2*. Równanie okręgu w postaci ogólnej (DODATEK) - M_R_W21_M2 Okrąg i prosta w układzie współrzędnych

R1dffwoQ7MpHf

2. Równanie okręgu w postaci ogólnej (DODATEK)

Co wspólnego w matematyce mają jednowymiarowa hipersfera oraz elipsa o równych półosiach? Definiują one w szczególny sposób okrąg, rozumiany potocznie jako brzeg koła. W trakcie tej lekcji zajmiesz się równaniem okręgu w postaci ogólnej. Wykorzystasz w tym celu zdobytą wcześniej wiedzę dotyczącą równania okręgu w postaci kanonicznej.

Twoje cele

Dowiesz się, jak przedstawić równanie okręgu w postaci ogólnej.
Nauczysz się, jak na podstawie równania okręgu w postaci ogólnej obliczyć współrzędne jego środka oraz długość promienia.
Wykorzystasz równanie okręgu w postaci ogólnej do rozwiązywania problemów matematycznych.

Okręgiem o środku w punkcie $O$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległości od punktu $O$ są równe długości promienia $r$ .

Równanie okręgu na płaszczyźnie możemy zapisać w postaci kanonicznej.

Już wiesz

Postać kanoniczną równania okręgu zapisujemy następująco:

${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ , gdzie $S = (a, b)$ – środek okręgu oraz $r$ - promień okręgu.

Równanie okręgu w postaci kanonicznej możemy sprowadzić do następującej postaci (poprzez wykonanie działań i uporządkowanie):

$x^{2} - 2 a x + a^{2} + y^{2} - 2 b y + b^{2} = r^{2}$

Odejmując następnie stronami wyraz $r^{2}$ , otrzymujemy:

$x^{2} - 2 a x + a^{2} + y^{2} - 2 b y + b^{2} - r^{2} = 0$ .

Porządkując, otrzymujemy:

$x^{2} - 2 a x + a^{2} + y^{2} - 2 b y + b^{2} - r^{2} = 0$ .

Oznaczmy teraz $c = a^{2} + b^{2} - r^{2}$ .

Otrzymamy wyrażenie, które nazywamy postacią ogólną równania okręgupostać ogólna równania okręgupostacią ogólną równania okręgu:

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ , gdzie $a, b, c \in ℝ$ .

Jeżeli $c = a^{2} + b^{2} - r^{2}$ , to

$r^{2} = a^{2} + b^{2} - c$ .

Zatem promień okręgu obliczamy ze wzoru $r = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c}$ , przy czym $r > 0$ .

Z dziedziny pierwiastka oraz warunku, że $r > 0$ otrzymujemy nierówność: $a^{2} + b^{2} > c$ .

Zauważmy, że jeżeli wykonamy podstawienie $A = - 2 a$ i $B = - 2 b$ , to postać ogólną równania okręgu możemy zapisać jako:

$x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ , przy czym $r = \frac{1}{2} \sqrt{A^{2} + B^{2} - 4 C}$ oraz środek okręgu $S = (a, b)$ .

Przykład 1

Wyznaczymy środek i promień okręgu o równaniu:

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 1 = 0$ .

Odwołując się do postaci ogólnej równania okręgu, z podanego równania możemy odczytać, że $- 2 a = - 4$ , $- 2 b = 2$ oraz $c = - 1$ .

Otrzymujemy: $a = 2$ , $b = - 1$ , $c = - 1$ .

Zatem środek okręgu ma współrzędne $S = (2, - 1)$ .

Promień okręgu wynosi: $r = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} - (- 1)} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ .

Przykład 2

Zapiszemy postać ogólną okręgu o środku w punkcie $S = (3, - 2)$ i promieniu $r = 3$ .

Zauważmy, że dane są $a = 3$ i $b = - 2$ oraz $r = 3$ .

Wartość współczynnika $c$ obliczymy ze wzoru $c = a^{2} + b^{2} - r^{2}$ .

Zapisujemy zatem: $c = 3^{2} + {(- 2)}^{2} - 3^{2}$ .

Stąd $c = 4$ .

Po podstawieniu do równania okręgu otrzymujemy:

$x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + 4 = 0$ .

Przykład 3

Wyznaczymy równanie okręgu w postaci ogólnej, jeżeli końce jego średnicy to punkty $A = (- 1, 5)$ oraz $B = (5, 3)$ .

Zauważmy, że środek odcinka $A B$ jest środkiem zadanego okręgu.

Oznaczmy $S = (a, b)$ – środek okręgu.

Wykorzystamy wzór na środek $S$ odcinka o końcach $A = (x_{1}, y_{1})$ oraz $B = (x_{2}, y_{2})$ :

$S = (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

Po podstawieniu do wzoru mamy $S = (\frac{- 1 + 5}{2}, \frac{5 + 3}{2}) = (2, 4)$ .

