1. Wykres i własności funkcji f(x)=ax^2 - M_R_W10_M1 Wzór funkcji kwadratowej

R15WIdKFcl6Do

1. Wykres i własności funkcji $f (x) = a x^{2}$

Promienie równoległe padające na lustro w kształcie paraboli po odbiciu skupiają się w jednym punkcie - ognisku paraboli. Zjawisko to wykorzystuje się na przykład w antenach satelitarnych.

R5N6UJae1VqKZ

Ilustracja przedstawia zwierciadło w kształcie paraboli leżącej na jednym z ramion. Na zwierciadło padają równoległe promienie, które następnie poprzez zakrzywienie zwierciadła odbijają się od niego i koncentrują w jednym punkcie F.

Galileusz – włoski fizyk i astronom, w swojej pracy „Rozmowy i dowody matematyczne w zakresie dwóch nowych umiejętności” analizował ruch spadającego ciała, zrzucając z wieży w Pizie z wysokości $49$ metrów metalowe kule. Jeśli pominiemy opór powietrza, to odległość $h$ od ziemi obiektu zrzuconego z wysokości $49$ metrów można opisać wzorem $h (t) = - 4, 9 t^{2} + 49$ . Otrzymany wzór jest zapisany za pomocą wyrażenia stopnia drugiego.

Twoje cele

Rozpoznasz jednomian stopnia drugiego.
Sporządzisz wykres funkcji $y = a x^{2}$ .
Określisz własności funkcji $y = a x^{2}$ .
Obliczysz wartości funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a x^{2}$ dla różnych argumentów.
Wyznaczysz argumenty, dla których funkcja kwadratowa przyjmuje określoną wartość.
Obliczysz pola figur, których wierzchołki należą do wykresu funkcji kwadratowej.
Wyznaczysz wartości parametrów, dla których parabola, będąca wykresem funkcji kwadratowej i prosta, będąca wykresem funkcji liniowej mają określoną liczbę punktów wspólnych.

Trójmianem kwadratowym zmiennej $x$ nazywamy wyrażenie postaci $a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a$ , $b$ , $c$ są dowolnymi danymi liczbami rzeczywistymi i $a \neq 0$ . Liczby $a$ , $b$ , $c$ nazywamy współczynnikami trójmianu kwadratowegotrójmian kwadratowy zmiennej xtrójmianu kwadratowego, zaś zmienna $x$ może przyjmować dowolne wartości rzeczywiste.

funkcja kwadratowa

Definicja: funkcja kwadratowa

Jeżeli $a \neq 0$ , to funkcję $f$ określoną wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ w zbiorze liczb rzeczywistych nazywamy funkcją kwadratową.

$a$ , $b$ , $c$ - współczynniki liczbowe funkcji kwadratowej,

$c$ - wyraz wolny.

Wzór $f (x) = a x^{2} + b x + c$ nazywamy postacią ogólną funkcji kwadratowej, gdzie $x \in ℝ$ , $a \in ℝ ∖ \{0\}$ , $b \in ℝ$ , $c \in ℝ$ .

Jeżeli $a \neq 0$ , $b = c = 0$ , to wzór $f (x) = a x^{2} + b x + c$ przyjmuje postać $f (x) = a x^{2}$ . Można również krótko zapisać $y = a x^{2}$ . Zajmiemy się funkcją opsaną tym wzorem, jej wykresem i własnościami.

jednomian stopnia drugiego

Definicja: jednomian stopnia drugiego

Funkcję kwadratową $y = a x^{2}$ , gdzie $x \in ℝ$ oraz $a$ jest stałą liczbą rzeczywistą różną od zera, nazywać będziemy jednomianem stopnia drugiego (jednomianem kwadratowym).

Sporządźmy w prostokątnym układzie współrzędnych wykres funkcji $y = x^{2}$ .

W narysowaniu wykresu pomocna będzie tabelka częściowa - im więcej punktów w tabelce, tym dokładniejszy będzie wykres.

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$- 0, 5$	$0$	$0, 5$	$1$	$2$	$3$
$y = x^{2}$	$9$	$4$	$1$	$0, 25$	$0$	$0, 25$	$1$	$4$	$9$

Przy pomocy tabelki wyznaczyliśmy tylko niektóre wartości jednomianu kwadratowegojednomian kwadratowyjednomianu kwadratowego, a więc znaleźliśmy niektóre punkty wykresu. Ponieważ funkcja jest określona dla każdej liczby rzeczywistej, więc otrzymane punkty tworzą pewną krzywą.

RB6ZVuEPCloqB

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji y równa się x kwadrat będący parabolą z ramionami skierowanymi w górę i wierzchołku w punkcie nawias zero średnik zero. Wykres funkcji ma tylko jedno miejsce zero i przechodzi przez charakterystyczne punkty, nawias minus dwa średnik cztery koniec nawiasu, nawias minus jeden średnik jeden koniec nawiasu, nawias jeden średnik jeden koniec nawiasu, nawias dwa średnik cztery koniec nawiasu.

