + 506) + (495 + 505) + (496 + 504) + (497 + 503) +

+ (498 + 502) + (499 + 501) + 500 =

= 1000 + 1000 + 1000 + 1000 + 1000 + 1000 + 500 =

= 6 \cdot 1000 + 500 = 6500

Przykład 4

Zastosujemy prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania:

16 \cdot 8 - 16 \cdot 3 = 16 \cdot (8 - 3) = 16 \cdot 5 = (10 + 6) \cdot 5 = 10 \cdot 5 + 6 \cdot 5 = 50 + 30 = 80

Przykład 5

Zwróć uwagę na kolejność wykonywania działań:

4 \cdot 6 : 3 - 2 + 20 : 5 \cdot 2 = 24 : 3 - 2 + 4 \cdot 2 = 8 - 2 + 8 = 6 + 8 = 14

Przykład 6

Zwróć uwagę na kolejność wykonywania działań:

\{4 \cdot 7 - [(4 \cdot 3 + 8 : 4) - (2 \cdot 6 - 10)] \cdot 5\} + 3 \cdot (4 \cdot 7 - 26) =

= \{28 - [(12 + 2) - (12 - 10)] \cdot 5\} + 3 \cdot (28 - 26) =

= \{28 - [14 - 2] \cdot 5\} + 3 \cdot 2 =

= \{28 - 12 \cdot 5\} + 6 =

= \{28 - 60\} + 6 =

= - 32 + 6 =

= - (32 - 6) =

= - 26

Przykład 7

Wyznaczymy wszystkie całkowite liczby $k$ , dla których $\frac{k - 2}{k + 2}$ jest liczbą całkowitą.

Zauważmy, że

\frac{k - 2}{k + 2} = \frac{k + 2 - 4}{k + 2} = \frac{k + 2}{k + 2} - \frac{4}{k + 2} = 1 - \frac{4}{k + 2}

Zatem $\frac{k - 2}{k + 2}$ będzie liczbą całkowitą, dokładnie wtedy, gdy $\frac{4}{k + 2}$ będzie liczbą całkowitą.

Czyli $k + 2$ jest całkowitym dzielnikiem liczby $4$ , zatem jest jedną spośród liczb $\{1, - 1, 2, - 2, 4, - 4\}$ .

Stąd $k$ jest jedną spośród liczb $\{- 1, - 3, 0, - 4, 2, - 6\}$ .

Animacja

Przeanalizuj informacje i przykłady zawarte w animacji, a następnie rozwiąż test.

RBMCOSZHLENMB

Polecenie 1

Na podstawie informacji zawartych w animacji rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

RVRBUF7HUVX1C

R19CU9FZD7UXN

R1LCJJAF85R5F

RXEEGVH3KTHKX

R14HLSFEC7M64

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1E59FL9T2C2S1

Ćwiczenie 1

RN2NXFGBP3KGP1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Wykonaj działania:

[4 \cdot (3 \cdot 5 + 4 \cdot 7) + 25 \cdot 36] : (36 \cdot 12 - 290 - 2 \cdot 4)

= [4 \cdot (15 + 28) + 25 \cdot 4 \cdot 9] : [36 \cdot (10 + 2) - 290 - 8] =

= [4 \cdot (40 + 3) + 100 \cdot 9] : [36 \cdot 10 + 36 \cdot 2 - 290 - 8] =

= [160 + 12 + 900] : [360 + 72 - 290 - 8] =

= 1072 : [360 - 290 + 72 - 8] =

= 1072 : [70 + 64] =

= 1072 : 134 =

= 8

Ćwiczenie 4

Wykonaj działania:

[(8 \cdot 15 + 7 \cdot 11) \cdot (3 \cdot 85 - 4 \cdot 62) - 479] : (5 \cdot 71 - 55)

= \{[8 \cdot (10 + 5) + 77] \cdot [3 \cdot (80 + 5) - 4 \cdot (60 + 2)] - 479\} : (355 - 55) =

= \{[80 + 40 + 77] \cdot [240 + 15 - 240 - 8] - 479\} : 300 =

= \{197 \cdot 7 - 479\} : 300 =

= \{(100 + 90 + 7) \cdot 7 - 479\} : 300 =

= \{700 + 630 + 49 - 479\} : 300 =

= \{1330 - 430\} : 300 =

= 900 : 300 =

= 3

Ćwiczenie 5

Wykonaj działania:

\{408 \cdot 306 - 18 \cdot [(204 \cdot 9 - 93 \cdot 7) : 79 - 1]\} : 3461

= \{(400 + 8) \cdot (300 + 6) - 18 \cdot [\{(200 + 4) \cdot 9 - (90 + 3) \cdot 7\} : 79 - 1]\} : 3461 =

= \{120000 + 2400 + 2400 + 48 - 18 \cdot [\{1800 + 36 - 630 - 21\} : 79 - 1]\} : 3461 =

= \{124848 - 18 \cdot [\{1800 - 630 + 36 - 21\} : 79 - 1]\} : 3461 =

= \{124848 - 18 \cdot [\{1170 + 15\} : 79 - 1]\} : 3461 =

= \{124848 - 18 \cdot [1185 : 79 - 1]\} : 3461 =

= \{124848 - 18 \cdot [15 - 1]\} : 3461 =

= \{124848 - 18 \cdot 14\} : 3461 =

= \{124848 - 18 \cdot (10 + 4)\} : 3461 =

= \{124848 - 180 - 72\} : 3461 =

= 124596 : 3461 =

= 36

Ćwiczenie 6

Postaw nawiasy tak, aby zachodziły równości.

