• Określisz własności funkcji kwadratowej określonej wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2$ po przesunięciu jej wykresu wzdłuż osi $X$.

• Określisz własności funkcji kwadratowej określonej wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2$ po przesunięciu jej wykresu wzdłuż osi $Y$.

• Zauważysz, które własności funkcji kwadratowej zmieniają się wraz z przesunięciem jej wykresu wzdłuż osi $X$ , a które po przesunięciu wzdłuż osi $Y$.

• Wykorzystasz zdobytą wiedzę do rozwiązywania problemów matematycznych.

$y=f\left(x-p\right)$ otrzymujemy przez przesunięcie paraboli, będącej wykresem funkcji $y=f\left(x\right)$ o:

• $p$ jednostek w prawo, gdy $p>0$,

• $p$ jednostek w lewo, gdy $p<0$.

Parabolę, będącą wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2$ przesunięto o $6$ jednostek w lewo wzdłuż osi $X$ i otrzymano parabolę, będącą wykresem funkcji $g$.

RcsvxcOk1MdGP

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus dziesięciu do trzech, oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji $f\left(x\right)$, oraz czerwony wykres funkcji $g\left(x\right)$. Wykres funkcji niebieskiej stanowi parabola o wierzchołku w punkcie $\left(0;0\right)$, oraz ramionach skierowanych w górę. Parabola przebiega przez punkty $\left(-2;2\right)$, oraz $\left(2;2\right)$. Czerwony wykres funkcji stanowi przesunięcie wykresu niebieskiego o sześć jednostek w lewo. Zatem wierzchołkiem wykresu funkcji $g\left(x\right)$ jest punkt $\left(0;-6\right)$. Funkcja przebiega przez punkty $\left(-8;2\right)$, oraz $\left(-4;2\right)$.

Dla funkcji $g$ wyznaczymy:

a) oś symetrii wykresu funkcji,

b) przedziały monotoniczności,

c) współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji.

Rozwiązanie:

a) oś symetrii wykresu funkcji $g$ opisujemy za pomocą równania $x=-6$,

b) funkcja $g$ jest:

• malejąca w przedziale $\left(-\infty ,-6\right.⟩$,

• rosnąca w przedziale $\left.⟨-6,\infty \right)$.

c) wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ ma współrzędne $\left(-6,0\right)$.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2$ oraz wykres funkcji $g$ po przesunięciu o $2$ jednostki w prawo wykresu funkcji $f$ wzdłuż osi $X$.

RRvBiyKM8oQ9J

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji $f\left(x\right)$, oraz czerwony wykres funkcji $f\left(x-2\right)$. Wykres funkcji niebieskiej stanowi parabola o wierzchołku w punkcie $\left(0;0\right)$, oraz ramionach skierowanych w dół. Parabola przebiega przez punkty $\left(-2;-2\right)$, oraz $\left(2;-2\right)$. Czerwony wykres funkcji stanowi przesunięcie wykresu niebieskiego o dwie jednostki w prawo. Zatem wierzchołkiem wykresu funkcji $f\left(x-2\right)$ jest punkt $\left(2;0\right)$. Funkcja przebiega przez punkty $\left(0;-2\right)$, oraz $\left(4;-2\right)$.

Określimy:

a) równanie osi symetrii wykresu funkcji $g$,

b) wartość funkcji $g$ dla argumentu $12$.

Rozwiązanie:

a) osią symetrii wykresu funkcji $g$ jest prosta o równaniu $x=2$,

b) możemy zauważyć, że zachodzi zależność $g\left(x\right)=f\left(x-2\right)$, zatem

$g\left(12\right)=f\left(12-2\right)=f\left(10\right)=-\frac{1}{2}·{10}^2=-50$.

Parabolę, będącą wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^2$ przesunięto o $4$ jednostki w lewo wzdłuż osi $X$ i otrzymano parabolę, będącą wykresem funkcji $g$.

