2. Potęga o wykładniku rzeczywistym

Rl7VHh8rX7SAg

Rd2UPfQCe8MMt1

Ilustracja przedstawia zrobione z góry zdjęcie białej kartki. leżącej na brązowej powierzchni. Na kartce widoczne są obliczenia wartości √2. W lewym górnym rogu fotografii widoczny jest fragment filiżanki z kawą. Po prawej stronie kartki leży biały długopis. Jest on częściowo przesłonięty wkomponowaną w ilustrację żółtą tabliczką z zapisaną na niej informacją : „OBLICZANIE √2 ZACZĘŁO SIĘ W BABILONII W XVIII WIEKU p.n.e.. Z ZACHOWANEJ TABLICZKI GLINIANEJ WYNIKA, ŻE ÓWCZEŚNI RACHMISTRZOWIE DOTARLI DO PIĄTEJ LICZBY PO PRZECINKU, CZYLI WIEDZIELI, ŻE √2=1,41421. Do lewego dolnego rogu kartki przypięto czerwonymi pinezkami dwa zdjęcia przedstawiające gliniane tabliczki. Dolna częściowo przykryta górną przedstawia tabliczkę pokrytą pismem klinowym. Górna glinianą tabliczkę z odręcznym rysunkiem kwadratu, a na nim znaki pisma klinowego. — Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

W 1887 roku opublikowano w jednym z czasopism matematycznych 520 cyfr po przecinku rozwinięcia dziesiętnego liczby $\sqrt{2}$ . Natomiast w 1951 roku profesor Horace Uhler, fizyk amerykański, odkrył 1542 cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego tej liczby. O pierwszym znaczącym rekordzie komputerowym prasa doniosła w roku 1971 – Jacques Dutka z Columbia University znalazł ponad milion cyfr po przecinku rozwinięcia dziesiętnego liczby $\sqrt{2}$ .

My wykorzystamy przybliżenie liczby $\sqrt{2}$ do wyznaczenia przybliżonej wartości liczby $3^{\sqrt{2}}$ .

Twoje cele

Obliczysz przybliżone wartości potęg o wykładnikach rzeczywistych.
Porównasz potęgi o wykładnikach rzeczywistych.
Zastosujesz prawa działań na potęgach do obliczania wartości wybranych potęg.

Przypomnijmy, że każdą liczbę niewymierną można przybliżyć liczbami wymiernymi, na przykład przez rozwinięcie dziesiętne. Każda kolejna cyfra rozwinięcia dziesiętnego liczby niewymiernej “zbliża” do rzeczywistej wartości tej liczby.

Przypomnijmy kolejne przybliżenia wybranych liczb niewymiernych.

Liczba niewymierna	Cyfra jedności	Kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego danej liczby niewymiernej
$\sqrt{2}$	$1$	$1, 4$	$1, 41$	$1, 414$	$1, 4142$	$1, 41421$	$1, 414213$
$\sqrt{3}$	$1$	$1, 7$	$1, 73$	$1, 732$	$1, 7320$	$1, 73205$	$1, 732050$
$\sqrt{5}$	$2$	$2, 2$	$2, 23$	$2, 236$	$2, 2360$	$2, 23606$	$2, 236067$
$π$	$3$	$3, 1$	$3, 14$	$3, 142$	$3, 1415$	$3, 14159$	$3, 141592$

Przykład 1

Wykorzystując kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego liczby $\sqrt{2}$ , wyznaczymy kolejne cyfry rozwinięcia potęgi $3^{\sqrt{2}}$ .

