3. Najmniejsza i największa wartość funkcji

RLBqWVqTSPERH

Potrafimy wyznaczyć wartości funkcji w punkcie oraz określić zbiór wartości funkcji. Bardzo ważną umiejętnością jest określanie wartości najmniejszej oraz wartości największej przyjmowanych przez funkcję.

Czy każda funkcja przyjmuje zawsze wartość największą?
Czy każda funkcja zawsze przyjmuje wartość najmniejszą?
Odpowiedzi na te pytania uzyskamy analizując poniższy materiał.

Twoje cele

Wyznaczysz najmniejszą/największą wartość funkcji, o ile taka istnieje.
Sprawdzisz, czy funkcja posiada wartość najmniejszą/największą.
Udowodnisz, że dana liczba jest najmniejszą/największą wartością funkcji.
Wyznaczysz najmniejszą/największą wartość funkcji w przedziale domkniętym, o ile taka istnieje.
Sprawdzisz, czy funkcja posiada wartość najmniejszą/największą w przedziale domkniętym.
Udowodnisz, że dana liczba jest najmniejszą/największą wartością funkcji w przedziale domkniętym,.

Najmniejsza wartość funkcji liczbowej

Definicja: Najmniejsza wartość funkcji liczbowej

Najmniejszą wartością funkcji liczbowej nazywamy najmniejszą z liczb należących do zbioru wartości funkcji, o ile w zbiorze wartości taka liczba istnieje.

Największa wartość funkcji liczbowej

Definicja: Największa wartość funkcji liczbowej

Największą wartością funkcji liczbowej nazywamy największą z liczb należących do zbioru wartości funkcji, o ile w zbiorze wartości taka liczba istnieje.

Funkcja może być opisana różnymi sposobami. Pokażemy, w jaki sposób możemy wyznaczyć najmniejszą/największą wartość funkcji w zależności od sposobu opisu funkcji.

Pomogą nam w tym poniższe przykłady.

Przykład 1

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą grafu.

RvSlFyhIx6uMO

Graf składa się z dwóch pionowo ustawionych elips reprezentujących odpowiednio: lewa zbiór X, prawa zbiór Y. Z liczb będących elementami zbioru X poprowadzone są strzałki z grotami skierowanymi do elementów ze zbioru Y. Nad strzałkami widnieje litera „f” oznaczająca funkcję odwzorowującą zbiór X w zbiór Y. Wszystkie elementy z obu zbiorów mają parę. Pary są następujące: minus 3, 13; minus 2, 10; minus 1, 7; minus 1 7; 0, 4; 1 1; 2 minus 2; 3 minus 5; 4 minus 8.

Wskażemy największą oraz najmniejszą wartość funkcji $f$ .

Rozwiązanie

Na podstawie grafu określimy zbiór wartości funkcji $f$ .

$Z W_{f} = \{- 8, - 5, - 2, 1, 4, 7, 10, 13\}$

Analizując zbiór wartości funkcji $f$ , zauważamy, że funkcja osiąga wartość najmniejszą, równą $- 8$ , dla argumentu $x = 4$ oraz wartość największą, równą $13$ , dla argumentu $x = - 3$ .

Przykład 2

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki.

$x$	$- 4, 6$	$- 3, 7$	$- 2, 8$	$0$	$1, 9$	$4, 2$	$5, 4$
$f (x)$	$- 1$	$- 1$	$- 1$	$0$	$1$	$1$	$1$

Wyznaczymy największą oraz najmniejszą wartość funkcji $f$ .

Rozwiązanie

Na podstawie tabelki wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ .

$Z W_{f} = \{- 1, 0, 1\}$

Zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjiZbiór wartości funkcji jest zbiorem zawierającym trzy elementy.

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą, równą $- 1$ , dla trzech argumentów: $- 4, 6$ ; $- 3, 7$ ; $- 2, 8$ .

Funkcja przyjmuje wartość największą, równą $1$ , dla trzech argumentów: $1, 9$ ; $4, 2$ ; $5, 4$ .

Przykład 3

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych.

$\{(- 3 \frac{5}{8}, - 5), (- 2 \frac{1}{4}, - 3), (- \frac{5}{7}, - 2), (0, 2), (4, 3), (5 \frac{1}{6}, 6)\}$

Wyznaczymy najmniejszą oraz największą wartość funkcji $f$ .

