5. Styczna do wykresu funkcji - M_R_W19_M3 Pochodna funkcji

RTUNdgHnYjwiA

W tym materiale poznasz wzór na styczną do wykresu funkcji oraz kilka przykładów jego zastosowania. Jeżeli zastanawiałeś się, w którym kierunku poleci kula pchnięta przez sportowca na olimpiadzie, to teraz poznasz odpowiedź na to pytanie.

Twoje cele

Wyznaczysz wzór ogólny prostej stycznej do wykresu funkcji.
Wyznaczysz równania stycznych do wykresów wybranych funkcji.

styczna do krzywej

Definicja: styczna do krzywej

Styczna do krzywej w danym punkcie jest to prosta, która w małym otoczeniu tego punktu ma przebieg podobny do przebiegu krzywej oraz ma w tym otoczeniu dokładnie jeden punkt wspólny z krzywą.

Taka definicja pozwala w miarę łatwo narysować styczną do danego wykresu funkcji w konkretnym punkcie, ale trudno z niej wyprowadzić wzór takiej prostej.

RfmZYBZYj45Wg

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do dwóch oraz pionową osią Y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o wierzchołku w początku układu współrzędnych oraz o ramionach skierowanych do góry. Dodatkowo na płaszczyźnie narysowano ukośną prostą przebiegającą między innymi przez punkty 0;-1 oraz 1;1. Prosta jest styczna do paraboli. — Wykres funkcji $y = x^{2}$ oraz stycznej w punkcie $(1, 1)$

Jeżeli funkcja jest różniczkowalna, to pomoże nam pochodna.

Z definicji geometrycznej pochodna funkcji w punkcie jest równa tangensowi kąta nachylenia prostej stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie albo równoważnie jest równa współczynnikowi kierunkowemu prostej stycznej w tym punkcie.

Jeżeli mamy zatem daną funkcję różniczkowalną $f$ i punkt $(x_{0}, y_{0})$ , należący do jej wykresu – to znaczy, że $y_{0} = f (x_{0})$ – oraz oznaczymy prostą styczną do wykresu tej funkcji w punkcie $(x_{0}, y_{0})$ jako $y = a x + b$ , to z powyższej definicji wiemy, że $a = f' (x_{0})$ .

Musimy jeszcze wyznaczyć wartość parametru $b$ . Wiemy, że nasza prosta musi przechodzić przez punkt styczności $(x_{0}, y_{0})$ , czyli spełnione jest równanie $y_{0} = a x_{0} + b$ . Stąd widzimy, że $b = y_{0} - a x_{0}$ .

Wstawiając tę postać $b$ do wzoru prostej, otrzymujemy $y = a x + y_{0} - a x_{0} = a (x - x_{0}) + y_{0}$ i ostatecznie wyznaczamy wzór na prostą styczną w postaci

y = f' (x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + y_{0}

Rozpatrzmy kilka prostych przypadków.

Przykład 1

Wyznaczymy wzór stycznej z rysunku, czyli stycznej do wykresu funkcjistyczna do krzywejstycznej do wykresu funkcji $y = x^{2}$ w punkcie $(1, 1)$ .

RXKaQT4O4Kmwh

Rozwiązanie

Wzór ogólny pochodnej funkcji $f$ ma postać $f' (x) = 2 x$ , więc współczynnik kierunkowy prostej stycznej będzie równy $a = f' (x_{0}) = f (1) = 2 \cdot 1 = 2$ . Wzór prostej stycznej jest postaci $y = a (x - x_{0}) + y_{0}$ , czyli w tym wypadku będzie to $y = 2 \cdot (x - 1) + 1$ albo po uproszczeniu $y = 2 x - 1$ .

Przykład 2

Wyznaczymy wzór stycznej do wykresu funkcji $y = x^{2}$ w punkcie $(2, 4)$ .

