3. Monotoniczność ciągu - Własności ciągów

R1KKGUT7BQSQA

3. Monotoniczność ciągów

Być może zdarzyło ci się w młodszych klasach szkoły podstawowej tworzyć szlaczki składające się z figur geometrycznych.

Na poniższym rysunku szlaczek zbudowany jest z półkoli. Przyjrzyj się kolejnym półkolom – co zauważasz?

R11OS9LAU2E9B

Ilustracja przedstawia pięć kolejnych figur. Pierwsza od lewej to górne półkole. Druga to górne półkole, w które wpisano dwa górne półkola oparte na średnicy dużego półkola. Suma średnic małych półkoli jest równa średnicy dużego półkola. W każdej kolejnej figurze dodano kolejne mniejsze półkola według opisanej zasady.

Każde następne półkole ma średnicę dwukrotnie mniejszą niż półkole poprzednie (oprócz oczywiście półkola pierwszego - figura 1) . Długości średnic tych półkoli tworzą więc ciąg malejący. O ciągu malejącym mówimy, że jest to ciąg monotoniczny.

Ciągami monotonicznymi oraz odkrywaniem zależności między wyrazami ciągów monotonicznych będziemy zajmować się właśnie w tym materiale.

Twoje cele

Rozpoznasz ciąg monotoniczny.
Określisz monotoniczność ciągu opisanego różnymi sposobami.
Uzasadnisz, że dany ciąg nie jest monotoniczny.
Wykorzystasz własności ciągów monotonicznych.
Określisz monotoniczność danego ciągu.
Korzystając ze wzoru ciągu, zbadasz jego monotoniczność.
Udowodnisz, że dany ciąg jest rosnący albo malejący.

Przykład 1

Wypiszemy kilka początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ określonego wzorem ogólnym $a_{n} = n^{3} - 10$ dla $n \in ℕ_{+}$ .

$a_{1} = 1 - 10 = - 9$

$a_{2} = 8 - 10 = - 2$

$a_{3} = 27 - 10 = 17$

$a_{4} = 64 - 10 = 54$

$a_{5} = 125 - 10 = 115$

$a_{6} = 216 - 10 = 206$

Zauważmy, że każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest większy od wyrazu poprzedniego, czyli ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem rosnącym.

Ciąg rosnący

Definicja: Ciąg rosnący

Ciąg $(a_{n})$ nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest większy od wyrazu poprzedniego.

Czyli dla każdej liczby $n \in ℕ_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n + 1} > a_{n}$ .

RBR2DC1LL3O2L

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią n od minus jeden do sześciu oraz z pionową osią a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego od minus dziesięciu do trzydziestu z podziałką co dziesięć. Na płaszczyźnie zaznaczono pięć punktów i poprowadzono przez nie linią przerywaną krzywą w kształcie prawego ramienia paraboli skierowanego do góry. Krzywa ma początek w punkcie nawias, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu i biegnie w pierwszej ćwiartce.

Przykład 2

Uzasadnimy, że ciąg $(a_{n})$ określony wzorem ogólnym $a_{n} = 4 n - 1$ dla $n \in ℕ_{+}$ jest ciągiem rosnącymciąg rosnącyciągiem rosnącym.

W tym celu określimy wyraz $a_{n + 1}$ .

$a_{n + 1} = 4 (n + 1) - 1 = 4 n + 3$

Zatem

$a_{n + 1} = 4 n + 3 = (4 n - 1) + 4$

$a_{n + 1} = a_{n} + 4$

$a_{n + 1} > a_{n}$

c.n.d

Przykład 3

W tabelce zapisanych jest kilka początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ .

	Początkowe wyrazy ciągu $(a_{n})$
$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$a_{n}$	$18$	$15$	$12$	$9$	$6$

Zauważmy, że każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest mniejszy od wyrazu poprzedniego, czyli ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem malejącym.

Ciąg malejący

Definicja: Ciąg malejący

Ciąg $(a_{n})$ nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest mniejszy od wyrazu poprzedniego.

Czyli dla każdej liczby $n \in ℕ_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n + 1} < a_{n}$ .

R1HACT7FCPF13

Przykład 4

Uzasadnimy, że ciąg $(a_{n})$ określony wzorem ogólnym $a_{n} = - 2 n + 1$ dla $n \in ℕ_{+}$ jest ciągiem malejącymciąg malejącyciągiem malejącym.

W tym celu określimy wyraz $a_{n + 1}$ .

