5. Notacja wykładnicza

R14CJESNRG5VZ

W życiu codziennym najczęściej posługujemy się liczbami zapisanymi w dziesiątkowym systemie pozycyjnym. Chleb kosztuje $2, 99 zł$ , twoja średnia ocen z matematyki może wynosić $4, 75$ , średnia temperatura powietrza we Wrocławiu w roku $2018$ była równa $8, 4 ° C$ , itp.

Jednak w świecie nauki pojawiają się najczęściej wielkości albo bardzo małe, albo bardzo duże. Zapis takich liczb bywa kłopotliwy, gdyż wymaga użycia wielu cyfr, a zatem zajmuje stosunkowo dużo miejsca. Tak narodziła się potrzeba nieco innego zapisu liczb, zwanego notacją wykładniczą.

Jedna z najbardziej znanych bakterii – Escherichia Coli – ma rozmiary rzędu mikrometra $(μm)$ , czyli $0, 000001 m$ , co już niewątpliwie jest poza zasięgiem naszego nieuzbrojonego w mikroskop oka.

R1B7UT4VF9BJZ

Ilustracja przedstawia bakterie widziane spod mikroskopu. Kształtem przypominają pałeczki. — Escherichia Coli
Źródło: dostępny w internecie: pixabay.com, domena publiczna.

W świecie istot żywych są jednak jeszcze mniejsze organizmy. Wielkość wirusów mierzy się na przykład już w nanometrach, czyli w jednostce długości równej $0, 000000001 m$ .

Jak widzimy, tradycyjny zapis małych liczb jest bardzo niewygodny w użyciu, ze względu na dużą liczbę zer potrzebnych do ich zapisu. Dlatego znacznie prościej jest zapisywać je z użyciem potęgi o wykładniku ujemnym.

Twoje cele

Odróżnisz notację wykładniczą od zapisu pozycyjnego.
Wymienisz zalety notacji wykładniczej.
Przekształcisz zapis pozycyjny liczby na notację wykładniczą i odwrotnie.
Porównasz ze sobą liczby zapisane za pomocą notacji wykładniczej.

Centralną gwiazdą Układu Słonecznego jest Słońce – to jemu zawdzięczamy życie na Ziemi. Poniżej niektóre dane charakteryzujące Słońce.

Średnica: $1, 39 \cdot 10^{6} km = 1, 39 \cdot 10^{9} m$
Masa: $1, 989 \cdot 10^{30} kg$
Wiek: $4, 567 \cdot 10^{9} lat$
Odległość od Ziemi: $1, 496 \cdot 10^{8} km$
Pole powierzchni: $6, 0787 \cdot 10^{12} {km}^{2}$
Objętość: $1, 4093 \cdot 10^{18} {km}^{3}$

Do zapisu liczb powyżej użyliśmy właśnie notacji wykładniczejnotacja wykładniczanotacji wykładniczej. Zwróć uwagę, że każda z tych liczb jest iloczynem liczby z przedziału $⟨ 1, 10)$ oraz potęgi liczby $10$ o całkowitym wykładniku.

Przykład 1

Rozważmy liczbę wyrażającą masę Słońca:

$1, 989 \cdot 10^{30} k g = 1, 989 \cdot 1000000000000000000000000000000 k g$ =
$= 1989000000000000000000000000000 k g$

Widać, że zapis liczby w notacji wykładniczej zajmuje zdecydowanie mniej miejsca niż zapis pozycyjny.

Przykład 2

Drugą po Słońcu najbliższą Ziemi gwiazdą jest Proxima Centauri.
Jej odległość od Ziemi to $40140000000000 km$ .
Aby przedstawić tę liczbę w notacji wykładniczej, możemy postąpić następująco:

Z początkowych cyfr podanej wielkości tworzymy liczbę z przedziału $⟨1, 10)$ : $4, 014$ .
Liczymy, ile cyfr, poza pierwszą, ma dana liczba - jest to wykładnik potęgi liczby $10$ ; w tym przypadku to $13$ .
Zapisujemy daną liczbę w postaci wykładniczej: $4, 014 \cdot 10^{13}$ .

Poza bardzo dużymi liczbami w nauce spotyka się również liczby bardzo małe. Jako przykład mogą posłużyć masy atomów pierwiastków chemicznych.