Rozwiązanie

Wzór ogólny pochodnej funkcji $f$ ma postać $f' (x) = 2 x$ , więc współczynnik kierunkowy prostej stycznej będzie równy $a = f' (x_{0}) = f (2) = 2 \cdot 2 = 4$ . Wzór ogólny prostej stycznej jest postaci $y = a (x - x_{0}) + y_{0}$ , czyli w tym wypadku będzie to $y = 4 \cdot (x - 2) + 4$ albo po uproszczeniu $y = 4 x - 4$ .

Rv1NOEZ2xqnsC

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią Y od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o wierzchołku w początku układu współrzędnych oraz o ramionach skierowanych do góry. Dodatkowo na płaszczyźnie narysowano ukośną prostą przebiegającą między innymi przez punkty 1;0 oraz 2;3. Prosta jest styczna do paraboli w drugim z wymienionych punktów. — Wykres funkcji $y = x^{2}$ oraz stycznej w punkcie $(2, 4)$ .

Przykład 3

Znajdziemy styczną do wykresu funkcji $f (x) = x^{2}$ tak, by jej współczynnik kierunkowy był równy $(- 6)$ .

Rozwiązanie

Możemy to zadanie rozwiązać graficznie, na przykład za pomocą apletu.

R1GxhTcEMb5SA

Spróbujmy to wykonać również algebraicznie.

Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie $(x_{0}, y_{0})$ jest równy $a = f' (x_{0})$ , musimy zatem znaleźć taką wartość $x_{0}$ , żeby $a = - 6$ . Pochodna funkcji $f$ jest postaci $f' (x) = 2 x$ , czyli otrzymujemy równość $2 x_{0} = - 6$ , której rozwiązaniem jest $x_{0} = - 3$ , stąd: $y_{0} = 9$ .

Styczna w punkcie $(x_{0}, y_{0}) = (- 3, 9)$ jest postaci $y = - 6 (x - (- 3)) + 9$ , po uproszczeniu $y = - 6 x - 9$ .

Nie każda styczna do wykresu funkcji jest dana wzorem $y = a x + b$ , szczególnie w przypadku funkcji ciągłych nieróżniczkowalnych w pojedynczym punkcie może mieć inną postać.

Przykład 4

Rozważmy funkcję $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ . Jej pochodna jest równa $f' (x) = \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ i nie jest zdefiniowana dla $x = 0$ . Zauważmy jednak, że blisko zera pochodne istnieją i dążą do nieskończoności, gdy się do zera zbliżamy, czyli w punktach blisko zera styczne istnieją i mają z jednej strony zera coraz mniejsze, z drugiej – coraz większe współczynniki kierunkowe, zatem są coraz bardziej pionowo nachylone. Pozwala nam to zgadnąć, że styczna do wykresu tej funkcji w punkcie $(0, 0)$ jest prostą pionową, o wzorze $x = 0$ .

R1Ir33Qd3PHAd

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący krzywą biegnącą łukowato w drugiej ćwiartce od minus nieskończoności do początku układu współrzędnych. Stąd biegnie w pierwszej ćwiartce łukowato w górę do plus nieskończoności. Wykres jest symetryczny względem osi Y. Dodatkowo narysowano pionową prostą określoną równaniem x równa się zero. — Wykres funkcji nieróżniczkowalnej w punkcie z pionową styczną.

Przykład 5

Na koniec rozpatrzmy problem ruchu kuli, rzuconej przez kulomiota. Przed wyrzuceniem zawodnik obraca się z kulą przy szyi dookoła własnej osi, i kula zatacza okrąg. W momencie wypuszczenia kula będzie leciała w kierunku wskazanym przez prostą styczną do toru okręgu. Dla uproszczenia rozważań weźmiemy pod uwagę tylko górną połówkę okręgu, o promieniu równym $1$ , daną przez funkcję $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ . Jej pochodna jest równa $f' (x) = \frac{- x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ . Wybierzmy punkt styczności $(x_{0}, y_{0})$ , przy czym pamiętajmy, że leży on na naszym okręgu, czyli wiemy, że $y_{0} = \sqrt{1 - {x_{0}}^{2}}$ . Wstawiając do wzoru na pochodną funkcji otrzymujemy postać współczynnika kierunkowego stycznej, $a = f' (x_{0}) = \frac{- x_{0}}{\sqrt{1 - {x_{0}}^{2}}} = \frac{- x_{0}}{y_{0}}$ . Wstawiając wszystkie dane do wzoru ogólnego na prostą styczną $y = a \cdot (x - x_{0}) + y_{0}$ , otrzymujemy

