3. Funkcja złożona. Pochodna funkcji złożonej - M_R_W19_M3 Pochodna funkcji

R1DsO2cAUOBTl

Obliczanie pochodnych funkcji elementarnych to bardzo ważna umiejętność mająca zastosowanie w rozwiązywaniu wielu problemów interdyscyplinarnych. W tym materiale przedstawimy prosty algorytm, który pozwoli nam obliczać pochodną dowolnej funkcji utworzonej z funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań i superpozycji (złożeń), przy założeniu, że istnieją pochodne funkcji elementarnych.

W tej lekcji pokazujemy również pochodne funckji wykraczających poza obowiązkowy materiał z matematyki.

Twoje cele

Rozpoznasz funkcję złożoną.
Zastosujesz algorytm pozwalający obliczać pochodną funkcji złożonej.

o pochodnej funkcji złożonej

Twierdzenie: o pochodnej funkcji złożonej

Jeżeli istnieje złożenie funkcji $f$ z funkcją $g$ i funkcja $f$ jest różniczkowalna w punkcie $x_{0}$ , zaś funkcja $g$ jest różniczkowalna w punkcie $f (x_{0})$ , to funkcja $g \circ f$ jest różniczkowalna w punkcie $x_{0}$ oraz

(g \circ f)' (x_{0}) = g' (f (x_{0})) \cdot f' (x_{0})

Powyższy wzór zwany jest szczególnym przypadkiem reguły łańcuchowej dla funkcji jednej zmiennej.

Uwaga!

Prawdziwy jest analogiczny wzór dla dowolnej liczby składanych funkcji. Należy przy tym pamiętać, że operacja składania funkcji nie jest przemienna.

Przykład 1

Wyznaczymy wzór na pochodną funkcji $f (x) = {(a x + b)}^{2}$ korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej.

Rozwiązanie:

Funkcja $f (x)$ jest złożeniem funkcji $g (x) = a x + b$ oraz $h (x) = x^{2}$ .

Funkcja $g$ jest funkcją wewnętrzną, a funkcja $h$ jest funkcją zewnętrzną. Pochodna funkcji wewnętrznej jest równa $g' (x) = a$ oraz pochodna funkcji zewnętrznej $h' (x) = 2 x$ . Stąd na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej otrzymujemy:

$f' (x) = 2 a (a x + b)$ .

Przykład 2

Wyznaczymy złożenie funkcjizłożenie funkcjizłożenie funkcji $(g \circ f) (x)$ , gdzie $f (x) = 2 x - 3$ oraz $g (x) = x^{4}$ . Obliczymy pochodną funkcji $h (x) = (g \circ f) (x)$ .

Rozwiązanie:

Wyznaczamy funkcję $h$ :

$h (x) = (g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (2 x - 3) = {(2 x - 3)}^{4}$

Wyznaczamy pochodną funkcji $h$ :

$h' (x) = \underset{(2 x - 3)'}{\underset{⏟}{2}} \cdot \underset{g' (2 x - 4)}{\underset{⏟}{4 {(2 x - 3)}^{3}}} = 8 {(2 x - 3)}^{3}$ .

Przykład 3

Przedstawimy funkcję $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{50}$ jako złożenie funkcji elementarnych, a następnie wyznaczymy jej pochodną.

Rozwiązanie:

Funkcja $f (x)$ jest funkcją złożoną.

Funkcją wewnętrzną jest funkcja $g (x) = x^{2} + 1$ , a funkcją zewnętrzną $h (x) = x^{50}$ .

Zatem $f (x) = h (g (x)) = (h \circ g) (x)$ .

Pochodna funkcji zewnętrznej jest równa $h' (x) = 50 x^{49}$ .

Pochodna funkcji wewnętrznej jest równa $g' (x) = 2 x$ .

Na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej otrzymujemy:

$f' (x) = 2 x \cdot 50 {(x^{2} + 1)}^{49} = 100 x {(x^{2} + 1)}^{49}$ .

Przykład 4

Wyznaczymy pochodną funkcji $f (x) = \sin (5 x)$ .

Rozwiązanie:

Funkcja $f (x)$ jest funkcją złożoną.

Funkcją wewnętrzną jest funkcja $g (x) = 5 x$ , a funkcją zewnętrzną $h (x) = \sin x$ .

Pochodna funkcji zewnętrznej wynosi $h' (x) = \cos x$ .

Pochodna funkcji wewnętrznej wynosi $g' (x) = 5$ .

