2. Potęga o wykładniku całkowitym

RHL9PQZJX796U

W matematyce często mamy do czynienia z sytuacją, w której jakieś zagadnienie zaczyna się od zagadnień prostych i intuicyjnych, ale wraz z rozwojem danej teorii pojawiają się w niej pojęcia, które stają się tak abstrakcyjne, że trudno sobie wyobrazić, co one mogłyby właściwie oznaczać w realnym świecie. Jako przykład może posłużyć potęgowanie. Liczba $a^{3}$ może być objętością sześcianu o krawędzi $a$ . A czym jest liczba $a^{- 3}$ ? Jak obliczyć jej wartość? Tego dowiemy się w tej lekcji.

Twoje cele

Zastosujesz definicję do obliczania wartości potęg o wykładniku całkowitym ujemnym.
Zastosujesz własności działań na potęgach o wykładnikach całkowitych ujemnych.

Zacznijmy od rozważenia serii kilku równości.

Z definicji potęgi o wykładniku naturalnym mamy:

a^{2} = a \cdot a

Jeśli $a$ nie jest zerem, możemy podzielić obie strony równania przez $a$ otrzymując

\frac{a^{2}}{a} = (a \cdot a) : a

Stosując własności działań na potęgach do lewej strony równości oraz łączność mnożenia do prawej strony otrzymujemy równość:

a^{1} = a

Ponownie podzielmy obie strony równości przez $a$ :

\frac{a^{1}}{a} = a : a

Z własności działań na potęgach o wykładniku naturalnym wynika, że lewą stronę możemy zapisać jako

\frac{a^{1}}{a} = \frac{a^{1}}{a^{1}} = a^{1 - 1} = a^{0}

Zatem powyższa równość przyjmuje postać

a^{0} = 1

Sprawdźmy, co się stanie, jeśli ponownie podzielimy obie strony równości przez $a$ :

\frac{a^{0}}{a} = 1 : a

\frac{a^{0}}{a^{1}} = \frac{1}{a}

Chcemy, aby własności działań na potęgach były uniwersalne i prawdziwe nie tylko dla wykładników naturalnych. Po zastosowaniu własności dotyczącej ilorazu potęg o tych samych podstawach otrzymujemy:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

Jeśli podzielimy obie strony równania jeszcze raz przez $a$ otrzymamy:

\frac{a^{- 1}}{a} = \frac{1}{a} : a

czyli:

\frac{a^{- 1}}{a^{1}} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a}

a^{- 1 - 1} = \frac{1}{a^{2}}

a^{- 2} = \frac{1}{a^{2}}

Ogólnie, aby własności potęg były prawdziwe dla dowolnych wykładników możemy zdefiniować potęgę o wykładniku całkowitym ujemnympotęgę o wykładniku całkowitym ujemnym.

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym:

Definicja: Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym:

Dla $a \neq 0$ i liczby naturalnej $n$ zachodzi wzór:

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} = {(\frac{1}{a})}^{n}

Przykład 1

Obliczymy:

$2^{- 5} = {(\frac{1}{2})}^{5} = \frac{1}{32}$

${(\frac{1}{3})}^{- 4} = 3^{4} = 81$

${(\frac{2}{3})}^{- 3} = {(\frac{3}{2})}^{3} = \frac{27}{8}$

${(- 0,1)}^{- 2} = {(- \frac{1}{0,1})}^{2} = \frac{1}{0,01}$

${(- 0,2)}^{- 3} = {(- \frac{1}{0,2})}^{3} = - \frac{1}{0,008}$

${(\sqrt{2})}^{- 2} = {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2} = \frac{1}{2}$

${(\sqrt{5})}^{- 3} = {(\frac{1}{\sqrt{5}})}^{3} = \frac{1}{5 \sqrt{5}}$ możemy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika $\frac{1}{5 \sqrt{5}} = \frac{1}{5 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{25}$

Własności potęg

Własność: Własności potęg

Wszystkie własności potęg o wykładnikach naturalnych przenoszą się na potęgi o wykładnikach całkowitych. Zatem dla liczb całkowitych $k$ i $m$ oraz liczb $a$ i $b$ różnych od zera mamy:

$a^{k} \cdot a^{m} = a^{k + m}$
$a^{k} : a^{m} = a^{k - m}$
${(a^{k})}^{m} = a^{k \cdot m}$
$a^{k} \cdot b^{k} = {(a \cdot b)}^{k}$
$a^{k} : b^{k} = {(a : b)}^{k}$

Przykład 2

Uprościmy wyrażenie ${(\frac{x^{- 2} \cdot y^{- 3}}{x^{- 3} \cdot y^{- 2}})}^{- 2}$ .

