3. Funkcja wykładnicza i jej własności

RXLtmztkBY9Sp

Nikt z nas nie pamięta początków swojego istnienia, gdy był pojedynczą komórką. Jednak w ciągu pierwszych dni egzystencji liczba komórek naszego ciała bardzo gwałtownie rosła, podwajając się średnio co dobę. Tak szybkie zmiany opisuje funkcja wykładnicza. Inny, bardziej obrazowy, przykład opisuje zabawa z ryżem i szachownicą. Na pierwszym polu szachownicy połóżmy jedno ziarenko ryżu, na drugim – dwa. Kontynuując układanie ziaren w taki sposób, by na każdym kolejnym polu było dwukrotnie więcej niż na poprzednim, ostatnie pole wymagałoby ponad $9$ trylionów (ponad $9 \cdot 10^{18}$ ) ziarenek. Gdybyśmy chcieli taką właśnie ilość ryżu zakupić w sklepie, moglibyśmy z opakowań tego ryżu ułożyć stosunkowo szeroki most aż do Słońca!

Funkcja wykładnicza pojawia się w przyrodzie w chemii i fizyce. W matematyce często możemy ją spotkać w zagadnieniach dotyczących finansów a także w kombinatoryce. Ten materiał pozwoli Ci zapoznać się z tą niezwykle ciekawą funkcją.

Twoje cele

Zdefiniujesz pojęcie funkcji wykładniczej. -Opiszesz zależność pomiędzy podstawą funkcji wykładniczej i kształtem jej wykresu.
Wymienisz własności funkcji wykładniczej na podstawie jej wykresu.
wymienisz własności krzywej wykładniczej
Wyznaczysz wzór funkcji wykładniczej, mając dany jej wykres.
Wykorzystasz własności wykresu funkcji wykładniczej do rozwiązywania problemów matematycznych.

Definicja funkcji wykładniczej

Przedstawianie funkcji wykładniczej warto zacząć od prostego przykładu.

Przykład 1

Niektóre szczepy bakterii podwajają rozmiar swojej kolonii co godzinę, o ile umożliwiają to warunki środowiskowe. Zakładając idealne warunki, liczebność populacji w ciągu kilkunastu godzin od umieszczenia pierwszej bakterii w środowisku przedstawia poniższa tabela.

Liczba godzin od rozpoczęcia eksperymentu	Rozmiar populacji bakterii
$1$	$2$
$2$	$4$
$3$	$8$
$4$	$16$
$5$	$32$
$6$	$64$
$7$	$128$
$8$	$256$
$9$	$512$
$10$	$1024$
$11$	$2048$
$12$	$4096$

Kolejne wartości w tabeli odpowiadają zatem liczbom $2^{1}$ , $2^{2}$ , $2^{3}$ itd.

Wprowadźmy następującą definicję.

Funkcja wykładnicza

Definicja: Funkcja wykładnicza

Funkcję $f : ℝ ⟶ ℝ$ zadaną wzorem

f (x) = a^{x}

gdzie $a > 0, a \neq 1$ jest pewną dodatnią stałą, nazywamy funkcją wykładniczą.

Nazwa tej charakterystycznej funkcji wynika z opisującego ją wzoru - argument pojawia się tam w roli wykładnikawykładnik potęgiwykładnika potęgi $a^{x}$ .

Zauważ, że w definicji zakładamy, że podstawa potęgi we wzorze funkcji wykładniczej jest liczbą dodatnią. Gdyby $a$ było liczbą ujemną, to nie jest możliwe określenie funkcji dla wszystkich argumentów, np. nie istnieje liczba ${(- 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

Wykres funkcji wykładniczej

Krzywą będącą wykresem funkcji wykładniczej nazywamy krzywą wykładniczą.

Przyjrzyjmy się następującym wykresom funkcji wykładniczych.

