3. Wzajemne położenie prostej i okręgu

RvmO1fdF7h9rh

Cięciwa i średnica to polskie odpowiedniki łacińskich terminów matematycznych, które do polszczyzny wprowadził Jan Śniadecki $1756 - 1830$ – polski astronom, matematyk i geograf. Jego podręcznik „Rachunku algebraicznego teorya Przystosowana do linii krzywych”, wydany w $1783$ roku, był jednym z pierwszych podręczników do nauki matematyki w języku polskim. Jan Śniadecki jest twórcą wielu innych polskich terminów matematycznych.

W wyznaczaniu wzajemnego położenia prostej i okręgu na płaszczyźnie kartezjańskiej wykorzystamy m.in. pojęcie siecznej, czyli prostej przecinającej daną krzywą w co najmniej dwóch punktach. Sprawdzimy, czy jest możliwe, aby prosta i okrąg przecinały się w więcej niż dwóch punktach. Użyjemy w tym celu równań prostych oraz okręgów w różnych postaciach. Bazując na części teoretycznej i omówionych przykładach, rozwiążemy ćwiczenia interaktywne.

Twoje cele

Dowiesz się, jak określić wzajemne położenie prostej i okręgu na płaszczyźnie kartezjańskiej.
Poznasz i wykorzystasz wzory na równanie okręgu i prostej w różnych postaciach.
Nauczysz się wyznaczać wartości parametrów, dla których prosta i okrąg mają określoną liczbę punktów wspólnych.
Obliczysz współrzędne punktów wspólnych prostej i okręgu, korzystając z układu równań.

Okrąg na płaszczyźnie kartezjańskiej opisujemy za pomocą równania. Wyróżniamy dwie postacie tego równania:

równanie okręgu w postaci ogólnej $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ , gdzie promień okręgu obliczamy ze wzoru $r = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c}$ , zaś punkt $S = (a, b)$ jest środkiem okręgu,
równanie okręgu w postaci kanonicznej ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ , gdzie $r$ nazywamy promieniem okręgu, zaś punkt $S = (a, b)$ środkiem okręgu.

Prostą na płaszczyźnie opisujemy za pomocą równania. Wyróżniamy dwie postacie tego równania:

postać ogólną prostej $A x + B y + C = 0$ , gdzie $A, B, C \in ℝ$ oraz $A$ i $B$ nie są jednocześnie równe $0$ ,
postać kierunkową prostej $y = a x + b$ , gdzie $a, b \in ℝ$ .

Do badania wzajemnego położenia prostej i okręgu wykorzystamy wzór na odległość $d$ punktu $S = (a, b)$ od prostej $k$ danej wzorem $A x + B y + C = 0$ .

Wzór ten przedstawia się następująco:

$d (S, k) = \frac{|A \cdot a + B \cdot b + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ .

Liczba punktów wspólnych prostej i okręgu na płaszczyźnie kartezjańskiej zależy od odległości prostej od środka okręgu.

Prosta i okrąg na płaszczyźnie kartezjańskiej:

przecinają się w dwóch punktach $A$ i $B$ , gdy zachodzi warunek: $d (S, k) < r$ ,

R1Gmpu7dpSrrm

Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowano okrąg o środku w punkcie S oraz ukośną prostą k przecinającą okrąg w punktach A i B. Ze środka poprowadzono do prostej odległość d do punktu P leżącego na tej prostej. Oczywiście punkt P leży w części prostej biegnącej wewnątrz okręgu pomiędzy punktami A i B.

Zauważmy, że $d (S, k) = |S P|$ .

Prostą $k$ nazywamy sieczną.

przecinają się w jednym punkcie $P$ , gdy zachodzi warunek: $d (S, k) = r$ ,

R1FuNdR7UsoJM

Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowano okrąg o środku w punkcie S i prostą k styczną do okręgu w punkcie S. Poprowadzono odległość d od środka S do punktu styczności P. Odległość ta jest równa promieniowi r okręgu.

Zauważmy, że $r = |S P|$ .