Korzystamy z własności działań na ułamkach:

$(\frac{x^{- 2} \cdot y^{- 3}}{x^{- 3} \cdot y^{- 2}})^{- 2} =$

Stosujemy wzór na iloraz potęg o tych samych podstawach:

$= {(x^{- 2 - (- 3)} \cdot y^{- 3 - (- 2)})}^{- 2} =$

Z własności działań na liczbach całkowitych mamy:

$= {(x^{- 2 + 3} \cdot y^{- 3 + 2})}^{- 2} =$

$= {(x^{1} \cdot y^{- 1})}^{- 2} =$

Z rozdzielności potęgowania względem mnożeniarozdzielności potęgowania względem mnożenia mamy:

$= {(x^{1})}^{- 2} \cdot {(y^{- 1})}^{- 2} =$

Ze wzoru na potęgę potęgi mamy:

$= x^{- 2} \cdot y^{2} =$

Z definicji potęgi o wykładniku ujemnym mamy:

$= \frac{1}{x^{2}} \cdot y^{2} =$

Z własności działań na pierwiastkach mamy:

$= \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Przykład 3

Obliczymy wartość wyrażenia $\frac{18^{- 4} \cdot 36^{5}}{6^{- 2} \cdot 32^{2}}$ .

$\frac{18^{- 4} \cdot 36^{5}}{6^{- 2} \cdot 32^{2}} =$

Zamieniamy podstawy $6$ , $18$ i $36$ potęg na iloczyny $2 \cdot 3$ , $2 \cdot 9$ i $4 \cdot 9$ , zaś liczbę $32$ zapisujemy w postaci potęgi o podstawie $2$ : $32 = 2^{5}$

$= \frac{{(2 \cdot 9)}^{- 4} \cdot {(4 \cdot 9)}^{5}}{{(2 \cdot 3)}^{- 2} \cdot {(2^{5})}^{2}} =$

Zamieniamy liczby $4$ i $9$ na potęgi o podstawach $2$ i $3$ : $4 = 2^{2}$ , $9 = 3^{2}$

$= \frac{{(2 \cdot 3^{2})}^{- 4} \cdot {(2^{2} \cdot 3^{2})}^{5}}{{(2 \cdot 3)}^{- 2} \cdot {(2^{5})}^{2}} =$

Korzystamy z rozdzielności potęgowania względem mnożenia

$= \frac{2^{- 4} \cdot {(3^{2})}^{- 4} \cdot {(2^{2})}^{5} \cdot {(3^{2})}^{5}}{2^{- 2} \cdot 3^{- 2} \cdot {(2^{5})}^{2}} =$

Korzystamy ze wzoru na potęgę potęgi

$= \frac{2^{- 4} \cdot 3^{- 8} \cdot 2^{10} \cdot 3^{10}}{2^{- 2} \cdot 3^{- 2} \cdot 2^{10}} =$

Korzystamy z własności działań na potęgach o tych samych podstawach

$= \frac{2^{6} \cdot 3^{2}}{2^{8} \cdot 3^{- 2}} =$

Ponownie korzystamy z własności działań na potęgach o tych samych podstawach

$= 2^{6 - 8} \cdot 3^{2 - (- 2)} =$

Korzystamy z własności działań na liczbach całkowitych

$= 2^{- 2} \cdot 3^{4} =$

Korzystamy z definicji potęg o wykładnikach naturalnych i wykładnikach całkowitych ujemnych

$= \frac{1}{4} \cdot 81 =$

Korzystamy z własności działań na ułamkach

$= \frac{81}{4} =$

Zamieniamy ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną

$= 20 \frac{1}{4}$

Animacja multimedialna

Przeanalizuj informacje zawarte w animacji.