Rozwiązanie

Zapisujemy zbiór wartości funkcji $f$ .

$Z W_{f} = \{- 5, - 3, - 2, 2, 3, 6\}$

Analizując zbiór wartości funkcji $f$ zauważamy, że funkcja osiąga wartość najmniejszą, równą $- 5$ , dla argumentu $x = - 3 \frac{5}{8}$ , a wartość największą, równą $6$ , dla argumentu $x = 5 \frac{1}{6}$ .

Powyższe przykłady pokazały nam, że funkcja może osiągać wartość najmniejszą oraz wartość największą.

Czy każda funkcja zawsze osiąga wartość najmniejszą oraz wartość największą?

W każdym z powyższych przykładów dziedziną funkcji był zbiór skończony składający się z niewielu elementów.
Zbiór wartości funkcji również był zbiorem skończonym.
W celu wyznaczenia najmniejszej lub największej wartości funkcji należało zapisać elementy tworzące zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji w porządku rosnącym.
Najmniejsza liczba należąca do zbioru wartości była najmniejszą wartością funkcji, a liczba największa była największą wartością funkcji. Kolejne przykłady pokażą nam w jaki sposób wyznaczyć wartość najmniejszą/największą funkcji, gdy jest ona opisana za pomocą wzoru, wykresu lub opisu słownego.

Przykład 4

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą opisu słownego.

Funkcja $f$ każdej liczbie rzeczywistej $x$ przyporządkowuje różnicę wartości bezwzględnej liczby $x$ i liczby $3$ . Sprawdzimy, czy funkcja $f$ posiada wartość najmniejszą oraz wartość największą.

Rozwiązanie

W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji $f$ , zapiszemy wzór tej funkcji oraz naszkicujemy jej wykres.

Wzór funkcji: $f (x) = |x| - 3$ , gdy $x \in ℝ$ .

RsAO88qu3Ofjh

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do trzech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji przypominający kształtem literę V. Wykres składa się z dwóch półprostych i jest symetryczny względem osi X. Lewa półprosta przecina oś X w punkcie minus 3, a jej koniec znajduje się w punkcie 0 minus 3. Prawa półprosta ma koniec w tym samym punkcie i przecina oś X w punkcie 3.

Z wykresu odczytujemy zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji $f$ .

$Z W_{f} = ⟨- 3, \infty)$ .

Zbiorem wartości funkcji jest przedział lewostronnie domknięty.

Funkcja $f$ przyjmuje wartość najmniejszą równą $- 3$ , dla argumentu $x = 0$ .

Funkcja $f$ nie przyjmuje wartości największej.

Przykład 5

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru $f (x) = - x^{2} + 3$ , gdy $x \in ℝ$ . Sprawdzimy, czy funkcja przyjmuje wartość najmniejszą oraz czy przyjmuje wartość największą.

Rozwiązanie

W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji naszkicujemy jej wykres.

R1LaT0eFeCWlk

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowana jest parabola z ramionami skierowanymi w dół, będąca wykresem funkcji f. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie 0 3.

Z wykresu odczytujemy zbiór wartości funkcji $f$ .

$Z W_{f} = (- \infty, 3⟩$ .

Zbiorem wartości funkcji jest przedział prawostronnie domknięty.

Funkcja $f$ przyjmuje wartość największą równą $3$ , dla argumentu $x = 0$ .

Funkcja $f$ nie przyjmuje wartości najmniejszej.

Przykład 6

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru $f (x) = \sin x$ , gdy $x \in ℝ$ . Sprawdzimy, czy funkcja przyjmuje wartość najmniejszą oraz czy przyjmuje wartość największą.

Rozwiązanie

W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji $f$ naszkicujemy jej wykres. Jest to przykład funkcji, której dziedziną jest zbiór nieskończony i zbiorem wartości jest przedział obustronnie domknięty.

$Z W_{f} = ⟨- 1, 1⟩$ .

REBPXo3yaDDRr

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pi do pięciu drugich pi oraz z pionową osią Y od minus dwóch do dwóch. Na płaszczyźnie narysowana jest sinusoida.