Mówimy, że okrąg i prosta są styczne, a prosta $k$ jest styczną do okręgu.

nie przecinają się, gdy zachodzi warunek: $d (S, k) > r$ .

R14ZJqNagixUG

Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowano okrąg o środku S oraz ukośną prostą k rozłączną z okręgiem. Z punktu S poprowadzono odległość d do punktu P należącego do prostej. Odległość d wykracza poza obszar okręgu.

Ważne!

Okrąg i prosta przecinają się co najwyżej w dwóch punktach.

Przykład 1

Zbadamy wzajemne położenie prostej o równaniu $2 x - 3 y + 5 = 0$ i okręgu o równaniu ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 9$ .

Rozwiązanie:

Z równania okręgurównanie okręgurównania okręgu możemy odczytać, że $S = (1, 0)$ oraz $r = 3$ .

Obliczymy odległość punktu $S$ od podanej prostej.

Zatem:

$d = \frac{|2 \cdot 1 - 3 \cdot 0 + 5|}{\sqrt{2^{2} + {(- 3)}^{2}}} = \frac{7}{\sqrt{13}} = \frac{7 \sqrt{13}}{13}$ .

Zauważmy, że $d = \frac{7 \sqrt{13}}{13} < 3 = r$ , zatem prosta i okrąg przecinają się w dwóch punktach.

Jeżeli równanie prostejrównanie prostejrównanie prostej zapisane jest w postaci kierunkowej, to przekształcamy je najpierw do postaci ogólnej, a następnie wyznaczamy odległość środka okręgu od tej prostej.

Przykład 2

Zbadamy wzajemne położenie prostej o równaniu $y = \frac{1}{2} x - 3$ i okręgu o równaniu $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ .

Rozwiązanie:

Z równania okręgu możemy odczytać, że $S = (0, 2)$ oraz $r = 4$ .

Zapiszemy równanie prostej $y = \frac{1}{2} x - 3$ w postaci ogólnej.

Po przekształceniu mamy: $x - 2 y - 6 = 0$ .

Obliczymy odległość punktu $S$ od podanej prostej.

Zatem:

$d = \frac{|1 \cdot 0 - 2 \cdot 2 - 6|}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2 \sqrt{5}$ .

Zauważmy, że $d = 2 \sqrt{5} > 4 = r$ , zatem prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.

Czasami równanie okręgu jest zapisane w postaci ogólnej. Nie odczytamy wówczas bezpośrednio współrzędnych środka i długości promienia, ale obliczamy je ze wzorów.

Przykład 3

Określimy wzajemne położenie prostej o równaniu $2 x - y - 1 = 0$ i okręgu o równaniu $x^{2} + 4 x + y^{2} = 0$ .

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzoru na równanie okręgu w postaci ogólnej $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ , obliczamy wartości współczynników $a$ , $b$ oraz $c$ .

Zatem: $- 2 a = 4$ , $- 2 b = 0$ oraz $c = 0$ .

Czyli $a = - 2$ , $b = 0, c = 0$ .

Środek okręgu $S = (- 2, 0)$ .

Obliczamy długość promienia okręgu $r = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 0^{2} - 0} = 2$ .

Wyznaczamy odległość środka $S$ okręgu od podanej prostej.

$d = \frac{|2 \cdot (- 2) - 1 \cdot 0 - 1|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \sqrt{5}$ .

Ponieważ $d = \sqrt{5} > 2 = r$ , zatem prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.

W łatwy sposób można określić wzajemne położenie okręgu i prostej, która jest równoległa lub prostopadła do osi układu współrzędnych.

Przykład 4

Zbadamy wzajemne położenie prostej o równaniu $y = m$ , gdzie $m \in ℝ$ i okręgu o równaniu ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ .

Rozwiązanie:

Z równania okręgu możemy odczytać, że $S = (1, 0)$ oraz $r = 2$ .

Przedstawmy na rysunku wzajemne położenie tego okręgu z prostą o równaniu $y = 2$ .

