3. Potęga o wykładniku wymiernym

R473FJJTR2CTE

Trudno sobie wyobrazić bazując jedynie na intuicji, jakie wartości mogłyby przyjąć potęgi takie jak $3^{\frac{1}{2}}$ czy $5^{\frac{2}{3}}$ . Po raz kolejny potrzebna będzie formalna definicja będąca konsekwencją wcześniej przyjętych własności. W tej lekcji zdefiniujemy potęgi o wykładnikach wymiernych. W tym celu wykorzystamy własności potęg, które zdążyliśmy poznać dotychczas.

Twoje cele

Zastosujesz definicję potęgi o wykładniku wymiernym.
Zastosujesz definicje pierwiastków różnych stopni do wykonywania obliczeń.

Potęga o wykładniku wymiernym

Chcielibyśmy, aby stosowane do tej pory własności działań na potęgach były uniwersalne dla wszystkich wykładników – nie tylko naturalnych czy całkowitych.

Ważne!

Wśród znanych nam już własności znajduje się taka, która orzeka, że iloczyn potęg o tych samych podstawach jest równy potędze, której podstawą jest podstawa czynników, zaś wykładnik jest równy sumie wykładników czynników (czyli dla $a > 0$ zachodzi $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ ).

Rozważmy liczbę $3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ .

Zgodnie ze wspomnianą powyżej własnością zachodzi $3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 3^{1} = 3$

Ale prawdą jest też, $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$ .

Ponieważ chcielibyśmy, aby równanie $x^{2} = 3$ miało jedno rozwiązanie dodatnie, a obie liczby $\sqrt{3}$ i $3^{\frac{1}{2}}$ są dodatnie i to równanie spełniają, więc przyjmujemy $3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$ .

Analogicznie chcielibyśmy, aby równanie $x^{3} = 2$ miało jedno rozwiązanie.

Okazuje się, że spełniają je liczby $\sqrt[3]{2}$ (bo ${(\sqrt[3]{2})}^{3} = 2$ oraz $2^{\frac{1}{3}}$ (bo ${(2^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}} = 2^{1} = 2$ ).

Przyjmujemy więc, że $2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}$ .

Oba przykłady są szczególnymi przypadkami potęgi o wykładniku będącym odwrotnością liczby naturalnej, którą definiujemy jak następuje:

Jeśli

a \geq 0

oraz

n \in ℕ ∖ \{0, 1\}

, to

a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}

Przykład 1

Obliczymy wartości potęg:

$81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9$

$125^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{125} = 5$

${(\frac{16}{81})}^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{2}{3}$

Ponieważ chcemy, żeby wszystkie poznane dotąd własności działań na potęgach były prawdziwe, więc aby obliczyć wartości potęg o wykładnikach będących liczbami wymiernymi, ale bardziej skomplikowanymi niż odwrotności liczb naturalnych, możemy postąpić jak poniżej.

Przykład 2

Obliczymy wartość potęgi $8^{\frac{2}{3}}$ .

Korzystając z własności potęgowania, która orzeka, że dla dowolnej liczby nieujemnej $a$ i liczb całkowitych $k$ i $m$ zachodzi

{(a^{k})}^{m} = a^{k \cdot m}

przekształcamy:

$8^{\frac{2}{3}} = 8^{\frac{1}{3} \cdot 2} = {(8^{\frac{1}{3}})}^{2} = {(\sqrt[3]{8})}^{2} = 2^{2} = 4$

Potęga o wykładniku wymiernym dodatnim:

Definicja: Potęga o wykładniku wymiernym dodatnim:

Potęgę o nieujemnej podstawie $a$ i wykładniku $\frac{k}{m}$ , gdzie $k$ i $m$ są liczbami naturalnymi, przy czym $m > 1$ definiujemy wzorem:

a^{\frac{k}{m}} = {(\sqrt[m]{a})}^{k}

Przykład 3

Obliczymy wartości potęg o wykładniku wymiernym dodatnimpotęg o wykładniku wymiernym dodatnim:

$81^{\frac{3}{4}} = {(\sqrt[4]{81})}^{3} = 3^{3} = 27$

$32^{\frac{2}{5}} = {(\sqrt[5]{32})}^{2} = 2^{2} = 4$

$32^{\frac{3}{5}} = {(\sqrt[5]{32})}^{3} = 2^{3} = 8$

$32^{\frac{4}{5}} = {(\sqrt[5]{32})}^{4} = 2^{4} = 16$

${(\frac{9}{25})}^{\frac{3}{2}} = {(\sqrt{\frac{9}{25}})}^{3} = {(\frac{3}{5})}^{3} = \frac{27}{125}$