Krzywa będąca wykresem funkcji $y = x^{2}$ nazywa się paraboląparabolaparabolą. Do jej wykresu należy punkt $O = (0, 0)$ , będący wierzchołkiem paraboli. Wierzchołek dzieli parabolę na dwie części, zwane ramionami paraboli. Oś $Y$ jest osią symetrii paraboli.

Przekształćmy wykres funkcji $y = x^{2}$ przez symetrię względem osi $X$ i ustalmy wzór funkcji, której wykres otrzymaliśmy.

Rz2OtVZ9OC55H

W symetrii względem osi $X$ obrazem dowolnego punktu $P = (x, y)$ jest taki punkt
$P^{'}$ , że $P^{'} = (x^{'}, y^{'})$ , gdzie $\{\begin{cases} x^{'} = x \\ y^{'} = - y \end{cases}$ , skąd $\{\begin{cases} x = x^{'} \\ y = - y^{'} \end{cases}$ .

Do wzoru funkcji $y = x^{2}$ w miejsce $x$ podstawiamy $x^{'}$ , a w miejsce $y$ podstawiamy $- y^{'}$ i otrzymujemy wzór $- y^{'} = {(x^{'})}^{2}$ czyli $y = - x^{2}$ . Współczynnik $a$ wynosi $(- 1)$ .

Zwróćmy uwagę, że parabola ma ramiona skierowane w dół.

Sporządźmy jeszcze dwa inne wykresy.

a) $y = - 2 x^{2}$

$x$	$- 2$	$- 1$	$- 0, 5$	$0$	$0, 5$	$1$	$2$
$y = - 2 x^{2}$	$- 8$	$- 2$	$- 0, 5$	$0$	$- 0, 5$	$- 2$	$- 8$

R5i158VjHQXMC

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus pięciu do dwóch . Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji y równa się minus dwa razy x kwadrat. Wykresem funkcji jest parabola z ramionami skierowanymi w dół oraz z wierzchołkiem w punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu. Funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe i przechodzi przez charakterystyczne punkty nawias minus jeden średnik minus dwa koniec nawiasu oraz nawias jeden średnik minus dwa koniec nawiasu.

b) $y = \frac{1}{2} x^{2}$

$x$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$4$
$y = \frac{1}{2} x^{2}$	$8$	$2$	$\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$2$	$8$

R1UYShMS0sj4E

Otrzymane krzywe to również parabole. Wartość współczynnika $a$ paraboli $y = a x^{2}$ decyduje o tym, czy ramiona tej paraboli skierowane są w górę $(a > 0)$ , czy w dół $(a < 0)$ .

Porównując wykresy funkcji zauważymy, że funkcje postaci $y = a x^{2}$ , gdy $a > 0$ mają wspólne własności.

Własności funkcji

y = a x^{2}

, gdy

a > 0

Własność: Własności funkcji

y = a x^{2}

, gdy

a > 0

Wykresem każdej funkcji jest parabola o wierzchołku $W = (0, 0)$ i ramionach skierowanych ku górze.

Zbiorem wartości funkcji jest zbiór $Z W = ⟨0, + \infty)$ .

Miejscem zerowym funkcji jest $x_{0} = 0$ .

Osią symetrii wykresu funkcji (paraboli) jest prosta o równaniu $x = 0$ .

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie, gdy $x \in (- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ .

Funkcja jest malejąca w przedziale $(- \infty, 0)$ , a rosnąca w przedziale $(0, + \infty)$ .

Funkcja osiąga wartość najmniejszą równą $0$ , dla argumentu $0$ . Nie przyjmuje wartości największej. Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu, nie jest ograniczony z góry.

Funkcja jest parzysta.

Funkcja nie jest różnowartościowa.

Ostatnią własność spróbujemy udowodnić.

Dowód

Funkcja $y = a x^{2}$ nie jest różnowartościowa na zbiorze liczb rzeczywistych

Na początku przypomnijmy definicję funkcji różnowartościowej na zbiorze liczb rzeczywistych.

Funkcja $f : ℝ \to ℝ$ jest różnowartościowa jeżeli dla wszystkich $x_{1}, x_{2} \in ℝ$ prawdziwa jest implikacja:

$x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \neq f (x_{2})$

Aby wykazać, że funkcja nie jest różnowartościowa w zbiorze $ℝ$ , wystarczy wskazać dwa różne argumenty, dla których odpowiadające im wartości funkcji są równe.

Weźmy na przykład $x_{1} = 1$ i $x_{2} = - 1$ . Jak widzimy $x_{1} \neq x_{2}$ .

Obliczymy teraz $f (x_{1})$ oraz $f (x_{2})$ .

Zauważmy, że

$f (x_{1}) = f (1) = a \cdot 1^{2} = a$ ,

$f (x_{2}) = f (- 1) = a \cdot {(- 1)}^{2} = a$ .

Otrzymaliśmy, że dla różnych argumentów wartości funkcji są równe, więc funkcja nie jest różnowartościowa w zbiorze $ℝ$ .

Analogicznie można opisać własności funkcji $y = a x^{2}$ , gdy $a < 0$ .

Przykład 1

Sprawdźmy, czy punkty $A = (- 4, 64)$ oraz $B = (\frac{1}{4}, 1)$ należą do paraboli opisanej równaniem $y = 4 x^{2}$ .

