4. Działania na potęgach

R1E3JA66V7FPS

O potęgowaniu mówili już Platon, Archytas i Eudoksos żyjący na przełomie $V$ i $IV$ wieku przed nasza erą. Opisywali liczby powierzchniowe (kwadratowe) i cielesne (stereometryczne), mając na myśli drugie i trzecie potęgi, które wykorzystywano odpowiednio do obliczania pól i objętości (źródło: O. Spengler, $1917$ , Zmierzch zachodu, Monachium).

Inne potęgi dla matematyków w Starożytnej Grecji były nie do wyobrażenia. Potęgi o wykładniku ujemnym pojawiają się w Chinach w $V$ wieku naszej ery i służą tam do zapisywania liczb w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, zaś oznaczenia $5^{\frac{1}{2}}$ (czyli potęgi o wykładniku wymiernym) używał w wieku $XIV$ Mikołaj Oresme.

O potęgowaniu w sposób zbliżony do naszego, zaczęto myśleć dopiero w wieku $XVII$ za sprawą takich matematyków jak Kartezjusz, Pascal, Fermat, Desargues (źródło: Krótka historia matematyki. Ryszard Paweł Kostecki).

R1MUUDRH2FDXZ1

Ilustracja 1. Zdjęcie pierwsze przedstawia rzeźbę Platona, dojrzałego mężczyzny z długą falowaną brodą, podpis: (424 r. p.n.e. - 347 r. p.n.e) jeden z najsłynniejszych filozofów starożytnej Grecji; uczeń Sokratesa i nauczyciel Arystotelesa, założyciel Akademii Platońskiej, 2. Zdjęcie drugie przedstawia wyrzeźbione popiersie dorosłego mężczyzny z brodą, w dopasowanym nakryciu głowy. Podpis: Archytas z Tarentu (428 r. p.n.e - 347 r. p.n.e.) grecki matematyk, fizyk i filozof, mąż stanu (strateg), przyjaciel Platona i nauczyciel Eudoksosa z Knidos, 3. Rycina z numerem trzy przedstawia siedzącego mężczyznę trzymającego w prawej ręce przyrząd w kształcie krzyża, wskazującego na coś lewą ręką. Mężczyzna ma na sobie dopasowane nakrycie głowy i długie szaty. Podpis: Eudoksos z Knidos (390 r. p.n.e. - 337 r. p.n.e.) grecki matematyk, astronom, geograf i filozof, 4. Rysunek z numerem cztery przedstawia starszego mężczyznę siedzącego przy pulpicie i piszącego piórem. Mężczyzna ma na sobie ubiór duchownego. Podpis: Mikołaj Oresme (1320 r. - 1382 r.) francuski ksiądz, astronom, filozof i matematyk, 5. Obraz z numerem pięć przedstawia popiersie brodatego mężczyzny w lokach do ramion. Elementem jego ubioru jest rozłożysty kołnierz. Podpis: Gerard Desargues {audio} (1591 r. - 1661 r.) francuski matematyk i architekt, 6. Obraz z numerem sześć przedstawia siedzącego wąsatego mężczyznę w lokach za ramiona. Mężczyzna ubrany jest w czarne długie szaty z rozłożystym białym kołnierzem. Podpis: René Descartes (Kartezjusz) (1596 r. - 1650 r.) francuski filozof, fizyk i matematyk, nazywany jest ojcem nowożytnej filozofii, 7. Obraz z numerem siedem przedstawia popiersie starszego siwego łysiejącego mężczyzny. Elementem jego stroju jest kołnierz w kształcie długiego prostokąta zwisający lekko z jego ramion. Podpis: Pierre de Fermat (1607 r.- 1665 r.) francuski matematyk, prawnik i poeta, 8. Rycina z numerem osiem przedstawia popiersie mężczyzny w średnim wieku o długich gęstych lokach. Mężczyzna ma na sobie szatę z błyszczącego materiału. Podpis: Blaise Pascal (1623 r. - 1662 r.) francuski matematyk, fizyk i filozof religii

W tej lekcji przypomnimy własności działań, które są wspólne dla wszystkich potęg niezależnie od tego, do którego z podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych należą wykładniki. Pokażemy też proste przykłady zastosowania tych własności ze szczególnym akcentem położonym na potęgi o wykładnikach nie będących liczbami naturalnymi.