Rozważymy kilka potęg liczby $3$ o wykładnikach będących kolejnymi przybliżeniami liczby $\sqrt{2}$ , czyli $3^{1}$ , $3^{1,4}$ , $3^{1,41}$ , $3^{1,414}$ , $3^{1,4142}$ , $3^{1,41421}$ :

$3^{1} = 3$

$3^{1,4} = 3^{\frac{7}{2}} = {(\sqrt{3})}^{7} = 27 \sqrt{3} \approx 4,6555$

$3^{1,41} = 3^{\frac{141}{100}} = {(\sqrt[100]{3})}^{141} \approx 4,706965$

$3^{1,414} = 3^{\frac{1414}{1000}} = 3^{\frac{707}{500}} = {(\sqrt[500]{3})}^{707} \approx 4,727695$

$3^{1,4142} = 3^{\frac{14142}{10000}} = 3^{\frac{7071}{5000}} = {(\sqrt[5000]{3})}^{7071} \approx 4,72873393$

$3^{1,41421} = 3^{\frac{141421}{100000}} = {(\sqrt[100000]{3})}^{141421} \approx 4,72878588$

Zauważmy, że im więcej cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby $\sqrt{2}$ weźmiemy pod uwagę, tym więcej “ustala się” cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby $3^{\sqrt{2}}$ . Zestawmy powyższe obliczenia w tabelce:

Liczba	Kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego danej liczby niewymiernej
$\sqrt{2}$	$1$	$1, 4$	$1, 41$	$1, 414$	$1, 4142$	$1, 41421$
$3^{\sqrt{2}}$	$3^{1} = 3$	$3^{1,4} \approx 4,6555$	$3^{1,41} \approx 4,706965$	$3^{1,414} \approx 4,727695$	$3^{1,4142} \approx 4,72873393$	$3^{1,41421} \approx 4,72878588$

Przy pomocy kalkulatora obliczamy $3^{\sqrt{2}} \approx 4,728804387$ .

Zauważmy przy okazji, że im większy jest wykładnik potęgi, tym większą wartość ma sama potęga.

Przykład 2

Wykorzystując kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego liczby $\sqrt{3}$ , wyznaczymy kolejne cyfry rozwinięcia potęgi ${0,5}^{\sqrt{3}}$ .

Rozważymy kilka potęg liczby $0,5$ o wykładnikach będących kolejnymi przybliżeniami liczby $\sqrt{3}$ , czyli $0, 5^{1}$ , ${0,5}^{1,7}$ , ${0,5}^{1,73}$ , ${0,5}^{1,732}$ , $0, 5^{1,73205}$ , ${0,5}^{1,7320508}$ :

$0, 5^{1} = 0,5$

$0, 5^{1,7} = 0, 5^{\frac{17}{10}} = {(\sqrt[10]{0, 5})}^{17} \approx 0,307786$

$0, 5^{1,73} = 0, 5^{\frac{173}{100}} = {(\sqrt[100]{0,5})}^{173} \approx 0,301451936$

$0, 5^{1,732} = 0, 5^{\frac{1732}{1000}} = 0, 5^{\frac{433}{250}} = {(\sqrt[250]{0,5})}^{433} \approx 0,3010343$

$0, 5^{1,73205} = 0, 5^{\frac{173205}{100000}} = 0, 5^{\frac{34641}{20000}} = {(\sqrt[20000]{0,5})}^{34641} \approx 0,3010239$

$0, 5^{1,7320508} = 0, 5^{\frac{17320508}{10000000}} = 0, 5^{\frac{4330127}{2500000}} = {(\sqrt[2500000]{0,5})}^{4330127} \approx 0,3010237$

Zauważmy, że im więcej cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby $\sqrt{3}$ weźmiemy pod uwagę, tym więcej “ustala się” cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby ${0,5}^{\sqrt{3}}$ . Zestawmy powyższe obliczenia w tabelce:

Liczba	Kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego danej liczby niewymiernej
$\sqrt{3}$	$1$	$1, 7$	$1, 73$	$1, 732$	$1, 73205$	$1, 7320508$
${0,5}^{\sqrt{3}}$	$0, 5$	$0, 307786 . . .$	$0, 3014519 . . .$	$0, 3010343 . . .$	$0, 3010239 . . .$	$0, 301023745 . . .$

Przy pomocy kalkulatora obliczamy ${0,5}^{\sqrt{3}} \approx 0,301023743 . . .$

Zauważmy przy okazji, że im większy jest wykładnik potęgi, tym mniejszą wartość ma sama potęga.

