4. Ciąg określony rekurencyjnie

R1DNQX8LGAVL8

Rekurencja opiera się na określeniu zjawisk (lustro w lustrze), sytuacji (sen we śnie), czy zależności za pomocą samych siebie.

Najprostszym przykładem definicji rekurencyjnej w matematyce jest określenie zbioru liczb naturalnych: pierwsza liczba naturalna to $0$ , a każda następna liczba naturalna powstaje z poprzedniej przez dodanie liczby $1$ .

Rekurencja ma zastosowanie w różnych dziedzinach wiedzy – ekonomii, biologii, optyce.

Modelem rekurencji w sztuce są na przykład lalki matrioszki.

R1F9JOSGKP8TO

Zdjęcie przedstawia matrioszki ustawione od największej do najmniejszej. — Rosyjska matrioszka
Źródło: Dennis Jarvis, dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY-SA 2.0.

W tym materiale poznamy przykłady ciągów określonych w sposób rekurencyjny.

Twoje cele

Określisz ciąg liczbowy w sposób rekurencyjny.
Obliczysz początkowe wyrazy ciągu określonego rekurencyjnie.
Zapiszesz ciąg określony rekurencyjnie innymi sposobami.

Przykład 1

Szwaczka według planu powinna uszyć $10$ sukienek dziennie. Za uszycie jedenastej sukienki otrzymuje $30 zł$ , a za uszycie każdej następnej sukienki otrzymuje o $10 zł$ więcej niż za uszycie poprzedniej.

Oznaczając przez $s_{n}$ kwotę, którą otrzyma szwaczka za uszycie $n$ –tej sukienki ponad plan, możemy zapisać:

$s_{1} = 30$

$s_{2} = s_{1} + 10$

$s_{3} = s_{2} + 10$

$. . .$

$s_{n + 1} = s_{n} + 10$

Zauważmy, że liczby $s_{1}$ , $s_{2}$ , $s_{3}$ , $. . .$ , $s_{n}$ tworzą ciąg.

Ciąg ten możemy zdefiniować wzorem rekurencyjnym.

$\{\begin{cases} s_{1} = 30 \\ s_{n + 1} = s_{n} + 10 \end{cases}$

Istotą definicji rekurencyjnej jest odwoływanie się do samej siebie. Kolejne wyrazy ciągu zależą nie tylko od zmiennej $n$ , ale też od jednego lub kilku wyrazów poprzednich.

Ciąg zdefiniowany rekurencyjnie

Definicja: Ciąg zdefiniowany rekurencyjnie

Mówimy, że ciąg jest zdefiniowany rekurencyjnie, jeżeli:

określony jest pewien skończony zbiór wyrazów tego ciągu (zwykle jest to pierwszy wyraz ciągu lub kilka jego pierwszych wyrazów),

pozostałe wyrazy ciągu są zdefiniowane za pomocą poprzednich wyrazów tego ciągu.

Przykład 2

Ciąg Lucasa

Ciąg Lucasa $(L_{n})$ , nazwany tak na cześć dziewiętnastowiecznego matematyka Francoisa Lucasa, zdefiniowany jest w sposób rekurencyjny. Każdy wyraz tego ciągu, począwszy od wyrazu trzeciego, jest sumą dwóch wyrazów go poprzedzających.

L_{n} = \{\begin{cases} 2, n = 0 \\ 1, n = 1 \\ L_{n - 1} + L_{n - 2}, n > 1 \end{cases}

RASOAZA7OKUE9

Ilustracja przedstawia prostokąt podzielony na kwadraty, których długości boków są kolejnymi wyrazami ciągu Lucasa. Wewnątrz figury znajduje się spirala przypominająca skorupkę ślimaka. Na każdym zakręcie spirali dotykającym krawędzi kwadratu, pojawia się rozbicie na mniejsze kwadraty. Kwadraty mają boki o następujących długościach: siedemdziesiąt sześć, przecinek, czterdzieści siedem, przecinek, dwadzieścia dziewięć, przecinek, osiemnaście, przecinek, jedenaście, przecinek, siedem, przecinek, cztery, przecinek, . . . — Spirala zbudowana w kwadratach, których długości boków są kolejnymi wyrazami ciągu Lucasa

Wyrazy tego ciągu to liczby naturalne, zwane oczywiście liczbami Lucasa. Obecnie ciągi tych liczb znajdują zastosowania w algorytmach szyfrowania.