$A = (- 4, 64)$

$y = 4 x^{2}$

$y = 4 \cdot {(- 4)}^{2}$

$y = 4 \cdot 16$

$y = 64$

Punkt $A$ należy do paraboli opisanej równaniem $y = 4 x^{2}$ .

$B = (\frac{1}{4}, 1)$

$y = 4 x^{2}$

$y = 4 \cdot {(\frac{1}{4})}^{2}$

$y = 4 \cdot \frac{1}{16}$

$y = \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} \neq 1$

Punkt $B$ nie należy do paraboli opisanej równaniem $y = 4 x^{2}$ .

Przykład 2

Wyznaczmy współczynnik $a$ , tak aby punkt o współrzędnych $(2, - 8)$ należał do paraboli $y = a x^{2}$ .

$y = a x^{2}$

$- 8 = a \cdot 2^{2}$

$- 8 = 4 a$

$a = - 2$

Przykład 3

W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicujmy wykresy funkcji.

a) $y = \frac{1}{3} x^{2}$ , $y = x^{2}$ , $y = 2 x^{2}$

$y = \frac{1}{3} x^{2}$

$x$	$- 6$	$- 3$	$- 1$	$0$	$1$	$3$	$6$
$y = \frac{1}{3} x^{2}$	$12$	$3$	$\frac{1}{3}$	$0$	$\frac{1}{3}$	$3$	$12$

$y = x^{2}$

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y = x^{2}$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

$y = 2 x^{2}$

$x$	$- 2$	$- 1$	$- 0, 5$	$0$	$0, 5$	$1$	$2$
$y = 2 x^{2}$	$8$	$2$	$0, 5$	$0$	$0, 5$	$2$	$8$

Rjs0RXrbbfuNs

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres trzech funkcji kwadratowych, pierwsza o równaniu y równa się dwa x kwadrat, druga o równaniu y równa się x kwadrat oraz trzecia o równaniu y równa się jedna trzecia x kwadrat. Wszystkie parabole mają ramiona skierowane w górę i wierzchołek w tym samym punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu. Pierwsza parabola przechodzi przez punkty nawias minus jeden średnik dwa koniec nawiasu oraz nawias jeden średnik dwa koniec nawiasu. Druga parabola przechodzi przez punkty nawias minus dwa średnik cztery koniec nawiasu, nawias minus jeden średnik jeden koniec nawiasu, nawias jeden średnik jeden koniec nawiasu, nawias dwa średnik cztery koniec nawiasu. Trzecia ostatnia parabola przechodzi przez punkty nawias minus trzy średnik trzy koniec nawiasu, nawias trzy średnik trzy koniec nawiasu.

b) $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ , $y = - x^{2}$ , $y = - 3 x^{2}$

$y = - \frac{1}{2} x^{2}$

$x$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$4$
$y = - \frac{1}{2} x^{2}$	$- 8$	$- 2$	$- \frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- 2$	$- 8$

$y = - x^{2}$

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y = - x^{2}$	$- 9$	$- 4$	$- 1$	$0$	$- 1$	$- 4$	$- 9$

$y = - 3 x^{2}$

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y = - 3 x^{2}$	$- 12$	$- 3$	$0$	$- 3$	$- 12$

R1Wu0kCvsimz2

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus czterech do dwóch . Na rysunku zaznaczono także wykres trzech funkcji kwadratowych, pierwsza o równaniu y równa się minus trzy x kwadrat, druga o równaniu y równa się minus x kwadrat oraz trzecia o równaniu y równa się minus jedna druga x kwadrat. Wszystkie parabole mają ramiona skierowane w dół i wierzchołek w tym samym punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu. Pierwsza parabola przechodzi przez punkty nawias minus jeden średnik minus trzy koniec nawiasu oraz nawias jeden średnik minus trzy koniec nawiasu. Druga parabola przechodzi przez punkty nawias minus dwa średnik minus cztery koniec nawiasu, nawias minus jeden średnik minus jeden koniec nawiasu, nawias jeden średnik minus jeden koniec nawiasu, nawias dwa średnik minus cztery koniec nawiasu. Trzecia ostatnia parabola przechodzi przez punkty nawias minus dwa średnik minus dwa koniec nawiasu, nawias dwa średnik minus dwa koniec nawiasu.

Wniosek

Im większa jest wartość bezwzględna współczynnika $a$ , to tym bliżej osi $Y$ znajdują się ramiona paraboli.

Przykład 4

W prostokącie stosunek długości boków jest równy $1 : 3$ . Podajmy wzór funkcji $y = P (x)$ , opisującej pole tego prostokąta, jeżeli $x$ oznacza długość dłuższego boku, wyznaczmy dziedzinę i naszkicujmy wykres.

R1CBMtskIMim4

Ilustracja przedstawia prostokąt o wymiarach b na a, gdzie b równa się jedna trzecia x, natomiast a równa się x.

Wyznaczmy wzór funkcji. Przyjmujemy, że $a = x$ , oraz $b = \frac{1}{3} x$ .