RIhlNcBkg4AFo

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie wykreślono okrąg o środku w punkcie nawias 1 przecinek 0 zamknięcie nawiasu i o promieniu o długości dwa. Nad okręgiem narysowano poziomą styczną do okręgu. Punkt styczności ma współrzędne nawias 1 przecinek 2 zamknięcie nawiasu.

Możemy zauważyć, że dla różnych wartości parametru $m$ , gdzie $m \in ℝ$ , prosta i okrąg mają:

$0$ punktów wspólnych, gdy $m \in (- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$ ,
$1$ punkt wspólny, gdy $m \in \{- 2, 2\}$ ,
$2$ punkty wspólne, gdy $m \in (- 2, 2)$ .

W celu wyznaczenia punktów wspólnych prostej i okręgu możemy rozwiązać układ równań, w którym jedno równanie jest liniowe, a drugie kwadratowe. Na podstawie rozwiązania możemy stwierdzić, jakie jest ich wzajemne położenie.

Przykład 5

Wyznaczymy punkty wspólne prostej o równaniu $y = - x + 4$ i okręgu o równaniu ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ .

Rozwiązanie:

W celu wyznaczenia punktów wspólnych rozwiążemy układ równań:

$\{\begin{cases} y = - x + 4 \\ {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4 \end{cases}$

Jeżeli zastosujemy metodę podstawiania, to otrzymujemy równanie z niewiadomą $x$ :

${(x - 1)}^{2} + {(- x + 4)}^{2} = 4$ .

Równanie przekształcamy do postaci $2 x^{2} - 10 x + 13 = 0$ .

Ponieważ wyróżnik tego równania jest mniejszy od $0$ , więc równanie nie ma rozwiązań, zatem układ równań nie ma rozwiązania.

Prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższym apletem dotyczącym określania wzajemnego położenia prostej i okręgu, gdy prosta i okrąg są zapisane za pomocą równań.

RxEUxzNEzWVGl

RM6xDXYKiy8er

Polecenie 2

Zbadaj wzajemne położenie prostej o równaniu $\sqrt{2} x - 2 y + \sqrt{2} = 0$ i okręgu o równaniu ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 3$ .

Z równania okręgu odczytujemy, że $S = (2, 0)$ oraz $r = \sqrt{3}$ .

Wyznaczymy odległość punktu $S$ od podanej prostej.

Zatem:

$d = \frac{|\sqrt{2} \cdot 2 - 2 \cdot 0 + \sqrt{2}|}{\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \sqrt{3}$ .

Ponieważ $d = r = \sqrt{3}$ , zatem okrąg i prosta mają dokładnie jeden punkt wspólny.

Przykład 6

Określimy wzajemne położenie prostej $3 x - y - 1 = 0$ i okręgu $x^{2} + y^{2} = 9$ .

Rozwiązanie:

Równanie $x^{2} + y^{2} = 9$ przedstawia okrąg o środku $O = (0, 0)$ i promieniu $r = 3$ .

Obliczamy odległość $d$ punktu $O$ od prostej o podanym równaniu.

$A = 3$ , $B = - 1$ , $C = - 1$ , $x_{0} = 0$ , $y_{0} = 0$ , $r = 3$ .

Zgodnie ze wzorem $d = \frac{|{A x}_{0} + {B y}_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ , mamy zatem $d = \frac{|3 \cdot 0 + (- 1) \cdot 0 - 1|}{\sqrt{3^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{|- 1|}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

Tak więc $d = \frac{\sqrt{10}}{10} < 3 = r$ .

Rozwiązanie możemy również przedstawić graficznie, umieszczając w układzie współrzędnych okrąg o równaniu $x^{2} + y^{2} = 9$ i prostą $3 x - y - 1 = 0$ .

W układzie współrzędnych rysujemy okrąg o środku $O = (0, 0)$ i promieniu $r = 3$ oraz prostą $3 x - y - 1 = 0$ . Prosta przedstawiona w postaci kierunkowej $y = 3 x - 1$ przecina oś $X$ w punkcie $(\frac{1}{3}, 0)$ (wynika to z rozwiązania równania $0 = 3 x - 1$ ), natomiast oś $Y$ w punkcie $(0, - 1)$ .