Na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej otrzymujemy:

$f' (x) = 5 \cos (5 x)$ .

Przykład 5

Wyznaczymy pochodną funkcji $f (x) = \sin^{5} x$ .

Rozwiązanie:

Funkcja $f (x)$ jest funkcją złożoną.

Funkcja wewnętrzną jest funkcja $g (x) = \sin x$ , a funkcją zewnętrzną $h (x) = x^{5}$ .

Pochodna funkcji zewnętrznej wynosi $h' (x) = 5 x^{4}$ , a funkcji wewnętrznej $g' (x) = \cos x$ .

Na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej otrzymujemy

$f' (x) = 5 \cos x \cdot \sin^{4} x$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z filmem, a następnie wykonaj ćwiczenia zamieszczone pod nim.

REdeCuqcXsFSM

Polecenie 2

RTZQRvvvMHYTj

Polecenie 3

Wyznaczym pochodną funkcji $h (x) = {(2 x^{3} + 5)}^{5}$ .

Funkcja $h$ jest złożeniem funkcji $f (x) = 2 x^{3} + 5$ oraz $g (x) = x^{5}$ .

Mamy zatem $h^{'} (x) = 5 {(2 x^{3} + 5)}^{4} \cdot 6 x = 30 x^{2} {(2 x^{3} + 5)}^{4}$ .

Przykład 6

Obliczymy pochodną funkcji $f (x) = {(3 x^{2} + 1)}^{3}$ .

Rozwiązanie:

Funkcja $f (x)$ jest złożeniem funkcjizłożenie funkcjizłożeniem funkcji $g (x) = 3 x^{2} + 1$ oraz $h (x) = x^{3}$ .

Funkcja $g$ jest funkcją wewnętrzną, a funkcja $h$ jest funkcją zewnętrzną.

Wówczas pochodna funkcji wewnętrznej jest równa $g' (x) = 6 x$ oraz pochodna funkcji zewnętrznej $h (x) = 3 x^{2}$ .

Stąd na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej otrzymujemy

$f' (x) = 18 x {(3 x^{2} + 1)}^{2}$ .

Przykład 7

Ropa wycieka ze studni w ilości $2500$ litrów dziennie. Promień okrągłej kałuży ropy zmienia się zgodnie z funkcją czasu $r (t) = 4 t$ . Obliczymy szybkość rozprzestrzeniania się plamy oleju.

Rozwiązanie:

Szybkość rozprzestrzeniania się plamy oleju określona jest jako pochodna pola rozlewiska względem czasu.

Pole rozlewiska $P (r) = π r^{2} (t)$ jest funkcją złożoną, gdzie funkcją wewnętrzną jest $r (t) = 4 t$ , a jej pochodna wynosi $4$ .

Funkcją zewnętrzną jest $P (r) = π r^{2}$ , a jej pochodna na argumencie $r (t)$ wynosi $2 π \cdot 4 t$ .

Obliczamy pochodną funkcji złożonej. Otrzymujemy

$P' (t) = 4 \cdot 2 π \cdot 4 t = 32 π t$ .

Przykład 8

Koń ciągnie powóz po polnej drodze. Ilość energii $E$ (w kaloriach) spalonych przez konia zależy od przebytej drogi $s$ (w kilometrach) i dana jest wzorem $E (s) = 2 s^{3} - 15$ . Również odległość pokonana przez konia zależy od czasu $t$ (w godzinach) i dana jest wzorem $s (t) = \sqrt{t}$ . Zapiszemy wzór, określający w jakim tempie koń zużywa energię.

Rozwiązanie:

Tempo spalania kalorii przez konia jest określona przez pochodną $E' (s) = 6 s^{2}$ , natomiast szybkość poruszania się konia przez pochodną $s' (t) = \frac{1}{2 \sqrt{t}}$ . Zatem, tempo zużywania kalorii jest pochodną funkcji złożonej daną wzorem

$E' (t) = E' (s) \cdot s' (t) = 6 {(\sqrt{t})}^{2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{t}} = 3 \sqrt{t}$ .

Polecenie 4

Zapoznaj się z filmem samouczkiem, a następnie wykonaj polecenia zamieszczone pod filmem.

R1LW4vjN5kZnf

Polecenie 5

R2BE3c5XyWoSt

Polecenie 6

Wyznaczymy pochodną funkcji $h (x) = {(2 x^{3} + 5)}^{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

Funkcja $h$ jest iloczynem dwóch funkcji złożonych $f (x) = {(2 x^{3} + 5)}^{2}$ oraz $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

Obliczymy pochodne funkcji $f (x)$ i $g (x)$ .