Twoje cele

Zastosujesz własności potęg dotyczące iloczynu i ilorazu potęg o tych samych podstawach.
Zastosujesz własności potęg dotyczące iloczynu i ilorazu potęg o tych samych wykładnikach.
Zastosujesz własność dotyczącą potęgowania potęgi.

Przypomnijmy, w jaki sposób skonstruowaliśmy potęgę o wykładniku wymiernym.

Zaczęliśmy od wykładników będących liczbami naturalnymi. Takie potęgowanie to po prostu uogólnienie mnożenia: iloczyn kilku równych czynników zapisujemy w postaci potęgi, np.: $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{4}$ .

Jeżeli wykładnik jest liczbą całkowitą ujemną, wówczas minus z wykładnika zamienia podstawę potęgi na jej odwrotność, np.: $5^{- 3} = {(\frac{1}{5})}^{3} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{125}$ .

Następnie omówiliśmy potęgi o wykładnikach wymiernych. W tym przypadku, po zapisaniu wykładnika w postaci ułamka zwykłego (być może niewłaściwego), jego mianownik można zamienić na stopień pierwiastka, którym należy spierwiastkować podstawę potęgi, np.: $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^{2}} = {(\sqrt[3]{8})}^{2} = 2^{2}$ .

Na każdym etapie konstruowania potęgowania jako działania, niezależnie od tego do jakiego zbioru liczbowego należy wykładnik, zwracaliśmy uwagę, że chcemy zachować własności działań na potęgach, które były prawdziwe dla wykładników naturalnych.

Zatem dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ oraz dowolnych liczb wymiernych $x$ i $y$ zachodzą następujące własności:

iloczyn potęg o takich samych podstawach: $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ ,
iloraz potęg o takich samych podstawach: $a^{x} : a^{y} = a^{x - y}$ ,
potęga potęgi: ${(a^{x})}^{y} = a^{x \cdot y}$ ,
iloczyn potęg o takich samych wykładnikach (rozdzielność potęgowania względem mnożeniarozdzielność potęgowania względem mnożenia): $a^{x} \cdot b^{x} = {(a \cdot b)}^{x}$ ,
iloraz potęg o takich samych wykładnikach (rozdzielność potęgowania względem dzieleniarozdzielność potęgowania względem dzielenia): $a^{x} : b^{x} = {(a : b)}^{x}$ .

Przykład 1

Rozważmy wyrażenie $\sqrt[3]{\sqrt{5}}$ . Korzystając z definicji potęgi o wykładniku wymiernym i własności potęgowania mamy:

$\sqrt[3]{\sqrt{5}} = {(5^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{5}$

Powyższy przykład można uogólnić.

Rozważmy $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$ , gdzie $a \geq 0$ oraz $m$ i $n$ są liczbami naturalnymi większymi od $1$ .

Wówczas:

\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = {(a^{\frac{1}{n}})}^{\frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{n \cdot m}} = \sqrt[n \cdot m]{a}

Przykład 2

Obliczymy wartości wyrażeń:

a) $3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 32^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = {(3 \cdot 3)}^{\frac{1}{2}} + {(32 \cdot 2)}^{\frac{1}{2}} = {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} + 64^{\frac{1}{2}} = 3 + \sqrt{64} = 3 + 8 = 11$

b) $16^{\frac{1}{3}} \cdot 32^{\frac{1}{3}} + 7^{\frac{1}{3}} \cdot 49^{\frac{1}{3}} = {(16 \cdot 32)}^{\frac{1}{3}} + {(7 \cdot 49)}^{\frac{1}{3}} = 512^{\frac{1}{3}} + {(7^{3})}^{\frac{1}{3}} =$

$= \sqrt[3]{512} + 7^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 8 + 7 = 15$

Przykład 3

Przekształcimy wyrażenie $\frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 25 \cdot \sqrt{125} \cdot 25^{\frac{1}{4}}}{625 \cdot \sqrt{\frac{1}{25}} \cdot 125^{\frac{1}{4}}}$ do najprostszej postaci korzystając z własności działań na potęgach.