R1PgLoiOCSJvB

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus sześciu do sześciu i pionową osią y od minus pięciu do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono okrąg oraz prostą. Okrąg ma środek w środku układu współrzędnych i promień o długości trzy. Prosta przechodzi przez punkt początek nawiasu, 0, minus 1, zamknięcie nawiasu, oraz punkt początek nawiasu, 1, 2, zamknięcie nawiasu. Prosta przecina okrąg w dwóch punktach.

Prosta $3 x - y - 1 = 0$ jest zatem sieczną okręgu $x^{2} + y^{2} = 9$ .

Wzajemne położenie prostej $y = m x + n$ i okręgu ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ możemy określić poprzez analizę liczby rozwiązań układu równań:

\{\begin{cases} y = m x + n \\ {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2} \end{cases}

Po podstawieniu $y = m x + n$ do drugiego równania, otrzymujemy równanie kwadratowe.

Możliwe są trzy przypadki:

$∆ > 0$ – prosta ma z okręgiem dwa (różne) punkty wspólne – jest sieczną okręgusieczna okręgusieczną okręgu,
$∆ < 0$ – prosta nie ma punktu wspólnego z okręgiem,
$∆ = 0$ – prosta ma z okręgiem jeden punkt wspólny (podwójny), czyli jest styczną do okręgu.

Ważne!

Prosta $y = m x + n$ jest sieczną okręgu ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ , gdy równanie kwadratowe wynikające z układu równań:

\{\begin{cases} y = m x + n \\ {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2} \end{cases}

ma dwa rozwiązania.

Przykład 7

Sprawdzimy w jakich punktach prosta $x - y + 1 = 0$ przecina okrąg o równaniu $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 4 = 0$ .

Rozwiązanie:

Prostą o równaniu $x - y + 1 = 0$ zapisujemy w postaci kierunkowej $y = x + 1$ .

Aby znaleźć punkty wspólne prostej i okręgu, rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} y = x + 1 \\ x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 4 = 0 \end{cases}$

Podstawiamy $y = x + 1$ do równania $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 4 = 0$ i otrzymujemy

$x^{2} + {(x + 1)}^{2} + 2 x - 4 \cdot (x + 1) - 4 = 0$ ,

$x^{2} + x^{2} + 2 x + 1 + 2 x - 4 x - 4 - 4 = 0$ ,

$2 x^{2} - 7 = 0$ .

Równanie $2 x^{2} - 7 = 0$ ma dwa rozwiązania: $x_{1} = \sqrt{\frac{7}{2}}$ i $x_{2} = - \sqrt{\frac{7}{2}}$ .

Ponieważ $y = x + 1$ , stąd $y_{1} = \sqrt{\frac{7}{2}} + 1$ i $y_{2} = - \sqrt{\frac{7}{2}} + 1$ .

Punkty $(\sqrt{\frac{7}{2}}, \sqrt{\frac{7}{2}} + 1)$ i $(- \sqrt{\frac{7}{2}}, - \sqrt{\frac{7}{2}} + 1)$ są punktami przecięcia siecznej $x - y + 1 = 0$ z okręgiem $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 4 = 0$ .

Przykład 8

Obliczymy długość cięciwy, którą okrąg $x^{2} + y^{2} = 20$ odcina na prostej $5 x - 12 y + 44 = 0$ .

Rozwiązanie:

Sporządźmy poglądowy rysunek.

R7vTPjZ2TwGXH

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus sześciu do sześciu i pionową osią y od minus czterech do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono okrąg oraz dwie proste. Okrąg ma środek O w środku układ współrzędnych i przechodzi przez punkt początek nawiasu, 4, 2, zamknięcie nawiasu. Na okręgu zaznaczone są dwa punkty A oraz B. Współrzędne punktu A to początek nawiasu, minus 4 , 2, zamknięcie nawiasu. Natomiast punkt B znajduje się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Odcinki AO oraz BO podpisano literą r. Prosta przechodzi przez punkty A oraz B. Przez środek okręgu linią przerywaną poprowadzono prostą s. Przerywana prosta przecina pierwszą prostą pomiędzy punktami A i B. Punkt przecięcia się prostych podpisano literą K. Odcinek KO zaznaczono linią ciągłą.