Pole prostokąta wyraża się wzorem $P = a b$ , więc otrzymujemy wzór funkcji

$y = P (x)$

$y = x \cdot \frac{1}{3} x$

$y = \frac{1}{3} x^{2}$

Dziedziną tej funkcji jest przedział $(0, + \infty)$ .

Sporządźmy tabelkę częściową dla tej funkcji.

$x$	$1$	$2$	$3$	$6$
$y$	$\frac{1}{3}$	$\frac{4}{3}$	$3$	$12$

$I$ wykres

Rf8yYvx0TEFia

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do pięciu. Na rysunku zaznaczono wykres funkcji y równa się jedna trzecia x kwadrat w przedziale lewostronnie domknięty prawostronnie otwarty od zero do plus nieskończoności. Parabola ma wierzchołek w punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu i w pierwszej ćwiartce układu współrzędnego przechodzi przez punkt nawias trzy średnik trzy koniec nawiasu.

Zwróćmy uwagę, że w zagadnieniach praktycznych wykorzystujemy tylko fragment paraboli.

Przykład 5

Do studni wrzucono kamień i usłyszano plusk wody po $3$ sekundach. Jaka jest odległość do lustra wody?

Wykorzystujemy wzór $h (t) = \frac{a t^{2}}{2}$ , gdzie $a$ jest wartością przyspieszenia ziemskiego, stąd $a = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}$ . Wzór funkcji przyjmuje postać $h (t) = \frac{9, 81 t^{2}}{2}$ . Ponieważ czas lotu wyniósł $3$ sekundy otrzymujemy $h (3) = \frac{9, 81 \cdot 3^{2}}{2}$ , a zatem odległość do lustra wody wynosi około $44, 15$ m.

Polecenie 1

Poniżej przedstawiony jest aplet ilustrujący wykres funkcji $f (x) = a x^{2}$ . Zmieniaj wartość współczynnika $a$ . Zaobserwuj jak zmienia się położenie ramion paraboli w zależności od $a$ .

RaXrPRND9H2X1

Polecenie 2

Wykorzystaj aplet. Ustaw wartość współczynnika $a$ , aby otrzymać parabolę o podanym równaniu i uzupełnij tabelę

R1SULrgZHUgSH

Polecenie 3

Uruchom symulację interaktywną. Zwróć uwagę na odległości punktów leżących na paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a x^{2}$ od osi rzędnych układu współrzędnych. Wyciągnij odpowiednie wnioski.

R1Q7OpYjdmsIz

Polecenie 4

Wymień kilka własności funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2}$ .

Własności funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2}$ :

dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, a zbiorem wartości zbiór liczb rzeczywistych niedodatnich,
zachodzi warunek: $f (0) = 0$
osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji jest prosta o równaniu $x = 0$ ,
funkcja jest rosnąca w przedziale $(- \infty, 0 ⟩$ ,
funkcja jest malejąca w przedziale $⟨ 0, \infty)$ ,
dla $x = 0$ funkcja $f$ przyjmuje wartość największą,
$f (x) < 0$ dla $x \in (- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

Przykład 6

Dana jest funkcja kwadratowa $f$ określona za pomocą wzoru $f (x) = - \frac{1}{3} x^{2}$ . Wyznaczymy liczbę rozwiązań równania $f (x) = m$ , w zależności od parametru $m \in ℝ$ .

Rozwiązanie:

Wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

RQ6mXAtBtRbTF

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią Y od minus czterech do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji fx=-13x2, czyli parabolę o wierzchołku w punkcie 0;0, oraz ramionach skierowanych do dołu.

Równanie $f (x) = m$ , gdy $m \in ℝ$ . ma:

dwa rozwiązania dla $m \in (- \infty, 0)$ ,
jedno rozwiązanie dla $m = 0$ ,
zero rozwiązań dla $m \in (0, \infty)$ .

Podana liczba rozwiązań równania $f (x) = m$ odpowiada liczbie punktów wspólnych prostej $y = m$ , gdzie $m \in ℝ$ z parabolą, będącą wykresem funkcji $f$ .

Przykład 7

Wiadomo, że wierzchołki trapezu $A B C D$ (patrz rysunek) należą do wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = - 2 x^{2}$ , a podstawy są zawarte w prostych o równaniach $g (x) = - 2$ i $h (x) = - 4$ . Wyznaczymy pole tego trapezu.

RBSH2EEuUumhs

Rozwiązanie:

Wykorzystamy wzór na pole trapezu $P = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$

Mamy:

$a = |D C|$ ,

$b = |A B|$ ,

$h = 2$ .

W celu wyznaczenia pierwszych współrzędnych punktów $C$ i $D$ wyznaczymy punkty wspólne paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ oraz prostej, będącej wykresem funkcji $h$ .

Rozwiązujemy równanie:

$f (x) = h (x)$ , czyli $- 2 x^{2} = - 4$ .

Zatem $x^{2} = 2$ , czyli $x = - \sqrt{2}$ lub $x = \sqrt{2}$ .

Długość podstawy trapezu $a$ jest równa odległości pomiedzy tymi punktami, więc

$a = |C D| = 2 \sqrt{2}$ .