Dwa powyższe przykłady obrazują, w jaki sposób oblicza się wartości potęg o wykładnikach niewymiernych. Odnotujmy w tym miejscu ważne założenie: przyjmujemy, że podstawa potęgi o wykładniku niewymiernym jest liczbą dodatnią.

Rozważyliśmy dwa przykłady potęg o wykładnikach niewymiernych: $3^{\sqrt{2}}$ oraz $0, 5^{\sqrt{3}}$ . Można udowodnić, że obie te liczby są niewymierne. Zastanowimy się teraz, czy istnieją potęgi o wykładnikach niewymiernych, które są liczbami wymiernymi.

Zauważmy, że poznane do tej pory własności działań na potęgach o wykładnikach wymiernych “przenoszą się” na potęgi o wykładnikach niewymiernych, o ile podstawy tych potęg są liczbami dodatnimi.

Rozważmy teraz potęgę ${\sqrt{5}}^{\sqrt{2}}$ . Jeśli ta liczba jest wymierna, oznacza to, że istnieją potęgi o podstawach i wykładnikach niewymiernych, które są wymierne. Jeśli zaś liczba ${\sqrt{5}}^{\sqrt{2}}$ jest niewymierna, wówczas liczba ${({\sqrt{5}}^{\sqrt{2}})}^{\sqrt{2}} = {\sqrt{5}}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = {\sqrt{5}}^{2} = 5$ jest wymierna, co prowadzi ponownie do wniosku, że istnieją potęgi o podstawach i wykładnikach niewymiernych, które są liczbami wymiernymi.

Powyższe rozumowanie opiera się na zasadzie tertium non datur (trzeciej możliwości nie ma), zwanej również prawem wyłączonego środkaprawo wyłączonego środkaprawem wyłączonego środka, która jest fundamentem logiki klasycznej (dwuwartościowej). Oznacza to, że albo prawdziwe jest zdanie $p$ , albo zdanie nieprawda, że $p$ . W przykładzie powyżej: albo ${\sqrt{5}}^{\sqrt{2}}$ jest liczbą wymierną, albo ${\sqrt{5}}^{\sqrt{2}}$ jest liczbą niewymierną – trzeciej możliwości nie ma.

Działania na potęgach

Na każdym etapie konstruowania potęgowania jako działania, niezależnie od tego do jakiego zbioru liczbowego należy wykładnik, zwracaliśmy uwagę, że chcemy zachować własności działań na potęgach, które były prawdziwe dla wykładników naturalnych.

Zatem dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$ zachodzą następujące własności:

iloczyn potęg o takich samych podstawach: $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ ,
iloraz potęg o takich samych podstawach: $a^{x} : a^{y} = a^{x - y}$ ,
potęga potęgi: ${(a^{x})}^{y} = a^{x \cdot y}$ ,
iloczyn potęg o takich samych wykładnikach (rozdzielność potęgowania względem mnożenia): $a^{x} \cdot b^{x} = {(a \cdot b)}^{x}$ ,
iloraz potęg o takich samych wykładnikach (rozdzielność potęgowania względem dzielenia): $a^{x} : b^{x} = {(a : b)}^{x}$ .

Przykład 3

Uprościmy poniższe wyrażenia korzystając z własności potęgowania:

z własności 1):

$2, 5^{\frac{3}{4}} \cdot 2, 5^{\frac{5}{4}} = 2, 5^{\frac{3}{4} + \frac{5}{4}} = 2, 5^{\frac{8}{4}} = 2, 5^{2} = 6,25$

z własności 2):

$81^{0,5} : 81^{0,25} = 81^{0,25} = \sqrt[4]{81} = 3$

z własności 3):

${({(\sqrt{3})}^{\sqrt{2}})}^{\sqrt{2}} = {(\sqrt{3})}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = {(\sqrt{3})}^{2} = 3$

z własności 4):