Obliczymy początkowe wyrazy ciągu Lucasa, korzystając ze wzoru rekurencyjnego.

L_{0} = 2

L_{1} = 1

L_{2} = L_{2 - 1} + L_{2 - 2} = L_{1} + L_{0} = 1 + 2 = 3

L_{3} = L_{3 - 1} + L_{3 - 2} = L_{2} + L_{1} = 3 + 1 = 4

L_{4} = L_{4 - 1} + L_{4 - 2} = L_{3} + L_{2} = 4 + 3 = 7

W tabelce zamieszczamy obliczone wyrazy i jeszcze kilka innych początkowych wyrazów tego ciągu.

Kilka początkowych wyrazów ciągu Lucasa
$L_{0}$	$L_{1}$	$L_{2}$	$L_{3}$	$L_{4}$	$L_{5}$	$L_{6}$	$L_{7}$	$L_{8}$	$L_{9}$	$L_{10}$
$2$	$1$	$3$	$4$	$7$	$11$	$18$	$29$	$47$	$76$	$123$

Zauważmy, że sposób rekurencyjny określania ciągu nie jest zbyt wygodny, bo obliczenie na przykład wyrazu dziesiątego, wymaga znalezienia aż dziewięciu wyrazów go poprzedzających.
W praktyce zatem częściej stosuje się wzór ogólny ciągu, gdyż korzystając z takiego wzoru można od razu wyznaczyć żądany wyraz ciągu, w szczególności, gdy jest to wyraz o dużym indeksie. Nie zawsze jest to możliwe, czasami bardzo trudne, ale warto prześledzić sposób postępowania w tych przypadkach, gdy jest to proste.

Przykład 3

Ciąg $(a_{n})$ określony jest dla $n \geq 1$ wzorem rekurencyjnym $\{\begin{cases} a_{1} = 4 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 2 \end{cases}$ .

Znajdziemy wzór na $n$ –ty wyraz tego ciągu.

Wyznaczymy kilka początkowych wyrazów ciągu i ustalimy zależność między wartością wyrazu ciągu, a jego wskaźnikiem.

$a_{1} = 4$

$a_{2} = 4 + 2 = 6 = 2 \cdot 2 + 2$

$a_{3} = 6 + 2 = 8 = 2 \cdot 3 + 2$

$a_{4} = 8 + 2 = 10 = 2 \cdot 4 + 2$

$a_{5} = 10 + 2 = 12 = 2 \cdot 5 + 2$

$a_{6} = 12 + 2 = 14 = 2 \cdot 6 + 2$

Zauważamy, że:

$a_{n} = 2 \cdot n + 2$ .

Szukany wzór ogólny to

$a_{n} = 2 n + 2$ , gdy $n \geq 1$ .

Przykład 4

Ciąg $(a_{n})$ określony jest za pomocą wzoru rekurencyjnego $\{\begin{cases} a_{1} = 1 \\ a_{n + 1} = 5 \cdot a_{n}, n \geq 1 \end{cases}$ .

Podamy wzór na $n$ –ty wyraz tego ciągu.

1 Sposób

Wyznaczamy kilka początkowych wyrazów ciągu i staramy się odkryć zależność między wyrazem $a_{n}$ i $n$ .

$n$	$a_{n}$
$1$	$a_{1} = 1 = 5^{0} = 5^{1 - 1}$
$2$	$a_{2} = 5 \cdot 1 = 5 = 5^{2 - 1}$
$3$	$a_{3} = 5 \cdot 5 = 25 = 5^{3 - 1}$
$4$	$a_{4} = 5 \cdot 25 = 125 = 5^{4 - 1}$
$5$	$a_{5} = 5 \cdot 125 = 625 = 5^{5 - 1}$
...	...
$n$	$a_{n} = 5^{n - 1}$

Zauważmy, że poszczególne wyrazy ciągu można zapisać w postaci potęgi liczby $5$ . Zatem wzór ogólny ciągu to:

$a_{n} = 5^{n - 1}$ dla $n \in ℕ_{+}$ .

2 Sposób

Na podstawie wzoru rekurencyjnego zapisujemy zależności między wyrazami ciągu.

$a_{2} = 5 a_{1}$

$a_{3} = 5 a_{2}$

$a_{4} = 5 a_{3}$

$a_{5} = 5 a_{4}$

$a_{6} = 5 a_{5}$

...