${(\frac{9}{25})}^{\frac{2}{3}} = {(\sqrt[3]{\frac{9}{25}})}^{2} = \sqrt[3]{\frac{81}{625}} = \frac{\sqrt[3]{81}}{\sqrt[3]{625}} = \frac{3 \sqrt[3]{3}}{5 \sqrt[3]{5}}$ możemy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika rozszerzając ułamek przez $\sqrt[3]{25}$ : $\frac{3 \sqrt[3]{3}}{5 \sqrt[3]{5}} \cdot \frac{\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{25}} = \frac{3 \sqrt[3]{75}}{5 \cdot 5} = \frac{3 \sqrt[3]{75}}{25}$

Ponieważ każdą liczbę wymierną można przedstawić w postaci ułamka zwykłego na nieskończenie wiele sposobów, rodzi się wątpliwość, czy każda z tych postaci da taką samą wartość potęgi.
Na przykład prawdą jest, że $\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9} = \frac{4}{12} = . . .$
Ale czy $2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{6}} = 2^{\frac{3}{9}} = 2^{\frac{4}{12}} = . . .$ ?
Dowodzi się, że tak rzeczywiście jest. O ile pamiętamy, że podstawą potęgi o wykładniku wymiernym może być tylko liczba nieujemna, można wybrać dowolną spośród wszystkich postaci wykładnika reprezentujących tę samą liczbę wymierną, ale trzymamy się zasady, że wybieramy najprostszą z nich, tzn. ułamek nieskracalny.
W przykładzie powyżej wybierzemy $2^{\frac{1}{3}}$ .

Ciekawostka

Zbadajmy jeszcze, do czego prowadziłaby możliwość obliczania potęg o wykładniku wymiernym i podstawie będącej liczbą ujemną.

Rozważmy ciąg następujących równości:

$- 1 = {(- 1)}^{1} = {(- 1)}^{2 \cdot \frac{1}{2}} = {[{(- 1)}^{2}]}^{\frac{1}{2}} = 1^{\frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$

Gdybyśmy w definicji potęgi o wykładniku wymiernym dopuścili, aby podstawa potęgi była liczbą ujemną, musielibyśmy zrezygnować z własności potęgowania... albo pogodzić się z faktem, że $- 1 = 1$ i wszystkimi konsekwencjami tej równości.

Dużo bardziej sensowne i praktyczne wydaje się przyjęcie ograniczenia, że podstawą potęgi o wykładniku wymiernym może być tylko liczba nieujemna.

Jeżeli dopuścimy, aby wykładnik potęgi mógł być liczbą ujemną, potrzebne jest mocniejsze założenie: w takim przypadku podstawa potęgi musi być liczbą dodatnią.

Potęga o wykładniku wymiernym ujemnym

Definicja: Potęga o wykładniku wymiernym ujemnym

Dla $a > 0$ oraz liczb naturalnych $k$ i $m$ , gdzie $m > 1$ definiujemy potęgę o wykładniku wymiernym ujemnym następującym wzorem:

a^{- \frac{k}{m}} = \frac{1}{{(\sqrt[m]{a})}^{k}} = {(\sqrt[m]{\frac{1}{a}})}^{k}

Przykład 4

Obliczymy wartości potęg o wykładniku wymiernym ujemnympotęg o wykładniku wymiernym ujemnym:

${0,125}^{- \frac{2}{3}} = {(\frac{125}{1000})}^{- \frac{2}{3}} = {(\frac{1}{8})}^{- \frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} = {(\sqrt[3]{8})}^{2} = 2^{2} = 4$

${(\frac{16}{81})}^{- \frac{3}{4}} = {(\frac{81}{16})}^{\frac{3}{4}} = {(\sqrt[4]{\frac{81}{16}})}^{3} = {(\frac{3}{2})}^{3} = \frac{27}{8} = 3,375$

Animacje multimedialne

Zapoznaj się z animacją przedstawiającą potęgi o wykładniku wymiernym i rozwiąż poniższe polecenie.

RDVA72UX977VR

Polecenie 1

R1KMFTF8VKXZO

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Fullpage

Pokaż ćwiczenia:

R1VNMDSLLPPMV1

Ćwiczenie 1

R12D2ARCM35VF1

Ćwiczenie 2

R1JZDAO5R7JMG2

Ćwiczenie 3

Połącz w pary wyrażenia o równych wartościach. nawias, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. siedem początek ułamka, dziewiętnaście, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, 4. trzy początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, 6. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, 8. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka nawias, początek ułamka, dwadzieścia siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. siedem początek ułamka, dziewiętnaście, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, 4. trzy początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, 6. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, 8. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka nawias, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. siedem początek ułamka, dziewiętnaście, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, 4. trzy początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, 6. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, 8. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka nawias, początek ułamka, dwadzieścia siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. siedem początek ułamka, dziewiętnaście, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, 4. trzy początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, 6. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, 8. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka nawias, początek ułamka, dwieście czterdzieści trzy, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. siedem początek ułamka, dziewiętnaście, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, 4. trzy początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, 6. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, 8. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka nawias, początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. siedem początek ułamka, dziewiętnaście, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, 4. trzy początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, 6. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, 8. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka nawias, początek ułamka, dwieście czterdzieści trzy, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. siedem początek ułamka, dziewiętnaście, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, 4. trzy początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, 6. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, 8. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka nawias, początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. siedem początek ułamka, dziewiętnaście, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, 4. trzy początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, 6. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, 8. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka

R1UXKFNC1S6FZ2

Ćwiczenie 4

Do odpowiednich grup przyporządkuj wszystkie wyrażenia, które mają tę samą wartość co potęga w nagłówku. Przeciągnij w odpowiednie okienka. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwadzieścia siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 5. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 6. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 7. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. nawias, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 10. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 11. początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 12. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 13. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 14. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 15. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, koniec ułamka, 16. początek ułamka, dziewięć, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 17. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, 18. początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 19. początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 20. początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, 21. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 22. początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 23. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwadzieścia siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 5. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 6. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 7. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. nawias, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 10. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 11. początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 12. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 13. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 14. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 15. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, koniec ułamka, 16. początek ułamka, dziewięć, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 17. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, 18. początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 19. początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 20. początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, 21. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 22. początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 23. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwadzieścia siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 5. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 6. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 7. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. nawias, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 10. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 11. początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 12. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 13. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 14. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 15. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, koniec ułamka, 16. początek ułamka, dziewięć, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 17. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, 18. początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 19. początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 20. początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, 21. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 22. początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 23. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwadzieścia siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 5. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 6. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 7. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. nawias, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 10. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 11. początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 12. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 13. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 14. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 15. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, koniec ułamka, 16. początek ułamka, dziewięć, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 17. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, 18. początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 19. początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 20. początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, 21. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 22. początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 23. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwadzieścia siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 5. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 6. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 7. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. nawias, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 10. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 11. początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 12. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 13. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 14. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 15. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, koniec ułamka, 16. początek ułamka, dziewięć, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 17. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, 18. początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 19. początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 20. początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, 21. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 22. początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 23. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwadzieścia siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 5. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 6. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 7. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. nawias, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 10. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 11. początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 12. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 13. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 14. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 15. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, koniec ułamka, 16. początek ułamka, dziewięć, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 17. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, 18. początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 19. początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 20. początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, 21. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 22. początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 23. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka

Ćwiczenie 5

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

R1GH57D4B7U6O

R16NA14B3SS16

R1K1RB5BS8TZU

RR3D839EDAJ7V

R1BNUO65MFRU9

Ćwiczenie 6

Oblicz wartość wyrażenia ${(0, 125^{- \frac{4}{3}} \cdot 0, 25^{- 2})}^{\frac{1}{4}} + {(81^{1, 5} \cdot 9^{- 3})}^{\frac{1}{4}}$ .

Wykorzystaj fakt, że: Dla $a > 0$ oraz liczb naturalnych $k$ i $m$ , gdzie $m > 1$

a^{\frac{k}{m}} = {(\sqrt[m]{a})}^{k}

i oblicz wartości powstałych pierwiastków.

${(0, 125^{- \frac{4}{3}} \cdot 0, 25^{- 2})}^{\frac{1}{4}} + {(81^{1, 5} \cdot 9^{- 3})}^{\frac{1}{4}} =$

$= {({(\frac{1}{8})}^{- \frac{4}{3}} \cdot {(\frac{1}{4})}^{- 2})}^{\frac{1}{4}} + {(81^{\frac{3}{2}} \cdot {(3^{2})}^{- 3})}^{\frac{1}{4}} =$

$= {({(\sqrt[3]{8})}^{4} \cdot 16)}^{\frac{1}{4}} + {({(\sqrt{81})}^{3} \cdot 3^{- 6})}^{\frac{1}{4}} =$

$= {(2^{4} \cdot 2^{4})}^{\frac{1}{4}} + {(9^{3} \cdot 3^{- 6})}^{\frac{1}{4}} =$

$= {(2^{8})}^{\frac{1}{4}} + {({(3^{2})}^{3} \cdot 3^{- 6})}^{\frac{1}{4}} =$

$= 2^{2} + {(3^{6} \cdot 3^{- 6})}^{\frac{1}{4}} =$

$= 4 + {(3^{0})}^{\frac{1}{4}} =$

$= 4 + 1^{\frac{1}{4}} =$

$= 4 + 1 =$

$= 5$

Ćwiczenie 7

Oblicz wartość wyrażenia $\frac{1}{2} \cdot 216^{\frac{2}{3}} + {(7, 13^{- 3})}^{0} - 81^{0, 75} \cdot {(0, 5)}^{- 1} + {(\frac{1}{3})}^{- 3} \cdot 0, 0081^{- \frac{3}{4}}$ .