Mamy kolejno $f' (x) = 12 x^{2} (2 x^{3} + 5)$ i $g' (x) = 6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

Obliczymy pochodną funkcji $h (x)$ . Otrzymujemy

$h' (x) = f' (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g' (x) =$

$= \underset{f' (x)}{\underset{⏟}{12 x^{2} (2 x^{3} + 5)}} \cdot \underset{g (x)}{\underset{⏟}{{(x^{2} - 1)}^{3}}} + \underset{f (x)}{\underset{⏟}{{(2 x^{3} + 5)}^{2}}} \cdot \underset{g' (x)}{\underset{⏟}{6 x {(x^{2} - 1)}^{2}}} =$

$= 6 x (2 x^{3} + 5) {(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 2 x + 5)$ .

R11GT7F2ZAXhZ1

Ćwiczenie 1

R1SYDRVpI2Ry711

Ćwiczenie 2

RsaAUMliyzNXj11

Ćwiczenie 3

Uzupełnij podany tekst przeciągając w odpowiednie miejsca właściwy wyraz lub wzór. Jeśli f, podzielić na, X, strzałka w prawo, Y i g, podzielić na 1. niemalejąca, 2. iloczynem, 3. różniczkowalna, 4. środkową, 5. X, 6. x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, 7. g prim nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, 8. nierosnąca, 9. niewłaściwą, 10. monotoniczną, 11. Y, 12. f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, 13. zewnętrzną, 14. g prim nawias, f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, 15. właściwą, 16. wewnętrzną, 17. złożeniem strzałka w prawo, Z, to funkcję h, podzielić na 1. niemalejąca, 2. iloczynem, 3. różniczkowalna, 4. środkową, 5. X, 6. x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, 7. g prim nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, 8. nierosnąca, 9. niewłaściwą, 10. monotoniczną, 11. Y, 12. f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, 13. zewnętrzną, 14. g prim nawias, f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, 15. właściwą, 16. wewnętrzną, 17. złożeniem strzałka w prawo, Z określoną wzorem h nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, g nawias, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu nazywamy 1. niemalejąca, 2. iloczynem, 3. różniczkowalna, 4. środkową, 5. X, 6. x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, 7. g prim nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, 8. nierosnąca, 9. niewłaściwą, 10. monotoniczną, 11. Y, 12. f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, 13. zewnętrzną, 14. g prim nawias, f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, 15. właściwą, 16. wewnętrzną, 17. złożeniem funkcji f i g. Funkcję f nazywamy funkcją 1. niemalejąca, 2. iloczynem, 3. różniczkowalna, 4. środkową, 5. X, 6. x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, 7. g prim nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, 8. nierosnąca, 9. niewłaściwą, 10. monotoniczną, 11. Y, 12. f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, 13. zewnętrzną, 14. g prim nawias, f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, 15. właściwą, 16. wewnętrzną, 17. złożeniem, a funkcję g – funkcją 1. niemalejąca, 2. iloczynem, 3. różniczkowalna, 4. środkową, 5. X, 6. x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, 7. g prim nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, 8. nierosnąca, 9. niewłaściwą, 10. monotoniczną, 11. Y, 12. f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, 13. zewnętrzną, 14. g prim nawias, f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, 15. właściwą, 16. wewnętrzną, 17. złożeniem. Jeżeli istnieje złożenie funkcji f z funkcją g i funkcja f jest 1. niemalejąca, 2. iloczynem, 3. różniczkowalna, 4. środkową, 5. X, 6. x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, 7. g prim nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, 8. nierosnąca, 9. niewłaściwą, 10. monotoniczną, 11. Y, 12. f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, 13. zewnętrzną, 14. g prim nawias, f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, 15. właściwą, 16. wewnętrzną, 17. złożeniem w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zaś funkcja g jest różniczkowalna w punkcie 1. niemalejąca, 2. iloczynem, 3. różniczkowalna, 4. środkową, 5. X, 6. x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, 7. g prim nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, 8. nierosnąca, 9. niewłaściwą, 10. monotoniczną, 11. Y, 12. f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, 13. zewnętrzną, 14. g prim nawias, f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, 15. właściwą, 16. wewnętrzną, 17. złożeniem, to funkcja g ∘ f jest różniczkowalna w punkcie 1. niemalejąca, 2. iloczynem, 3. różniczkowalna, 4. środkową, 5. X, 6. x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, 7. g prim nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, 8. nierosnąca, 9. niewłaściwą, 10. monotoniczną, 11. Y, 12. f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, 13. zewnętrzną, 14. g prim nawias, f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, 15. właściwą, 16. wewnętrzną, 17. złożeniem oraz nawias, g ∘ f, zamknięcie nawiasu, prim nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się 1. niemalejąca, 2. iloczynem, 3. różniczkowalna, 4. środkową, 5. X, 6. x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, 7. g prim nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, 8. nierosnąca, 9. niewłaściwą, 10. monotoniczną, 11. Y, 12. f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, 13. zewnętrzną, 14. g prim nawias, f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, 15. właściwą, 16. wewnętrzną, 17. złożeniem razy, f prim nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu.