Prosta $5 x - 12 y + 44 = 0$ przecina okrąg w punktach $A$ i $B$ . Długość odcinka $B$ jest długością cięciwy.

Symetralna $s$ cięciwy $A B$ jest do niej prostopadła, przechodzi przez punkt $O$ i dzieli cięciwę na dwie części o równej długości. Utworzony trójkąt $O K B$ jest prostokątny.

Obliczając odległość prostej $5 x - 12 y + 44 = 0$ od środka okręgu $x^{2} + y^{2} = 20$ , wyznaczymy długość odcinka $K O$ .

Równanie $x^{2} + y^{2} = 20$ przedstawia okrąg o środku $O = (0, 0)$ i promieniu $r = \sqrt{20}$ .

Obliczamy odległość $d$ punktu $O$ od prostej o równaniu $5 x - 12 y + 44 = 0$ .

$A = 5$ , $B = - 12$ , $C = 44$ , $x_{0} = 0$ , $y_{0} = 0$ .

Ze wzoru $d = \frac{|{A x}_{0} + {B y}_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ , mamy zatem $d = \frac{|5 \cdot 0 + (- 12) \cdot 0 + 44|}{\sqrt{5^{2} + {(- 12)}^{2}}} = \frac{|44|}{\sqrt{169}} = \frac{44}{13}$ .

Punkt $K$ jest środkiem odcinka $A B$ , oznaczmy $|A K| = |K B| = x$ .

Ponieważ $|O B| = r$ , $|K O| = d$ , $|K B| = x$ , to z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego $O K B$ możemy zapisać: $d^{2} + x^{2} = r^{2}$ .

Po podstawieniu $r = \sqrt{20}$ , $d = \frac{44}{13}$ , otrzymujemy równanie ${(\frac{44}{13})}^{2} + x^{2} = {(\sqrt{20})}^{2}$ , z którego wyznaczymy $x$ .

$x^{2} = 20 - \frac{1936}{169} = \frac{3380 - 1936}{169} = \frac{1444}{169}$ , stąd $x = \frac{38}{13}$ .

Ponieważ $|A K| = |K B| = x$ i $K$ jest środkiem odcinka $A B$ , więc $|A B| = 2 x = 2 \cdot \frac{38}{13} = \frac{76}{13}$ .

Długość cięciwy, którą okrąg $x^{2} + y^{2} = 20$ odcina na prostej $5 x - 12 y + 44 = 0$ , wynosi $\frac{76}{13}$ .

Przykład 9

Z punktu $A$ okręgu poprowadzono dwie prostopadłe cięciwy: $A B$ i $A C$ . Udowodnij, że $B C$ jest średnicą tego okręgu.

Rozwiązanie:

Umieszczamy punkt $A$ w początku układu współrzędnych. Ponieważ cięciwy $A B$ i $A C$ są do siebie prostopadłe, to jeśli punkt $B$ umieścimy na osi $X$ , punkt $C$ znajdzie się na osi $Y$ .

$A = (0, 0)$ , $B = (b, 0)$ , $C = (0, c)$ .

R192aHGEkhaCb

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dziewięciu do trzech i pionową osią y od minus dwóch do siedmiu. Na płaszczyźnie zaznaczono okrąg. Na okręgu zaznaczono trzy punkty A, B oraz C. Punkt A ma współrzędne początek nawiasu, 0, 0, zamknięcie nawiasu, punkt B ma współrzędne początek nawiasu, b, 0, zamknięcie nawiasu, punkt C ma współrzędne początek nawiasu, 0, c, zamknięcie nawiasu. Punkty A, B oraz C połączono w taki sposób, że utworzyły trójkąt prostokątny. O jednej przyprostokątnej leżącej na osi x i drugiej przyprostokątnej leżącej na osi y.