Funkcja $f$ przyjmuje wartość najmniejszą, równą $- 1$ , dla argumentów $x = - \frac{π}{2} + 2 k π$ , gdy $k \in ℤ$ .

Funkcja $f$ przyjmuje wartość największą, równą $1$ , dla argumentów $x = \frac{π}{2} + 2 k π$ , gdy $k \in ℤ$ .

Ważne!

Podsumujmy poznane informacje.

Jeżeli dziedziną funkcji jest zbiór skończony składający się z niewielkiej liczby elementów, to do wyznaczenia wartości największej oraz wartości najmniejszej funkcji należy uporządkować liczby należące do zbioru wartości od najmniejszej do największej liczby i wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji.

Jeżeli dziedziną funkcji jest zbiór nieskończony, to funkcja może nie przyjmować wartości największej/najmniejszej.

Polecenie 1

Aplet przedstawia wykresy dwóch funkcji. Przeanalizuj uważnie przykłady przedstawione w aplecie. Zmieniając położenia suwaków oraz zmieniając dziedzinę funkcji zauważ, jak zmieniają się wartości najmniejsze oraz największe funkcji. Odpowiedz na pytanie: czy zawsze funkcja przyjmuje wartość najmniejszą oraz wartość największą?

Zapoznaj się z opisem apletu, który przedstawia wykresy dwóch funkcji. Zwróć uwagę, że zmieniając dziedzinę funkcji, zmieniają się wartości najmniejsze oraz największe funkcji. Odpowiedz na pytanie: czy zawsze funkcja przyjmuje wartość najmniejszą oraz wartość największą?

R1bFU6fdpiSRS

Po analizie przykładów przedstawionych w aplecie wykonaj poniższe polecenia.

Polecenie 2

Wyznacz (o ile istnieje) największą oraz najmniejszą wartość funkcji $f (x) = \frac{10}{x}$ , gdy $x \in ⟨2, \infty)$ .

Wartość największa – $5$ .

Wartość najmniejsza – nie istnieje.

Polecenie 3

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

R1VzPkEpAkLt8

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji f składający się z trzech odcinków i jednego punktu. Od lewej mamy: Odcinek prawostronnie otwarty, którego lewy koniec jest w punkcie minus 3 0, a prawy koniec nienależący do odcinka jest w punkcie 1 2. Punkt ten jest także lewym końcem drugiego odcinka, również nienależącym do tego odcinka. Prawy koniec drugiego odcinka jest w punkcie 3 1. Trzeci odcinek jest odcinkiem otwartym o lewym końcu w punkcie 3 minus 1 i prawym końcu w punkcie 5 1. Punkt należący do wykresu funkcji ma współrzędne 5 minus dwa.

Odczytaj z wykresu najmniejszą oraz największą wartość funkcji.

R1EQCofw3wTkC

Wartość największa – nie istnieje.

Wartość najmniejsza – $(- 2)$ .

Skupimy się teraz na wyznaczaniu najmniejszej i największej wartości funkji na przedziale domknietym. Najmniejszą/największą wartość funkcji liczbowej zwykle określa się posługując się wzorem funkcji. Nasze rozważania będziemy prowadzić korzystając z wykresu funkcji.

Przykład 7

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

R1RF91V3GPK8k

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Wykres funkcji jest w kształcie nieregularnej fali o początku w punkcie -3;2, a koniec w punkcie 4;-4. Wykres ten przechodzi przez następujące punkty charakterystyczne: -1;0 oraz 0;-3. Najwyżej położonym punktem wykresu jest punkt o współrzędnych -2;312, a najniżej położonym punktem wykresu jest jego koniec, czyli przytoczony wcześniej punkt 4;-4.

Odczytamy z wykresu zbiór wartości funkcji. Podamy najmniejszą wartość funkcjinajmniejsza wartość funkcjinajmniejszą wartość funkcji oraz największą wartość funkcjinajwiększa wartość funkcjinajwiększą wartość funkcji, o ile istnieje, oraz argument (argumenty), dla którego (dla których) ta wartość jest przyjmowana.

Rozwiązanie

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji.