R1Mp49i9rzTFl

Ilustracja przedstawia dwa układy współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 3 i pionową osią y od minus 1 do cztery. W pierwszym układzie zaznaczono wykres funkcji o równaniu y=2x. Wykres tej funkcji pojawia się na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce układu współrzędnych tuż nad osią x i biegnie po łuku, przecinając oś y w punkcie nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu, następnie przechodzi przez punkt nawias jeden średnik dwa zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. W drugim układzie zaznaczono wykres funkcji o równaniu y=10x. Wykres tej funkcji pojawia się na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce układu współrzędnych tuż nad osią x i biegnie najpierw wzdłuż osi x później biegnie po łuku, przecinając oś y w punkcie nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu, następnie wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych.

Wykresy są zbliżone do siebie kształtem. Ten kształt okazuje się być typowy dla tych funkcji wykładniczych, których podstawapodstawa potęgipodstawa $a$ jest liczbą większą od $1$ . Przy takim założeniu rozpatrywana funkcja wykładnicza jest rosnąca.

Jak będzie jednak wyglądać wykres funkcji wykładniczej, której podstawa jest liczbą z przedziału $(0, 1)$ ?

Funkcja wykładnicza, której podstawa jest mniejsza od $1$ ma wykres będący symetrycznym odbiciem względem osi $Y$ pewnego wykresu funkcji wykładniczej o podstawie większej niż $1$ . Fakt ten zilustrowany został na poniższych wykresach.

Rki4MZax48cxp

Własności funkcji wykładniczej

Naszkicujemy w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji określonych wzorami $f (x) = 2^{x}$ oraz $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ . W tym celu sporządzimy tabelę wartości dla kilku wybranych argumentów.

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$g (x)$	$4$	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

R1d2fFfHGRz3W

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono wykresy funkcji f oraz g. Funkcja f jest funkcją wykładniczą o podstawie 2. Jest to funkcja rosnąca. Funkcja g jest również funkcją wykładniczą, jej podstawa wynosi 12. Jest to funkcja malejąca, a jej wykres jest symetryczny do wykresu funkcji f względem osi Y. Dla obu funkcji asymptotą poziomą jest oś X. Oba wykresy przecinają się w charakterystycznym dla funkcji wykładniczej w punkcie o współrzędnych 0,1.

Analizując wykresy funkcji wykładniczych określmy jej własności.

Własności funkcji wykładniczej

Każda funkcja wykładnicza $f (x) = a^{x}$ ma następujące własności:

dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych,
zbiorem wartości jest przedział $(0, + \infty)$ ,
asymptotą wykresu funkcji jest prosta o równaniu $y = 0$ ,
nie ma miejsc zerowych,
jest monotoniczna, przy czym gdy $a > 1$ , to funkcja $f$ jest rosnąca, a gdy $0 < a < 1$ , to funkcja jest malejąca,
jest różnowartościowa, czyli każdą wartość przyjmuje tylko dla jednego argumentu,
wykres funkcji przecina oś $Y$ w punkcie $(0, 1)$ .

Ważne!

Jeżeli mamy dane współrzędne jednego punktu, różnego od punktu o współrzędnych $(0, 1)$ , który należy do wykresu funkcji wykładniczej, wówczas możemy wyznaczyć jej wzór.

Przykład 2

Do wykresu funkcji wykładniczej $f$ określonej wzorem $f (x) = a^{x}$ należy punkt o współrzędnych $(- 2, \frac{1}{16})$ . Wyznaczymy wzór tej funkcji oraz określimy wartość funkcji dla argumentu 3.

Rozwiązanie

Ponieważ punkt o współrzędnych $(- 2, \frac{1}{16})$ należy do wykresu funkcji, zatem, chcąc wyznaczyć wartość $a$ , musimy rozwiązać równanie:

$\frac{1}{16} = a^{- 2}$ , czyli $a^{2} = 16$ , więc $a = 4$ lub $a = - 4$ .