R17T3MDFHGOBU

Polecenie 1

R1OEUATRT1UR9

Na podstawie informacji zawartych w animacji rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi. Liczba nawias, jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego jest równa:
zero przecinek trzy sześć trzy przecinek dwa pięć początek ułamka, dziewięć, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka

Liczba nawias, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego jest równa:
początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka zero, przecinek, nawias, jeden, zamknięcie nawiasu minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka

Liczba nawias, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego jest równa:
dwadzieścia siedem minus, dwadzieścia siedem minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka

Liczba nawias, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego jest równa:
początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, mianownik, siedem, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, siedem pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec ułamka początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, mianownik, czterdzieści dziewięć, koniec ułamka

Liczba nawias, pierwiastek sześcienny z siedem koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego jest równa:
początek ułamka, pierwiastek sześcienny z czterdzieści dziewięć koniec pierwiastka, mianownik, siedem, koniec ułamka początek ułamka, pierwiastek sześcienny z siedem koniec pierwiastka, mianownik, siedem, koniec ułamka początek ułamka, pierwiastek sześcienny z siedem koniec pierwiastka, mianownik, czterdzieści dziewięć, koniec ułamka

Liczba nawias, pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego jest równa:
początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka początek ułamka, pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka początek ułamka, pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka

Liczba nawias, dwa indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, pięć, koniec indeksu górnego jest równa:
sto dwadzieścia osiem tysiąc dwadzieścia cztery początek ułamka, jeden, mianownik, sto dwadzieścia osiem, koniec ułamka

Liczba początek ułamka, dwa indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka jest równa:
początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka sześćdziesiąt cztery

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

ROUC3EZQ1A56B1

Ćwiczenie 1

Oblicz, stosując definicję potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym. Wynik podaj w postaci rozwinięcia dziesiętnego. Połącz w pary wyrażenie z wynikiem. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. jeden przecinek cztery, 2. cztery, 3. sześć przecinek dwa pięć, 4. jeden przecinek siedem pięć, 5. jeden, 6. zero przecinek jeden dwa pięć, 7. zero przecinek zero zero osiem, 8. zero przecinek dwa pięć, 9. dwa przecinek dwa pięć, 10. zero przecinek zero sześć dwa pięć pięć indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. jeden przecinek cztery, 2. cztery, 3. sześć przecinek dwa pięć, 4. jeden przecinek siedem pięć, 5. jeden, 6. zero przecinek jeden dwa pięć, 7. zero przecinek zero zero osiem, 8. zero przecinek dwa pięć, 9. dwa przecinek dwa pięć, 10. zero przecinek zero sześć dwa pięć cztery indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. jeden przecinek cztery, 2. cztery, 3. sześć przecinek dwa pięć, 4. jeden przecinek siedem pięć, 5. jeden, 6. zero przecinek jeden dwa pięć, 7. zero przecinek zero zero osiem, 8. zero przecinek dwa pięć, 9. dwa przecinek dwa pięć, 10. zero przecinek zero sześć dwa pięć jeden indeks górny, minus, cztery, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. jeden przecinek cztery, 2. cztery, 3. sześć przecinek dwa pięć, 4. jeden przecinek siedem pięć, 5. jeden, 6. zero przecinek jeden dwa pięć, 7. zero przecinek zero zero osiem, 8. zero przecinek dwa pięć, 9. dwa przecinek dwa pięć, 10. zero przecinek zero sześć dwa pięć dwa indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. jeden przecinek cztery, 2. cztery, 3. sześć przecinek dwa pięć, 4. jeden przecinek siedem pięć, 5. jeden, 6. zero przecinek jeden dwa pięć, 7. zero przecinek zero zero osiem, 8. zero przecinek dwa pięć, 9. dwa przecinek dwa pięć, 10. zero przecinek zero sześć dwa pięć dwa indeks górny, minus, cztery, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. jeden przecinek cztery, 2. cztery, 3. sześć przecinek dwa pięć, 4. jeden przecinek siedem pięć, 5. jeden, 6. zero przecinek jeden dwa pięć, 7. zero przecinek zero zero osiem, 8. zero przecinek dwa pięć, 9. dwa przecinek dwa pięć, 10. zero przecinek zero sześć dwa pięć nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. jeden przecinek cztery, 2. cztery, 3. sześć przecinek dwa pięć, 4. jeden przecinek siedem pięć, 5. jeden, 6. zero przecinek jeden dwa pięć, 7. zero przecinek zero zero osiem, 8. zero przecinek dwa pięć, 9. dwa przecinek dwa pięć, 10. zero przecinek zero sześć dwa pięć nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. jeden przecinek cztery, 2. cztery, 3. sześć przecinek dwa pięć, 4. jeden przecinek siedem pięć, 5. jeden, 6. zero przecinek jeden dwa pięć, 7. zero przecinek zero zero osiem, 8. zero przecinek dwa pięć, 9. dwa przecinek dwa pięć, 10. zero przecinek zero sześć dwa pięć nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, siedem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. jeden przecinek cztery, 2. cztery, 3. sześć przecinek dwa pięć, 4. jeden przecinek siedem pięć, 5. jeden, 6. zero przecinek jeden dwa pięć, 7. zero przecinek zero zero osiem, 8. zero przecinek dwa pięć, 9. dwa przecinek dwa pięć, 10. zero przecinek zero sześć dwa pięć nawias, początek ułamka, pięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. jeden przecinek cztery, 2. cztery, 3. sześć przecinek dwa pięć, 4. jeden przecinek siedem pięć, 5. jeden, 6. zero przecinek jeden dwa pięć, 7. zero przecinek zero zero osiem, 8. zero przecinek dwa pięć, 9. dwa przecinek dwa pięć, 10. zero przecinek zero sześć dwa pięć

