• Wyznaczysz miejsce zerowe funkcji opisanej różnymi sposobami.

• Sprawdzisz, czy dana liczba jest miejscem zerowym funkcji.

• Udowodnisz, że dana liczba jest miejscem zerowym funkcji.

Miejscem zerowym funkcji nazywamy argument, dla którego wartość funkcji jest równa $0$.

Zbiorem miejsc zerowych funkcji nazywamy zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartość $0$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą grafu.

Rh689nGNKVza2

Graf składa się z dwóch pionowo ustawionych elips reprezentujących odpowiednio: lewa zbiór X, prawa zbiór Y. Z liczb będących elementami zbioru X poprowadzone są strzałki z grotami skierowanymi do elementów ze zbioru Y. Nad strzałkami widnieje litera „f” oznaczająca funkcję odwzorowującą zbiór X w zbiór Y. Wszystkie elementy z obu zbiorów mają parę. Pary są następujące: minus 4, minus 5; minus 2, minus 3; minus 1, 0; minus pięć dziesiątych, dwa i pół; 0, 2; 2, 3; 4, 7.

Wyznaczymy jej miejsce zerowe.

Rozwiązanie

Wśród wartości funkcji $f$, które są umieszczone w prawej części grafu oznaczonej literą $Y$, szukamy liczby $0$.

W następnym kroku przesuwamy się wzdłuż strzałki do lewej części grafu oznaczonej literą $X$.

Liczba $0\in Y$ połączona jest z liczbą $-1\in X$.

Stąd możemy zapisać, że miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $-1$. Często miejsce zerowe oznaczamy $x_0$. Możemy więc zapisać, że $x_0=-1$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki.

Wyznaczymy jej miejsce zerowe.

Rozwiązanie

W drugim wierszu, oznaczonym symbolem $f\left(x\right)$, szukamy liczby $0$.

Następnie w wierszu pierwszym, oznaczonym symbolem $x$, szukamy odpowiedniego argumentu.

Jest nim liczba $-1,4$.

Stąd możemy zapisać, że miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $-1,4$.

Zapisujemy to symbolicznie $x_0=-1,4$.

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą opisu słownego. Funkcja $f$ każdej liczbie rzeczywistej $x$, takiej, że $x\in \left\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\right\}$ przyporządkowuje różnicę wartości bezwzględnej liczby $x$ i liczby $3$.

Wyznaczymy jej miejsce zerowe.

Rozwiązanie

Przykład ten możemy rozwiązać dwoma sposobami.

Sposób pierwszy

Ponieważ do dziedziny należy tylko siedem liczb, to możemy wykonać tabelkę i z tabelki odczytać miejsce zerowe.

Zauważamy, że miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $-3$.

Zapisujemy symbolicznie $x_0=-3$.

Sposób drugi

Zapiszemy funkcję $f$ za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\left|x\right|-3$, gdy $x\in \left\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\right\}$.

Rozwiążemy równanie $f\left(x\right)=0$.

$\left|x\right|-3=0$

$\left|x\right|=3$

$x=-3$ lub $x=3$.

Równanie jest spełnione przez dwie liczby $3$ i $-3$.

Sprawdzamy, która z liczb spełniających równanie, należy do dziedziny funkcji.

Do dziedziny funkcji należy liczba $-3$.

Stąd miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $-3$.

Zapisujemy symbolicznie $x_0=-3$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych.

$\left\{\left(-\mathrm{4,4}; -\mathrm{2,4}\right), \left(-\mathrm{3,7}; -\mathrm{1,7}\right), \left(-2; 0\right), \left(1; 1\right), \left(\mathrm{3,3}; \mathrm{5,3}\right), \left(5; 7\right)\right\}$

Wyznaczymy miejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcji $f$.

Rozwiązanie

Para uporządkowana jest postaci $\left(x, f\left(x\right)\right)$, tzn., że na pierwszym miejscu w każdej parze znajduje się element należący do dziedziny funkcji, a na drugim odpowiadająca temu elementowi wartość funkcji.

Wśród elementów zbioru par uporządkowanych wybieramy tę parę, w której na drugim miejscu jest $0$.

Jest to para to para $\left(-2, 0\right)$.

Stąd miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $-2$.

Zapisujemy symbolicznie $x_0=-2$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

R1TSDuKuamprB

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie widnieją trzy odcinki będące wykresem funkcji f. Końce pierwszego odcinka znajdują się odpowiednio w punktach minus 6, 3 oraz minus 2, minus 1. Końce drugiego odcinka, który jest odcinkiem otwartym znajdują się w punktach: minus 1 minus 2 oraz 2, 1. Końce trzeciego odcinka znajdują się w punktach o współrzędnych 2, 3 oraz 6, minus 3.

Wyznaczymy jej miejsce zerowe.

Rozwiązanie

Wykres funkcji $f$ przecina oś $X$ w trzech punktach: $\left(-3, 0\right)$, $\left(1, 0\right)$, $\left(4, 0\right)$.