Ponieważ dla funkcji wykładniczej $a > 0$ , więc $f (x) = 4^{x}$ .

Wartość funkcji dla argumentu 3 wynosi $f (3) = 4^{3} = 64$ .

Przykład 3

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji wykładniczej określonej wzorem $f (x) = a^{x}$ . Wyznaczymy wzór tej funkcji, a następnie podamy, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości mniejsze od $3$ .

RHKwZANKuELsn

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do sześciu oraz pionową osią Y od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji znajdujący się w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Wykres biegnie od minus nieskończoności po łuku przez punkty -1;3 oraz 0;1 następnie wypłaszcza się do osi X i biegnie do plus nieskończoności.

Rozwiązanie

Z rysunku odczytujemy, że do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(- 1, 3)$ .

W celu wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie $3 = a^{- 1}$ .

Z równania otrzymujemy, że $a = \frac{1}{3}$ .

Funkcja wyraża się wzorem $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x}$ .

Z wykresu funkcji odczytujemy, że $f (x) < 3$ dla $x \in (- 1, \infty)$ .

Funkcja wykładnicza bardzo często pojawia się przy matematycznych opisach pewnych naturalnych procesów zachodzących w przyrodzie. Ilustrują to poniższe przykłady.

Przykład 4

Populacja muszki owocówki (zakładając nieograniczony dostęp do pożywienia) pięciokrotnie zwiększa swoją liczebność w ciągu jednego tygodnia. Zakładając, że kolonia muszek założona została przez pojedynczą parę owadów, obliczymy jaką liczebność będzie mieć populacja po upływie pięciu tygodni.

Rozwiązanie

Niech $f (n)$ oznacza liczbę par muszek w populacji podczas n‑tego tygodnia obserwacji. Wówczas

$f (0) = 1$ oraz $f (1) = 5 = 5^{1}$ .

Idąc dalej, w drugim tygodniu populacja składa się z $f (2) = 25 = 5^{2}$ par muszek, zaś po upływie kolejnego tygodnia osiąga liczebność: $f (3) = 125 = 5^{3}$ par.

W czwartym tygodniu jest ich pięciokrotnie więcej, niż w tygodniu trzecim, co daje liczbę $f (4) = 625 = 5^{4}$ par muszek owocówek i w ostatnim tygodniu populacja osiąga wielkość $f (5) = 3125 = 5^{5}$ par muszek.

Umieszczenie tych wartości na wspólnym wykresie sprawi, że uzyskamy wykres funkcji wykładniczej $f (x) = 5^{x}$ .

R1ETzEycPiVIk

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od zera do siedmiu i pionową osią y od zera do trzy tysiące pięćset. W układzie zaznaczono wykres funkcji y=5x, która rozpoczyna się w punkcie nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, następnie biegnie do punktu nawias jeden średnik pięć zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias dwa średnik dwadzieścia pięć zamknięcie nawiasu, następnie biegnie po łuku do punktu nawias trzy średnik sto dwadzieścia pięć zamknięcie nawiasu, dalej biegnie do punktu nawias cztery średnik sześćset dwadzieścia pięć zamknięcie nawiasu, następnie biegnie przez punkt nawias pięć średnik trzy tysiące sto dwadzieścia pięć zamknięcie nawiasu i wybiega poza płaszczyznę układu. Wymienione wcześniej punkty o wartościach x od jeden do pięć zostały zaznaczone na wykresie zamalowanymi kropkami.

Ten przykład ilustruje nam, jak niezwykle szybki okazuje się być przyrost opisywany funkcją wykładniczą. Przyjrzyjmy się innemu zjawisku opisywanemu przez tę funkcję.

Przykład 5

Pewien rodzaj pestycydów stosowany do ochrony roślin uprawnych przed szarańczą ulega rozkładowi w tempie wykładniczym zgodnie z następującą regułą:
ilość pestycydu obserwowana w zbieranych pod koniec danego miesiąca plonach maleje o $30 %$ względem ilości obserwowanej na koniec poprzedniego miesiąca.