Hel – $6, 64 \cdot 10^{- 24} g$
Fosfor – $5, 146 \cdot 10^{- 23} g$
Złoto – $3, 2702 \cdot 10^{- 22} g$

Przykład 3

Masę atomu helu możemy zapisać w postaci:

$6, 64 \cdot 10^{- 24} = 6, 64 \cdot 0, 00000000000000000000000001 =$
$= 0, 000000000000000000000000664$

Przykład 4

Aby przedstawić liczbę $0, 0000000000000159735$ w notacji wykładniczej, możemy postąpić następująco:

Z końcowych cyfr podanej wielkości tworzymy liczbę z przedziału $⟨1, 10)$ , czyli mantysęmantysa liczbymantysę: $1, 59735$ .
Liczymy, ile kolejnych zer od lewej strony ma dana liczba – jest to wartość bezwzględna wykładnika potęgi liczby $10$ . W tym przypadku to $14$ .
Zapisujemy daną liczbę w postaci notacji wykładniczejnotacja wykładniczanotacji wykładniczej: $1, 59735 \cdot 10^{- 14}$ .

Przykład 5

Ułamek $0, 00000000000046$ zapisujemy w notacji wykładniczejnotacja wykładniczanotacji wykładniczej:

$0, 00000000000046 = 4, 6 \cdot 0, 0000000000001 = 4, 6 \cdot 10^{- 13}$ .

A zatem rozważany ułamek jest rzędu $10^{- 13}$ .

Przykład 6

RH6FUE77MGBAA

Ilustracja przedstawia atom wodoru o wielkości jeden przecinek dwa, razy, dziesięć indeks górny, minus, dziesięć, koniec indeksu górnego metra. W jego środku znajdują się protony o wielkości jeden przecinek sześć, razy, dziesięć indeks górny, minus, piętnaście, koniec indeksu górnego metra.

Średnica protonu mierzona w metrach wynosi około $1, 6 \cdot 10^{- 15}$ .

Skoro potęgi o ujemnym wykładniku całkowitym są wygodną formą zapisu bardzo małych liczb, więc również opisując świat w mikroskali korzystamy z notacji wykładniczej.

Przykład 7

Atom ma rozmiary rzędu $10^{- 10} m$ , zaś jądro atomowe jest od niego $100000 = 10^{5}$ razy mniejsze. A zatem jądro atomowe ma rozmiary około:

$\frac{10^{- 10}}{10^{5}} = \frac{1}{10^{10}} \cdot \frac{1}{10^{5}} = \frac{1}{10^{15}} = 10^{- 15} m$ .

Przykład 8

Obliczymy, ile razy większa jest rozwielitka o długości $3 \cdot 10^{- 3} m$ od bakterii wielkości $2 \cdot 10^{- 6} m$ .

Mamy:

$\frac{3 \cdot 10^{- 3}}{2 \cdot 10^{- 6}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{10^{6}}{10^{3}} = 1500$ .

A zatem rozwielitka jest większa od bakterii $1500$ razy.

Przykład 9

Magda tworzy model Układu Słonecznego, z modelem Ziemi wielkości grejpfruta o średnicy $15 cm$ .
Jak duża powinna być w modelu Magdy kulka przedstawiająca Księżyc?

Zauważmy, że ponieważ w zaproponowanym przez Magdę modelu Układu Słonecznego Ziemia ma średnicę $0, 15 m$ , a w rzeczywistości jej średnica jest równa około $1, 3 \cdot 10^{7} m$ , więc Magda wykonuje model Układu Słonecznego w skali $s = \frac{0, 15}{1, 3 \cdot 10^{7}} \approx 0, 00000001153846154 \approx 1, 15 \cdot 10^{- 8}$ .

Posługując się zapisaną w notacji wykładniczej skalą $s$ obliczymy drugim sposobem, że w modelu Magdy:

średnica Księżyca powinna być równa (w metrach) w przybliżeniu
$1, 15 \cdot 10^{- 8} \cdot 3, 5 \cdot 10^{6} = (1, 15 \cdot 3, 5) \cdot 10^{- 8 + 6} =$
$= 4, 025 \cdot 10^{- 2} = 0, 04025$ ,
czyli około $4 cm$ ,

odległość Księżyca od Ziemi powinna być równa w przybliżeniu $1, 15 \cdot 10^{- 8} \cdot 3, 8 \cdot 10^{8} = (1, 15 \cdot 3, 8) \cdot 10^{- 8 + 8} = 4, 37$ ,
czyli około $4, 5 m$ .