W celu wyznaczenia pierwszych współrzędnych punktów $A$ i $B$ , wyznaczymy punkty wspólne paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ oraz prostej, będącej wykresem funkcji $g$ .

Rozwiązujemy równanie:

$f (x) = g (x)$ , czyli $- 2 x^{2} = - 2$

Zatem $x^{2} = 1$ , czyli $x = - 1$ lub $x = 1$ .

Długość podstawy trapezu $b$ jest równa odległości pomiedzy tymi punktami, zatem

$b = |A B| = 2$

Pole trapezu $A B C D$ wynosi

$P = \frac{1}{2} \cdot (2 \sqrt{2} + 2) \cdot 2 = 2 \sqrt{2} + 2$

Przykład 8

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = 2 x^{2}$ oraz prostej określonej wzorem $g (x) = 4$ .

R1B6sN1izdKTP

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowano parabolę, oraz prostą g o równaniu y, równa się, cztery. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie O, o współrzędnych 0;0, a ramiona paraboli skierowane są do góry. Zaznaczono punkty A i B, które stanowią miejsca przecięcia ramion paraboli z prostą g. Zamalowano obszar trójkąta ograniczonego punktami A, B, O.

Wyznaczymy pole trójkąta $O A B$ .

Rozwiązanie:

Zauważmy, że punkty $A$ i $B$ są punktami przecięcia paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ z prostą, będącą wykresem funkcji $g$ .

Do wyznaczenia ich pierwszych współrzędnych rozwiązujemy równanie $f (x) = g (x)$ .

Zatem $2 x^{2} = 4$ , więc $x = - \sqrt{2}$ lub $x = \sqrt{2}$ .

Długość odcinka $A B$ jest odległością pomiędzy punktami $A$ i $B$ i wynosi $|A B| = 2 \sqrt{2}$ .

Odcinek $A B$ jest podstawą trójkąta $O A B$ , a wysokość tego trójkąta wynosi $4$ , zatem pole trójkąta jest równe:

$P = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 4 = 4 \sqrt{2}$

Wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a x^{2}$ oraz wykres prostej opisanej za pomocą równania $x = b$ lub $y = c$ , gdzie $b, c \in ℝ$ , mogą się przecinać w maksymalnie dwóch punktach.

Przykład 9

Określimy liczbę rozwiązań układów równań:

a) $\{\begin{cases} y = x^{2} \\ y = x \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} y = x^{2} \\ x = 3 \end{cases}$

c) $\{\begin{cases} y = x^{2} \\ y = - 3 \end{cases}$

Rozwiązanie:

a) Rozwiązaniem układu równań $\{\begin{cases} y = x^{2} \\ y = x \end{cases}$ są punkty wspólne paraboli i prostej. Układ ten możemy sprowadzić do jednego równania:

$x^{2} = x$ , zatem $x^{2} - x = 0$ .

Równanie zapisujemy w postaci $x (x - 1) = 0$ , więc $x = 0$ lub $x = 1$ .

Po podstawieniu do jednego z równań z układu równań mamy: $y = 0$ lub $y = 1$ .

Zatem parabola i prosta mają dwa punkty wspólne o współrzędnych $(0, 0)$ oraz $(1, 1)$ .

b) Rozwiązaniem układu równań $\{\begin{cases} y = x^{2} \\ x = 3 \end{cases}$ są punkty wspólne paraboli i prostej.

Jeżeli $x = 3$ , to $y = 9$ .

Zatem parabola i prosta mają dokładnie jeden punkt wspólny o współrzędnych $(3, 9)$ .

c) Rozwiązaniem układu równań $\{\begin{cases} y = x^{2} \\ y = - 3 \end{cases}$ są punkty wspólne paraboli i prostej. Układ ten możemy sprowadzić do jednego równania:

$x^{2} = - 3$

Równanie nie ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych, zatem parabola i prosta nie mają punktów wspólnych.

Przykład 10

Punkty o współrzędnych $S = (0, 0)$ , $A = (x, 2)$ oraz $B = (- x, 2)$ należą do wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a x^{2}$ . Wyznaczymy wzór tej funkcji, jeżeli wiadomo, że pole trójkąta $A S B$ jest równe $3$ .

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy do zadania:

R1SDq8Eg5fzeF

W celu wyznaczenia wzoru funkcji kwadratowej wyznaczymy najpierw współrzędne punktów $A$ i $B$ .

Zauważmy, że wysokość trójkąta wynosi $2$ .

Po podstawieniu tej wartości do wzoru na pole trójkąta $P = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$ otrzymujemy równanie:

$3 = \frac{1}{2} \cdot c \cdot 2$ , zatem $c = 3$

Długość podstawy $A B$ jest równa odległości pomiędzy pierwszymi współrzędnymi punktów $A$ i $B$ .

Jeżeli $|A B| = c = 3$ oraz $|A B| = 2 x$ , zatem $2 x = 3$ , czyli $x = \frac{3}{2}$ .