Wiedząc, że maksymalne bezpieczne dla człowieka stężenie pestycydu w zbieranych plonach stanowi $15 %$ dawki nagromadzonej w wyniku oprysku, ustalimy po ilu miesiącach od zastosowania pestycydów można bezpiecznie zebrać plony.

Rozwiązanie

Niech $f (0) = 1$ opisuje początkową ilość pestycydu obserwowanego w świeżo spryskanych plonach. Przyjmując miesiąc za jednostkę czasu, wartość $f (t)$ opisywać będzie ilość pestycydu obserwowaną w plonach po upływie $t$ miesięcy. Z treści zadania wynika, że ilość obserwowanego w zbiorach środka ochronnego zmniejsza się do $70 %$ wartości z końca poprzedniego miesiąca. Oznacza to, że

$f (1) = 70 % \cdot 1 = 0, 7 = {(0, 7)}^{1}$ .

Naszym zadaniem jest znalezienie takiej wartości $t$ , dla której $f (t)$ nie będzie przekraczać $15 % = 0, 15$ . W tym celu obliczamy kilka kolejnych wartości funkcji wykładniczej $f (t) = {(0, 7)}^{t}$ .

Mamy zatem:

$f (2) = 0, 7^{2} = 0, 49$ ;

$f (3) = 0, 7^{3} = 0, 343$ ;

$f (4) = 0, 7^{4} = 0, 2401$ ;

$f (5) = 0, 7^{5} = 0, 16807$ ;

$f (6) = 0, 7^{6} = 0, 117649$ .

Ilość pestycydów w plonach dopiero po upływie $6$ miesięcy od oprysku spadła poniżej granicznej wartości $0, 15$ . Wykładniczy spadek ilości pestycydu obserwowanej w zebranych plonach ilustruje poniższy wykres.

R12n13QMjHoQR

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od zera do siedmiu i pionową osią y od zera do dziewięć dziesiątych. W układzie zaznaczono wykres funkcji, która rozpoczyna się w punkcie nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu, następnie biegnie do punktu nawias jeden średnik 0,7 zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias dwa średnik 0,49 zamknięcie nawiasu, następnie biegnie po łuku do punktu nawias trzy średnik 0,343 zamknięcie nawiasu, dalej biegnie do punktu nawias cztery średnik 0,2401 zamknięcie nawiasu, następnie biegnie przez punkt nawias pięć średnik 0,16807 zamknięcie nawiasu, następnie biegnie przez punkt nawias sześć średnik 0,117649 zamknięcie nawiasu i wybiega poza płaszczyznę układu. Wymienione wcześniej punkty o wartościach x od jeden do sześć zostały zaznaczone na wykresie zamalowanymi kropkami.

Ostatnim, lecz nie mniej ważnym przykładem funkcji wykładniczej, z którym możemy się spotkać w codziennym życiu, jest oprocentowanie składaneoprocentowanie składane.

Przykład 6

Bank $X$ oferuje lokatę z oprocentowaniem $5 %$ w skali roku. Jaką ilość pieniędzy będziemy mieli po upływie trzech lat (zaokrąglając do pełnych groszy), jeżeli wpłacimy na tę lokatę $1000 zł$ ?

Rozwiązanie

Zauważmy, że o ile po jednym roku lokata o wartości $1 zł$ wzrośnie do wartości $1, 05 zł$ , o tyle po dwóch latach nie będzie ona wynosić $1, 10 zł$ . Dzieje się tak, ponieważ zarobione na lokacie $5$ groszy również będzie generować zyski w kolejnych latach.

Niech $f (x) = {(1, 05)}^{x}$ . Przypatrzmy się, jakie zyski wytworzy złotówka na takiej lokacie w ciągu dwóch i trzech lat.