Korzystając ze spostrzeżeń poczynionych powyżej obliczymy ponadto:

jaką wielkość powinna mieć kula przedstawiająca Słońce w modelu Magdy,
w jakiej odległości od grejpfruta przedstawiającego Ziemię powinna się ona znajdować.

Ponieważ Słońce ma średnicę około $1, 4 \cdot 10^{9} m$ i znajduje się $150$ milionów $km$ od Ziemi, więc w modelu Magdy:

kula przedstawiająca Słońce powinna mieć wielkość $1, 15 \cdot 10^{- 8} \cdot 1, 4 \cdot 10^{9} \approx 16, 10 (m)$
i powinna się ona znajdować w odległości od modelu Ziemi o $1, 15 \cdot 10^{- 8} \cdot 150 \cdot 10^{9} \approx 1730 (m)$ , czyli w odległości prawie dwóch kilometrów!

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z animacją, a następnie rozwiąż krótki test dotyczący notacji wykładniczej.

R1VF922UPJEG6

Polecenie 1

R1658LMMX333G

Polecenie 2

R1QXCU9VF9PJT

Polecenie 3

R14DEU4EL3R43

Polecenie 4

R839KVDO5QBZJ

Polecenie 5

R1QF5C6B988PX

Polecenie 6

RKSJ1RALHZO51

Polecenie 7

RGB8UGCF4LMB6

Polecenie 8

R18VRNET8445U

Polecenie 9

R1NATTNF6OBG6

Zapoznaj się z poniższym filmem, a następnie wykonaj polecenia zamieszczone poniżej.

R7P85CHHLD7S9

Polecenie 10

Atomowa jednostka masy (oznaczana jako $u$ od unit) to wielkość, za pomocą której wyraża się masę atomową związków chemicznych:
$1 u \approx 1, 66 \cdot 10^{- 24} g$ .

Zapisz w kilogramach, używając notacji wykładniczej:

masą atomową tlenu, równą $16 u$ ,
masą atomową azotanu magnezu, równą $148 u$ .

$16 u \approx 16 \cdot 1, 66 \cdot 10^{- 24} g = 26, 56 \cdot 10^{- 24} \cdot 10^{- 3} kg \approx 2, 7 \cdot 10^{- 26} kg$
$148 u \approx 148 \cdot 1, 66 \cdot 10^{- 24} g = 245, 68 \cdot 10^{- 24} \cdot 10^{- 3} kg \approx 2, 5 \cdot 10^{- 25} kg$ .

Polecenie 11

Porównaj wagę:
$3$ miliardów $500$ milionów mrówek, jeśli przyjmiemy, że masa każdej z nich to $0, 3 \cdot 10^{- 3} g$ ,
oraz $4$ tygrysów, jeśli przyjmiemy, że każdy z nich ma masę $2, 7 \cdot 10^{2} kg$ .

Masa opisanych mrówek jest równa
$35 \cdot 10^{8} \cdot 0, 3 \cdot 10^{- 3} = 35 \cdot 3 \cdot \frac{10^{8}}{10^{4}} = 105 \cdot 10^{4} = 1050 (kg)$ ,
natomiast masa opisanych $4$ tygrysów jest równa
$4 \cdot 2, 7 \cdot 10^{2} = 4 \cdot 270 = 1080 (kg)$ .

Zatem te $4$ tygrysy ważą o $30 kg$ więcej niż rozpatrywane $3$ miliardy $500$ milionów mrówek.

W sumie: mrówki ważą $1050 kg$ , a tygrysy $1080 kg$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Fullpage

Pokaż ćwiczenia:

R1TGO5HJ3LE531

Ćwiczenie 1

R17LMADJ424KM1

Ćwiczenie 2

RFLEAEL74T7992

Ćwiczenie 3

Poniżej przedstawiono pewne liczby. Połącz w pary te, które są sobie równe. jeden przecinek dwa trzy cztery pięć, razy, dziesięć indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. sto dwadzieścia trzy przecinek cztery pięć, razy, dziesięć indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, 2. tysiąc dwieście trzydzieści cztery przecinek pięć, razy, dziesięć indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 3. dwanaście tysięcy trzysta czterdzieści pięć, razy, dziesięć indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, 4. dwanaście tysięcy trzysta czterdzieści pięć, razy, dziesięć indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 5. zero przecinek jeden dwa trzy cztery pięć, razy, dziesięć indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego dwanaście przecinek trzy cztery pięć, razy, dziesięć indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. sto dwadzieścia trzy przecinek cztery pięć, razy, dziesięć indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, 2. tysiąc dwieście trzydzieści cztery przecinek pięć, razy, dziesięć indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 3. dwanaście tysięcy trzysta czterdzieści pięć, razy, dziesięć indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, 4. dwanaście tysięcy trzysta czterdzieści pięć, razy, dziesięć indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 5. zero przecinek jeden dwa trzy cztery pięć, razy, dziesięć indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego sto dwadzieścia trzy przecinek cztery pięć, razy, dziesięć indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. sto dwadzieścia trzy przecinek cztery pięć, razy, dziesięć indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, 2. tysiąc dwieście trzydzieści cztery przecinek pięć, razy, dziesięć indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 3. dwanaście tysięcy trzysta czterdzieści pięć, razy, dziesięć indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, 4. dwanaście tysięcy trzysta czterdzieści pięć, razy, dziesięć indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 5. zero przecinek jeden dwa trzy cztery pięć, razy, dziesięć indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego tysiąc dwieście trzydzieści cztery przecinek pięć, razy, dziesięć indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. sto dwadzieścia trzy przecinek cztery pięć, razy, dziesięć indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, 2. tysiąc dwieście trzydzieści cztery przecinek pięć, razy, dziesięć indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 3. dwanaście tysięcy trzysta czterdzieści pięć, razy, dziesięć indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, 4. dwanaście tysięcy trzysta czterdzieści pięć, razy, dziesięć indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 5. zero przecinek jeden dwa trzy cztery pięć, razy, dziesięć indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego dwanaście tysięcy trzysta czterdzieści pięć, razy, dziesięć indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. sto dwadzieścia trzy przecinek cztery pięć, razy, dziesięć indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, 2. tysiąc dwieście trzydzieści cztery przecinek pięć, razy, dziesięć indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 3. dwanaście tysięcy trzysta czterdzieści pięć, razy, dziesięć indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, 4. dwanaście tysięcy trzysta czterdzieści pięć, razy, dziesięć indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 5. zero przecinek jeden dwa trzy cztery pięć, razy, dziesięć indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego

R1GKNAP343DRD2

Ćwiczenie 4

RHJRBG7VPH3HQ2

Ćwiczenie 5

REEST85EVLMND2

Ćwiczenie 6

R1QF5C6B988PX3

Ćwiczenie 7

RKSJ1RALHZO513

Ćwiczenie 8

R1NNMSCRN2HBK1

Ćwiczenie 9

RNT2UOFSLM4L91

Ćwiczenie 10

R13EEJDDFV8HP1

Ćwiczenie 11

Połącz w pary równoważne zapisy. milion dwieście trzydzieści cztery tysiące Możliwe odpowiedzi: 1. jeden przecinek dwa trzy cztery, razy, dziesięć indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 2. trzy przecinek pięć jeden dwa siedem, razy, dziesięć indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dziesięć indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, 4. trzy przecinek jeden osiem, razy, dziesięć indeks górny, minus, pięć, koniec indeksu górnego, 5. trzy przecinek cztery, razy, dziesięć indeks górny, minus, cztery, koniec indeksu górnego, 6. dwa przecinek dziewięć dziewięć, razy, dziesięć indeks górny, minus, dziesięć, koniec indeksu górnego trzysta pięćdziesiąt jeden przecinek dwa siedem Możliwe odpowiedzi: 1. jeden przecinek dwa trzy cztery, razy, dziesięć indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 2. trzy przecinek pięć jeden dwa siedem, razy, dziesięć indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dziesięć indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, 4. trzy przecinek jeden osiem, razy, dziesięć indeks górny, minus, pięć, koniec indeksu górnego, 5. trzy przecinek cztery, razy, dziesięć indeks górny, minus, cztery, koniec indeksu górnego, 6. dwa przecinek dziewięć dziewięć, razy, dziesięć indeks górny, minus, dziesięć, koniec indeksu górnego zero przecinek zero trzy cztery Możliwe odpowiedzi: 1. jeden przecinek dwa trzy cztery, razy, dziesięć indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 2. trzy przecinek pięć jeden dwa siedem, razy, dziesięć indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dziesięć indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, 4. trzy przecinek jeden osiem, razy, dziesięć indeks górny, minus, pięć, koniec indeksu górnego, 5. trzy przecinek cztery, razy, dziesięć indeks górny, minus, cztery, koniec indeksu górnego, 6. dwa przecinek dziewięć dziewięć, razy, dziesięć indeks górny, minus, dziesięć, koniec indeksu górnego zero przecinek zero zero jeden Możliwe odpowiedzi: 1. jeden przecinek dwa trzy cztery, razy, dziesięć indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 2. trzy przecinek pięć jeden dwa siedem, razy, dziesięć indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dziesięć indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, 4. trzy przecinek jeden osiem, razy, dziesięć indeks górny, minus, pięć, koniec indeksu górnego, 5. trzy przecinek cztery, razy, dziesięć indeks górny, minus, cztery, koniec indeksu górnego, 6. dwa przecinek dziewięć dziewięć, razy, dziesięć indeks górny, minus, dziesięć, koniec indeksu górnego zero przecinek zero zero zero zero trzy jeden osiem Możliwe odpowiedzi: 1. jeden przecinek dwa trzy cztery, razy, dziesięć indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 2. trzy przecinek pięć jeden dwa siedem, razy, dziesięć indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dziesięć indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, 4. trzy przecinek jeden osiem, razy, dziesięć indeks górny, minus, pięć, koniec indeksu górnego, 5. trzy przecinek cztery, razy, dziesięć indeks górny, minus, cztery, koniec indeksu górnego, 6. dwa przecinek dziewięć dziewięć, razy, dziesięć indeks górny, minus, dziesięć, koniec indeksu górnego zero przecinek zero zero zero zero zero zero zero zero zero dwa dziewięć dziewięć Możliwe odpowiedzi: 1. jeden przecinek dwa trzy cztery, razy, dziesięć indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 2. trzy przecinek pięć jeden dwa siedem, razy, dziesięć indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dziesięć indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, 4. trzy przecinek jeden osiem, razy, dziesięć indeks górny, minus, pięć, koniec indeksu górnego, 5. trzy przecinek cztery, razy, dziesięć indeks górny, minus, cztery, koniec indeksu górnego, 6. dwa przecinek dziewięć dziewięć, razy, dziesięć indeks górny, minus, dziesięć, koniec indeksu górnego

RXSL8AFQ69DXL2

Ćwiczenie 12

R2FDZ7SU97HPZ2

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Masa elektronu to $9, 1 \cdot 10^{- 31} kg$ , a masa protonu to $1, 67 \cdot 10^{- 27} kg$ .
Słoń waży $5, 7 t$ , a gęś kanadyjska waży $3, 5 kg$ .
Oznaczmy stosunek masy protonu do masy elektronu przez $k$ , a stosunek masy słonia do masy gęsi kanadyjskiej przez $n$ . Która liczba jest większa: $k$ czy $n$ ?

Obliczamy, że:
$k = \frac{1, 67 \cdot 10^{- 27} kg}{9, 1 \cdot 10^{- 31} kg} = \frac{167 \cdot 10^{- 29}}{91 \cdot 10^{- 32}} = \frac{167}{91} \cdot 10^{3} = 1835, 16 \dots$
$n = \frac{5, 7 t}{3, 5 kg} = \frac{5, 7 \cdot 10^{3} kg}{3, 5 kg} = \frac{57}{35} \cdot 10^{3} = 1628, 57 \dots$
Zatem $k > n$ .

Proton od elektronu jest cięższy około $1835$ razy, a słoń jest cięższy od gęsi około $1629$ razy, stąd $k > n$ .

Słownik

notacja wykładnicza

zapisanie liczby w postaci $a \cdot 10^{n}$ , gdzie $a \in ⟨ 1, 10)$ , $n \in ℤ$

mantysa liczby

jeden z czynników przy zapisie liczby w notacji wykładniczej, mantysa zawiera się w przedziale $⟨ 1, 10)$

4. Działania na potęgach

6. Dowodzenie twierdzeń związanych z potęgowaniem