$a_{n + 1} = - 2 (n + 1) + 1 = - 2 n - 1$

Zatem

$a_{n + 1} = - 2 n - 1 = (- 2 n + 1) - 2$

$a_{n + 1} = a_{n} - 2$

$a_{n + 1} < a_{n}$

c.n.d

Przykład 5

Na wykresie zaznaczono kilka początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ .

R15BRSZUDR4AE

Zauważmy, że każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu, czyli ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem stałymciąg stałyciągiem stałym.

Ciąg stały

Definicja: Ciąg stały

Ciąg $(a_{n})$ nazywamy stałym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu.

Czyli dla każdej liczby $n \in ℕ_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n + 1} = a_{n}$ .

Nie każdy ciąg jest rosnący, malejący lub stały.

Przykład 6

Liczby:

$1$ , $2$ , $2$ , $3$ , $3$ , $3$ , $4$ , $4$ , $4$ , $4$ , $5$ , $5$ , $5$ , $5$ , $5$ , $5$ , $. . .$ są kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu $(a_{n})$ określonego dla $n \in ℕ_{+}$ .

Każdy wyraz ciągu (oprócz pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu lub większy od tego wyrazu. O takim ciągu mówimy, że jest niemalejący.

Ciąg niemalejący

Definicja: Ciąg niemalejący

Ciąg $(a_{n})$ nazywamy niemalejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu lub większy od wyrazu poprzedniego.

Czyli dla każdej liczby $n \in ℕ_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n + 1} \geq a_{n}$ .

W podobny sposób możemy określić ciąg nierosnący.

Ciąg nierosnący

Definicja: Ciąg nierosnący

Ciąg $(a_{n})$ nazywamy nierosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu lub mniejszy od wyrazu poprzedniego.

Czyli dla każdej liczby $n \in ℕ_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n + 1} \leq a_{n}$ .

O ciągach rosnących, malejących, stałych, nierosnących, niemalejących mówimy, że są to ciągi monotoniczne.

Nie wszystkie ciągi są monotoniczne. Żeby to udowodnić, wystarczy pokazać, że w danym ciągu $(a_{n})$ istnieją dwa wyrazy takie, że $a_{k + 1} < a_{k}$ i dwa wyrazy takie, że $a_{t + 1} > a_{t}$ , gdzie $k, t \in ℕ_{+}$ .

R8EOQE15DSAR8

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią n od minus jeden do ośmiu oraz z pionową osią a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego od minus dwóch do dwóch. Na płaszczyźnie zaznaczono siedem punktów. Punkty o parzystej pierwszej współrzędnej znajdują się w pierwszej ćwiartce. Poprowadzono przez nie linią przerywaną krzywą w kształcie łuku o wybrzuszeniu w kierunku początku układu współrzędnych. Prawe ramię łuku wypłaszcza się do poziomej dodatniej półosi. Punkty o nieparzystej pierwszej współrzędnej znajdują się w czwartej ćwiartce. Poprowadzono przez nie linią przerywaną krzywą w kształcie łuku o wybrzuszeniu w kierunku początku układu współrzędnych. Prawe ramię łuku wypłaszcza się do poziomej dodatniej półosi.

Przykład 7

Uzasadnimy, że ciąg $(a_{n})$ określony wzorem $a_{n} = {(- 2)}^{n}$ nie jest monotoniczny.

Niech $n$ będzie liczbą parzystą. Wtedy $n + 1$ jest liczbą nieparzystą.
Wówczas $a_{n} = {(- 2)}^{n} = 2^{n} > 0$ oraz $a_{n + 1} = {(- 2)}^{n + 1} = - 2^{n + 1} < 0$
Zatem $a_{n + 1} < a_{n}$ .
Niech $n$ będzie liczbą nieparzystą. Wtedy $n + 1$ jest liczbą parzystą.
Wówczas $a_{n} = {(- 2)}^{n} = - 2^{n} < 0$ oraz $a_{n + 1} = {(- 2)}^{n + 1} = 2^{n + 1} > 0$
Zatem $a_{n + 1} > a_{n}$ .

Na rysunku poniżej przedstawiono wykresy trzech ciągów.