Po upływie drugiego roku, na lokacie z pojedynczej złotówki będziemy mieć:

$1, 05 \cdot 1, 05 = {(1, 05)}^{2} = f (2) = 1, 1025$ .

Analogicznie, na koniec trzeciego roku wartość złotówki zamrożonej na lokacie wyniesie $f (3) = {(1, 05)}^{3} = 1, 157625$ .

Przemnożenie tej wartości przez kwotę ulokowanego $1000 zł$ , daje nam

$1000 \cdot f (3) = 1000 \cdot 1, 157625 = 1157, 625 \approx 1157, 63 [zł]$ .

Animacja multimedialna

Przeanalizuj informacje zawarte w animacji. Na ich podstawie wykonaj poniższe polecenie.

RmP1P2etzJrKB

Polecenie 1

R1CdldAYvyF44

Aplety

Przeanalizuj aplety dotyczące zmiany położenia wykresu funkcji wykładniczej $f (x) = a^{x}$ w zależności od współczynnika $a$ .

R74dWOUtq50jZ

R18P1HYaXYLog

Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus siedmiu do sześciu. Na płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji f. Jest to funkcja potęgowa o podstawie mniejszej, niż jeden. Można wybrać wartość podstawy spośród następujących możliwości: początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka. Każda z tych funkcji jest funkcją malejącą, a oś X jest asymptotą poziomą dla każdej z nich, a także wykres każdej z nich przechodzi przez punkt o współrzędnych nawias, zero przecinek jeden, zamknięcie nawiasu. Zaczynając od funkcji postaci y, równa się, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, możemy stwierdzić, że wykres znajduje się w pierwszej i w drugiej ćwiartce, a jej wybrzuszenie jest skierowane w stronę trzeciej ćwiartki. Gdy zwiększamy mianownik podstawy, czyli gdy podstawa jest coraz mniejszą liczbą, okazuje się, że funkcja zaczyna maleć coraz szybciej, górna część krzywej leżąca w drugiej ćwiartce jest coraz bliższa osi Y i zbliża się coraz bardziej do pionu, natomiast druga część krzywej, leżąca w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych coraz bardziej się wypłaszcza. Konsekwencją tych zmian jest zmniejszenie wybrzuszenia krzywej, natomiast kierunek, w którym krzywa się wybrzusza, pozostaje bez zmian.

Polecenie 2

Wiadomo, że do wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = a^{x}$ należy punkt $(- 2, 9)$ , zaś do wykresu funkcji określonej wzorem $g (x) = b^{x}$ należy punkt $(2, \frac{4}{25})$ . Wyznacz wartość wyrażenia $3 a - 2 b$ .

Jeżeli punkt $(- 2, 9)$ należy do wykresu funkcji zadanej wzorem $f (x) = a^{x}$ , to:

$9 = a^{- 2}$ , z czego wynika, że $a = \frac{1}{3}$ lub $a = - \frac{1}{3}$ .

Ponieważ dla funkcji wykładniczej $a > 0$ , zatem $a = \frac{1}{3}$ .

Jeżeli punkt $(2, \frac{4}{25})$ należy do wykresu funkcji zadanej wzorem $g (x) = b^{x}$ , to:

$\frac{4}{25} = b^{2}$ , z czego wynika, że $b = \frac{2}{5}$ lub $b = - \frac{2}{5}$ .

Ponieważ dla funkcji wykładniczej $b > 0$ , to $b = \frac{2}{5}$ .

Wartość wyrażenia $3 a - 2 b$ wynosi:

$3 \cdot \frac{1}{3} - 2 \cdot \frac{2}{5} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ .

Polecenie 3

Wiadomo, że do wykresu funkcji wykładniczej $f$ określonej wzorem $f (x) = a^{x}$ należy punkt o współrzędnych $(- 2, \frac{16}{25})$ , zaś do wykresu funkcji wykładniczej $g$ określonej wzorem $g (x) = b^{x}$ należy punkt o współrzędnych $(- 3, \frac{27}{64})$ . Wyznacz wartość wyrażenia $2 a - 3 b$ .