Ćwiczenie 4

Wyznacz pochodną funkcji $f (x) = {(x^{4} - 3 x^{2} + 5)}^{40}$ .

Funkcja $f (x)$ jest funkcją złożoną.

Funkcją wewnętrzną jest funkcja $g (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 5$ , a funkcją zewnętrzną $h (x) = x^{40}$ .

Pochodna funkcji zewnętrznej wynosi $h^{'} (x) = 40 x^{39}$ , a funkcji wewnętrznej $g' (x) = 4 x^{3} - 6 x$ .

Na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej otrzymujemy

$f^{'} (x) = 40 (4 x^{3} - 6 x) {(x^{4} - 3 x^{2} + 5)}^{39}$ .

Ćwiczenie 5

Wyznacz pochodną funkcji $f (x) = {(2 x + 1)}^{20} {(x^{2} - 1)}^{30}$ .

Funkcja $f (x)$ jest iloczynem funkcji złożonych $g (x) = {(2 x + 1)}^{20}$ oraz $h (x) = {(x^{2} - 1)}^{30}$ .

Pochodna funkcji $g (x)$ wynosi $g' (x) = 2 \cdot 20 {(2 x + 1)}^{19}$ , pochodna funkcji $h (x)$ wynosi $h' (x) = 2 x \cdot 30 {(x^{2} - 1)}^{29}$ .

Zatem pochodna funkcji $f (x)$ wynosi $f' (x) = 40 {(2 x + 1)}^{19} {(x^{2} - 1)}^{30} + 60 x {(x^{2} - 1)}^{29} {(2 x + 1)}^{20}$ .

Ćwiczenie 6

Wyznacz pochodną funkcji $f (x) = x \sin (2 x)$ .

Funkcja $f (x)$ jest iloczynem funkcji $g (x) = x$ oraz funkcji złożonej $h (x) = \sin (2 x)$ .

Pochodna funkcji $g (x)$ wynosi $g' (x) = 1$ , pochodna funkcji $h (x)$ wynosi $h' (x) = 2 \cos (2 x)$ .

Zatem pochodna funkcji $f (x)$ wynosi $f' (x) = \sin (2 x) + 2 x \cos (2 x)$ .

Ćwiczenie 7

Wyznacz pochodną funkcji $f (x) = {(x^{3} + 1)}^{2} \sin (3 x)$ .

Funkcja $f (x)$ jest iloczynem funkcji złożonych $g (x) = {(x^{3} + 1)}^{2}$ oraz $h (x) = \sin (3 x)$ .

Pochodna funkcji $g (x)$ wynosi $g' (x) = 6 x^{2} (x^{3} + 1)$ , pochodna funkcji $h (x)$ wynosi $h' (x) = 3 \cos (3 x)$ .

Zatem pochodna funkcji $f (x)$ wynosi

$f' (x) = 6 x^{2} (x^{3} + 1) \sin (3 x) + 3 {(x^{3} + 1)}^{2} \cos (3 x)$ .

Ćwiczenie 8

Wyznacz pochodną funkcji $f (x) = \sin (4 x) + \sin (2 x - 1)$ .

Funkcja $f (x)$ jest sumą funkcji złożonych $g (x) = \sin (4 x)$ oraz $h (x) = \sin (2 x - 1)$ .

Pochodna funkcji $g (x)$ wynosi $g' (x) = 4 \cos (4 x)$ , pochodna funkcji $h (x)$ wynosi $h' (x) = 2 \cos (2 x - 1)$ .

Zatem pochodna funkcji $f (x)$ wynosi $f' (x) = 4 \cos (4 x) + 2 \cos (2 x - 1)$ .