Zatem $a = 2$ i $b = 4$ .

Długość promienia $r$ jest równa połowie długości średnicy $A B$ .

Długość odcinka o końcach $A = (x_{1}, y_{1})$ oraz $B = (x_{2}, y_{2})$ obliczamy ze wzoru:

$|A B| = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Zatem

$r = \frac{1}{2} \sqrt{{(- 1 - 5)}^{2} + {(5 - 3)}^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{36 + 4} =$ $\sqrt{10}$

Obliczamy wartość współczynnika $c$ .

$c = 2^{2} + 4^{2} - {(\sqrt{10})}^{2} = 10$

Otrzymane wartości współczynników podstawiamy do równania okręgu w postaci ogólnej.

Otrzymujemy równanie: $x^{2} + y^{2} - 4 x - 8 y + 10 = 0$ .

Przykład 4

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru $m$ równanie $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y + m = 0$ przedstawia okrąg.

Z równania możemy odczytać, że $- 2 a = - 4$ , $- 2 b = 4$ oraz $c = m$ .

Zatem $a = 2$ , $b = - 2$ oraz $c = m$ .

Po podstawieniu do wzoru na $r$ otrzymujemy: $r = \sqrt{4 + 4 - m} = \sqrt{8 - m}$ .

Ponieważ $r > 0$ , zatem $8 - m > 0$ .

Równanie przedstawia okrąg dla $m \in (- \infty, 8)$ .

Przykład 5

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru $m$ równanie $x^{2} + y^{2} - m^{2} - m + 12 = 0$ przedstawia okrąg.

Z podanego równania otrzymujemy warunki:

$- 2 a = 0$ i $- 2 b = 0$ oraz $c = - m^{2} - m + 12$ .

Zatem $a = 0$ , $b = 0$ oraz $c = - m^{2} - m + 12$ .

Podstawiamy otrzymane wartości do wzoru na promień $r$ okręgu.

Stąd $r = \sqrt{- (- m^{2} - m + 12)} = \sqrt{m^{2} + m - 12}$ .

Ponieważ $r > 0$ , zatem $m^{2} + m - 12 > 0$ .

Obliczamy:

$∆ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12) = 1 + 48 = 49$

$\sqrt{∆} = 7$

$m_{1} = \frac{- 1 - 7}{2} = - 4$

$m_{2} = \frac{- 1 + 7}{2} = 3$

Rozwiązaniem nierówności jest zbiór $m \in (- \infty, - 4) \cup (3, \infty)$ . Dla tych wartości parametru $m$ , zadane równanie przedstawia okrąg.

Polecenie 1

Zapoznaj się z infografiką, a następnie wykonaj polecenie.

R1SfFh7G5fIqN

Ilustracja interaktywna przedstawiająca Równanie okręgu na płaszczyźnie: x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a x, minus, dwa b y, plus, c, równa się, zero Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na ilustracji zaznaczono również średnicę d, a także cięciwę c. W okół rysunku znajdują się jego opisy. 1. Okrąg {audio}Okrąg to zbiór wszystkich punktów równo odległych od środka okręgu., 2. Promień {audio}Promień to odcinek łączący środek koła lub okręgu z dowolnym punktem na brzegu., 3. Średnica {audio}Średnica to odcinek łączący dwa punkty na okręgu i przechodzący przez jego środek., 4. Cięciwa {audio}Cięciwa to odcinek łączący dwa dowolne punkty na okręgu., 5. Długość średnicy {audio}Długość średnicy jest równa podwojonej długości promienia., 6. Długość promienia {audio}Długość promienia jest równa połowie długości średnicy., 7. Przykłady równań okręgów w postaci ogólnej
Przykład pierwszy:
x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, minus, dwa y, plus, jeden, równa się, zero,
wtedy S, równa się, nawias jeden przecinek jeden zamknięcie nawiasu, r, równa się, jeden
Przykład drugi:
x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, cztery y, plus, dwa, równa się, zero,
wtedy S, równa się, nawias dwa, przecinek, minus, dwa zamknięcie nawiasu, r, równa się, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka
Przykład trzeci:
x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć y, plus, pięć, równa się, zero,
wtedy S, równa się, nawias zero, przecinek, minus, trzy zamknięcie nawiasu, r, równa się, dwa
Przykład czwarty:
x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzydzieści sześć, równa się, zero,
wtedy S, równa się, nawias zero przecinek zero zamknięcie nawiasu, r, równa się, sześć

Polecenie 2

Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y + m^{2} = 0$ przedstawia okrąg?

Z równania możemy odczytać, że:

$- 2 a = - 6$ , $- 2 b = 8$ oraz $c = m^{2}$ .