Jeżeli punkt o współrzędnych $(- 2, \frac{16}{25})$ należy do wykresu funkcji $f$ zadanej wzorem $f (x) = a^{x}$ , to:

$\frac{16}{25} = a^{- 2}$ , z czego wynika, że $a = \frac{5}{4}$ lub $a = - \frac{5}{4}$ .

Ponieważ dla funkcji wykładniczej $a > 0$ , zatem $a = \frac{5}{4}$ .

Jeżeli punkt o współrzędnych $(- 3, \frac{27}{64})$ należy do wykresu funkcji $g$ zadanej wzorem $g (x) = b^{x}$ , to:

$\frac{27}{64} = b^{- 3}$ , z czego wynika, że $b = \frac{4}{3}$ .

Ponieważ dla funkcji wykładniczej $b > 0$ , to $b = \frac{4}{3}$ .

Wartość wyrażenia $2 a - 3 b$ wynosi:

$2 \cdot \frac{5}{4} - 3 \cdot \frac{4}{3} = \frac{5}{2} - 4 = - \frac{3}{2}$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R12xNfXkY3Wb0

R1B0dvtfJa3io

R1Zxyd1hpHNqe2

Ćwiczenie 2

R1STqMLJ4ZZlV2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Na podstawie załączonego wykresu funkcji wykładniczej $f (x) = a^{x}$ określ wartość jej podstawy $a$ .

R5PsV7aZ5siiO

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus pięciu do pięciu i pionową osią y od minus jeden do pięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji y=fx. Wykres pojawia się na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce układu współrzędnych tuż nad osią x i biegnie po łuku przecinając oś y w punkcie nawias zero średnik jeden, następnie wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych.

R8DDmp6ru4YYW

Ćwiczenie 5

RHpMQNJg8ktO8

R1c02LewHk293

Na wykresie przedstawiono krzywe wykładnicze odpowiadające trzem funkcjom wykładniczym. Do każdej z krzywych dopasuj wzór funkcji ją opisującej. Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus trzech do trzech i pionową osią y od minus jeden do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Wykres pojawia się na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce układu współrzędnych w okolicach punktu nawias minus dwa średnik pięć zamknięcie nawiasu i biegnie po łuku przecinając oś y w punkcie nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu, następnie zbliża się do poziomej osi x i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce tuż nad osią x. Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, przecinek, pięć indeks górny, x, koniec indeksu górnego, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy indeks górny, x, koniec indeksu górnego Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus trzech do trzech i pionową osią y od minus jeden do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Wykres pojawia się na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce tuż nad osią x początkowo biegnie niemal poziomo, następnie biegnie po łuku przecinając oś y w punkcie nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w okolicach punktu nawias dwa średnik pięć zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, przecinek, pięć indeks górny, x, koniec indeksu górnego, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy indeks górny, x, koniec indeksu górnego Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus trzech do trzech i pionową osią y od minus jeden do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Wykres pojawia się na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce układu współrzędnych w okolicach punktu nawias minus jeden średnik pięć zamknięcie nawiasu i biegnie po łuku przecinając oś y w punkcie nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu, następnie zbliża się do poziomej osi x i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce tuż nad osią x. Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, przecinek, pięć indeks górny, x, koniec indeksu górnego, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy indeks górny, x, koniec indeksu górnego

Ćwiczenie 6

RTcuUEgapkKtt

Połącz w pary wzór funkcji ze współrzędnymi punktu, który należy do jej wykresu. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, jeden, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, dwa, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, dwa przecinek cztery, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, jeden, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, jeden, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, dwa, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, dwa przecinek cztery, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, jeden, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa indeks górny, x, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, jeden, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, dwa, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, dwa przecinek cztery, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, jeden, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, jeden, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, dwa, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, dwa przecinek cztery, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, jeden, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 7