Pokaż ćwiczenia:

RjUQ1Ws6Vav7L11

Ćwiczenie 9

Każda z poniższych funkcji jest różniczkowalna w swojej dziedzinie. Połącz w pary nazwę z funkcją. Pochodna funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sinus indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, x. Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery sinus indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, x kosinus x, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sto nawias, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dziewięćdziesiąt dziewięć, koniec indeksu górnego, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, 7. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 8. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x, plus, jeden Pochodna funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, sto, koniec indeksu górnego. Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery sinus indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, x kosinus x, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sto nawias, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dziewięćdziesiąt dziewięć, koniec indeksu górnego, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, 7. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 8. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x, plus, jeden Pochodna funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x koniec pierwiastka. Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery sinus indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, x kosinus x, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sto nawias, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dziewięćdziesiąt dziewięć, koniec indeksu górnego, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, 7. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 8. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x, plus, jeden Pochodna funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm naturalny z początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka. Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery sinus indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, x kosinus x, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sto nawias, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dziewięćdziesiąt dziewięć, koniec indeksu górnego, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, 7. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 8. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x, plus, jeden Pochodna funkcji wewnętrznej funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sinus indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, x. Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery sinus indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, x kosinus x, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sto nawias, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dziewięćdziesiąt dziewięć, koniec indeksu górnego, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, 7. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 8. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x, plus, jeden Pochodna funkcji wewnętrznej funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, sto, koniec indeksu górnego. Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery sinus indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, x kosinus x, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sto nawias, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dziewięćdziesiąt dziewięć, koniec indeksu górnego, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, 7. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 8. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x, plus, jeden Pochodna funkcji wewnętrznej funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x koniec pierwiastka. Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery sinus indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, x kosinus x, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sto nawias, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dziewięćdziesiąt dziewięć, koniec indeksu górnego, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, 7. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 8. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x, plus, jeden Pochodna funkcji wewnętrznej funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm naturalny z początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka. Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery sinus indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, x kosinus x, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sto nawias, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dziewięćdziesiąt dziewięć, koniec indeksu górnego, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, 7. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 8. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x, plus, jeden

R82PIih74jClm11

Ćwiczenie 10

Łączenie par. Zaznacz czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe.. Funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu jest złożeniem trzech funkcji: u nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, v nawias, u, zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus u, w nawias, v, zamknięcie nawiasu, równa się, v indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Stąd jej pochodna jest równa f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, osiem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, sinus nawias, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x nawias, dwa x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, pięćdziesiąt, koniec indeksu górnego jest złożeniem trzech funkcji: u nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x, plus, dziewięć, v nawias, u, zamknięcie nawiasu, równa się, u indeks górny, pięćdziesiąt, koniec indeksu górnego, w nawias, v, zamknięcie nawiasu, równa się, v, razy, x. Stąd jej pochodna jest równa f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, sto dwa x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, czterdzieści dziewięć, koniec indeksu górnego.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm naturalny z indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu jest złożeniem trzech funkcji: u nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa, v nawias, u, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm naturalny z u, w nawias, v, zamknięcie nawiasu, równa się, v indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Stąd jej pochodna jest równa f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, dwanaście x, mianownik, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa, koniec ułamka, logarytm naturalny z nawias, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sinus nawias, logarytm naturalny z nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu jest złożeniem trzech funkcji: u nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, jeden, v nawias, u, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm naturalny z u, w nawias, v, zamknięcie nawiasu, równa się, sinus v. Stąd jej pochodna jest równa f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, kosinus nawias, logarytm naturalny z nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Rm8ifSGpOI3g01

Ćwiczenie 11

Dostępne opcje do wyboru: dwa x nawias, jeden, minus, cztery x, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzydzieści, koniec indeksu górnego, trzydzieści x indeks górny, dwadzieścia dziewięć, koniec indeksu górnego, o pochodnej funkcji złożonej, o pochodnej funkcji zewnętrzną, liczby rzeczywiste, h nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, jeden, minus, cztery x, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzydzieści, koniec indeksu górnego, g prim nawias, f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, h nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzydzieści nawias, jeden, minus, cztery x, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwadzieścia dziewięć, koniec indeksu górnego, trzydzieści x indeks górny, trzydzieści, koniec indeksu górnego, nawias, jeden, minus, cztery x, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwadzieścia dziewięć, koniec indeksu górnego, o pochodnej niewłaściwej, h prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, g prim nawias, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, g prim nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu. Polecenie: Uzupełnij podany tekst przeciągając w odpowiednie miejsca właściwy wyraz lub wzór. Znajdziemy wzór określający pochodną funkcji luka do uzupełnienia . Funkcja h jest złożeniem funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden, minus, cztery x, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, która jest funkcją wewnętrzną funkcji h oraz funkcji g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, trzydzieści, koniec indeksu górnego, która jest funkcją zewnętrzną funkcji h. Każda z tych funkcji jest różniczkowalna w zbiorze luka do uzupełnienia , wobec tego w myśl twierdzenia luka do uzupełnienia pochodna funkcji h jest określona wzorem luka do uzupełnienia . Ponieważ g prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się luka do uzupełnienia oraz f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x, minus, cztery, więc h prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzydzieści nawias, dwa x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, razy luka do uzupełnienia .