RRBuIRwvfCg75

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus ośmiu do pięciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji $f\left(x\right)$, oraz czerwony wykres funkcji $g\left(x\right)$. Wykres funkcji niebieskiej stanowi parabola o wierzchołku w punkcie $\left(0;0\right)$, oraz ramionach skierowanych w górę. Parabola przebiega przez punkty $\left(-3;3\right)$, oraz $\left(3;3\right)$. Czerwony wykres funkcji stanowi przesunięcie wykresu niebieskiego o cztery jednostki w lewo. Zatem wierzchołkiem wykresu funkcji $g\left(x\right)$ jest punkt $\left(0;-4\right)$. Funkcja przebiega przez punkty $\left(-7;3\right)$, oraz $\left(-1;3\right)$.

Uporządkujmy rosnąco liczby: $g\left(-8\right)$, $g\left(-4\right)$, $g\left(-3\right)$ oraz $g\left(-6\right)$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że osią symetrii wykresu funkcji $g$ jest prosta o równaniu $x=-4$ oraz ramiona paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ są skierowane do góry.

Ponieważ funkcja $g$ jest malejąca w przedziale $\left(-\infty ,-4\right.⟩$ oraz rosnąca w przedziale $\left.⟨-4,\infty \right)$, zatem

$g\left(-4\right)<g\left(-3\right)<g\left(-6\right)<g\left(-8\right)$.

Naszkicujemy wykres funkcji $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=-{\left(x+2\right)}^2$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że w celu naszkicowania wykresu funkcji $f$ wystarczy:

• naszkicować wykres funkcji $g$ określonej wzorem $g\left(x\right)=-x^2$,

• przesunąć wykres funkcji $g$ o wektor $\overrightarrow{u}=\left[-2,0\right]$, co jest równoznaczne z przesunięciem wykresu tej funkcji o $2$ jednostki w lewo wzdłuż osi $X$.

W celu naszkicowania wykresu przedstawmy w tabeli wartości funkcji $g$ dla kilku argumentów:

Rgu5KGuGWp9kp

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do trzech, oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji $g\left(x\right)$, oraz czerwony wykres funkcji $g\left(x\right)$. Wykres funkcji niebieskiej stanowi parabola o wierzchołku w punkcie $\left(0;0\right)$, oraz ramionach skierowanych w dół. Parabola przebiega przez punkty $\left(-2;-4\right)$, oraz $\left(2;-4\right)$. Czerwony wykres funkcji stanowi przesunięcie wykresu niebieskiego o dwie jednostki w lewo. Zatem wierzchołkiem wykresu funkcji $f\left(x\right)$ jest punkt $\left(-2;0\right)$. Funkcja przebiega przez punkty $\left(-4;-4\right)$, oraz $\left(0;-4\right)$.

Funkcję kwadratową $f$ określono wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2$. Niech $g\left(x\right)=f\left(x-2\right)$ oraz $h\left(x\right)=g\left(x+5\right)$. Wyznaczymy:

a) współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $h$,

b) oś symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $h$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że jeżeli $g\left(x\right)=f\left(x-2\right)$ oraz $h\left(x\right)=g\left(x+5\right)$, to:

$h\left(x\right)=f\left(x-2+5\right)=f\left(x+3\right)$.

Zatem parabolę, będącą wykresem funkcji $h$ otrzymamy przez przesunięcie paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ o $3$ jednostki w lewo wzdłuż osi $X$.

a) wierzchołkiem paraboli, będącej wykresem funkcji $h$ jest punkt o współrzędnych $\left(-3,0\right)$,

b) osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $h$ jest prosta o równaniu
$x=-3$.