$1, 2^{1,5} \cdot 0, 3^{1,5} = {(1,2 \cdot 0,3)}^{1,5} = {0,36}^{1,5} = {0,36}^{\frac{3}{2}} = {(\sqrt{0,36})}^{3} = 0, 6^{3} = 0,216$

z własności 5):

$200^{\frac{2}{3}} : 0, 2^{\frac{2}{3}} = {(200 : 0,2)}^{\frac{2}{3}} = 1000^{\frac{2}{3}} = {(\sqrt[3]{1000})}^{2} = 10^{2} = 100$

Zwróćmy uwagę na kolejność wykonywania działań, gdy wykładnik potęgi również ma postać potęgi.
Jeśli liczby $a$ , $b$ i $c$ są dodatnie, wówczas zapis $a^{b^{c}}$ rozumiemy jako $a^{(b^{c})}$ .

Przykład 4

Obliczymy wartości potęg:

a) $2^{{\sqrt{2}}^{2}} = 2^{({\sqrt{2}}^{2})} = 2^{2} = 4$

b) $2^{2^{3}} = 2^{(2^{3})} = 2^{8} = 256$

Dla porównania ${(2^{2})}^{3} = 4^{3} = 64$ .

Porównywanie potęg o wykładnikach rzeczywistych

Prawdziwe jest następujące twierdzenie.

Podstawa potęgi

Twierdzenie: Podstawa potęgi

Jeśli podstawa potęgi jest większa od jedynki, to wraz ze wzrostem wykładnika wartość potęgi również rośnie.

Jeśli podstawa potęgi jest liczbą większą od zera i mniejszą od jedynki, to wraz ze wzrostem wykładnika wartość potęgi maleje.

Przykład 5

Porównamy kilka potęg o wykładnikach niewymiernych:

$5^{\sqrt{2}} < 5^{\sqrt{3}}$ , ponieważ podstawa jest większa od $1$ , więc większa jest potęga o większym wykładniku.

${(\frac{2}{3})}^{\sqrt{3}} < {(\frac{2}{3})}^{1,7}$ , ponieważ podstawa jest dodatnia, ale mniejsza od $1$ , więc większa jest potęga o mniejszym wykładniku.

Przykład 6

Porównamy liczby $5^{\sqrt{2}}$ i $2^{\sqrt{5}}$ .

Ponieważ $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$ oraz $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$ ,

więc $5^{1,4} < 5^{\sqrt{2}} < 5^{1,5}$ oraz $2^{2,2} < 2^{\sqrt{5}} < 2^{2,3}$ .

Uzasadnimy, że $2^{2,3} < 5^{1,4}$ .

Ponieważ obie strony ostatniej nierówności są nieujemne, więc poprzez podniesienie ich do potęgi dziesiątej otrzymamy nierówność równoważną:

${(2^{2,3})}^{10} < {(5^{1,4})}^{10}$ .

Po zastosowaniu własności działań na potęgach o wykładnikach wymiernych, otrzymujemy

$2^{23} < 5^{14}$ .

Zauważmy, że $2^{23} = 2 \cdot 2^{22} = 2 \cdot 4^{11}$ zaś $5^{14} = 5^{3} \cdot 5^{11} = 125 \cdot 5^{11}$ .

Ponieważ $125 > 2$ oraz $5^{11} > 4^{11}$ ,

więc prawdą jest, że $2 \cdot 4^{11} < 125 \cdot 5^{11}$ , czyli $2^{23} < 5^{14}$ .

Zatem $2^{\sqrt{5}} < 2^{2,3} < 5^{1,4} < 5^{\sqrt{2}}$ .

Stąd $5^{\sqrt{2}} > 2^{\sqrt{5}}$ .

Infografika

Analizując zawartość infografiki, przypomnij sobie własności działań na potęgach.