Punkty $A$ i $B$ mają współrzędne odpowiednio:

$A = (\frac{3}{2}, 2)$

$B = (- \frac{3}{2}, 2)$

Zatem w celu wyznaczenia wartości współczynnika $a$ ze wzoru funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2}$ , podstawiamy współrzędne punktu $A$ i rozwiązujemy równanie:

$2 = a \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}$ , zatem $a = \frac{8}{9}$ .

Wzór funkcji kwadratowej zapisujemy w postaci $f (x) = \frac{8}{9} x^{2}$ .

Przykład 11

Podamy dziedzinę oraz wzór funkcji opisującej pole prostokątnej działki w zależności od długości przekątnej $d$ , jeżeli wiadomo, że działkę można podzielić na $3$ kwadraty.

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy do zadania i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R5gwJZWj96zus

Na ilustracji przedstawiono połączone ze sobą trzy kwadraty o boku długości a. Powstał trójkąt, w którym zaznaczono przekątną d.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:

${(3 a)}^{2} + a^{2} = d^{2}$

Zatem $d^{2} = 10 a^{2}$ , czyli $a^{2} = \frac{1}{10} d^{2}$ .

Pole działki wynosi:

$P = 3 a \cdot a = 3 a^{2}$

Wobec tego funkcja $f$ opisująca pole prostokątnej działki, w zależności od długości przekątnej $d$ jest określona za pomocą wzoru:

$f (d) = 3 \cdot \frac{1}{10} d^{2} = \frac{3}{10} d^{2}$

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.

Polecenie 5

Zapoznaj się z symulacją interaktywną, a następnie odpowiedz na pytania zawarte w Poleceniu 6.

R1Z0boDXINGkZ

Polecenie 6

Ile punktów wspólnych może mieć parabola o równaniu $y = x^{2}$ z prostą o równaniu $y = a x$ , w zależności od wartości współczynnika $a$ ?

W celu wyznaczenia punktów wspólnych prostej i paraboli, rozwiążemy układ równań:

$\{\begin{cases} y = x^{2} \\ y = a x \end{cases}$

Układ równań sprowadza się do rozwiązania równania:

$x^{2} = a x$

Zatem $x^{2} - a x = 0$ , czyli $x \cdot (x - a) = 0$ .

Rozwiązaniami równania są liczby $x = 0$ lub $x = a$ .

Dla $x = 0$ mamy $y = 0$ .

Dla $x = a$ mamy $y = a^{2}$ .

Zatem:

dla $a = 0$ prosta i parabola mają dokładnie jeden punkt wspólny o współrzędnych $(0, 0)$ ,
dla $a \neq 0$ prosta i parabola mają dwa punkty wspólne o współrzędnych $(0, 0)$ oraz $(a, a^{2})$ .

Ćwiczenie 1

Dopasuj wzór funkcji do wykresu.

RLz0RlCyofrsP

R3Wje9itRk3Xs

RcxoEfM7NUNAw

RmfldkUnHvXoF

RHRakW5q7P30e1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Mając dane wykresy funkcji $y = - 2 x^{2}$ oraz $y = \frac{1}{3} x^{2}$ wybierz charakteryzujące je własności.

R1EWAS0sqsclx

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus pięciu do pięciu. Na rysunku zaznaczono wykres dwóch funkcji kwadratowych, pierwsza o równaniu y równa się jedna trzecia x kwadrat z ramionami skierowanymi do góry oraz druga o równaniu y równa się minus dwa x kwadrat z ramionami skierowanymi w dół. Obie parabole mają wierzchołek w tym samym punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu. Wykres pierwszej funkcji przechodzi przez punkty nawias minus trzy średnik trzy koniec nawiasu, nawias trzy średnik trzy koniec nawiasu. Wykres drugiej funkcji przechodzi przez punkty nawias minus jeden średnik minus dwa koniec nawiasu, nawias jeden średnik minus dwa koniec nawiasu.

R1OmOoODrSJaS

A: Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja jest malejąca w przedziale nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, a rosnąca w przedziale nawias, zero, przecinek, plus, nieskończoność, zamknięcie nawiasu., 2. Funkcja jest rosnąca w przedziale nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, a malejąca w przedziale nawias, zero, przecinek, plus, nieskończoność, zamknięcie nawiasu., 3. Funkcja przyjmuje wartości ujemne, gdy x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, plus, nieskończoność, zamknięcie nawiasu., 4. Zbiorem wartości funkcji jest zbiór Z W, równa się, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero zamknięcie nawiasu ostrego, 5. Wykresem funkcji jest parabola o wierzchołku W, równa się, nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu i ramionach skierowanych ku dołowi., 6. Wykresem funkcji jest parabola o wierzchołku W, równa się, nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu i ramionach skierowanych ku górze., 7. Zbiorem wartości funkcji jest zbiór Z W, równa się, nawias ostry zero, przecinek, plus, nieskończoność zamknięcie nawiasu., 8. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie, gdy x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, plus, nieskończoność, zamknięcie nawiasu. B: Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja jest malejąca w przedziale nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, a rosnąca w przedziale nawias, zero, przecinek, plus, nieskończoność, zamknięcie nawiasu., 2. Funkcja jest rosnąca w przedziale nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, a malejąca w przedziale nawias, zero, przecinek, plus, nieskończoność, zamknięcie nawiasu., 3. Funkcja przyjmuje wartości ujemne, gdy x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, plus, nieskończoność, zamknięcie nawiasu., 4. Zbiorem wartości funkcji jest zbiór Z W, równa się, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero zamknięcie nawiasu ostrego, 5. Wykresem funkcji jest parabola o wierzchołku W, równa się, nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu i ramionach skierowanych ku dołowi., 6. Wykresem funkcji jest parabola o wierzchołku W, równa się, nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu i ramionach skierowanych ku górze., 7. Zbiorem wartości funkcji jest zbiór Z W, równa się, nawias ostry zero, przecinek, plus, nieskończoność zamknięcie nawiasu., 8. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie, gdy x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, plus, nieskończoność, zamknięcie nawiasu.