R1KXSJ419PQFF

Ilustracja przedstawia interpretację graficzną trzech ciągów: nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, nawias, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu oraz nawias, c indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu. Na każdym rysunku znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią n od zera do sześciu i z pionową osią na każdym rysunku oznaczoną inaczej, kolejno a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego i c indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, każda pionowa oś jest od minus jeden do pięciu. Ciąg nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu składa się z następujących punktów: nawias, zero przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, trzy, przecinek, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, cztery przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, pięć, przecinek, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, sześć przecinek cztery, zamknięcie nawiasu. Ciąg nawias, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu składa się z następujących punktów: nawias, zero, przecinek, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa, przecinek, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, trzy przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, cztery, przecinek, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, pięć przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, sześć, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu. Ciąg nawias, c indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu składa się z następujących punktów: nawias, zero, przecinek, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa, przecinek, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, trzy, przecinek, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, cztery, przecinek, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, pięć, przecinek, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, sześć, przecinek, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu.

Pierwszy wykres jest wykresem ciągu rosnącego – każdy kolejny wyraz ciągu $(a_{n})$ jest większy od wyrazów poprzednich.

Drugi wykres – to wykres ciągu malejącegociąg malejącymalejącego – każdy kolejny wyraz ciągu $(b_{n})$ jest mniejszy od wyrazów poprzednich.

Trzeci wykres, to wykres ciągu stałego – każdy kolejny wyraz ciągu $(c_{n})$ jest równy wyrazom poprzednim.

Definicję ciągu rosnącego $(a_{n})$ można zapisać w sposób równoważny w postaci nierówności

a_{n + 1} - a_{n} > 0

która jest spełniona dla każdej liczby naturalnej $n \in ℕ_{+}$ .

Definicję ciągu malejącego $(a_{n})$ można zapisać w sposób równoważny w postaci nierówności

a_{n + 1} - a_{n} < 0

która jest spełniona dla każdej liczby naturalnej $n \in ℕ_{+}$ .

Przykład 8

Wykażemy, że ciąg $(d_{n})$ określony dla $n \in ℕ_{+}$ wzorem $d_{n} = 6 - 5 n$ jest malejącyciąg malejącymalejący.

Badamy znak różnicy $d_{n + 1} - d_{n}$ .

$d_{n + 1} - d_{n} = 6 - 5 (n + 1) - 6 + 5 n$

$d_{n + 1} - d_{n} = 6 - 5 n - 5 - 6 + 5 n$

$d_{n + 1} - d_{n} < - 5$

Dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ spełniona jest nierówność $d_{n + 1} - d_{n} < 0$ , zatem ciąg jest malejący, co należało wykazać.

Aplet

Polecenie 1

Zapoznaj się z apletem pokazującym wykresy ciągów. Określ w każdym przypadku monotoniczność ciągów. Porównaj z zapisami w aplecie.

R1KQDM6FSJ6TP

R1R472GAUF74A

Polecenie 2

Sporządź wykres każdego z ciągów i określ, czy jest to ciąg stały, malejący czy rosnący.

Podaj pierwsze sześć wyrazów każdego z ciągów. Oblicz różnicę $a_{n + 1} - a_{n}$ i na tej podstawie określ, czy jest to ciąg stały, malejący czy rosnący.

$a_{n} = - n (n - 1) + n^{2}$

$b_{n} = - 2 n + 6$

$c_{n} = n - 7$

$d_{n} = n^{2} + 2$

$e_{n} = (n - 2) (n + 1) - (n + 1) (n + 2) + 4 n$

(a_{n})

– ciąg rosnący

(a_{n})

– ciąg rosnący

R11CU1SF29C4X

(b_{n})

– ciąg malejący

(b_{n})

– ciąg malejący

RMP5D46D9491J

(c_{n})

– ciąg rosnący

(c_{n})

– ciąg rosnący

RHA1M3UMQEFHF

(d_{n})

– ciąg rosnący

(d_{n})

– ciąg rosnący

RQ89VZTBV7SOR

(e_{n})

– ciąg stały

(e_{n})

– ciąg stały

R11FGN1Z4K4CN

Rozpatrzymy najpierw ciąg $a_{n}$ . Jego pierwsze sześć wyrazów to: $a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{3} = 3, a_{4} = 4, a_{5} = 5, a_{6} = 6$ .

Różnica dwóch kolejnych wyrazów to: $a_{n + 1} - a_{n} = - (n + 1) (n + 1 - 1) + {(n + 1)}^{2} - (- n (n - 1) + n^{2}) = 1 > 0$ , więc ciąg jest rosnący.

Rozpatrzymy następnie ciąg $b_{n}$ . Jego pierwsze sześć wyrazów to: $b_{1} = 4, b_{2} = 2, b_{3} = 0, b_{4} = - 2, b_{5} = - 4, b_{6} = - 6$ .