R1CLHSF77PEG6

Na ilustracji przedstawiono tablicę, na której zapisano n:agłówek: Własności działań na potęgach. Poniżej rozpatrzono pięć przypadków. Pierwszy przyadek: Dla a, większy niż, zero, x, należy do, liczby rzeczywiste, y, należy do, liczby rzeczywiste mamy: a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, y, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, x, plus, y, koniec indeksu górnego.
Przykłady

1.

siedem indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, razy, siedem indeks górny, minus, osiem, koniec indeksu górnego, równa się, siedem indeks górny, dziesięć, plus, nawias, minus, osiem, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, równa się, siedem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, czterdzieści dziewięć

2.

trzy indeks górny, dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, razy, trzy indeks górny, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, równa się, trzy indeks górny, dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, równa się
równa się, trzy indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dziewięć Przypadek drugi: Dla a, większy niż, zero, x, należy do, liczby rzeczywiste, y, należy do, liczby rzeczywiste mamy: a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, y, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, x, minus, y, koniec indeksu górnego.
Przykłady

1.

pięć indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, podzielić na, pięć indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, równa się, pięć indeks górny, osiem, minus, pięć, koniec indeksu górnego, równa się, pięć indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, sto dwadzieścia pięć

2.

sześć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, podzielić na, sześć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, koniec indeksu górnego, równa się, sześć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, równa się
równa się, sześć indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka Przypadek trzeci: Dla a, większy niż, zero, b, większy niż, zero, x, należy do, liczby rzeczywiste mamy: a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, a, razy, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego.
Przykłady

1.

trzydzieści dwa indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, razy, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, trzydzieści dwa, razy, początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się
równa się, cztery indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z cztery koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, dwa indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, osiem

2.

siedem indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, razy, czterdzieści dziewięć indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, siedem, razy, czterdzieści dziewięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się, trzysta czterdzieści trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się
równa się, nawias, pierwiastek sześcienny z trzysta czterdzieści trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, siedem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, czterdzieści dziewięć Przypadek czwarty: Dla a, większy niż, zero, b, większy niż, zero, x, należy do, liczby rzeczywiste mamy: a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, podzielić na, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, a, podzielić na, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego.
Przykłady

1.

sto dwadzieścia pięć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, podzielić na, pięć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, sto dwadzieścia pięć, podzielić na, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się
równa się, dwadzieścia pięć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, pięć indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, sto dwadzieścia pięć

2.

nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, cztery, koniec indeksu górnego, podzielić na, nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, cztery, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, dwa, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, cztery, koniec indeksu górnego, równa się
równa się, nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, razy, początek ułamka, dziewięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, cztery, koniec indeksu górnego, równa się, trzy indeks górny, minus, cztery, koniec indeksu górnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka Przypadek piąty: Dla a, większy niż, zero, x, należy do, liczby rzeczywiste, y, należy do, liczby rzeczywiste mamy: nawias, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, y, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, x, razy, y, koniec indeksu górnego.
Przykłady

1.

nawias, pięć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, równa się, pięć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka koniec pierwiastka, razy, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, równa się
równa się, pięć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, razy, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, równa się, pięć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z jeden koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, równa się, pięć

2.

nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, sześć, razy, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się
równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, trzy

Polecenie 1

R1CBH3OSXMQSK

Korzystając z odpowiednich własności działań na potęgach rozwiąż test. Dla dowolnej liczby dodatniej a prawdą jest, że:
a indeks górny, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego a indeks górny, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego a indeks górny, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego

Dla dowolnej liczby dodatniej a prawdą jest, że:
a indeks górny, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego a indeks górny, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, równa się, jeden a indeks górny, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego

Dla dowolnej liczby rzeczywistej x prawdą jest, że:
dwa indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, trzy indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, sześć indeks górny, dwa x, koniec indeksu górnego dwa indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, trzy indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, sześć indeks górny, x, koniec indeksu górnego dwa indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, trzy indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, sześć indeks górny, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec indeksu górnego