Wykorzystaj fakt, że: Dla $a > 0$ oraz liczb naturalnych $k$ i $m$ , gdzie $m > 1$

a^{\frac{k}{m}} = {(\sqrt[m]{a})}^{k}

i oblicz wartości powstałych pierwiastków.

$\frac{1}{2} \cdot 216^{\frac{2}{3}} + {(7, 13^{- 3})}^{0} - 81^{0, 75} \cdot {(0, 5)}^{- 1} + {(\frac{1}{3})}^{- 3} \cdot 0, 0081^{- \frac{3}{4}} =$

$= \frac{1}{2} \cdot {(\sqrt[3]{216})}^{2} + 1 - 81^{\frac{3}{4}} \cdot {(\frac{1}{2})}^{- 1} + 3^{3} \cdot {(\sqrt[4]{0, 0081})}^{- 3} =$

$= \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 1 - {(\sqrt[4]{81})}^{3} \cdot 2 + 3^{3} \cdot 0, 3^{- 3} =$

$= \frac{1}{2} \cdot 36 + 1 - 3^{3} \cdot 2 + 3^{3} \cdot {(\frac{10}{3})}^{3} =$

$= 18 + 1 - 27 \cdot 2 + 3^{3} \cdot \frac{10^{3}}{3^{3}} =$

$= 19 - 54 + 1000 =$

$= 965$

Ćwiczenie 8

Oblicz wartość wyrażenia $\frac{625^{0, 25} - 1, 5 \cdot 100^{\frac{3}{2}} + 0, 25^{- 2, 5}}{0, 008^{- \frac{1}{3}} - {(- 0, 2)}^{- 2} \cdot 8 + {(12 \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} \cdot (- 4)}$ .

Zacznij od zapisania liczb występujących w wykładnikach potęg w postaci ułamków zwykłych.

Wykorzystaj fakt, że: Dla $a > 0$ oraz liczb naturalnych $k$ i $m$ , gdzie $m > 1$

a^{\frac{k}{m}} = {(\sqrt[m]{a})}^{k}

a^{- \frac{k}{m}} = \frac{1}{{(\sqrt[m]{a})}^{k}} = {(\sqrt[m]{\frac{1}{a}})}^{k}

$\frac{625^{0, 25} - 1, 5 \cdot 100^{\frac{3}{2}} + 0, 25^{- 2, 5}}{0, 008^{- \frac{1}{3}} - {(- 0, 2)}^{- 2} \cdot 8 + {(12 \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} \cdot (- 4)} =$

$= \frac{625^{\frac{1}{4}} - 1, 5 \cdot (\sqrt{100})^{3} + (\frac{1}{4})^{- \frac{5}{2}}}{(\frac{8}{1000})^{- \frac{1}{3}} - (- \frac{1}{5})^{- 2} \cdot 8 + (\frac{49}{4})^{\frac{1}{2}} \cdot (- 4)} =$

$= \frac{\sqrt[4]{625} - 1, 5 \cdot {(10)}^{3} + 4^{\frac{5}{2}}}{125^{\frac{1}{3}} - {(- 5)}^{2} \cdot 8 + \sqrt{\frac{49}{4}} \cdot (- 4)} =$

$= \frac{5 - 1, 5 \cdot 1000 + {(\sqrt{4})}^{5}}{\sqrt[3]{125} - 25 \cdot 8 + \frac{7}{2} \cdot (- 4)} =$

$= \frac{5 - 1500 + 2^{5}}{5 - 200 - 14} =$

$= \frac{5 - 1500 + 32}{5 - 200 - 14} =$

$= \frac{- 1463}{- 209} =$

$= 7$

Słownik

potęga o wykładniku wymiernym dodatnim

potęgą o nieujemnej podstawie $a$ i wykładniku wymiernym $\frac{p}{q}$ , gdzie $p$ i $q$ są liczbami naturalnymi, przy czym $q > 1$ , nazywamy liczbę $a^{\frac{p}{q}} = {(\sqrt[q]{a})}^{p}$

potęga o wykładniku wymiernym ujemnym

potęgą o dodatniej podstawie $a$ i wykładniku wymiernym $- \frac{p}{q}$ , gdzie $p$ i $q$ są liczbami naturalnymi, przy czym $q > 1$ , nazywamy liczbę $a^{- \frac{p}{q}} = {(\sqrt[q]{\frac{1}{a}})}^{p} = \frac{1}{{(\sqrt[q]{a})}^{p}}$

prawo wyłączonego środka

podstawowe prawo logiki klasycznej (dwuwartościowej) orzekające, że spośród dwóch zdań: $q$ oraz nieprawda, że $q$ jedno jest prawdziwe i jedno fałszywe

2. Potęga o wykładniku całkowitym

4. Działania na potęgach