$a_{n - 1} = 5 a_{n - 2}$

$a_{n} = 5 a_{n - 1}$

Mnożymy stronami zapisane równości (jest ich $n - 1$ ).

$a_{2} a_{3} a_{4} \cdot$ ... $\cdot a_{n - 1} a_{n} = 5 a_{1} \cdot 5 a_{2} \cdot ... \cdot 5 a_{n - 2} \cdot 5 a_{n - 1}$

Każdy wyraz ciągu $(a_{n})$ jest różny od zera, zatem możemy obie strony otrzymanej równości podzielić przez $a_{2} a_{3} a_{4} \cdot ... \cdot a_{n - 1}$ .

Stąd

$a_{n} = 5^{n - 1} \cdot a_{1}$ .

Ponieważ $a_{1} = 1$ , więc ostatecznie

$a_{n} = 5^{n - 1}$ dla $n \in ℕ_{+}$ .

Badanie własności ciągu określonego rekurencyjniedefinicja rekurencyjna ciąguciągu określonego rekurencyjnie jest dość trudne, zatem warto najpierw znaleźć wzór ogólny tego ciągu, a dopiero następnie określać jego własności.

Przykład 5

Zbadamy monotoniczność ciągu $(a_{n})$ określonego za pomocą wzoru rekurencyjnego $\{\begin{cases} a_{1} = 9 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 2, n \geq 1 \end{cases}$ .

Wypisujemy kilka początkowych wyrazów ciągu i staramy się odkryć zależność między wyrazem $a_{n}$ i $n$ .

$n$	$a_{n}$
$1$	$a_{1} = 9 = 9 + (1 - 1) \cdot 2$
$2$	$a_{2} = 9 + 2 = 11 = 9 + 2 = 9 + (2 - 1) \cdot 2$
$3$	$a_{3} = 11 + 2 = 13 = 9 + 4 = 9 + (3 - 1) \cdot 2$
$4$	$a_{4} = 13 + 2 = 15 = 9 + 6 = 9 + (4 - 1) \cdot 2$
$5$	$a_{5} = 15 + 2 = 17 = 9 + 8 = 9 + (5 - 1) \cdot 2$
...	...
$n$	$a_{n} = 9 + (n - 1) \cdot 2$

Znaleziony wzór ogólny ciągu zapiszemy w prostszej postaci.

$a_{n} = 9 + (n - 1) \cdot 2$

$a_{n} = 2 n + 7$

Określamy monotoniczność ciągu.

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 (n + 1) + 7 - 2 n - 7$

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 n + 2 - 2 n = 2 > 0$

Różnica między kolejnymi wyrazami ciągu jest dodatnia – ciąg jest rosnący.

Przykład 6

Wykażemy, że żaden wyraz ciągu $(b_{n})$ określonego wzorem $\{\begin{cases} b_{1} = 2 \\ b_{n + 1} = 3 b_{n} - 2, n \geq 1 \end{cases}$ nie jest równy $0$ .

Wypisujemy kilka początkowych wyrazów ciągu, aby znaleźć wzór ogólny ciągu.

$b_{1} = 2$

$b_{2} = 3 \cdot 2 - 2 = 4 = 3 + 1 = 3^{1} + 1$

$b_{3} = 3 \cdot 4 - 2 = 10 = 3^{2} + 1$

$b_{4} = 3 \cdot 10 - 2 = 28 = 3^{3} + 1$

$b_{5} = 3 \cdot 28 - 2 = 82 = 3^{4} + 1$

Formułujemy wzór ogólny ciągu.

$b_{n} = 3^{n - 1} + 1$ dla $n \geq 1$ .

Szukamy wyrazów ciągu, które są równe $0$ .

$3^{n - 1} + 1 = 0$

$\frac{1}{3} \cdot 3^{n} = - 1$

$3^{n} = - 3$

Dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $3^{n}$ jest dodatnia. Zatem zapisane równanie jest sprzeczne. Czyli dla każdej liczby naturalnej $n$ prawdziwa jest nierówność $b_{n} > 0$ . Wykazaliśmy więc, że każdy wyraz ciągu $(b_{n})$ jest różny od $0$ , co należało wykazać.

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z animacją pokazującą sposoby poszukiwania wzoru ogólnego ciągu określonego wzorem rekurencyjnym. Spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązać proponowane tam zadania, a następnie porównaj z rozwiązaniami.