$y = \frac{- x_{0}}{y_{0}} (x - x_{0}) + y_{0}$ ,

czyli

$y = \frac{- x_{0} (x - x_{0}) + {y_{0}}^{2}}{y_{0}}$ ,

i dalej

$y = \frac{- x_{0} \cdot x + {x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2}}{y_{0}}$ ,

więc ostatecznie

$y = \frac{1 - x_{0} \cdot x}{y_{0}}$ albo $y = \frac{1 - x_{0} \cdot x}{\sqrt{1 - {x_{0}}^{2}}}$ .

Działanie naszego wzoru możemy obejrzeć w aplecie poniżej.

RwYPB0cm0fzMH

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładami przedstawionymi w filmie samouczku, a następnie wykonaj polecenia.

R17l1MVq3avMD

Polecenie 2

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ w punkcie $x_{0} = 2$ .

Zauważmy, że $f (x_{0}) = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} = 2$ .

Policzmy teraz pochodną funkcji $f$ :

$f' (x) = {(\frac{1}{2} x^{2})}^{'} = x$ .

Zatem

$f' (x_{0}) = f' (2) = 2$ .

Przypomnijmy, że równaniem prostej stycznej do wykresu funkcji $f$ jest:

$y = f' (x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f (x_{0})$ .

Zatem równanie prostej stycznej do funkcji $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ w punkcie $x_{0} = 2$ jest postaci:

$y = 2 (x - 2) + 2$

$y = 2 x - 2$ .

R1A0drUUHjDcz

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz pionową osią Y od minus dwóch do siedmiu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o wierzchołku w początku układu współrzędnych oraz o ramionach skierowanych do góry. Parabola opisana jest wzorem y równa się jedna druga razy x kwadrat. Dodatkowo na płaszczyźnie narysowano ukośną prostą opisaną równaniem y równa się dwa x odjąć dwa. Prosta ta przebiega między innymi przez punkty 0;-2 oraz 1;0. Prosta jest styczna do paraboli w punkcie A=2;2.

Polecenie 3

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f (x) = x^{3} - x$ jeżeli wiadomo, że ta styczna jest prostopadła do prostej o równaniu $y = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ .

Współczynnik kierunkowy $a$ prostej, która jest prostopadła do wykresu funkcji $y = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ jest równy:

$a \cdot (- \frac{1}{2}) = - 1$

$a = 2 = f' (x_{0})$ .

Policzmy teraz pochodną funkcji $f$ :

$f' (x) = {(x^{3} - x)}^{'} = 3 x^{2} - 1$ .

Zatem

$3 {x_{0}}^{2} - 1 = 2$

$3 {x_{0}}^{2} = 3$

${x_{0}}^{2} = 1$ .

Stąd otrzymujemy, że $x_{0} = 1$ lub $x_{0} = - 1$ . Odpowiadające punkty na wykresie funkcji $f$ , to $A = (1, 0)$ i $B = (-1, 0)$ . Szukamy zatem dwóch prostych o postaci $y = 2 x + b$ , które przechodzą przez wyliczone punkty.

$A : 0 = 2 \cdot 1 + b \Rightarrow b = - 2$

$B : 0 = 2 \cdot (- 1) + b \Rightarrow b = 2$ .

Po uporządkowaniu otrzymujemy następujące równania stycznych:

$y = 2 x + 2$

$y = 2 x - 2$ .