R117V2ABXQ3GV1

Ćwiczenie 2

RKQEMHBCQ8HPL2

Ćwiczenie 3

R14O1APP6RM2A2

Ćwiczenie 4

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi. Potęga nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego jest równa liczbie:
początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, koniec ułamka początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka koniec pierwiastka

Potęga nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego jest równa liczbie:
początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka trzy indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego

Potęga nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego jest równa liczbie:
dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka

Potęga nawias, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego jest równa liczbie:
początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka

Potęga nawias, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego jest równa liczbie:
początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka

R1V4MBJH98JU721

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Zapisz w postaci potęgi.

a) $[b^{- 4} \cdot (b^{7} : b^{- 5})] : [b^{2} \cdot (b^{- 5} : b^{3})]$

b) $\{[b^{5} \cdot (b^{- 3} : b^{- 2})] : [b^{6} : (b^{- 5} \cdot b^{- 3})]\} : b^{- 2}$

Zwróc uwagę na znaki w wykładnikach potęg. Zauważ, że np.

b^{3} : b^{- 5} = b^{3 - (- 5)} = b^{3 + 5} = b^{8}

$[b^{- 4} \cdot (b^{7} : b^{- 5})] : [b^{2} \cdot (b^{- 5} : b^{3})] =$

$= [b^{- 4} \cdot b^{7 - (- 5)}] : [b^{2} \cdot b^{- 5 - 3}] =$

$= [b^{- 4} \cdot b^{12}] : [b^{2} \cdot b^{- 8}] =$

$= b^{- 4 + 12} : b^{2 + (- 8)} =$

$= b^{8} : b^{- 6} =$

$= b^{8 - (- 6)} =$

$= b^{14}$

$\{[b^{5} \cdot (b^{- 3} : b^{- 2})] : [b^{6} : (b^{- 5} \cdot b^{- 3})]\} : b^{- 2} =$

$= \{[b^{5} \cdot b^{- 3 - (- 2)}] : [b^{6} : b^{- 5 + (- 3)}]\} : b^{- 2} =$

$= \{[b^{5} \cdot b^{- 1}] : [b^{6} : b^{- 8}]\} : b^{- 2} =$

$= \{b^{5 + (- 1)} : b^{6 - (- 8)}\} : b^{- 2} =$

$= \{b^{4} : b^{14}\} : b^{- 2} =$

$= \{b^{4 - 14}\} : b^{- 2} =$

$= b^{- 10} : b^{- 2} =$

$= b^{- 10 - (- 2)} =$

$= b^{- 8}$

Ćwiczenie 7

Przedstaw w najprostszej postaci.

a) $\{2 a^{2} b^{3} \cdot [{(4 a^{3} b^{- 2})}^{3} : {(2 a^{- 3} b^{2})}^{2}]\} : {(- 2 a^{2} b^{- 1})}^{2}$ , gdzie $a \neq 0$ , $b \neq 0$

b) $[{(5 x^{- 1} y^{3})}^{3} : {(5 x^{- 4} y^{- 2})}^{2}] \cdot [{(25 x^{- 2} y^{2})}^{2} : {(5 x^{- 1} y^{- 2})}^{4}]$ , gdzie $x \neq 0$ , $y \neq 0$

Wykorzystaj fakt, że dla dowolnych liczb $a$ i $b$ róznych od zera oraz dowolnej liczby całkowitej $n$ prawdziwa jest równość:

a^{n} \cdot b^{n} = {(a \cdot b)}^{n}

W szczególności np:

{(2 a^{- 1} b^{2})}^{3} = 2^{3} \cdot a^{- 3} b^{6}

$\{2 a^{2} b^{3} \cdot [{(4 a^{3} b^{- 2})}^{3} : {(2 a^{- 3} b^{2})}^{2}]\} : {(- 2 a^{2} b^{- 1})}^{2} =$

$= \{2 a^{2} b^{3} \cdot [4^{3} a^{9} b^{- 6} : (2^{2} a^{- 6} b^{4})]\} : (2^{2} a^{4} b^{- 2}) =$

$= \{2 a^{2} b^{3} \cdot [{(2^{2})}^{3} a^{9} b^{- 6} : (2^{2} a^{- 6} b^{4})]\} : (2^{2} a^{4} b^{- 2}) =$

$= \{2 a^{2} b^{3} \cdot [2^{6} a^{9} b^{- 6} : (2^{2} a^{- 6} b^{4})]\} : (2^{2} a^{4} b^{- 2}) =$

$= \{2 a^{2} b^{3} \cdot [2^{4} a^{15} b^{- 10}]\} : (2^{2} a^{4} b^{- 2}) =$

$= \{2 a^{2} b^{3} \cdot 2^{4} a^{15} b^{- 10}\} : (2^{2} a^{4} b^{- 2}) =$

$= \{2^{5} a^{17} b^{- 7}\} : (2^{2} a^{4} b^{- 2}) =$

$= 2^{3} a^{13} b^{- 5} =$

$= 8 a^{13} b^{- 5}$

$[{(5 x^{- 1} y^{3})}^{3} : {(5 x^{- 4} y^{- 2})}^{2}] \cdot [{(25 x^{- 2} y^{2})}^{2} : {(5 x^{- 1} y^{- 2})}^{4}] =$

$= [5^{3} x^{- 3} y^{9} : (5^{2} x^{- 8} y^{- 4})] \cdot [25^{2} x^{- 4} y^{4} : (5^{4} x^{- 4} y^{- 8})] =$

$= [5^{3} x^{- 3} y^{9} : (5^{2} x^{- 8} y^{- 4})] \cdot [{(5^{2})}^{2} x^{- 4} y^{4} : (5^{4} x^{- 4} y^{- 8})] =$

$= [5^{3} x^{- 3} y^{9} : (5^{2} x^{- 8} y^{- 4})] \cdot [5^{4} x^{- 4} y^{4} : (5^{4} x^{- 4} y^{- 8})] =$

$= [5 x^{5} y^{13}] \cdot [x^{0} y^{12}] =$

$= 5 x^{5} y^{13} \cdot y^{12} =$

$= 5 x^{5} y^{25}$

Ćwiczenie 8

Znane jest twierdzenie:

Jeśli potęgi mają takie same podstawy, które są liczbami dodatnimi różnymi od $1$ i są równe, to wykładniki tych potęg też są równe.

(Innymi słowy: Jeśli $a > 0$ i $a \neq 1$ oraz $a^{x} = a^{y}$ , to $x = y$ ).

Korzystając z powyższego twierdzenia możemy rówiązywać równania, w których niewiadoma znajduje się w wykładniku potęgi.

Na przykład:

2^{4} \cdot 2^{x} \cdot 4^{3} = 2^{6} \cdot 8^{3}

2^{4} \cdot 2^{x} \cdot {(2^{2})}^{3} = 2^{6} \cdot {(2^{3})}^{3}

2^{4} \cdot 2^{x} \cdot 2^{6} = 2^{6} \cdot 2^{9}

2^{4} \cdot 2^{6} \cdot 2^{x} = 2^{6} \cdot 2^{9}

2^{10} \cdot 2^{x} = 2^{15}

2^{10 + x} = 2^{15}

10 + x = 15

x = 5

RNVCA7FGKB3TK

Słownik

rozdzielność potęgowania względem mnożenia

własność potęgowania orzekająca, że dla dowolnych liczb $a$ i $b$ różnych od zera oraz dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi ${(a \cdot b)}^{x} = a^{x} \cdot b^{x}$

potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

jeśli $a$ jest liczbą rzeczywistą różną od zera, zaś $n$ jest liczbą naturalną, wówczas zachodzi wzór $a^{- n} = {(\frac{1}{a})}^{n} = \frac{1}{a^{n}}$

1. Potęga o wykładniku naturalnym

3. Potęga o wykładniku wymiernym