R1QAzqwWsE4fL2

Ćwiczenie 4

R1BGhsVWeP0Ct2

Ćwiczenie 5

R185zQCJRRm0h2

Ćwiczenie 6

R1Y6x7PcLf3aP3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Podaj wzór funkcji opisującej pole kwadratowej działki w zależności od długości przekątnej $x$ , wyznacz dziedzinę otrzymanej funkcji oraz sporządź odpowiedni wykres.

Oznaczmy:

$a$ – długość boku kwadratu,

$x$ – przekątna kwadratu, $x > 0$

R1EbBKzxjCVUI

Ilustracja przedstawia kwadrat o boku a oraz przekątnej o długości x.

$P = a^{2}$

$x = a \sqrt{2}$

$a = \frac{x}{\sqrt{2}}$

$a = \frac{x \sqrt{2}}{2}$

$P (x) = {(\frac{x \sqrt{2}}{2})}^{2}$ , $x > 0$

$P (x) = \frac{2 x^{2}}{4}$

$P (x) = \frac{1}{2} x^{2}$

R1UyZAyfFER5Y

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus jedynki do pięciu. Na rysunku zaznaczono wykres funkcji kwadratowej y równa się P od x w przedziale lewostronnie domknięty prawostronnie otwarty od zero do plus nieskończoności. Parabola ma wierzchołek w punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu i w pierwszej ćwiartce układu współrzędnego przechodzi przez punkt nawias dwa średnik dwa koniec nawiasu.

Ćwiczenie 9

Rg0Fi1UtbnPnf

Ćwiczenie 10

RFrVU909m80ec

Określmy funkcję f wzorem f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Połącz podzbiór dziedziny tej funkcji z odpowiadającym mu podzbiorem zbioru wartości. nawias ostry zero przecinek dwa zamknięcie nawiasu ostrego Możliwe odpowiedzi: 1. nawias ostry zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu ostrego, 2. nawias ostry zero przecinek cztery zamknięcie nawiasu ostrego, 3. nawias ostry zero przecinek dwa zamknięcie nawiasu ostrego, 4. nawias ostry początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, osiem zamknięcie nawiasu ostrego nawias ostry jeden przecinek cztery zamknięcie nawiasu ostrego Możliwe odpowiedzi: 1. nawias ostry zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu ostrego, 2. nawias ostry zero przecinek cztery zamknięcie nawiasu ostrego, 3. nawias ostry zero przecinek dwa zamknięcie nawiasu ostrego, 4. nawias ostry początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, osiem zamknięcie nawiasu ostrego nawias ostry, minus, dwa przecinek jeden zamknięcie nawiasu ostrego Możliwe odpowiedzi: 1. nawias ostry zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu ostrego, 2. nawias ostry zero przecinek cztery zamknięcie nawiasu ostrego, 3. nawias ostry zero przecinek dwa zamknięcie nawiasu ostrego, 4. nawias ostry początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, osiem zamknięcie nawiasu ostrego nawias ostry, minus, jeden przecinek jeden zamknięcie nawiasu ostrego Możliwe odpowiedzi: 1. nawias ostry zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu ostrego, 2. nawias ostry zero przecinek cztery zamknięcie nawiasu ostrego, 3. nawias ostry zero przecinek dwa zamknięcie nawiasu ostrego, 4. nawias ostry początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, osiem zamknięcie nawiasu ostrego

Ćwiczenie 11

Zaznacz poprawną odpowiedź.

RTKnD4KLovPWp

Ćwiczenie 12

RoLP74uQdDsFc

Ćwiczenie 13

R1Fs46qFfXEBa

Ćwiczenie 14

RoWSJvu5vx79N

Ćwiczenie 15

Zaznacz poprawną odpowiedź.

RQr9SaIzFspFM

Ćwiczenie 16

Wiadomo, że do wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = a x^{2}$ należy punkt o współrzędnych $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{16})$ .

a) Oblicz wartość współczynnika $a$ .

b) Oblicz wartość funkcji dla argumentu $(- 3)$ .

c) Dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość $12$ ?

a) W celu wyznaczenia wartości współczynnika $a$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{1}{16} = a \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Zatem $a = \frac{1}{4}$ .

b) Funkcję $f$ zapisujemy za pomocą wzoru $f (x) = \frac{1}{4} x^{2}$ .