Dana jest funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f\left(x\right)=-2x^2$. Parabolę, będącą wykresem funkcji $f$ przesunięto o $2$ jednostki w lewo wzdłuż osi $X$ i otrzymano parabolę, będącą wykresem funkcji $g$. Dodatkowo parabolę, będącą wykresem funkcji $f$ przesunięto o $2$ jednostki w prawo wzdłuż osi $X$ i otrzymano parabolę, będącą wykresem funkcji $h$. Wykażemy, że różnica wartości funkcji $g$ i $h$ dla dowolnego $x\in \mathrm{ℂ}$ jest liczbą podzielną przez $16$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że:

$g\left(x\right)=f\left(x+2\right)$

$h\left(x\right)=f\left(x-2\right)$

Dziedziną każdej z funkcji $f,g,h$ jest zbiór liczb rzeczywistych.

Wówczas:

$g\left(x\right)-h\left(x\right)=f\left(x+2\right)-f\left(x-2\right)=$

$=-2{\left(x+2\right)}^2-\left(-2{\left(x-2\right)}^2\right)=-2\left(x^2+4x+4\right)-\left(-2\left(x^2-4x+4\right)\right)=$

$=-2x^2-8x-8+2x^2-8x+8=-16x$

Ponieważ różnica tych wartości jest iloczynem liczby $16$ i liczby całkowitej $x$, zatem rozpatrywana liczba jest podzielna przez $16$.

Dana jest funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f\left(x\right)=2{\left(x+4\right)}^2$. Wyznaczymy:

a) oś symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji $f$,

b) przedziały monotoniczności funkcji $f$.

Rozwiązanie:

a) Ze wzoru funkcji $f$ możemy odczytać, że $p=-4$, zatem osią symetrii paraboli, która jest wykresem tej funkcji, jest prosta o równaniu $x=-4$.

b) Ponieważ $a=2$, zatem ramiona paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, są skierowane do góry.

Zatem funkcja $f$ jest:

• malejąca w przedziale $\left(-\infty ,-4\right.⟩$,

• rosnąca w przedziale $\left.⟨-4,\infty \right)$.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2$. Wyznaczymy wzór tej funkcji.

R1ZncrwWWJREp

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji f Wykres funkcji niebieskiej stanowi parabola o wierzchołku w punkcie $\left(4;0\right)$, oraz ramionach skierowanych w dół. Parabola przebiega przez punkty $\left(3;-3\right)$ oraz $\left(5;-3\right)$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że prosta o równaniu $x=4$ jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $f$, zatem $p=4$.

Wzór funkcji $f$ możemy zapisać w postaci $f\left(x\right)=a{\left(x-4\right)}^2$.

Z wykresu funkcji $f$ odczytujemy, że należy do niego punkt o współrzędnych $\left(3,-3\right)$.

Zatem do wyznaczenia wartości współczynnika $a$ rozwiązujemy równanie:

$-3=a·{\left(3-4\right)}^2$, więc $a=-3$.

Wzór funkcji $f$ przedstawionej na rysunku jest postaci $f\left(x\right)=-3{\left(x-4\right)}^2$.

Do wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2$ należy punkt o współrzędnych $\left(1,-3\right)$. Wyznaczymy wzór tej funkcji, jeżeli wiemy, że funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $\left.⟨-2,\infty \right)$.

Rozwiązanie:

Ponieważ funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $\left.⟨-2,\infty \right)$, zatem $p=-2$.

W związku z tym, wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci $f\left(x\right)=a{\left(x+2\right)}^2$.

Ponieważ punkt o współrzędnych $\left(1,-3\right)$ należy do wykresu funkcji $f$, zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$-3=a·{\left(1+2\right)}^2$.

Zatem $a=-\frac{1}{3}$.

Wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci $f\left(x\right)=-\frac{1}{3}{\left(x+2\right)}^2$.

Dana jest funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2-3x+\frac{9}{2}$.

Wyznaczymy:

a) równanie osi symetrii wykresu funkcji $f$,

b) współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji,

c) przedziały monotoniczności funkcji $f$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że wzór funkcji $f$ możemy zapisać w nastepującej postaci:

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2-3x+\frac{9}{2}=\frac{1}{2}\left(x^2-6x+9\right)=\frac{1}{2}{\left(x-3\right)}^2$.

a) Ze wzoru funkcji $f$ możemy odczytać, że $p=3$, zatem osią symetrii paraboli, która jest wykresem tej funkcji jest prosta o równaniu $x=3$.

b) Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ ma współrzedne $\left(3,0\right)$.

c) Ponieważ $a=\frac{1}{2}$, zatem ramiona paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ są skierowane do góry.