$\frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 25 \cdot \sqrt{125} \cdot 25^{\frac{1}{4}}}{625 \cdot \sqrt{\frac{1}{25}} \cdot 125^{\frac{1}{4}}} =$

$= \frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{2} \cdot 125^{\frac{1}{2}} \cdot 25^{\frac{1}{4}}}{5^{4} \cdot {(\frac{1}{25})}^{\frac{1}{2}} \cdot {(5^{3})}^{\frac{1}{4}}} =$

$= \frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{2} \cdot {(5^{3})}^{\frac{1}{2}} \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{4}}}{5^{4} \cdot {(5^{- 2})}^{\frac{1}{2}} \cdot {(5^{3})}^{\frac{1}{4}}} =$

$= \frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{2} \cdot 5^{\frac{3}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{5^{4} \cdot 5^{- 1} \cdot 5^{\frac{3}{4}}} =$

$= \frac{5^{\frac{1}{4} + 2 + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}}}{5^{4 + (- 1) + \frac{3}{4}}} =$

$= \frac{5^{4 \frac{1}{4}}}{5^{3 \frac{3}{4}}} =$

$= 5^{4 \frac{1}{4} - 3 \frac{3}{4}} =$

$= 5^{\frac{1}{2}} =$

$= \sqrt{5}$

Przykład 4

Uprościmy wyrażenie $\frac{3^{n + 3} + 3^{n + 1}}{3^{n + 1} + 3^{n - 1}}$ dla dowolnej liczby całkowitej $n$ .

$\frac{3^{n + 3} + 3^{n + 1}}{3^{n + 1} + 3^{n - 1}} =$

$= \frac{3^{n} \cdot 3^{3} + 3^{n} \cdot 3}{3^{n - 1} \cdot 3^{2} + 3^{n - 1}} =$

$= \frac{30 \cdot 3^{n}}{10 \cdot 3^{n - 1}} =$

$= \frac{3 \cdot 3^{n}}{3^{n - 1}} =$

$= \frac{3^{n + 1}}{3^{n - 1}} =$

$= 3^{n + 1 - (n - 1)} =$

$= 3^{n + 1 - n + 1} =$

$= 3^{2} =$

$= 9$

Gra edukacyjna

Polecenie 1

Przed Tobą gra edukacyjna zawierająca pytania dotyczące potęg i ich własności, do każdego cztery odpowiedzi, ale tylko jedna poprawna. Zagraj w grę.

RMTNSJZKBTTKO

Rozwiąż poniższy test jednokrotnego wyboru składający się z ośmiu pytań.

RU3HEKA11S985

R1GR2JL9LLS4C

R1FKK93CSCM6R

RAKBU1MRN8U73

RGQD8VD87SCHR

RSB4PE8FAFMR2

RR53GDA2A198M

R5S46ZHK86V91

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Fullpage

Pokaż ćwiczenia:

R1X4H4KN4O28G1

Ćwiczenie 1

R1DX6999U7F1E1

Ćwiczenie 2

R1TN8BBTOJOHR2

Ćwiczenie 3

R1R2RZV3B1UXP2

Ćwiczenie 4

R1EHKCBN5EX9B2

Ćwiczenie 5

Dla a, większy niż, zero wyrażeniom w nagłówkach przyporządkuj wyrażenia im równe. Przeciągnij w odpowiednie okienka. a Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a, razy, a indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek sześcienny z a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. a, razy, a, 7. początek ułamka, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 8. początek ułamka, a indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 9. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 10. pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 11. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, koniec ułamka, 12. a indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. a, razy, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 14. a indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, 15. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 16. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 17. początek ułamka, a indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 18. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, a, koniec ułamka, 19. początek ułamka, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 20. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a, 21. pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 22. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 23. a, razy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 24. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a, razy, a indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek sześcienny z a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. a, razy, a, 7. początek ułamka, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 8. początek ułamka, a indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 9. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 10. pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 11. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, koniec ułamka, 12. a indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. a, razy, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 14. a indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, 15. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 16. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 17. początek ułamka, a indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 18. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, a, koniec ułamka, 19. początek ułamka, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 20. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a, 21. pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 22. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 23. a, razy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 24. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a, razy, a indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek sześcienny z a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. a, razy, a, 7. początek ułamka, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 8. początek ułamka, a indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 9. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 10. pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 11. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, koniec ułamka, 12. a indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. a, razy, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 14. a indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, 15. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 16. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 17. początek ułamka, a indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 18. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, a, koniec ułamka, 19. początek ułamka, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 20. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a, 21. pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 22. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 23. a, razy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 24. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a, razy, a indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek sześcienny z a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. a, razy, a, 7. początek ułamka, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 8. początek ułamka, a indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 9. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 10. pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 11. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, koniec ułamka, 12. a indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. a, razy, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 14. a indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, 15. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 16. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 17. początek ułamka, a indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 18. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, a, koniec ułamka, 19. początek ułamka, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 20. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a, 21. pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 22. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 23. a, razy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 24. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a, razy, a indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek sześcienny z a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. a, razy, a, 7. początek ułamka, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 8. początek ułamka, a indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 9. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 10. pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 11. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, koniec ułamka, 12. a indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. a, razy, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 14. a indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, 15. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 16. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 17. początek ułamka, a indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 18. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, a, koniec ułamka, 19. początek ułamka, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 20. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a, 21. pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 22. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 23. a, razy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 24. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a, razy, a indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek sześcienny z a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. a, razy, a, 7. początek ułamka, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 8. początek ułamka, a indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 9. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 10. pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 11. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, koniec ułamka, 12. a indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. a, razy, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 14. a indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, 15. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 16. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 17. początek ułamka, a indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 18. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, a, koniec ułamka, 19. początek ułamka, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 20. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a, 21. pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 22. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 23. a, razy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 24. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego

RHU3QU6HQ5K9G2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Oblicz wartości potęg:

a) $3^{2^{2}}$ oraz ${(3^{2})}^{2}$

b) $2^{3^{2}}$ oraz ${(2^{3})}^{2}$

c) $2^{{\sqrt{2}}^{4}}$ oraz ${\sqrt{2}}^{2^{4}}$

$3^{2^{2}} = 3^{(2^{2})} = 3^{4} = 81$ oraz ${(3^{2})}^{2} = 81$

$2^{3^{2}} = 2^{(3^{2})} = 2^{9} = 512$ oraz ${(2^{3})}^{2} = 8^{2} = 64$

$2^{{\sqrt{2}}^{4}} = 2^{({\sqrt{2}}^{4})} = 2^{4} = 16$ oraz ${\sqrt{2}}^{2^{4}} = {(\sqrt{2})}^{(2^{4})} = {\sqrt{2}}^{16} = 256$

R1NVLSSC8TLD43

Ćwiczenie 8

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi. Wyrażenie nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego jest równe:
początek ułamka, a, plus, b, mianownik, a b, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, a, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, b, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, a, plus, b, koniec ułamka

Wyrażenie a indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego jest równe:
początek ułamka, a, plus, b, mianownik, a b, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, a, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, b, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, a, plus, b, koniec ułamka

Wyrażenie nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego jest równe:
początek ułamka, jeden, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Wyrażenie nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego jest równe:
początek ułamka, jeden, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