$Z W_{f} \in ⟨ - 4; 3, 5 ⟩$

Wartość największą, równą $3, 5$ , przyjmuje funkcja dla argumentu $x = - 2$ .

Wartość najmniejszą, równą $(- 4)$ , przyjmuje funkcja dla argumentu $x = 4$ .

R1JWd6Y54FgES

Przykład 8

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f (x) = \frac{5}{x}$ , gdy $x \in ⟨1; 5⟩$ .

Sprawdzimy, czy funkcja $f$ przyjmuje wartość największą. Skorzystamy z wykresu funkcji.

Rozwiązanie

Obliczymy wartości funkcji dla argumentów: $1$ i $5$ .

$f (1) = \frac{5}{1} = 5$

$f (5) = \frac{5}{5} = 1$

Funkcja przyjmuje wartość największą, równą $5$ , dla argumentu $x = 1$ .

R19o5sa9JyRE6

Przykład 9

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f (x) = \sqrt{x - 1}$ , gdy $x \in ⟨1; 10⟩$ .

Wykażemy, że najmniejszą wartością funkcji $f$ jest liczba $0$ .

Rozwiązanie

Korzystając z własności pierwiastków arytmetycznych stopnia drugiego, obliczymy wartości funkcji dla argumentów: $1$ i $10$ .

$f (1) = \sqrt{1 - 1} = 0$

$f (10) = \sqrt{10 - 1} = \sqrt{9} = 3$

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą, równą $0$ , dla argumentu $x = 1$ .

Możemy sprawdzić nasze przypuszczenia szkicując wykres funkcji.

RrGJcu6CDAcuT

Polecenie 4

Przeanalizuj uważnie przykłady przedstawione w animacji. Najpierw samodzielnie rozwiąż zadania, następnie sprawdź swoje rozwiązania z tymi, które są przedstawione w animacji. W przykładzie drugim pamiętaj o własnościach pierwiastków arytmetycznych stopnia drugiego.

RN2Makh1L4BNx

Po przeanalizowaniu materiału przedstawionego w animacji, wykonaj poniższe polecenia.

Polecenie 5

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f (x) = 5 - |x - 3|$ , gdy $x \in ⟨- 4; 4⟩$ .

Naszkicuj wykres tej funkcji, wyznacz jej zbiór wartości, wyznacz jej wartość największą oraz najmniejszą (o ile istnieją).

RH40Wcxy23YQr

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do sześciu. Wykres funkcji leży w pierwszej, drugiej i trzeciej ćwiartce i jest łamaną otwartą o dwóch bokach, czyli odcinkach. Początek lewego boku łamanej znajduje się w punkcie -4;-2, a koniec tego boku znajduje się w punkcie 3;5. Jest to również początek drugiego boku o końcu w punkcie o współrzędnych 4;4. Pierwszy bok przecina oś Y w punkcie 2.

${Z W}_{f} = ⟨- 2; 5⟩$

Funkcja przyjmuje wartość największą, równą $5$ , dla argumentu $x = 3$ .

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą, równą $(- 2)$ , dla argumentu $x = - 4$ .

Polecenie 6

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

R15CGeTSz7szJ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus trzech do sześciu. Wykres funkcji leży w pierwszej, drugiej i czwartej ćwiartce i jest łamaną otwartą o pięciu bokach, czyli odcinkach. Początek pierwszego ukośnego boku łamanej znajduje się w punkcie -7;4, a koniec tego boku znajduje się w punkcie -412;212. Drugi bok łamanej zaczyna się w końcu poprzedniego i jest poziomy. Jego koniec jest w punkcie -2;212. Trzeci bok zaczyna się w końcu poprzedniego i jest ukośny. Jego koniec znajduje się w punkcie 2;-1. Jest to również początek czwartego, poziomego boku łamanej o końcu w punkcie o 4;-1. W tym punkcie zaczyna się piąty, ukośny bok łamanej, którego koniec jest w punkcie 7;4.

R1Gy4Mpr4XR7w

Ćwiczenie 1

Rysunek przedstawia wykres funkcji $f$ .