Funkcja $f$ jest:

• malejąca w przedziale $\left(-\infty ,3\right.⟩$,

• rosnąca w przedziale $\left.⟨3,\infty \right)$.

Wiadomo, że wykres funkcji kwadratowej $g$ określonej wzorem $g\left(x\right)=f\left(x-1\right)$ otrzymano przez przesunięcie wykresu funkcji kwadratowej $f$ o wektor $\overrightarrow{u}=\left[m^2-m,0\right]$, gdzie $m\in \mathrm{ℝ}$. Wyznaczymy wartość parametru $m$.

Rozwiązanie:

Ponieważ $g\left(x\right)=f\left(x-1\right)$, zatem wykres funkcji $g$ otrzymano przez przesunięcie wykresu funkcji $f$ o wektor $\overrightarrow{u}=\left[1,0\right]$.

Dwa wektory są równe, jeżeli mają ten sam kierunek, zwrot i wartość zatem do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie:

$m^2-m=1$

$m^2-m-1=0$

$m_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

$m_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Wobec tego $m\in \left\{\frac{1-\sqrt{5}}{2},\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}$.

Wykres   funkcji $f\left(x\right)+q$ otrzymano w wyniku:

• przesunięcia wykresu funkcji $f$ wzdłuż osi $Y$ o $q$ jednostek w górę, gdy $q>0$,

• przesunięcia wykresu funkcji $f$ wzdłuż osi $Y$ o $q$ jednostek w dół, gdy $q<0$.

Dana jest funkcja kwadratowa określona wzorem $f\left(x\right)=-\frac{1}{4}{x}^2$. Parabolę, będącą wykresem funkcji $f$ przesunięto o $3$ jednostki w górę wzdłuż osi $Y$ i otrzymano parabolę, będącą wykresem funkcji $g$.

R80koVNoHeBDk

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus pięciu do czterech. W układzie współrzędnych zaznaczono funkcję kwadratową f, której wykres jest parabolą z ramionami skierowanymi do dołu oraz wierzchołkiem w początku układu współrzędnych. Parabola przechodzi przez punkty $\left(-4,-4\right)$ oraz $\left(4,-4\right)$ .W tym samym układzie zaznaczono również wykres funkcji g, czyli wykres funkcji f przeniesiony o trzy jednostki do góry, który przechodzi przez punkty $\left(-4,-1\right)$ oraz $\left(4,-1\right)$.

Wyznaczymy:

a) zbiór wartości funkcji $g$,

b) współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji $g$,

c) wartość największą  funkcji $g$.

Rozwiązanie:

a) zbiorem wartości funkcji $g$ jest przedział  $\left(-\infty ,-3\right.⟩$,

b) wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ ma współrzędne $\left(0,3\right)$,

c) funkcja $g$ osiąga wartość największą równą $3$ dla $x=0$.

Parabolę, będącą wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2$, dla $a<0$, przesunięto najpierw o $3$ jednostki w dół, a następnie o $7$ jednostek w górę wzdłuż osi $Y$ i otrzymano parabolę, będącą wykresem funkcji $g$

Wyznaczymy:

a) zbiór wartości funcji $g$,

b) liczbę rozwiązań równania $g\left(x\right)=4$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że przesunięcie paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ o $3$ jednostki w dół, a następnie o $7$ jednostek w górę wzdłuż osi $Y$, oznacza przesunięcie tego wykresu o $4$ jednostki w górę wzdłuż osi $Y$.