R1cUtP4bzUaR0

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano cztery obiekty. Pierwszy to wykres wielomianowy określony równaniem y=x3-x, który biegnie niemal pionowo w górę w trzeciej ćwiartce, w punkcie B=-1;0 wykres biegnie w górę i następnie łukowato w dół do początku układu współrzędnych, w którym przebija do czwartej ćwiartki. Wykres dalej biegnie w dół, o czym dalej biegnie w górę i przebija do pierwszej ćwiartki w punkcie A=0;1. Dalej funkcja biegnie niemal pionowo w górę. Następne dwa obiekty na płaszczyźnie to dwie ukośne równoległe proste przebiegające przez punkty A i B. Prosta przebiegająca przez punkt B określona jest równaniem y=2x+x. Prosta przebiegająca przez punkt A określona jest równaniem y=2x-x. Czwarty obiekt to ukośna prosta przecinająca dwie równoległe proste i przebiegająca przez punkt B. Określona jest ona wzorem y=-12x-12.

Przykład 6

Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcji $f (x) = x^{3} - x^{2} - x$ w punkcie $(0, 0)$ .

Rozwiązanie

Pochodna funkcji $f$ jest równa: $f' (x) = 3 x^{2} - 2 x - 1$ , więc $f' (0) = - 1$ , zatem równanie stycznej ma postać:

$y = - 1 \cdot (x - 0) + 0$ ,

czyli

$y = - x$ .

Przykład 7

Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcji $f (x) = 1 - x^{3}$ w punkcie $(0, 1)$ .

Rozwiązanie

Mamy $f' (x) = - 3 x^{2}$ , więc współczynnik kierunkowy stycznej będzie równy $a = f' (0) = 0$ , zatem styczna w tym punkcie będzie równoległa do osi $X$ i jej równanie będzie postaci:

$y = 1$ .

Styczne o zadanych własnościach

Gdy przećwiczyliśmy wyznaczanie stycznych do wykresu w zadanych punktach, spróbujmy znaleźć styczne o zadanych parametrach i własnościach.

Przykład 8

Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcji $f (x) = x^{2}$ tak, by jej współczynnik kierunkowy był równy $6$ .

Rozwiązanie

Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie $(x_{0}, y_{0})$ jest równy $a = f' (x_{0})$ , musimy zatem znaleźć taką wartość $x_{0}$ , żeby $a = 6$ .

Pochodna funkcji $f$ jest postaci $f' (x) = 2 x$ , czyli otrzymujemy równanie $2 x_{0} = 6$ , którego rozwiązaniem jest $x_{0} = 3$ .

Styczna w punkcie $(x_{0}, y_{0}) = (3, 9)$ jest postaci $y = 6 (x - 3) + 9$ , czyli: $y = 6 x - 9$ .

Przykład 9

Wyznaczymy równania takich stycznych do wykresu funkcji $f (x) = x^{3} - 2 x$ , których współczynnik kierunkowy jest równy $10$ . Sprawdzimy również, czy istnieją styczne, których współczynnik kierunkowy jest równy $(- 10)$ .

Rozwiązanie

Podobnie, jak poprzednio, musimy znaleźć takie argumenty, dla których pochodna jest równa $10$ .

Pochodna funkcji $f$ jest postaci $f' (x) = 3 x^{2} - 2$ , zatem musimy rozwiązać równanie:

$3 x^{2} - 2 = 10$ ,

co daje:

$x^{2} = 4$ .

Rozwiązaniami równania są liczby $(- 2)$ i $2$ , istnieją więc dwie takie styczne, które spełniają założenia zadania.

Będą to:

$y = 10 (x + 2) - 4$ , czyli $y = 10 x + 16$ ,

$y = 10 (x - 2) + 4$ , czyli $y = 10 x - 16$ .

Spróbujmy teraz wyznaczyć równania stycznych, których współczynnik kierunkowy jest równy $(- 10)$ .

Musimy w tym celu rozwiązać równanie $3 x^{2} - 2 = - 10$ , czyli $x^{2} = - \frac{8}{3}$ . Równanie to nie ma rozwiązania rzeczywistego, zatem nie istnieją takie styczne.

Jeżeli przeanalizujemy wykres funkcji $f$ , to zauważymy, że najmniejszą wartość ma współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie $(0, 0)$ i wynosi on $f' (0) = - 2$ .