Funkcja wykładnicza, której wykres przedstawiono na poniższym rysunku, wyraża się wzorem:

RYtOlDks18Bf3

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osia Y od minus jeden do pięciu. W układzie zaznaczono wykres funckji y=fx . Jest to krzywa wykładnicza rosnąca, która unosi się dla argumentów od minus nieskończoności lekko ponad oś X a następnie dla co raz większych argumentów przyjmuje co raz większe wartości tak, że wykres przechodzi przez punkty 0,1 oraz 2,2.

R1SGe3JVlSdvY

Ćwiczenie 8

Funkcja, której wykres przedstawiono na poniższym rysunku, wyraża się wzorem:

R1K2AMrEooLwc

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji znajdujący się w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Wykres biegnie po łuku od minus nieskończoności, przez punkty -4;4, -2;2, następnie przecina oś Y w punkcie 0;1 i biegnie do plus nieskończoności wypłaszczając się do osi X.

R1YUIaDSi4ffg

Ćwiczenie 9

RTAx0f22THmwZ

Połącz w pary wzór funkcji ze współrzędnymi punktu, który należy do jej wykresu. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, dwa przecinek osiem jeden, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, dwa przecinek dziewięć, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, dwa, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, dwa przecinek osiem jeden, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, dwa przecinek dziewięć, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, dwa, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, dwa przecinek osiem jeden, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, dwa przecinek dziewięć, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, dwa, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, dwa przecinek osiem jeden, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, dwa przecinek dziewięć, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, dwa, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 10

R1bsh5tVCZvox

Ćwiczenie 11

RVKD79gD3ZbCo

Ćwiczenie 12

RSqbpEEtzG3n2

Ćwiczenie 13

RPufu5SeoZ2xJ

Ćwiczenie 14

RQohgH7Ubh5GO

Ćwiczenie 15

R5DaPpo6hfoE0

Ćwiczenie 16

R1X1NregfXG4A

Ćwiczenie 17

RV9sRjRYYl5No

R7M5l9tHymBKp3

Ćwiczenie 18

Ćwiczenie 19

Określmy funkcję wykładniczą $f$ wzorem $f (x) = {(m - 1)}^{x}$ .

Wyznacz wartość parametru $m$ , jeżeli do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(2, 5)$ .

Dla funkcji wykładniczej określonej wzorem $f (x) = a^{x}$ podstawa $a > 0$ , zatem $m - 1 > 0$ , czyli $m > 1$ .

Ponieważ punkt o współrzędnych $(2, 5)$ należy do wykresu tej funkcji, zatem do wyznaczenia wartości $m$ rozwiązujemy równanie:

${(m - 1)}^{2} = 5$ .

Wobec tego $m - 1 = \sqrt{5}$ lub $m - 1 = - \sqrt{5}$ .

Rozwiązaniami równań są odpowiednio liczby $m = \sqrt{5} + 1$ oraz $m = - \sqrt{5} + 1$ .

Z dziedziny otrzymaliśmy, że $m > 1$ , zatem $m = \sqrt{5} + 1$ .

Słownik

podstawa potęgi

przy podnoszeniu liczby $a$ do potęgi $x$ (czyli wykonywaniu operacji $a^{x}$ ), liczbę potęgowaną $a$ nazywamy podstawą

wykładnik potęgi

przy podnoszeniu liczby $a$ do potęgi $x$ liczbę $x$ nazywamy wykładnikiem potęgi

oprocentowanie składane

sposób naliczania odsetek od zdeponowanego kapitału, w którym odsetki nagromadzone w poprzednich okresach uwzględniane są przy naliczaniu odsetek za okres bieżący

2. Potęga o wykładniku rzeczywistym

4. Przekształcenia wykresów funkcji wykładniczych