a) $6 \cdot 8 + 20 : 4 - 2 = 58$

b) $3248 : 16 - 3 \cdot 315 - 156 \cdot 2 = 600$

c) $350 - 15 \cdot 104 - 1428 : 14 = 320$

a) $6 \cdot 8 + 20 : (4 - 2) = 58$

b) $(3248 : 16 - 3) \cdot (315 - 156 \cdot 2) = 600$

c) $350 - 15 \cdot (104 - 1428 : 14) = 320$

R1U613QZPS5452

Ćwiczenie 7

RB1FVNZ5Z89X72

Ćwiczenie 8

Ćwiczenie 9

Suma czterech liczb jest równa $42$ . Jeżeli pierwszą z nich powiększymy o $2$ , drugą zmniejszymy o $2$ , trzecią powiększymy o $50 %$ , zaś czwartą pomniejszymy o $50 %$ , to otrzymane liczby będą równe. Co to za liczby? Wpisz rozwiązanie w poniższe pole i porównaj wynik z podanym poniżej rozwiązaniem.

Oznacz przez $x$ liczbę równą wartości wszystkich czterech szukanych liczb po ich zmianach. Zapisz wyrażenia opisujące liczby przed zmianiami.

Oznaczmy przez $x$ liczbę równą wartości wszystkich czterech szukanych liczb po ich zmianach.

Wówczas przed zmianami:
pierwsza liczba była równa $x - 2$ ,
druga to $x + 2$ ,
trzecia miała wartość $\frac{2}{3} x$ ,
zaś czwarta to $2 x$ .

Poniewaz ich suma była równa $42$ , więc otrzymujemy równanie:

$x - 2 + x + 2 + \frac{2}{3} x + 2 x = 42$ , które przekształca się do $\frac{14}{3} x = 42$ .

Zatem $x = 9$ .

Stąd szukane liczby to:

x - 2 = 7

x + 2 = 11

\frac{2}{3} x = 6

2 x = 18

Ćwiczenie 10

Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej jest równa $11$ . Jeżeli napiszemy cyfry w odwrotnej kolejności, to otrzymamy liczbę mniejszą od połowy szukanej liczby. Jaka to liczba? Wpisz rozwiązanie w poniższe pole i porównaj wynik z podanym poniżej rozwiązaniem.

Suma dwóch cyfr jest równa $11$ , zatem możliwe są następujące pary cyfr: $2$ i $9$ , $3$ i $8$ , $4$ i $7$ , $5$ i $6$ .

Ponieważ po zamianie miejscami cyfr otrzymujemy liczbę mniejszą, więc początkową liczbą może być $92$ , $83$ , $74$ lub $65$ .

Po zamianie miejscami cyfr otrzymujemy liczby: $29$ , $38$ , $47$ i $56$ .

Łatwo sprawdzić, że tylko w przypadku liczb $92$ i $83$ spełnione są wszystkie warunki zadania.

Ćwiczenie 11

Wyznacz wszystkie całkowite wartości $k$ , dla których $\frac{k + 2}{k - 1}$ jest liczbą całkowitą. Wpisz rozwiązanie w poniższe pole i porównaj wynik z podanym poniżej rozwiązaniem.

Zauważ, że

\frac{k + 2}{k - 1} = \frac{k - 1 + 3}{k - 1} = \frac{k - 1}{k - 1} + \frac{3}{k - 1} = 1 + \frac{3}{k - 1}

Zauważmy, że

\frac{k + 2}{k - 1} = \frac{k - 1 + 3}{k - 1} = \frac{k - 1}{k - 1} + \frac{3}{k - 1} = 1 + \frac{3}{k - 1}

Zatem $\frac{k + 2}{k - 1}$ będzie liczbą całkowitą dokładnie wtedy, kiedy $\frac{3}{k - 1}$ będzie liczbą całkowitą.

To zaś stanie się wówczas, gdy $k - 1$ będzie całkowitym dzielnikiem liczby $3$ .

Zatem $k - 1$ jest jedną spośród liczb $\{1, - 1, 3, - 3\}$ .

Stąd $k$ jest jedną spośród liczb $\{2, 0, 4, - 2\}$ .

Słownik

przemienność dodawania liczb całkowitych

własność dodawania oznaczająca, że dla dowolnych liczb całkowitych $a$ , $b$ zachodzi równość $a + b = b + a$

przemienność mnożenia liczb całkowitych

własność mnożenia oznaczająca, że dla dowolnych liczb całkowitych $a$ , $b$ zachodzi równość $a \cdot b = b \cdot a$

łączność dodawania liczb całkowitych

własność dodawania oznaczająca, że dla dowolnych liczb całkowitych $a$ , $b$ , $c$ zachodzi równość $(a + b) + c = a + (b + c)$

łączność mnożenia liczb całkowitych

własność mnożenia oznaczająca, że dla dowolnych liczb całkowitych $a$ , $b$ , $c$ zachodzi równość $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

rozdzielność mnożenia względem dodawania

własność działań oznaczająca, że dla dowolnych liczb całkowitych $a$ , $b$ , $c$ zachodzi równość $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$

zbiór zamknięty (ze względu) na działanie

mówimy, że zbiór jest zamknięty (ze względu) na działanie $⋆$ , gdy dla dowolnych elementów $a$ , $b$ tego zbioru, wynik działania $a ⋆ b$ również należy do tego zbioru

1. Zbiór liczb naturalnych

3. Działania w zbiorze liczb wymiernych i rzeczywistych