R1YCXexwTztRS

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową od minus 2 do dwóch oraz osią poziomą od minus 3 do trzech. Przez drugą oraz trzecią ćwiartkę przechodzi prosta o równaniu y=10x+16 mająca miejsce zerowe w punkcie pomiędzy minus 2 oraz minus jeden. Przez pierwszą oraz czwartą ćwiartkę przebiega prosta o równaniu y=10x-16 mająca miejsce zerowe w punkcie pomiędzy 2 oraz jeden. Pomiędzy prostymi przechodzi wykres funkcji o wzorze y=x3-2x. Funkcja rośnie do punktu niedaleko punktu -1;1, następnie maleje do punktu niedaleko 1;-1, następnie rośnie tak, że graniczy z prostą w pierwszej ćwiartce.

Przykład 10

Wyznaczymy równania takich stycznych do wykresu funkcji $f (x) = x^{2} - 3$ , które przechodzą przez punkt $(0, - 4)$ .

Rozwiązanie

Założenie zadania oznacza, że współczynnik $b$ wynosi $(- 4)$ , czyli równanie stycznej będzie postaci $y = a x - 4$ .

Prosta ta musi przechodzić nie tylko przez zadany punkt $(0, - 4)$ , ale również przez punkt styczności $(x_{0}, y_{0})$ , czyli musi być spełniony warunek $y_{0} = a x_{0} - 4$ .

Przez punkt styczności musi również przechodzić wykres funkcji $f$ , czyli $y_{0} = f (x_{0}) = x_{0}^{2} - 3$ .

Współczynnik kierunkowy $a$ wyznaczamy ze wzoru na pochodną $f' (x) = 2 x$ , czyli $a = 2 x_{0}$ .

Ostatecznie, łącząc powyższe informacje, otrzymujemy równanie, zawierające tylko jedną niewiadomą, postaci:

$x_{0}^{2} - 3 = 2 x_{0} \cdot x_{0} - 4$ ,

po redukcji wyrazów podobnych:

$x_{0}^{2} = 1$ .

Otrzymujemy dwa rozwiązania: $x_{0} = 1$ lub $x_{0} = - 1$ .

Wyznaczamy równania stycznych przechodzących przez punkt $(0, - 4)$ :

$y = - 2 x - 4$ i $y = 2 x - 4$ .

Rp6ygNgxGrvzU

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową od minus 4 do dwóch oraz z osią poziomą od minus 3 do trzech. Zaznaczono na nim dwie proste przecinające się w punkcie 0;-1. Proste są styczne do paraboli o wzorze y=x2-3. Parabola ma ramiona skierowane w górę oraz wierzchołek w punkcie 0;-3. Punkty styczności to -1;-2 oraz 1;-2.

Spróbujmy teraz wyznaczyć równania stycznych, które mają więcej niż jeden punkt wspólny z wykresem funkcji. Styczna z definicji nie może mieć innych punktów wspólnych z wykresem w bliskim otoczeniu punktu styczności, ale może je mieć daleko od punktu styczności.

Przykład 11

Rozpatrzmy funkcję $f (x) = x^{3}$ , jej pochodna jest równa $f' (x) = 3 x^{2}$ , zatem współczynnik kierunkowy prostej stycznej w punkcie $(x_{0}, y_{0})$ będzie równy $a = 3 x_{0}^{2}$ , i wzór prostej stycznej będzie miał postać:

$y = 3 x_{0}^{2} \cdot (x - x_{0}) + x_{0}^{3}$

Zastanówmy się, czy istnieje inny punkt $(x_{1}, y_{1})$ , należący do wykresu funkcji $f$ , przez który przechodzi ta styczna.

Rozwiązanie

Punkt $(x_{1}, y_{1})$ musi należeć do wykresu funkcji $f$ , zatem wiemy, że $y_{1} = x_{1}^{3}$ .

Ponadto punkt ten musi należeć do wyznaczonej stycznej, zatem wiemy, że:

$y_{1} = 3 x_{0}^{2} \cdot (x_{1} - x_{0}) + x_{0}^{3}$ .