R1TX7HBKFF3XH3

Ćwiczenie 9

Potęgowanie 1. a, b dla których a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, równa się, b indeks górny, a, koniec indeksu górnego, 2. a, b, c, dla których a indeks górny, nawias b indeks górny, c, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, równa się, nawias a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, c, koniec indeksu górnego, 3. nie jest, 4. a, b oraz liczba rzeczywista x, dla których nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego}, 5. jest, 6. nie jest, 7. a, b oraz liczba rzeczywista x, dla których nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, nie równa się, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego, 8. a, b, c, dla których a indeks górny, nawias b indeks górny, c, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, nie równa się, nawias a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, c, koniec indeksu górnego, 9. nie jest, 10. a, b dla których a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, nie równa się, b indeks górny, a, koniec indeksu górnego, 11. jest łącznym, ponieważ istnieją takie liczby dodatnie 1. a, b dla których a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, równa się, b indeks górny, a, koniec indeksu górnego, 2. a, b, c, dla których a indeks górny, nawias b indeks górny, c, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, równa się, nawias a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, c, koniec indeksu górnego, 3. nie jest, 4. a, b oraz liczba rzeczywista x, dla których nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego}, 5. jest, 6. nie jest, 7. a, b oraz liczba rzeczywista x, dla których nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, nie równa się, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego, 8. a, b, c, dla których a indeks górny, nawias b indeks górny, c, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, nie równa się, nawias a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, c, koniec indeksu górnego, 9. nie jest, 10. a, b dla których a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, nie równa się, b indeks górny, a, koniec indeksu górnego, 11. jest.

Potęgowanie 1. a, b dla których a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, równa się, b indeks górny, a, koniec indeksu górnego, 2. a, b, c, dla których a indeks górny, nawias b indeks górny, c, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, równa się, nawias a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, c, koniec indeksu górnego, 3. nie jest, 4. a, b oraz liczba rzeczywista x, dla których nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego}, 5. jest, 6. nie jest, 7. a, b oraz liczba rzeczywista x, dla których nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, nie równa się, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego, 8. a, b, c, dla których a indeks górny, nawias b indeks górny, c, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, nie równa się, nawias a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, c, koniec indeksu górnego, 9. nie jest, 10. a, b dla których a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, nie równa się, b indeks górny, a, koniec indeksu górnego, 11. jest działaniem przemiennym, ponieważ istnieją takie liczby dodatnie 1. a, b dla których a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, równa się, b indeks górny, a, koniec indeksu górnego, 2. a, b, c, dla których a indeks górny, nawias b indeks górny, c, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, równa się, nawias a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, c, koniec indeksu górnego, 3. nie jest, 4. a, b oraz liczba rzeczywista x, dla których nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego}, 5. jest, 6. nie jest, 7. a, b oraz liczba rzeczywista x, dla których nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, nie równa się, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego, 8. a, b, c, dla których a indeks górny, nawias b indeks górny, c, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, nie równa się, nawias a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, c, koniec indeksu górnego, 9. nie jest, 10. a, b dla których a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, nie równa się, b indeks górny, a, koniec indeksu górnego, 11. jest.

Potęgowanie 1. a, b dla których a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, równa się, b indeks górny, a, koniec indeksu górnego, 2. a, b, c, dla których a indeks górny, nawias b indeks górny, c, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, równa się, nawias a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, c, koniec indeksu górnego, 3. nie jest, 4. a, b oraz liczba rzeczywista x, dla których nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego}, 5. jest, 6. nie jest, 7. a, b oraz liczba rzeczywista x, dla których nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, nie równa się, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego, 8. a, b, c, dla których a indeks górny, nawias b indeks górny, c, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, nie równa się, nawias a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, c, koniec indeksu górnego, 9. nie jest, 10. a, b dla których a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, nie równa się, b indeks górny, a, koniec indeksu górnego, 11. jest rozdzielne względem dodawania, ponieważ takie liczby dodatnie 1. a, b dla których a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, równa się, b indeks górny, a, koniec indeksu górnego, 2. a, b, c, dla których a indeks górny, nawias b indeks górny, c, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, równa się, nawias a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, c, koniec indeksu górnego, 3. nie jest, 4. a, b oraz liczba rzeczywista x, dla których nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego}, 5. jest, 6. nie jest, 7. a, b oraz liczba rzeczywista x, dla których nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, nie równa się, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego, 8. a, b, c, dla których a indeks górny, nawias b indeks górny, c, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, nie równa się, nawias a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, c, koniec indeksu górnego, 9. nie jest, 10. a, b dla których a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, nie równa się, b indeks górny, a, koniec indeksu górnego, 11. jest.