Zatem:

a) zbiorem wartości funkcji $g$ jest przedział (  $-\mathrm{\infty },4>$,

b) wierzchołkiem paraboli, która jest wykresem funkcji $g$ jest punkt o współrzędnych $\left(0,4\right)$, więc równanie $f\left(x\right)=4$ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Dana jest funkcja kwadratowa określona wzorem $f\left(x\right)=\sqrt{5}{x}^2$. Parabolę, będącą wykresem tej funkcji przesunięto o $2$ jednostki w dół wzdłuż osi $Y$ i otrzymano parabolę, będącą wykresem funkcji $g$.

RJhzhwPVUgfvC

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz z pionową osią $Y$ od minus trzech do czterech. W układzie współrzędnych zaznaczono funkcję kwadratową f, której wykres jest parabolą z ramionami skierowanymi do góry oraz wierzchołkiem w początku układu współrzędnych. Parabola przechodzi przez punkty $\left(-1,\sqrt{5}\right)$ oraz $\left(1,\sqrt{5}\right)$ .W tym samym układzie zaznaczono również wykres funkcji g, czyli wykres funkcji f przeniesiony o dwie jednostki do dołu.

Określimy liczbę rozwiązań równania $g\left(x\right)=m$, gdy $m\in \mathrm{ℝ}$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że po przesunięciu paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ wierzchołek otrzymanej paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ ma współrzędne $\left(0,-2\right)$.

Ponieważ $a=\sqrt{5}>0$, zatem ramiona paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ są skierowane do góry.

Zatem równanie $g\left(x\right)=m$, gdy $m\in \mathrm{ℝ}$:

• nie ma rozwiązania, gdy $m\in \left(-\infty ,-2\right)$,

• ma jedno rozwiązanie, gdy $m=-2$,

• ma dwa rozwiązania, gdy $m\in \left(-2,\infty \right)$.

Na rysunku przedstawiono parabolę, będącą wykresem  funkcji kwadratowej  $f\left(x\right)$.

R1CGWJVJQUk9J

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus siedmiu do jeden. W układzie współrzędnych zaznaczono funkcję kwadratową f, której wykres jest parabolą z ramionami skierowanymi do dołu oraz z wierzchołkiem w punkcie $\left(0,-4\right)$. Parabola przechodzi przez punkty $\left(-1,-\mathrm{5/mn>}\right)$ oraz $\left(1,-5\right)$ .

Na podstawie wykresu:

a) odczytamy współrzędne wierzchołka tej paraboli,

b) rozwiążemy nierówność $m-1<k$, gdzie $k$ oznacza liczbę rozwiązań równania $f\left(x\right)=-5$.

Rozwiązanie:

a) z wykresu odczytujemy, że współrzędne wierzchołka paraboli wynoszą $\left(0,-4\right)$,

b) równanie $f\left(x\right)=-5$ ma dwa rozwiązania,

zatem:

$m-1<2$, więc $m<3$.

Wykażemy, że jeśli funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2+q$, gdzie $a>0$ oraz $q<0$, to różnica miejsc zerowych (od większej liczby odejmujemy mniejszą) funkcji $f$ wynosi $\frac{2\sqrt{-aq}}{a}$.

Rozwiązanie:

Obliczamy miejsca zerowe funkcji $f$:

$f\left(x\right)=0\iff a{x}^2+q=0$

$a{x}^2=-q$, czyli $x=\sqrt{\frac{-q}{a}}=\frac{\sqrt{-aq}}{a}$ lub $x=-\sqrt{\frac{-q}{a}}=-\frac{\sqrt{-aq}}{a}$

Zatem różnica miejsc zerowych funkcji $f$ wynosi:

$\frac{\sqrt{-aq}}{a}-\left(-\frac{\sqrt{-aq}}{a}\right)=\frac{2\sqrt{-aq}}{a}$

Wykażemy, że funkcja $f$ określona wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2+q$ dla $a<0$ jest malejąca w przedziale $⟨0,\infty )$.

Rozwiązanie:

Załóżmy, że $x_1,x_2\in D_f$ oraz $x_1<x_2$.