Różnica dwóch kolejnych wyrazów to: $b_{n + 1} - b_{n} = - 2 (n + 1) + 6 - (- 2 n + 6) = - 2 < 0$ , czyli ciąg jest malejący.

Rozpatrzymy następnie ciąg $c_{n}$ . Jego pierwsze sześć wyrazów to: $c_{1} = - 6, c_{2} = - 5, c_{3} = - 4, c_{4} = - 3, c_{5} = - 2, c_{6} = - 1$ .

Różnica dwóch kolejnych wyrazów to: $c_{n + 1} - c_{n} = (n + 1) - 7 - (n - 7) = 1 > 0$ , czyli ciąg jest rosnący.

Rozpatrzymy następnie ciąg $d_{n}$ . Jego pierwsze sześć wyrazów to: $d_{1} = 3, d_{2} = 6, d_{3} = 11, d_{4} = 18, d_{5} = 27, d_{6} = 38$ .

Różnica dwóch kolejnych wyrazów to: $d_{n + 1} - d_{n} = {(n + 1)}^{2} + 2 - (n^{2} + 2) = 2 n + 1 > 0$ , ponieważ $n = 1, 2, 3, . . .$ . Zatem ciąg ten jest rosnący.

Rozpatrzymy następnie ciąg $e_{n}$ . Jego pierwsze sześć wyrazów to: $e_{1} = - 4, e_{2} = 4, e_{3} = - 4, e_{4} = - 4, e_{5} = - 4, e_{6} = - 4$ .

Różnica dwóch kolejnych wyrazów to: $e_{n + 1} - e_{n} = (n + 1 - 2) (n + 1 + 1) - (n + 1 + 1) (n + 1 + 2) +$

$+ 4 (n + 1) - (n - 2) (n + 1) + (n + 1) (n + 2) - 4 n = 0$ , więc ciąg jest stały.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

RnY3epywkfIa11

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

W tabeli podane zostały wszystkie wyrazy ciągu $(a_{n})$ . Rozstrzygnij, czy ciąg $(a_{n})$ jest monotoniczny.

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$a_{n}$	$- 3$	$- 1$	$0$	$1$	$3$	$5$	$4$

Ciąg nie jest monotoniczny, ponieważ zachodzą jednocześnie dwie nierówności $a_{1} < a_{2}$ oraz $a_{6} > a_{7}$ .

Ćwiczenie 3

R1XKVX4E4FJEN

Pokaż uzasadnienieazure

R1P13QAUCS1HZ2

Ćwiczenie 4

R5T7O81582RPN1

Ćwiczenie 5

RRLU6BEJJ287G2

Ćwiczenie 6

RTKS2SPM9EQHU2

Ćwiczenie 7

Ciągi określone są podanymi wzorami. Przeciągnij wzór każdego ciągu do odpowiedniego pola. Ciągi rosnące Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. c indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery n, 4. t indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, jeden, minus, n, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, plus, n, zamknięcie nawiasu, 5. k indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa n, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, minus, nawias, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. d indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, nawias, jeden, minus, n, zamknięcie nawiasu, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu Ciagi malejące Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. c indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery n, 4. t indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, jeden, minus, n, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, plus, n, zamknięcie nawiasu, 5. k indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa n, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, minus, nawias, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. d indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, nawias, jeden, minus, n, zamknięcie nawiasu, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu Ciągi stałe Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. c indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery n, 4. t indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, jeden, minus, n, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, plus, n, zamknięcie nawiasu, 5. k indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa n, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, minus, nawias, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. d indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, nawias, jeden, minus, n, zamknięcie nawiasu, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 8

RSPF9QZMRDQ1T

RGRKXB91KSPOX

RG85MFU2RE9MD

Ćwiczenie 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1USZubUl0CMn2

Ćwiczenie 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1TSKCCKOMT651

Ćwiczenie 10

Słownik

ciąg rosnący

ciąg $(a_{n})$ nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest większy od wyrazu poprzedniego; czyli dla każdej liczby $n \in ℕ_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n + 1} > a_{n}$

ciąg malejący

ciąg $(a_{n})$ nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest mniejszy od wyrazu poprzedniego; czyli dla każdej liczby $n \in ℕ_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n + 1} < a_{n}$

ciąg stały

ciąg $(a_{n})$ nazywamy stałym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu; czyli dla każdej liczby $n \in ℕ_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n + 1} = a_{n}$

2. Suma n początkowych wyrazów ciągu

4. Ciąg określony rekurencyjnie

3. Monotoniczność ciągów

Aplet

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Słownik