Zatem $a = 3$ , $b = - 4$ , $c = m^{2}$ .

Otrzymane współczynniki podstawiamy do wzoru na promień $r$ okręgu.

$r = \sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2} - m^{2}} = \sqrt{25 - m^{2}}$ .

Ponieważ $r > 0$ , więc $25 - m^{2} > 0$ .

Z nierówności otrzymujemy, że $m \in (- 5, 5)$ .

Zamiana postaci kanonicznej równania okręgu na postać ogólną

Sposób $I$

Wykorzystując wzory skróconego mnożenia, równanie ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ przekształcamy do postaci:

$x^{2} - 2 a x + a^{2} + y^{2} - 2 b y + b^{2} - r^{2} = 0$ .

Po uporządkowaniu otrzymujemy, że: $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + a^{2} + b^{2} - r^{2} = 0$ .

Gdy oznaczymy wyrażenie $a^{2} + b^{2} - r^{2}$ literą $c$ , otrzymamy postać ogólną równania okręgu:

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ .

Sposób $II$

Z postaci kanonicznejpostaci kanonicznej równania okręgu możemy odczytać wartości $a, b$ oraz $r^{2}$ .

Do wyznaczenia postaci ogólnej wystarczy wykorzystać wzór $c = a^{2} + b^{2} - r^{2}$ .

Mając współczynniki $a, b, c$ możemy zapisać postać ogólną równania okręgu.

Przykład 6

Wyznaczymy równanie ogólne okręgu zadanego w postaci kanonicznej:

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 16$ .

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia mamy, że: $x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} + 4 y + 4 = 16$ .

Po uporządkowaniu otrzymujemy postać ogólną równania okręgu:

$x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 3 = 0$ .

Przykład 7

Wyznaczymy postać ogólnąrównanie okręgu w postaci ogólnejpostać ogólną równania okręgu zadanego w postaci kanonicznej: ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 9$ .

Odczytujemy wartości: $a = - 1$ , $b = 3$ oraz $r^{2} = 9$ .

Podstawiamy do wzoru $c = a^{2} + b^{2} - r^{2}$ .

Otrzymujemy, że $c = {(- 1)}^{2} + 3^{2} - 9 = 1 + 9 - 9 = 1$ .

Wartości współczynników podstawiamy do postaci ogólnej równania okręgu i otrzymujemy, że:

$x^{2} + y^{2} - 2 \cdot (- 1) x - 2 \cdot 3 y + 1 = 0$ .

Po uporządkowaniu, otrzymujemy postać ogólną równania okręgu:

$x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 1 = 0$ .

Zamiana postaci ogólnej równania okręgu na postać kanoniczną

Sposób $I$

W tym przypadku skorzystamy z metody uzupełniania do kwadratu.

Do obu stron równania $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ dodamy wyrażenie $a^{2} + b^{2}$ .

Otrzymujemy, że $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + a^{2} + b^{2} + c = a^{2} + b^{2}$ .

Grupujemy następnie wyrazy równania do postaci: $x^{2} - 2 a x + a^{2} + y^{2} - 2 b y + b^{2} = a^{2} + b^{2} - c$ .

Skorzystamy teraz ze wzorów skróconego mnożenia. Otrzymujemy, że ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = a^{2} + b^{2} - c$ .

Wyrażenie $a^{2} + b^{2} - c$ oznaczymy jako $r^{2}$ i otrzymujemy w ten sposób postać kanoniczną równania okręgu: ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ .

Sposób $II$

Z postaci ogólnej równania okręgu $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ możemy odczytać wartości współczynników $a, b$ oraz $c$ .

Po wykorzystaniu wzoru $r = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c}$ , otrzymamy postać kanoniczną równania okręgu: ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ .

Przykład 8

Równanie okręgu $x^{2} + y^{2} - 4 x + 10 y + 13 = 0$ zapiszemy w postaci kanonicznej.

Zapiszmy podane równanie jako:

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 10 y + 13 + 4 + 25 = 29$ .

Po uporządkowaniu otrzymujemy, że $x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} + 10 y + 25 = 16$ .

Wykorzystując metodę zwijania do kwadratu, otrzymujemy: ${(x - 2)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 16$ .

Przykład 9

Znajdziemy postać kanoniczną równania okręgu zapisanego w postaci $x^{2} + y^{2} + 6 x - 2 y + 6 = 0$ .

Z równania możemy odczytać, że $- 2 a = 6$ , $- 2 b = - 2$ oraz $c = 6$ .

Zatem $a = - 3$ , $b = 1$ , $c = 6$ .

Obliczamy wartość $r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 1^{2} - 6} = \sqrt{4} = 2$ .

Podstawiamy otrzymane liczby do postaci kanonicznej i otrzymujemy:

${(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ .

Polecenie 3

Zapoznaj się z filmem, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

R17H861Tt8C7n

Polecenie 4

Wykonaj polecenia.

Zapisz równanie okręgu ${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$ w postaci ogólnej.
Zapisz równanie okręgu $x^{2} + y^{2} - 6 y - 16 = 0$ w postaci kanonicznej.

Do znalezienia postaci ogólnej równania okręgu wykorzystamy wzory skróconego mnożenia.
Zatem mamy:
$x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 6 y + 9 - 16 = 0$ .
Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie okręgu w postaci ogólnej:
$x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y - 3 = 0$ .
Z równania możemy odczytać, że $- 2 a = 0$ , $- 2 b = - 6$ oraz $c = - 16$ .
Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy, że
$a = 0$ , $b = 3$ oraz $c = - 16$ .
Podstawiając do wzoru na promień okręgu mamy, że:
$r = \sqrt{3^{2} - (- 16)} = \sqrt{25} = 5$ .
Możemy teraz zapisać równanie okręgu w postaci kanonicznej:
$x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 25$ .

Ćwiczenie 1

R1K67dEBe2hTp

Ćwiczenie 2

RZ8J02mgSUYeW

Ćwiczenie 3

R1CRKhKrDMEYI

Ćwiczenie 4

R15XkfUYoCInE

Ćwiczenie 5

R1Hrf23tas2nL

Ćwiczenie 6

RhWSlj1k6ysI6

Ćwiczenie 7

R1OIZByGIN0mH

Ćwiczenie 8

R1GuVpZ4nSaFs

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 9

R5jOgrV3hCXwI

Połącz w pary postać kanoniczną okręgu z odpowiadającą jej postacią ogólną: nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, plus, cztery y, minus, trzy, równa się, zero, 2. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, minus, cztery, równa się, zero, 3. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć y, minus, jeden, równa się, zero, 4. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, minus, sześć y, plus, dziewięć, równa się, zero nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, pięć Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, plus, cztery y, minus, trzy, równa się, zero, 2. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, minus, cztery, równa się, zero, 3. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć y, minus, jeden, równa się, zero, 4. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, minus, sześć y, plus, dziewięć, równa się, zero x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dziesięć Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, plus, cztery y, minus, trzy, równa się, zero, 2. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, minus, cztery, równa się, zero, 3. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć y, minus, jeden, równa się, zero, 4. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, minus, sześć y, plus, dziewięć, równa się, zero nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, osiem Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, plus, cztery y, minus, trzy, równa się, zero, 2. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, minus, cztery, równa się, zero, 3. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć y, minus, jeden, równa się, zero, 4. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, minus, sześć y, plus, dziewięć, równa się, zero

Ćwiczenie 10

RV8SeBFzTc6jc

Ćwiczenie 11

RSe1eap66Df9m

Ćwiczenie 12

Przyjrzyj się wykresowi na rysunku poniżej.

RXUSnE8uAWafE

R1QJ1bdn1SbWY

R1JBZs6PXunvo

Ćwiczenie 13

R1Vfymyf7QHiO

Ćwiczenie 14

RRFCSruUxgBBZ

R12vGqDO4KAOZ

Ćwiczenie 15

RJ1Q3h5BSfX8C

Pogrupuj elementy zgodnie z podanym opisem: Okręgi o środku w punkcie nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu: Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, minus, dwa y, minus, jedenaście, równa się, zero, 2. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, cztery y, plus, trzy, równa się, zero, 3. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, cztery y, minus, cztery, równa się, zero, 4. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, minus, cztery y, minus, jedenaście, równa się, zero, 5. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x, minus, cztery y, minus, trzy, równa się, zero, 6. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, cztery y, plus, cztery, równa się, zero Okręgi o promieniu cztery: Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, minus, dwa y, minus, jedenaście, równa się, zero, 2. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, cztery y, plus, trzy, równa się, zero, 3. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, cztery y, minus, cztery, równa się, zero, 4. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, minus, cztery y, minus, jedenaście, równa się, zero, 5. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x, minus, cztery y, minus, trzy, równa się, zero, 6. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, cztery y, plus, cztery, równa się, zero

Ćwiczenie 16

R1Ghwy812wTyD

Słownik

postać ogólna równania okręgu

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ , gdzie $r = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c}$ , przy czym $r > 0$ oraz środek okręgu $S = (a, b)$

równanie okręgu w postaci kanonicznej

${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ , gdzie $S = (a, b)$ - środek okręgu, $r$ - promień okręgu

równanie okręgu w postaci ogólnej

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ , gdzie $r = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c}$ i $r > 0$

1. Równanie okręgu w postaci kanonicznej

3. Wzajemne położenie prostej i okręgu