R1GO0tpLKg8kJ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji f składający się z dwóch odcinków i jednego punktu. Od lewej mamy: otwarty odcinek, którego lewy koniec jest w punkcie minus 4 2, a prawy koniec w punkcie minus 1 minus 1. Drugi odcinek ma lewy koniec w punkcie 1 minus 2 i prawy koniec w punkcie 3 minus 1. Oba końce należą do tego odcinka. Punkt należący do wykresu funkcji ma współrzędne 4 1.

RPRMA9BW04lmf

Ćwiczenie 2

Rysunek przedstawia wykres funkcji $f$ .

RxAQubOCKWiBN

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji f składający się z czterech odcinków. Od lewej mamy: lewostronnie otwarty odcinek, którego lewy koniec jest w punkcie minus 3 2, a prawy koniec w punkcie minus 1 2. Drugi odcinek zaczyna się w tym samym punkcie, a jego prawy koniec ma współrzędne 0 1 i jest to lewy koniec trzeciego odcinka. Prawy koniec trzeciego odcinka ma współrzędne 1 3 i jest to jednocześnie lewy koniec czwartego odcinka. Prawy koniec ostatniego odcinka znajduje się w punkcie 3 minus 1.

RON1HxLqgkzdh

RhXbCOQbeA1LO2

Ćwiczenie 3

R1K4Db418zrea2

Ćwiczenie 4

RayMKFoCyJQUp2

Ćwiczenie 5

R6JY9FQPDhXJV2

Ćwiczenie 6

Rh9paNAd1RXfL3

Ćwiczenie 7

RZdfgAmZbgjb83

Ćwiczenie 8

Ćwiczenie 9

Rysunek przedstawia wykres funkcji $f$ .

R1RJFzYHi6Fdi

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do pięciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do trzech. Wykres funkcji leży w pierwszej i drugiej ćwiartce i jest poziomym odcinkiem o początku w punkcie -1;2 i końcu w punkcie 3;2.

R4itBvtsqtZC9

Ćwiczenie 10

Rysunek przedstawia wykres funkcji $f$ .

R12cggk65YEFG

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Wykres funkcji leży w pierwszej, drugiej i czwartej ćwiartce i jest łamaną otwartą o czterech ukośnych bokach, czyli odcinkach. Początek pierwszego ukośnego boku łamanej znajduje się w punkcie -3;2, a koniec tego boku znajduje się w punkcie -1;0. Punkt ten jest początkiem drugiego boku łamanej o końcu w punkcie 0;1. Punkt ten jest początkiem trzeciego boku, którego koniec znajduje się w punkcie 1;-1. Czwarty bok zaczyna się w końcu poprzedniego, a jego koniec znajduje się w punkcie 3;0.

R10L9rWj6NFmN

Ćwiczenie 11

RLfUiLqHa7e4O

Ćwiczenie 12

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą poniższego wykresu.

R12g8jOaljIB5

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do sześciu. Wykres funkcji leży we wszystkich ćwiartkach i jest łamaną otwartą o trzech ukośnych bokach i jednym poziomym. Początek pierwszego ukośnego boku łamanej znajduje się w punkcie -7;4, a koniec tego boku znajduje się w punkcie -4;-2. Punkt ten jest początkiem drugiego, ukośnego boku, którego koniec znajduje się w punkcie -1;5. Jest to początek trzeciego, poziomego boku o końcu w punkcie 112;5. Ten punkt jest też początkiem czwartego, ukośnego boku o końcu w punkcie 4;-3.

R65l5MS9SWCuk

Ćwiczenie 13

Ry0qk23TV0sib

Ćwiczenie 14

R190wbsAI1o0l

Ćwiczenie 15

RsMVyIq6MQSs4

Ćwiczenie 16

RLWXFcNTzGxpG

Słownik

zbiór wartości funkcji

zbiór liczb, które otrzymujemy w wyniku obliczenia wartości funkcji dla wszystkich jej argumentów

najmniejsza wartość funkcji

najmniejsza z liczb należących do zbioru wartości funkcji, o ile w zbiorze wartości taka liczba istnieje

największa wartość funkcji

największa z liczb należących do zbioru wartości funkcji, o ile w zbiorze wartości taka liczba istnieje

2. Zbiór wartości funkcji

4. Miejsce zerowe funkcji

3. Najmniejsza i największa wartość funkcji

Słownik