Wówczas:

$f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=a·{x_2}^2+q-\left(a·{x_1}^2+q\right)=a·{x_2}^2+q-a·{x_1}^2-q=$

$=a·\left({x_2}^2-{x_1}^2\right)$

Zauważmy, że $a·\left({x_2}^2-{x_1}^2\right)<0$, bo $a<0$ oraz ${x_2}^2-{x_1}^2>0$.

Wobec tego $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)<0$, czyli $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Stąd  wnioskujemy, że funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $⟨0,\infty )$.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona za pomocą wzoru $f\left(x\right)=-\frac{1}{4}{x}^2-2$.

Wyznaczymy:

a) współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji $f$,

b) zbiór wartości funkcji $f$.

Rozwiązanie:

a) Ze wzoru funkcji$f$ możemy odczytać, że wierzchołek paraboli, która jest wykresem tej funkcji, ma współrzędne $\left(0,-2\right)$.

b) Ponieważ $a=-\frac{1}{4}$, zatem ramiona paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ są skierowane do dołu.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest zatem przedział $\left(-\infty ,-2\right.⟩$.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2+q$.

RDXnKqrkNte95

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu i pionową oś Y od minus ośmiu do dwóch . Na rysunku zaznaczono również wykres funkcji kwadratowej f z wierzchołkiem w punkcie nawias zero średnik minus osiem i ramionami skierowanymi w górę. Parabola przechodzi przez punkty nawias minus dwa średnik minus sześć koniec nawiasu, nawias dwa średnik minus sześć koniec nawiasu. Funkcja ma dwa miejsca zerowe w punktach nawias minus cztery średnik zero koniec nawiasu oraz nawias cztery średnik zero koniec nawiasu.

Wyznaczymy wzór funkcji $f$.

Rozwiązanie:

Z wykresu funkcji $f$ możemy odczytać, że wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji  ma współrzędne $\left(0,-8\right)$.

Zatem wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci $f\left(x\right)=a{x}^2-8$.

Do wykresu funkcji $f$ należy na przykład punkt o współrzędnych $\left(2,-6\right)$, zatem w celu wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$-6=a·2^2-8$.

Otrzymujemy zatem $a=\frac{1}{2}$.

Wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2-8$.

Do wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2+q$ należy punkt o współrzednych $\left(-1,3\right)$, a zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left(-\infty ,6\right.⟩$.

Wyznaczymy wzór funkcji $f$.

Rozwiązanie:

Ponieważ przedział $\left(-\infty ,6\right.⟩$ jest zbiorem wartości funkcji $f$, zatem $q=6$.

Wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci $f\left(x\right)=a{x}^2+6$.

Jeżeli punkt o współrzędnych $\left(-1,3\right)$ należy do wykresu funkcji $f$, to w celu wyznaczania wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$3=a·{\left(-1\right)}^2+6$, zatem $a=-3$.

Funkcję $f$ określamy za pomocą wzoru $f\left(x\right)=-3x^2+6$.

Wierzchołkiem paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej równaniem $f\left(x\right)=-x^2+q$ jest punkt o współrzędnych $\left(0,-2\right)$.

Wyznaczymy liczbę rozwiązań równania $f\left(x\right)=m$, dla $m\in \mathrm{ℝ}$.

Rozwiązanie:

Ponieważ wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ ma współrzędne $\left(0,-2\right)$, zatem $q=-2$.

Wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci $f\left(x\right)=-x^2-2$.

Ponieważ współczynnik $a=-1$, zatem ramiona paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, są skierowane do dołu.

Równanie $f\left(x\right)=m$, dla $m\in \mathrm{ℝ}$ ma:

• $2$ rozwiązania dla $m\in \left(-\infty ,-2\right)$,

• $1$ rozwiązanie dla $m=-2$,

• $0$ rozwiązań dla $m\in \left(-2,\infty \right)$.

Do wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2+q$ należą punkty o współrzędnych $\left(-1,2\right)$ oraz $\left(2,11\right)$. Wyznaczymy wzór tej funkcji.