Niech $K$ będzie środkiem odcinka $B C$ , wtedy $K = (\frac{b}{2}, \frac{c}{2})$ . Obliczamy długości odcinków $K B$ , $K C$ i $K A$ :

${|K B|}^{2} = {(b - \frac{b}{2})}^{2} + {(0 - \frac{c}{2})}^{2} = {(\frac{b}{2})}^{2} + {(\frac{- c}{2})}^{2} = {(\frac{b}{2})}^{2} + {(\frac{c}{2})}^{2}$ ,

${|K C|}^{2} = {(0 - \frac{b}{2})}^{2} + {(c - \frac{c}{2})}^{2} = {(\frac{- b}{2})}^{2} + {(\frac{c}{2})}^{2} = {(\frac{b}{2})}^{2} + {(\frac{c}{2})}^{2}$ ,

${|K A|}^{2} = {(0 - \frac{b}{2})}^{2} + {(0 - \frac{c}{2})}^{2} = {(\frac{- b}{2})}^{2} + {(\frac{- c}{2})}^{2} = {(\frac{b}{2})}^{2} + {(\frac{c}{2})}^{2}$ .

Zatem $|K B| = |K C| = |K A|$ , czyli punkty $A$ , $B$ , $C$ są tak samo odległe od punktu $K$ . W związku z tym, $K$ jest środkiem okręgu przechodzącego przez punkty $A$ , $B$ , $C$ . W związku z powyższym, $B C$ jest średnicą danego okręgu.

Zauważmy, że mogliśmy rónież skorzystać z faktu, że kąt $B A C$ jest kątem prostym oraz że kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

Polecenie 3

Zapoznaj się z animacją prezentującą równania siecznych okręgu, a następnie rozwiąż zadania i porównaj z odpowiedziami.

Rgk0h49oGVtO5

Polecenie 4

Podaj punkty przecięcia prostej o równaniu $y = - 2 x + 2$ z okręgiem $x^{2} + y^{2} + 6 x + 4 y - 12 = 0$ .

Aby znaleźć punkty wspólne prostej i okręgu rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} y = - 2 x + 2 \\ x^{2} + y^{2} + 6 x + 4 y - 12 = 0 \end{cases}$

Podstawiamy $y = - 2 x + 2$ do równania $x^{2} + y^{2} + 6 x + 4 y - 12 = 0$ i otrzymujemy:

$x^{2} + {(- 2 x + 2)}^{2} + 6 x + 4 \cdot (- 2 x + 2) - 12 = 0$

$x^{2} + 4 x^{2} - 8 x + 4 + 6 x - 8 x + 8 - 12 = 0$

$5 x^{2} - 10 x = 0$

Wyznaczamy pierwiastki równania kwadratowego $5 x^{2} - 10 x = 0$ .

W tym celu zapiszemy trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej:

$5 x (x - 2) = 0$ .

Równanie to ma dwa rozwiązania $x_{1} = 0$ i $x_{2} = 2$ .

Ponieważ $y = - 2 x + 2$ , stąd $y_{1} = 2$ i $y_{2} = - 2$ .

Punkty $(0, 2)$ i $(2, - 2)$ są punktami wspólnymi prostej $y = - 2 x + 2$ i okręgu $x^{2} + y^{2} + 6 x + 4 y - 12 = 0$ .

Polecenie 5

Podaj równanie okręgu o środku w punkcie $O = (1, 1)$ , który odcina na prostej $3 x - 4 y - 29 = 0$ cięciwę o długości równej $16$ .

Musimy wyznaczyć promień okręgu.

Obliczamy odległość punktu $O = (1, 1)$ od prostej $k$ o równaniu: $3 x - 4 y - 29 = 0$ .

$A = 3$ , $B = - 4$ , $C = - 29$ , $x_{0} = 1$ , $y_{0} = 1$ .