Zatem $f (- 3) = \frac{1}{4} {(- 3)}^{2} = \frac{9}{4}$ .

c) rozwiązujemy równanie:

$12 = \frac{1}{4} x^{2}$ .

Zatem $x^{2} = 48$ , więc $x = 4 \sqrt{3}$ lub $x = - 4 \sqrt{3}$ .

Pokaż ćwiczenia:

R1MjgAjSdIRAG1

Ćwiczenie 17

RsoLar2tD4pL31

Ćwiczenie 18

RHbOITWDaNULI1

Ćwiczenie 19

Połącz w pary wartość współczynnika a ze współrzędnymi punktu P, jeżeli wiadomo, że punkt P należy do wykresu funkcji określonej wzorem f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego: a, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. P, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. P, równa się, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. P, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. P, równa się, nawias, minus, trzy przecinek trzy, zamknięcie nawiasu a, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. P, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. P, równa się, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. P, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. P, równa się, nawias, minus, trzy przecinek trzy, zamknięcie nawiasu a, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. P, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. P, równa się, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. P, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. P, równa się, nawias, minus, trzy przecinek trzy, zamknięcie nawiasu a, równa się, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. P, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. P, równa się, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. P, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. P, równa się, nawias, minus, trzy przecinek trzy, zamknięcie nawiasu

R3hpUtbQWt8sg2

Ćwiczenie 20

R1L9cCczvJrdK2

Ćwiczenie 21

Ćwiczenie 22

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji kwadratowych określonych wzorami $f (x) = x^{2}$ oraz $g (x) = - x^{2}$ .

Rkus1CoSH1jfi

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano parabolę fx, oraz parabolę gx, o wspólnym wierzchołku w punkcie S 0;0. Ramiona paraboli fx skierowane są w górę i przechodzą przez punkt A o współrzędnych -1;1, oraz B o współrzędnych 1;1. Ramiona paraboli g(x) skierowane są w dół i przechodzą przez punkt C o współrzędnych -1;-1, oraz punkt D o współrzędnych 1;-1. Zamalowano obszar trójkąta ograniczonego punktami A, S, C, oraz trójkąta B, S, D.

R1798iuJy2dNO

Ćwiczenie 23

Wiadomo, że podstawa trójkąta przedstawionego na rysunku zawiera się w prostej, będącej wykresem funkcji określonej wzorem $g (x) = - 2$ , a wierzchołek trójkąta pokrywa się z wierzchołkiem paraboli, będącej wykresem funkcji określonej wzorem $f (x) = - \frac{1}{3} x^{2}$ . Oblicz pole tego trójkąta.

Ro2tULCaPxdCY

Pole trójkąta obliczymy ze wzoru $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ .

Z rysunku możemy odczytać, że $h = 2$ .

Długość podstawy trójkąta jest równa odległości pomiędzy pierwszymi współrzędnymi punktów przecięcia prostej oraz paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ .

W celu wyznaczenia tych współrzędnych rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} y = - \frac{1}{3} x^{2} \\ y = - 2 \end{cases}$

Zatem $- \frac{1}{3} x^{2} = - 2$ , więc $x^{2} = 6$ .

Rozwiązaniami równania są liczby $- \sqrt{6}$ oraz $\sqrt{6}$ .

Długość podstawy wynosi:

$a = 2 \sqrt{6}$

Pole tego trójkąta wynosi:

$P = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{6} \cdot 2 = 2 \sqrt{6}$ .

Ćwiczenie 24

Określ liczbę rozwiązań równania $f (x) = m$ , jeżeli $m \in ℝ$ oraz $f (x) = \frac{1}{5} x^{2}$ .

Wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = \frac{1}{5} x^{2}$ przedstawia się następująco:

R11tgpQ1iYZkm

Liczba rozwiązań równania $f (x) = m$ , jeżeli $m \in ℝ$ wynosi:

$0$ , gdy $m \in (- \infty, 0)$ ,
$1$ , gdy $m = 0$ ,
$2$ , gdy $m \in (0, \infty)$ .

Podana liczba rozwiązań równania $f (x) = m$ odpowiada liczbie punktów wspólnych prostej $y = m$ , gdzie $m \in ℝ$ z parabolą, będącą wykresem funkcji $f$ .

Słownik

jednomian kwadratowy

funkcja $y = a x^{2}$ , gdzie $x \in ℝ$ , natomiast $a$ jest stałą liczbą rzeczywistą różną od zera

parabola

krzywa będącą wykresem funkcji kwadratowej

trójmian kwadratowy zmiennej x

wyrażenie postaci $a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a$ , $b$ , $c$ dowolnymi danymi liczbami rzeczywistymi, w tym $a \neq 0$

funkcja kwadratowa

funkcja określona wzorem

f (x) = a x^{2} + b x + c

gdzie:
$a, b, c \in ℝ$ , $a \neq 0$ oraz $x \in ℝ$

2. Przesunięcie wykresu funkcji f(x)=ax^2 wzdłuż osi X oraz Y

M_R_W10_M1 Wzór funkcji kwadratowej

1. Wykres i własności funkcji fx=ax2

Słownik

1. Wykres i własności funkcji $f (x) = a x^{2}$