Dla dowolnej liczby rzeczywistej x prawdą jest, że:
dziesięć indeks górny, x, koniec indeksu górnego, podzielić na, pięć indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, dwa indeks górny, x, koniec indeksu górnego dziesięć indeks górny, x, koniec indeksu górnego, podzielić na, pięć indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, dwa indeks górny, zero, koniec indeksu górnego dziesięć indeks górny, x, koniec indeksu górnego, podzielić na, pięć indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, dwa indeks górny, jeden, koniec indeksu górnego

Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y prawdą jest, że:
nawias, trzy indeks górny, x, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, y, koniec indeksu górnego, równa się, trzy indeks górny, x, razy, y, koniec indeksu górnego nawias, trzy indeks górny, x, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, y, koniec indeksu górnego, równa się, trzy indeks górny, x, plus, y, koniec indeksu górnego nawias, trzy indeks górny, x, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, y, koniec indeksu górnego, równa się, trzy indeks górny, x indeks górny, y, koniec indeksu górnego, koniec indeksu górnego

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R18SrIKZFO1WR1

Ćwiczenie 1

RvBBzvWJV8v3P1

Ćwiczenie 2

R133Jw9OyVQM52

Ćwiczenie 3

RMvL92JW41EXm2

Ćwiczenie 4

Rr5vEDLiKlkaK2

Ćwiczenie 5

RkdrC3mCKPkxm2

Ćwiczenie 6

R12I1PunlF1cv2

Ćwiczenie 7

RCsyvb6yXGhvC21

Ćwiczenie 8

Dostępne opcje do wyboru: nawias, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, pierwiastek sześcienny z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, nawias, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, minus, trzy, koniec indeksu górnego, nawias, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, nawias, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, nawias, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, nawias, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, nawias, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego. Polecenie: Uporządkuj podane liczby od najmniejszej do największej. Przeciągnij poprawne odpowiedzi w odpowiednie miejsca. luka do uzupełnienia mniejszy niż luka do uzupełnienia mniejszy niż luka do uzupełnienia mniejszy niż luka do uzupełnienia mniejszy niż luka do uzupełnienia mniejszy niż luka do uzupełnienia mniejszy niż luka do uzupełnienia mniejszy niż luka do uzupełnienia

Ćwiczenie 9

Która z liczb $2^{\sqrt{7}}$ i $7^{\sqrt{2}}$ jest większa? Odpowiedź uzasadnij bez użycia kalkulatora.

Zauważmy, że $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$ oraz $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$ .

Uzasadnimy, że $2^{2,7} < 7^{1,4}$ .

Ponieważ obie strony ostatniej nierówności są dodatnie, więc podnosząc je do potęgi dziesiątej otrzymamy nierówność równoważną:

$2^{27} < 7^{14}$

której obie strony możemy pomnożyć przez $2$ :

$2^{28} < 2 \cdot 7^{14}$ .

Ponieważ $2^{28} = {(2^{2})}^{14} = 4^{14} < 7^{14} < 2 \cdot 7^{14}$ ,

więc prawdą jest, że $2^{2,7} < 7^{1,4}$ .

Wobec tego $2^{\sqrt{7}} < 2^{2,7} < 7^{1,4} < 7^{\sqrt{2}}$ , czyli $2^{\sqrt{7}} < 7^{\sqrt{2}}$ .

Ćwiczenie 10

Rozwiąż test. Wskaż poprawną odpowiedź.

R1RwD8ApQlT3Y

R6Nb4wRAuZZtX

R1emch5yKZxsk

RyAkAgLeF64oX

R9RJuau5k1i4B

Słownik

Rozwinięcie dziesiętne

sposób przedstawiania liczb rzeczywistych w postaci ułamka dziesiętnego. Ułamek ten może być skończony, nieskończony okresowy lub nieskończony nieokresowy.

prawo wyłączonego środka

podstawowe prawo logiki klasycznej (dwuwartościowej) orzekające, że spośród dwóch zdań: $q$ oraz nieprawda, że $q$ jedno jest prawdziwe i jedno fałszywe

1. Działania na potęgach - przypomnienie wiadomości

3. Funkcja wykładnicza i jej własności