Ze wzoru $d = \frac{|{A x}_{0} + {B y}_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ , mamy zatem dalej $d = \frac{|3 \cdot 1 + (- 4) \cdot 1 - 29|}{\sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2}}} = \frac{|- 30|}{\sqrt{25}} = \frac{30}{5} = 6$ .

Odległość środka okręgu od danej prostej jest równa $6$ , prostopadła do cięciwy poprowadzona przez punkt $O$ dzieli cięciwę na dwie części o równej długości, więc $|A M| = |M B| = 8$ .

RnPbXnRUqczh8

Grafika przedstawia okrąg o środku w punkcie O przez który przechodzi prosta k. Punkty przecięcia prostej z okręgiem podpisano A oraz B. Odcinki AO oraz BO podpisano literami r. Ze środka okręgu poprowadzono promień pod kątem prostym do prostej k. Punkt przecięcia się tego promienia z prostą podpisano literą M. Odcinek OM podpisano literą d.

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy

$d^{2} + {|M B|}^{2} = r^{2}$ , czyli $r^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 100$ .

Otrzymujemy zatem, że $r = 10$ .

Szukane równanie okręgu ma postać: ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 100$ .

Ćwiczenie 1

Na poniższym rysunku przedstawiono okrąg i prostą.

RG5Dfs9mMCjxi

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano okrąg o środku w punkcie nawias 2 przecinek 1 zamknięcie nawiasu i o promieniu r równym trzy. Prosta określona jest wzorem y równa się minus x.

R3OROk0vlbuc5

RO41zrNkTWCgw

R5YV0Dr8XoDfJ1

Ćwiczenie 2

R19MKLDuca9p02

Ćwiczenie 3

RFwHnvtp0NLPX2

Ćwiczenie 4

Pogrupuj elementy, zgodnie z podanym opisem. Równanie prostej oraz równanie okręgu, które nie mają punktów wspólnych: Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, minus, x, minus, dwa oraz nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden, 2. y, równa się, dwa x, plus, cztery oraz x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery, 3. y, równa się, minus, x oraz x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dziewięć, 4. y, równa się, x, plus, trzy oraz nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery, 5. y, równa się, x, plus, trzy oraz nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery, 6. y, równa się, trzy x, minus, jeden oraz x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery Równanie prostej oraz równanie okręgu, które mają dwa punkty wspólne: Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, minus, x, minus, dwa oraz nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden, 2. y, równa się, dwa x, plus, cztery oraz x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery, 3. y, równa się, minus, x oraz x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dziewięć, 4. y, równa się, x, plus, trzy oraz nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery, 5. y, równa się, x, plus, trzy oraz nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery, 6. y, równa się, trzy x, minus, jeden oraz x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery

R1P8XIQno3FZR2

Ćwiczenie 5

R1ID4kwMXXQTo2

Ćwiczenie 6

R10XTIq3hIRfo3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Określ liczbę punktów wspólnych prostej o równaniu $y = x + m$ , gdzie $m \in ℝ$ , z okręgiem o równaniu $x^{2} + y^{2} = 4$ , w zależności od parametru $m$ .

W celu ustalenia liczby punktów wspólnych prostej i okręgu, rozwiążemy układ równań:

$\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 4 \\ y = x + m \end{cases}$

Jeżeli drugie równanie podstawimy do pierwszego równania, to otrzymamy równanie z jedną niewiadomą:

$x^{2} + {(x + m)}^{2} = 4$ .

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które jest równoważne równaniu $2 x^{2} + 2 m x + m^{2} - 4 = 0$ .

Liczba rozwiązań tego równania zależy od wartości wyróżnika.

Zatem:

$∆ = {(2 m)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (m^{2} - 4) = 4 m^{2} - 8 m^{2} + 32 = - 4 m^{2} + 32$ .

Jeżeli $∆ > 0$ , to równanie ma dwa rozwiązania:

$- 4 m^{2} + 32 > 0$ , czyli dla $m \in (- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$ prosta i okrąg przecinają się w dwóch punktach.