R1U7QFF8NN82C

Polecenie 1

Wyznacz wzór ogólny ciągu $(a_{n})$ określonego wzorem rekurencyjnym $\{\begin{cases} a_{1} = 1 \\ a_{n + 1} = a_{n} + n + 1 \end{cases}$ .

Kolejne wyrazy ciągu

$a_{1} = 1$

$a_{2} = 1 + 1 + 1 = 3 = \frac{2 \cdot 3}{2}$

$a_{3} = 3 + 2 + 1 = 6 = \frac{3 \cdot 4}{2}$

$a_{4} = 6 + 3 + 1 = 10 = \frac{4 \cdot 5}{2}$

$a_{5} = 10 + 4 + 1 = 15 = \frac{5 \cdot 6}{2}$

$a_{6} = 15 + 5 + 1 = 21 = \frac{6 \cdot 7}{2}$

$a_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ , dla $n \geq 1$

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

ROCL5KQHSFMF81

Ćwiczenie 1

RK9SZN76ESGHX2

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Ciąg $(a_{n})$ jest określony wzorem:

$\{\begin{cases} a_{1} = 1 \\ a_{2} = 2 \\ a_{n + 1} = a_{n} - a_{n - 1}, n \geq 2 \end{cases}$

R3ZDLV2M5PJFZ

Ćwiczenie 4

Ciąg $(a_{n})$ określony jest wzorem:

$\{\begin{cases} a_{0} = 0 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 2 n, n \geq 0 \end{cases}$

R1QDD4GQ4UXVJ

Uzupełnij zadania, przeciągając odpowiednie wyrażenia. Każdy wyraz tego ciągu jest 1. ujemny, 2. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, 3. trzykrotnie, 4. nieujemny, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, n, 6. dwukrotnie, 7. dodatni, 8. pięciokrotnie, 9. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa n, 10. niedodatni, 11. a indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, 12. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, n, 13. a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego.
Wyraz a indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego jest 1. ujemny, 2. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, 3. trzykrotnie, 4. nieujemny, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, n, 6. dwukrotnie, 7. dodatni, 8. pięciokrotnie, 9. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa n, 10. niedodatni, 11. a indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, 12. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, n, 13. a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego większy od wyrazu a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego.
Wyraz ogólny tego ciągu to 1. ujemny, 2. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, 3. trzykrotnie, 4. nieujemny, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, n, 6. dwukrotnie, 7. dodatni, 8. pięciokrotnie, 9. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa n, 10. niedodatni, 11. a indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, 12. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, n, 13. a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego.
Wyrazy a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i 1. ujemny, 2. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, 3. trzykrotnie, 4. nieujemny, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, n, 6. dwukrotnie, 7. dodatni, 8. pięciokrotnie, 9. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa n, 10. niedodatni, 11. a indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, 12. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, n, 13. a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego są równe.

R9EAPZATESRJA1

Ćwiczenie 5

R1DGGL7X6BV3M1

Ćwiczenie 6

R1E5AMUOGQJV22

Ćwiczenie 7

Dopasuj wzór ogólny ciągu do wzoru rekurencyjnego. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, koniec równania, drugie równanie, a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, plus, cztery, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, cztery n, plus, jeden, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery n, plus, jeden, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery n, minus, jeden, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, cztery n nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, cztery, koniec równania, drugie równanie, a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, minus, cztery, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, cztery n, plus, jeden, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery n, plus, jeden, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery n, minus, jeden, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, cztery n nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, trzy, koniec równania, drugie równanie, a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, minus, cztery, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, cztery n, plus, jeden, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery n, plus, jeden, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery n, minus, jeden, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, cztery n nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, koniec równania, drugie równanie, a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, plus, cztery, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, cztery n, plus, jeden, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery n, plus, jeden, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery n, minus, jeden, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, cztery n

R2ESZ2GQQ2GXC2

Ćwiczenie 8

Ciąg nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu określony jest wzorem a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwa, przecinek, n, równa się, zero, koniec równania, drugie równanie, jeden, przecinek, n, równa się, jeden, koniec równania, trzecie równanie, a indeks dolny, n, minus, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, dwa, razy, a indeks dolny, n, minus, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, n, większy niż, jeden, koniec równania, koniec układu równań.