R3FXMFXRANE7N1

Ćwiczenie 10

Połącz w pary wyrażenia o równych wartościach. pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka indeks górny, dwa pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. sześć indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 2. początek ułamka, sześć indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, mianownik, sześć indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 3. sześć indeks górny, dwa pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, razy, trzy indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, 5. sześć indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, 6. sześć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. sześć indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 2. początek ułamka, sześć indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, mianownik, sześć indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 3. sześć indeks górny, dwa pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, razy, trzy indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, 5. sześć indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, 6. sześć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka indeks górny, trzy pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. sześć indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 2. początek ułamka, sześć indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, mianownik, sześć indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 3. sześć indeks górny, dwa pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, razy, trzy indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, 5. sześć indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, 6. sześć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka indeks górny, minus, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. sześć indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 2. początek ułamka, sześć indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, mianownik, sześć indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 3. sześć indeks górny, dwa pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, razy, trzy indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, 5. sześć indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, 6. sześć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, razy, sześć indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. sześć indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 2. początek ułamka, sześć indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, mianownik, sześć indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 3. sześć indeks górny, dwa pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, razy, trzy indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, 5. sześć indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, 6. sześć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego nawias, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. sześć indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 2. początek ułamka, sześć indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, mianownik, sześć indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 3. sześć indeks górny, dwa pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, razy, trzy indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, 5. sześć indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, 6. sześć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego

RP71GQGV61VF61

Ćwiczenie 11

Ćwiczenie 12

Przedstaw w najprostszej postaci wyrażenie $\frac{5^{n + 1} + 5^{n} + 5^{n - 2}}{5^{n + 3} + 2 \cdot 5^{n + 2} - 24 \cdot 5^{n}}$ dla dowolnej liczby całkowitej $n$ .

$\frac{5^{n + 1} + 5^{n} + 5^{n - 2}}{5^{n + 3} + 2 \cdot 5^{n + 2} - 24 \cdot 5^{n}} =$

$= \frac{5^{n - 2} \cdot 5^{3} + 5^{n - 2} \cdot 5^{2} + 5^{n - 2}}{5^{n} \cdot 5^{3} + 2 \cdot 5^{n} \cdot 5^{2} - 24 \cdot 5^{n}} =$

$= \frac{5^{n - 2} \cdot (5^{3} + 5^{2} + 1)}{5^{n} \cdot (5^{3} + 2 \cdot 5^{2} - 24)} =$