Łącząc te dwa fakty otrzymujemy równanie:

$3 x_{0}^{2} \cdot (x_{1} - x_{0}) + x_{0}^{3} = x_{1}^{3}$ .

Po uporządkowaniu wyrazów i wyłączeniu wspólnego czynnika przed nawias równanie to przyjmuje postać:

${(x_{1} - x_{0})}^{2} (x_{1} + 2 x_{0}) = 0$ ,

czyli albo $x_{1} = x_{0}$ , co jest oczywistym rozwiązaniem tego równania, albo $x_{1} = - 2 x_{0}$ .

Otrzymaliśmy zatem drugi punkt przecięcia stycznej z wykresem funkcji: $(x_{1}, y_{1}) = (- 2 x_{0}, - 8 x_{0}^{3})$ , przy czym punkt ten ponownie pokrywa się z punktem $(x_{0}, y_{0})$ , gdy $x_{0} = 0$ .

Przykład 12

Wykażemy, że nie istnieje styczna do wykresu funkcji $f (x) = |2 x - 1|$ w punkcie $(\frac{1}{2}, 0)$ .

Rozwiązanie

oczywiście nie istnieje pochodna funkcji $f (x) = |2 x - 1|$ w punkcie $(\frac{1}{2}, 0)$ , zatem nie możemy wykorzystać równania stycznej.

Wyznaczamy zatem sieczne do wykresu tej funkcji w pobliżu punktu $(\frac{1}{2}, 0)$ :

jeżeli będziemy się do niego zbliżać z lewej strony, sieczne zawsze będą tej samej postaci: $y = - 2 x + 1$ ,
gdy będziemy się zbliżać z prawej strony, to przyjmą inną, ale również cały czas tę samą postać: $y = 2 x - 1$ .

Tym samym nie istnieje możliwość ustalenia jednej stycznej, czyli takiej, która będzie miała w okolicy wyznaczonego punktu jeden punkt wspólny z wykresem oraz której wykres będzie przebiegał podobnie do wykresu funkcji.

Zatem, styczna do wykresu funkcji $f (x) = |2 x - 1|$ w punkcie $(\frac{1}{2}, 0)$ nie istnieje.

Polecenie 4

Zapoznaj się z poniższą galerią zdjęć interaktywnych i przeanalizuj raz jeszcze sposób wyznaczania stycznej do wykresu wielomianu i funkcji wymiernej.

R1D7mBvy4JOFq

R1PfvlugpEnwl

R1dMkniSqqfHe

R1AGA3PDK0FfI

R1ABF2bY4WrRu

Polecenie 5

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f (x) = - 2 x^{6} + 4 x^{3} - x - 1$ w punkcie o odciętej $x_{0} = - 1$ .

Obliczamy $f (x_{0})$ :

$f (- 1) = - 2 \cdot {(- 1)}^{6} + 4 \cdot {(- 1)}^{3} - (- 1) - 1 = - 2 - 4 + 1 - 1 = - 6$

Wyznaczamy pochodną funkcji $f$ i jej wartość dla $x_{0} = - 1$ :

$f^{'} (x) = - 12 x^{5} + 12 x^{2} - 1$ i $f^{'} (- 1) = - 12 \cdot {(- 1)}^{5} + 12 \cdot {(- 1)}^{2} - 1 = 12 + 12 - 1 = 23$

Zatem styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie o odciętej $x_{0} = - 1$ ma równanie:

$y = 23 (x - (- 1)) - 6$

stąd:

$y = 23 x + 17$ .

Polecenie 6

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ ; $x \in ℝ$ w punkcie $(- 3; - 0, 3)$ .

Równanie stycznej ma postać: $y = f' (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})$

Oczywiście: $x_{0} = - 3$ ; $f (x_{0}) = - 0, 3$

Wyznaczamy pochodną funkcji $f$ :

$f' (x) = \frac{1 (x^{2} + 1) - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{1 - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

a następnie:

$f' (x_{0}) = f' (- 3) = \frac{1 - {(- 3)}^{2}}{{({(- 3)}^{2} + 1)}^{2}} = - 0, 08$

Zatem równanie stycznej ma postać:

$y = - 0, 08 (x + 3) - 0, 3$

$y = - 0, 08 x - 0, 54$ .