Uzupełnij zdania, przeciągając odpowiednie liczby. Wyraz a indeks dolny, sześć, koniec indeksu dolnego ciągu to 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, plus, nawias, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 2. sześćdziesiąt pięć, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, minus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 4. trzydzieści jeden, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, plus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 6. takie same, 7. nie jest, 8. sto dwadzieścia siedem, 9. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, minus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 10. dodatnie, 11. ujemne, 12. jest.
Wzór ogólny ciągu to 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, plus, nawias, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 2. sześćdziesiąt pięć, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, minus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 4. trzydzieści jeden, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, plus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 6. takie same, 7. nie jest, 8. sto dwadzieścia siedem, 9. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, minus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 10. dodatnie, 11. ujemne, 12. jest.
Ciąg 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, plus, nawias, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 2. sześćdziesiąt pięć, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, minus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 4. trzydzieści jeden, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, plus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 6. takie same, 7. nie jest, 8. sto dwadzieścia siedem, 9. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, minus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 10. dodatnie, 11. ujemne, 12. jest monotoniczny.
Wszystkie wyrazy ciągu są 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, plus, nawias, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 2. sześćdziesiąt pięć, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, minus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 4. trzydzieści jeden, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, plus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 6. takie same, 7. nie jest, 8. sto dwadzieścia siedem, 9. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, minus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 10. dodatnie, 11. ujemne, 12. jest.

RPPH18GG3PD132

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

Oblicz, który wyraz ciągu $(a_{n})$ określonego wzorem $\{\begin{cases} a_{1} = 1 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 8 n \end{cases}$ jest równy $625$ .

Oblicz kilka ppczątkowych wyrazów tego ciągu. Na ich podstawie okreśł wzór ogólny. Następnie oblicz, który z wyrazów jest równy $625$ .

Obliczamy wartości kilku początkowych wyrazów ciągu.

$a_{2} = 1 + 8 = 9 = 3^{2}$

$a_{3} = 9 + 8 \cdot 2 = 9 + 16 = 25 = 5^{2}$

$a_{4} = 25 + 8 \cdot 3 = 25 + 24 = 49 = 7^{2}$

$a_{5} = 49 + 8 \cdot 4 = 49 + 32 = 81 = 9^{2}$

$a_{6} = 81 + 8 \cdot 5 = 121 = 11^{2}$

Wzór ogólny $a_{n} = {(2 n - 1)}^{2}$ .

Wyznaczamy wyraz ciągu równy $625$ .

${(2 n - 1)}^{2} = 625$

$2 n - 1 = 25$ lub $2 n - 1 = - 25$

$n = 13$ lub $n = - 12$

Ponieważ $n$ jest liczbą dodatnią, zatem szukany wyraz to $a_{13}$ .

Ćwiczenie 11

Ciąg ośmiowyrazowy $(a_{n})$ określony jest za pomocą tabelki. Określ ten ciag rekurencyjnie.

Kolejne wyrazy ciągu
$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$a_{n}$	$- 2$	$5$	$0$	$7$	$2$	$9$	$4$	$11$

Zapisz zależnośc pomiędzy dwoma kolejnymi wyrazami ciągu tak, jak w poniższym przykładzie:

$a_{2} = 5 = - (- 2) + 2 \cdot 1 + 1 = - a_{1} + 3$ .

Odkryj regułę wyznaczania kolejnych wyrazów ciągu.

Odkrywamy zależność między kolejnymi wyrazami ciągu.

$a_{1} = - 2$

$a_{2} = 5 = - (- 2) + 2 \cdot 1 + 1 = - a_{1} + 3$

$a_{3} = 0 = - (5) + 2 \cdot 2 + 1 = - a_{2} + 5$

$a_{4} = 7 = 0 + 2 \cdot 3 + 1 = - a_{3} + 7$

Zapisujemy wzór rekurencyjny ciągu.

$a_{n + 1} = {\begin{cases} - 2, n = 1 \\ - a_{n} + 2 (n + 1) - 1, n \geq 1 \end{cases}$

lub

$a_{n + 1} = {\begin{cases} - 2, n = 1 \\ - a_{n} + 2 n + 1, n \geq 1 \end{cases}$

Słownik

definicja rekurencyjna ciągu

mówimy, że ciąg jest zdefiniowany rekurencyjnie, jeżeli:

określony jest pewien skończony zbiór wyrazów tego ciągu (zwykle jest to pierwszy wyraz ciągu lub kilka jego pierwszych wyrazów),
pozostałe wyrazy ciągu są zdefiniowane za pomocą poprzednich wyrazów tego ciągu

3. Monotoniczność ciągu

5*. Wiedza z plusem: Ciąg Fibonacciego