$= \frac{5^{n - 2} \cdot (125 + 25 + 1)}{5^{n} \cdot (125 + 50 - 24)} =$

$= \frac{5^{n - 2} \cdot 151}{5^{n} \cdot 151} =$

$= \frac{5^{n - 2}}{5^{n}} =$

$= 5^{n - 2 - n} =$

$= 5^{- 2} =$

$= \frac{1}{25}$

R2OJGBJV6JLOD2

Ćwiczenie 13

Wiadomo, że a, większy niż, zero i b, większy niż, zero. Połącz w pary wyrażenia równe. nawias, początek ułamka, szesnaście a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia pięć b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dziewięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia pięć b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy b, koniec ułamka, 3. początek ułamka, czterdzieści dziewięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, szesnaście b indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 4. początek ułamka, cztery a, mianownik, pięć b, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy a, mianownik, pięć b, koniec ułamka, 6. początek ułamka, sto dwadzieścia pięć a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia siedem b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka nawias, początek ułamka, dwadzieścia siedem a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, sto dwadzieścia pięć b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dziewięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia pięć b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy b, koniec ułamka, 3. początek ułamka, czterdzieści dziewięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, szesnaście b indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 4. początek ułamka, cztery a, mianownik, pięć b, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy a, mianownik, pięć b, koniec ułamka, 6. początek ułamka, sto dwadzieścia pięć a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia siedem b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka nawias, początek ułamka, dwadzieścia siedem a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, sto dwadzieścia pięć b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dziewięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia pięć b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy b, koniec ułamka, 3. początek ułamka, czterdzieści dziewięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, szesnaście b indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 4. początek ułamka, cztery a, mianownik, pięć b, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy a, mianownik, pięć b, koniec ułamka, 6. początek ułamka, sto dwadzieścia pięć a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia siedem b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka nawias, początek ułamka, sześćdziesiąt cztery a indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, trzysta czterdzieści trzy b indeks górny, minus, sześć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dziewięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia pięć b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy b, koniec ułamka, 3. początek ułamka, czterdzieści dziewięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, szesnaście b indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 4. początek ułamka, cztery a, mianownik, pięć b, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy a, mianownik, pięć b, koniec ułamka, 6. początek ułamka, sto dwadzieścia pięć a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia siedem b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka nawias, początek ułamka, osiemdziesiąt jeden a indeks górny, minus, osiem, koniec indeksu górnego, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć b indeks górny, minus, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dziewięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia pięć b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy b, koniec ułamka, 3. początek ułamka, czterdzieści dziewięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, szesnaście b indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 4. początek ułamka, cztery a, mianownik, pięć b, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy a, mianownik, pięć b, koniec ułamka, 6. początek ułamka, sto dwadzieścia pięć a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia siedem b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka nawias, początek ułamka, osiemdziesiąt jeden a indeks górny, minus, osiem, koniec indeksu górnego, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć b indeks górny, minus, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dziewięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia pięć b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy b, koniec ułamka, 3. początek ułamka, czterdzieści dziewięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, szesnaście b indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 4. początek ułamka, cztery a, mianownik, pięć b, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy a, mianownik, pięć b, koniec ułamka, 6. początek ułamka, sto dwadzieścia pięć a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia siedem b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Ćwiczenie 14

Oblicz wartość wyrażenia ${(- 3 \frac{3}{8})}^{- \frac{2}{3}} - 3^{- 2} \cdot 9^{0, 5} \cdot 27^{\frac{2}{3}} + {(\frac{8}{17})}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2}$ .

Zacznij od zamiany liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy. Pamiętaj też, że jeżeli liczba $a$ nie jest zerem to $a^{0} = 1$ .

${(- 3 \frac{3}{8})}^{- \frac{2}{3}} - 3^{- 2} \cdot 9^{0, 5} \cdot 27^{\frac{2}{3}} + {(\frac{8}{17})}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2} =$

$= {(- \frac{27}{8})}^{- \frac{2}{3}} - 3^{- 2} \cdot 3 \cdot {(3^{3})}^{\frac{2}{3}} + 1 + {(- 2)}^{2} =$

$= {[{(- \frac{3}{2})}^{3}]}^{- \frac{2}{3}} - 3^{- 2} \cdot 3 \cdot 3^{2} + 1 + 4 =$

$= {(- \frac{3}{2})}^{- 2} - 3^{- 2 + 1 + 2} + 5 =$

$= \frac{4}{9} - 3 + 5 =$

$= \frac{4}{9} + 2 =$

$= 2 \frac{4}{9}$

R19N1HH2CTVXU3

Ćwiczenie 15

Słownik

rozdzielność potęgowania względem mnożenia

własność potęgowania, która orzeka, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ oraz dowolnej liczby rzeczywistej $r$ zachodzi równość

{(a \cdot b)}^{r} = a^{r} \cdot b^{r}

rozdzielność potęgowania względem dzielenia

własność potęgowania, która orzeka, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ oraz dowolnej liczby rzeczywistej $r$ zachodzi równość

{(a : b)}^{r} = a^{r} : b^{r}

3. Potęga o wykładniku wymiernym

5. Notacja wykładnicza