R1CvQNgl9b9oe1

Ćwiczenie 1

RPw6CV4s1mEqi1

Ćwiczenie 2

R1SPzulwZeFt41

Ćwiczenie 3

R1TkyQHbZbHKl2

Ćwiczenie 4

R1sw8p9qxdmim2

Ćwiczenie 5

R15XOtxHjn8Mc2

Ćwiczenie 6

RFJsOLAJHNryd3

Ćwiczenie 7

RLVNe4uNsEUcY3

Ćwiczenie 8

RVZuznjjubFbT1

Ćwiczenie 9

R1cfWWOWpb5zz1

Ćwiczenie 10

RiJMJRz4wIH1F1

Ćwiczenie 11

RoySWRnWC8xem2

Ćwiczenie 12

R1Pm1QnJ9qlJc2

Ćwiczenie 13

Rd1gqUslUgs8M2

Ćwiczenie 14

R6h6F3yBuOGjk3

Ćwiczenie 15

Połącz w pary wzory funkcji i opisy. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja f w pewnym punkcie nie posiada stycznej., 2. Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie nawias, jeden przecinek jeden, zamknięcie nawiasu jest postaci y, równa się, jeden., 3. Funkcja f w pewnym punkcie posiada styczną o równaniu y, równa się, x., 4. Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu jest postaci y, równa się, minus, x. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, wartość bezwzględna z, x, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja f w pewnym punkcie nie posiada stycznej., 2. Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie nawias, jeden przecinek jeden, zamknięcie nawiasu jest postaci y, równa się, jeden., 3. Funkcja f w pewnym punkcie posiada styczną o równaniu y, równa się, x., 4. Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu jest postaci y, równa się, minus, x. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja f w pewnym punkcie nie posiada stycznej., 2. Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie nawias, jeden przecinek jeden, zamknięcie nawiasu jest postaci y, równa się, jeden., 3. Funkcja f w pewnym punkcie posiada styczną o równaniu y, równa się, x., 4. Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu jest postaci y, równa się, minus, x. y, równa się, x Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja f w pewnym punkcie nie posiada stycznej., 2. Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie nawias, jeden przecinek jeden, zamknięcie nawiasu jest postaci y, równa się, jeden., 3. Funkcja f w pewnym punkcie posiada styczną o równaniu y, równa się, x., 4. Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu jest postaci y, równa się, minus, x.

RvQBpEfGyOkuX3

Ćwiczenie 16

Dana jest funkcja postaci f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, c x, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego z parametrem rzeczywistym c. Połącz wartości parametru c z odpowiednimi opisami sytuacji. c, większy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja f w pewnym punkcie nie posiada stycznej., 2. Styczna do wykresu funkcji w punkcie nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu jest równoległa do osi X., 3. Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu jest dodatni., 4. Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu jest ujemny. c, mniejszy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja f w pewnym punkcie nie posiada stycznej., 2. Styczna do wykresu funkcji w punkcie nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu jest równoległa do osi X., 3. Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu jest dodatni., 4. Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu jest ujemny. c, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja f w pewnym punkcie nie posiada stycznej., 2. Styczna do wykresu funkcji w punkcie nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu jest równoległa do osi X., 3. Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu jest dodatni., 4. Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu jest ujemny. Nie ma takiej wartości c. Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja f w pewnym punkcie nie posiada stycznej., 2. Styczna do wykresu funkcji w punkcie nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu jest równoległa do osi X., 3. Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu jest dodatni., 4. Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu jest ujemny.

Słownik

styczna do krzywej

prosta, która w małym otoczeniu tego punktu ma przebieg zbliżony do przebiegu krzywej, oraz ma w tym otoczeniu dokładnie jeden punkt wspólny z krzywą

3. Funkcja złożona. Pochodna funkcji złożonej

M_R_W19_M3 Pochodna funkcji

Słownik