Jeżeli $∆ = 0$ , to równanie ma jedno rozwiązanie:

$- 4 m^{2} + 32 = 0$ , zatem dla $m = - 2 \sqrt{2}$ lub $m = 2 \sqrt{2}$ prosta i okrag mają dokładnie jeden punkt wspólny.

Jeżeli $∆ < 0$ , to równanie nie ma rozwiązań:

$- 4 m^{2} + 32 < 0$ , zatem dla $m \in (- \infty, - 2 \sqrt{2}) \cup (2 \sqrt{2}, \infty)$ prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.

RcqnvHGilLe8E1

Ćwiczenie 9

RlJfpj49kyJ2d1

Ćwiczenie 10

Rqu1qlnNZlfyN2

Ćwiczenie 11

Dany jest okrąg o równaniu nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sto sześćdziesiąt dziewięć. Do wzoru funkcji liniowej dobierz współrzędne punktów przecięcia prostej będącej jej wykresem z podanym okręgiem. y, równa się, minus, x, minus, osiem Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, czternaście, przecinek, minus, osiem, zamknięcie nawiasu oraz nawias, minus, trzy, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, siedem, przecinek, minus, piętnaście, zamknięcie nawiasu oraz nawias, minus, dziesięć, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, dziesięć, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu oraz nawias, minus, trzy, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, czternaście, przecinek, minus, osiem, zamknięcie nawiasu oraz nawias, siedem, przecinek, minus, piętnaście, zamknięcie nawiasu y, równa się, minus, x, plus, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, czternaście, przecinek, minus, osiem, zamknięcie nawiasu oraz nawias, minus, trzy, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, siedem, przecinek, minus, piętnaście, zamknięcie nawiasu oraz nawias, minus, dziesięć, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, dziesięć, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu oraz nawias, minus, trzy, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, czternaście, przecinek, minus, osiem, zamknięcie nawiasu oraz nawias, siedem, przecinek, minus, piętnaście, zamknięcie nawiasu y, równa się, x, minus, dwadzieścia dwa Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, czternaście, przecinek, minus, osiem, zamknięcie nawiasu oraz nawias, minus, trzy, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, siedem, przecinek, minus, piętnaście, zamknięcie nawiasu oraz nawias, minus, dziesięć, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, dziesięć, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu oraz nawias, minus, trzy, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, czternaście, przecinek, minus, osiem, zamknięcie nawiasu oraz nawias, siedem, przecinek, minus, piętnaście, zamknięcie nawiasu y, równa się, x, plus, dwanaście Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, czternaście, przecinek, minus, osiem, zamknięcie nawiasu oraz nawias, minus, trzy, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, siedem, przecinek, minus, piętnaście, zamknięcie nawiasu oraz nawias, minus, dziesięć, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, dziesięć, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu oraz nawias, minus, trzy, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, czternaście, przecinek, minus, osiem, zamknięcie nawiasu oraz nawias, siedem, przecinek, minus, piętnaście, zamknięcie nawiasu

R19crnZQxcWoN2

Ćwiczenie 12

RpTT4PzdWCose2

Ćwiczenie 13

RffiqYcImNaXW2

Ćwiczenie 14

R12S8hnv39FmB3

Ćwiczenie 15

R1dViBASiJllI3

Ćwiczenie 16

Słownik

równanie okręgu

postać ogólna: $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ , promień okręgu $r = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c}$ , $S = (a, b)$ - środek okręgu

postać kanoniczna: ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ , $r$ - promień okręgu, $S = (a, b)$ - środek okręgu

równanie prostej

postać ogólna: $A x + B y + C = 0$ , gdzie $A$ , $B$ , $C$ oraz $A$ i $B$ nie są jednocześnie równe $0$

postać kierunkowa: $y = a x + b$ , gdzie $a$ , $b$ $\in ℝ$

sieczna okręgu

prosta, która ma dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem

2*. Równanie okręgu w postaci ogólnej (DODATEK)

4. Styczna do okręgu

3. Wzajemne położenie prostej i okręgu

Słownik