Rozwiązanie:

Ponieważ do wykresu funkcji kwadratowej $f$ należą punkty o współrzędnych $\left(-1,2\right)$ oraz $\left(2,11\right)$, to do wyznaczenia wartości współczynników $a$ i $q$ rozwiązujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}2=a·{\left(-1\right)}^2+q\\ 11=a·2^2+q\end{array}\right.$

Układ równań przekształcamy do prostszej postaci:

$\left\{\begin{array}{l}2=a+q\\ 11=4a+q\end{array}\right.$

Zatem $a=3$ oraz $q=-1$.

Wobec tego funkcja $f$ jest określona wzorem $f\left(x\right)=3x^2-1$.

Wykażemy, że jeśli funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2+q$, to dla $a<0$ funkcja jest rosnąca w przedziale $\left(-\infty ,0\right.⟩$.

Rozwiązanie:

Niech $x_1,x_2\in \left(-\infty ,0\right.⟩$ oraz $x_1<x_2$.

Wówczas:

$f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=a·{x_2}^2+q-\left(a·{x_1}^2+q\right)=a·{x_2}^2-a·{x_1}^2=$

$=a·\left({x_2}^2-{x_1}^2\right)>0$

ponieważ $x_1<x_2$ oraz $a<0$.

Stąd, wobec dowolności $x_1$ i $x_2$ wnioskujemy, że funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $\left(-\infty ,0\right.⟩$.

Wykres funkcji $f\left(x-p\right)+q$ otrzymujemy w wyniku przesunięcia wykresu funkcji $f$ wzdłuż osi $X$ o $p$ jednostek w prawo, gdy $p>0$ lub o $p$ jednostek w lewo, gdy $p<0$ oraz wzdłuż osi $Y$ o $q$ jednostek w górę, gdy $q>0$ lub o $q$ jednostek w dół, gdy $q<0$.

Parabolę, będącą wykresem funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=-\sqrt{2}{x}^2$ przesunięto o $3$ jednostki w lewo wzdłuż osi $X$ oraz o $1$ jednostkę w górę wzdłuż osi $Y$ i otrzymano parabolę, będącą wykresem funkcji $g$.

RP31UaRxPv5kY

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus siedmiu do trzech oraz pionową oś Y od minus dwóch do dwóch. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej f będącą parabolą z wierzchołkiem w punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu oraz z ramionami skierowanymi w dół. Na ilustracji zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej g będącym wykresem funkcji f przesuniętej o wektor nawias kwadratowy minus trzy średnik jeden koniec nawiasu. Wykres funkcji g posiada wierzchołek w punkcie nawias minus trzy średnik jeden koniec nawiasu oraz posiada ramiona skierowane w dół.

Wyznaczymy:

a) oś symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $g$,

b) współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $g$,

c) zbiór wartości funkcji $g$.

Rozwiązanie:

a) osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ jest prosta o równaniu $x=-3$,

b) wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ ma współrzędne $\left(-3,1\right)$,

c) zbiorem wartości funkcji $g$ jest przedział $\left(-\infty ,1\right.⟩$.

Parabolę, będącą wykresem funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej $g$ określonej wzorem $g\left(x\right)=-3x^2$ przesunięto wzdłuż osi $X$ i $Y$ i otrzymano parabolę, będącą wykresem funkcji $f$.

RGTCWQBTk3lIV

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej f będącej parabolą o wierzchołku w punkcie nawias dwa średnik pięć koniec nawiasu oraz z ramionami skierowanymi w dół. Wykres funkcji posiada dwa miejsca zerowe i przechodzi przez punkty nawias jeden średnik dwa koniec nawiasu oraz nawias trzy średnik dwa koniec nawiasu.

Wyznaczymy:

a) współrzędne wektora przesunięcia wykresu funkcji $g$,

b) zbiór wartości funkcji $f$.