Ćwiczenie 12

Wyznacz pochodną funkcji określonej wzorem $f (x) = \cos^{3} 2 x$ .

Funkcja $f (x) = \cos^{3} 2 x$ jest złożeniem trzech funkcji: $u (x) = 2 x$ , $v (u) = \cos u$ , $w (v) = v^{3}$ .

Stąd jej pochodna jest równa $f' (x) = - 6 \sin 2 x \cos 2 x$ .

Ćwiczenie 13

Wyznacz pochodną funkcji określonej wzorem $f (x) = (2 x^{2} + 1) \sin 3 x$ .

Zgodnie z regułą wyznaczania pochodnej funkcji złożonej oraz pochodnej iloczynu dwóch funkcji mamy

$f' (x) = \underset{(2 x^{2} + 1)'}{\underset{⏟}{4 x}} \cdot \sin 3 x + (2 x^{2} + 1) \cdot \underset{(\sin 3 x)'}{\underset{⏟}{3 \cdot \cos 3 x}} = 4 x \sin 3 x + 3 (2 x^{2} + 1) \cos 3 x$ .

Ćwiczenie 14

Wyznacz pochodną funkcji określonej wzorem $f (x) = lntg \frac{x}{6}$ dla $\frac{x}{6} \neq \frac{π}{2} + k π$ dla każdego całkowitego $k$ oraz $tg \frac{x}{6} > 0$ .

$f' (x) = \underset{(\frac{x}{6})'}{\underset{⏟}{\frac{1}{6}}} \cdot \underset{(tg \frac{x}{6})'}{\underset{⏟}{\overset{pochodna funkcji wewnętrznej}{\overset{⏞}{\frac{1}{\cos^{2} \frac{x}{6}}}}}} \cdot \underset{(\ln tg \frac{x}{6})'}{\underset{⏟}{\overset{pochodna funkcji zewnętrznej}{\overset{⏞}{\frac{1}{tg \frac{x}{6}}}}}} = \frac{1}{3 \sin \frac{x}{3}}$ .

Ćwiczenie 15

Wyznacz pochodną funkcji określonej wzorem $f (x) = tg (\sin x)$ dla $\sin x \neq \frac{π}{2} + k π$ dla każdego całkowitego $k$ .

$f' (x) = \overset{pochodna funkcji wewnętrznej}{\overset{⏞}{\underset{(\sin x)'}{\underset{⏟}{\cos x}}}} \cdot \underset{(tg (\sin x))'}{\overset{pochodna funkcji zewnętrznej}{\overset{⏞}{\underset{⏟}{\frac{1}{\cos^{2} (\sin x)}}}}} = \frac{\cos x}{\cos^{2} (\sin x)}$ .

Ćwiczenie 16

Wyznacz pochodną funkcji określonej wzorem $f (x) = \sin (x^{2} \ln x)$ dla $x > 0$ .

$f' (x) = \underset{(x^{2} \ln x)'}{\underset{⏟}{\overset{pochodna funkcji wewnętrznej}{\overset{⏞}{(2 x \ln x + x^{2} \cdot \frac{1}{x})}}}} \cdot \underset{(\sin (x^{2} \ln x))'}{\overset{pochodna funkcji zewnętrznej}{\overset{⏞}{\underset{⏟}{\cos (x^{2} \ln x)}}}} =$

$= x (2 \ln x + 1) \cos (x^{2} \ln x)$ .

Słownik

złożenie funkcji

jeśli $f : X \to Y$ i $g : Y \to Z$ , to funkcję $h : X \to Z$ określoną wzorem $h (x) = g (f (x))$ nazywamy złożeniem funkcji $f$ i $g$ ; funkcję $f$ nazywamy funkcją wewnętrzną, a funkcję $g$ funkcją zewnętrzną

3. Działania na pochodnych

5. Styczna do wykresu funkcji

Słownik