Rozwiązanie:

Z wykresu odczytujemy, że wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ ma współrzędne $\left(2,5\right)$, zatem:

a) współrzędne wektora przesunięcia wykresu funkcji $g$, to $\left[2,5\right]$,

b) zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left(-\infty ,5\right.⟩$.

Parabolę, będącą wykresem funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2$, dla $a>0$ , przesunięto o $3$ jednostki w prawo wzdłuż osi $X$ i $2$ jednostki w górę wzdłuż osi $Y$, a następnie o $4$ jednostki w lewo wzdłuż osi $X$ i $1$ jednostkę w dół wzdłuż osi $Y$ i otrzymano parabolę, będącą wykresem funkcji $g$.

Wyznaczymy:

a) współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji $g$,

b) przedziały monotoniczności funkcji $g$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że wykonanie omawianych przekształceńprzekształcenie wykresu funkcji $f\left(x-p\right)+q$przekształceń wykresu funkcji $f$ sprowadza się do przesunięcia tego wykresu o $1$ jednostkę w lewo wzdłuż osi $X$ oraz o $1$ jednostkę w górę wzdłuż osi $Y$.

Zatem:

a) wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ ma współrzędne $\left(-1,1\right)$,

b) funkcja $g$ jest:

• malejąca w przedziale $\left(-\infty ,-1\right.⟩$,

• rosnąca w przedziale $\left.⟨-1,\infty \right)$.

Dana jest funkcja kwadratowafunkcja kwadratowafunkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f\left(x\right)=-x^2$. Parabolę, będącą wykresem tej funkcji przesunięto o $2$ jednostki w lewo wzdłuż osi $X$ oraz o $3$ jednostki w dół wzdłuż osi $Y$ i otrzymano wykres funkcji $g$. Określimy liczbę rozwiązań równania $g\left(x\right)=m$, dla $m\in \mathrm{ℝ}$.

RoY0iNgA6WjNB

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do trzech oraz pionową oś Y od minus czterech do dwóch. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej f będącą parabolą z wierzchołkiem w punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu oraz z ramionami skierowanymi w dół. Wykres przechodzi przez punkty nawias minus jeden średnik minus jeden koniec nawiasu oraz nawias jeden średnik minus jeden koniec nawiasu. Na ilustracji zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej g będącym wykresem funkcji f przesuniętej o wektor nawias kwadratowy minus dwa średnik minus trzy koniec nawiasu. Wykres funkcji g posiada wierzchołek w punkcie nawias minus dwa średnik minus trzy koniec nawiasu oraz posiada ramiona skierowane w dół.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że ramiona paraboli, która jest wykresem funkcji $g$ są skierowane do dołu. Wierzchołkiem paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ jest punkt o współrzędnych$\left(-2,-3\right)$.

Zatem równanie $g\left(x\right)=m$, dla $m\in \mathrm{ℝ}$:

• ma dwa rozwiązania, gdy $m\in \left(-\infty ,-3\right)$,

• jedno rozwiązanie, gdy $m=-3$,

• nie ma rozwiązania, gdy $m\in \left(-3,\infty \right)$.

Wyznaczymy, o jaki wektor należy przesunąć parabolę, będącą wykresem funkcji $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=x^2$, aby otrzymać parabolę, będącą wykresem funkcji $g$, do której należą punkty o współrzędnych $\left(-1,-3\right)$ oraz $\left(1,5\right)$.

Rozwiązanie:

Załóżmy, że wektor przesunięcia wykresu funkcji $f$ ma współrzędne $\left[p,q\right]$.

Wobec tego funkcja $g$ jest określona wzorem $g\left(x\right)={\left(x-p\right)}^2+q$.

Ponieważ do paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ należą punkty o współrzędnych $\left(-1,-3\right)$ oraz $\left(1,5\right)$, to do wyznaczenia wartości $p$ i $q$ rozwiązujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}-3={\left(-1-p\right)}^2+q\\ 5={\left(1-p\right)}^2+q\end{array}\right.$