Funkcja ta ma trzy miejsca zerowe: $-3$, $1$, $4$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

Rc3jM30hP8j4Y

Grafika przedstawia poziomą oś x od minus siedmiu do czterech i pionową oś y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się wykresy o następującym kształcie: początek wykresu jest w punkcie początek nawiasu, minus 7,5, minus 2, zamknięcie nawiasu, punkt ten jest zaznaczony zamalowaną kropką. Z tego punktu do punktu początek nawiasu, minus 4,5, 2, zamknięcie nawiasu zaznaczonego niezamalowaną kropką biegnie linia prosta, która przecina oś x w punkcie minus 6. Współrzędne kolejnego punktu to początek nawiasu, minus 4,5, 1, zamknięcie nawiasu, jest on zaznaczony zamalowaną kropką. Z tego punktu do punktu początek nawiasu, minus 1,5 minus 1, zamknięcie nawiasu biegnie linia prosta, która przecina oś x w punkcie minus 3. Punkt początek nawiasu, minus 1,5, minus 1, zamknięcie nawiasu jest zaznaczony zamalowaną kropką. Kolejny punkt wykresu o współrzędnych początek nawiasu, minus 1,5, minus 2, zamknięcie nawiasu jest zaznaczony niezamalowaną kropką stąd linia biegnie poziomo aż do punktu początek nawiasu, 2, minus 2, zamknięcie nawiasu, z tego miejsca biegnie krzywa o kształcie przypominającym ramię paraboli skierowane w dół. Begnie do punktu początek nawiasu, 3, 0, zamknięcie nawiasu, tam zmienia kształt na krzywą przypominająca ramię paraboli skierowane do góry. Ostatni punkt ma współrzędne początek nawiasu, 4, 2, zamknięcie nawiasu i jest zaznaczony zamalowaną kropką. Wykres jest podpisany $y=f\left(x\right)$.

Wyznaczymy jej miejsca zerowe.

Rozwiązanie

W celu wyznaczenia miejsc zerowych funkcjimiejsce zerowe funkcjimiejsc zerowych funkcji $f$ odczytajmy z wykresu współrzędne punktów przecięcia wykresu z osią $X$.

Są to punkty: $\left(-6, 0\right)$, $\left(-3, 0\right)$, $\left(3, 0\right)$.

Miejscami zerowymi funkcji $f$ są pierwsze współrzędne punktów wspólnych wykresu funkcji i osi $X$.

Są nimi liczby: $\left(-6\right)$, $\left(-3\right)$, $3$.

Funkcja $f$ ma więc trzy miejsca zerowe: $\left(-6\right)$, $\left(-3\right)$, $3$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu, którego fragment przedstawiony jest na rysunku.

R1G1NeH8OllxE

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 6 do 5 oraz z pionową osią Y od minus 4 do trzech. Na wykresie przedstawiono funkcję $y=f\left(x\right)$ składającą się z jednej linii ciągłej , która rozpoczyna się w ćwiartce drugiej i biegnie przecinając oś x w punkcie minus 5 do punktu początek nawiasu, minus 3, minus 4, zamknięcie nawiasu, w tym miejscu wykres zmienia bieg i biegnie przez punkt początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu do punktu znajdującego się w drugiej ćwiartce, następnie biegnie przez punkt początek nawiasu, 0, 1, zamknięcie nawiasu i punkt początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu do punktu początek nawiasu, 4, minus 1, zamknięcie nawiasu. Tutaj wykres zmienia bieg i biegnąc przez punkt początek nawiasu, 5, 0, zamknięcie nawiasu wychodzi w pierwszej ćwiartce poza płaszczyznę układu.

Na podstawie wykresu  określimy  jej miejsca zerowe.

Rozwiązanie

Odczytajmy z wykresu funkcji współrzędne punktów przecięcia wykresu z osią $X$.

Są to punkty o współrzędnych: $\left(-5, 0\right)$, $\left(-2, 0\right)$, $\left(2, 0\right)$, $\left(5, 0\right)$.

Miejscami zerowymi funkcjimiejsce zerowe funkcjiMiejscami zerowymi funkcji $f$ są pierwsze współrzędne punktów wspólnych wykresu funkcji i osi $X$.

Funkcja $f$ ma cztery miejsca zerowe: $\left(-5\right)$, $\left(-2\right)$, $2$, $5$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

RdD5UaY1Z4kUf

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 6 do 5 oraz z pionową osią Y od minus 1 do sześciu. Na wykresie przedstawiono funkcję $y=f\left(x\right)$, która rozpoczyna się w ćwiartce drugiej i biegnie linią prostą do punktu początek nawiasu, minus 3, 1,5, zamknięcie nawiasu, w tym miejscu wykres zmienia kształt na parabolę o ramionach skierowanych w dół. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie początek nawiasu, 0, 5, zamknięcie nawiasu. Koniec drugiego ramienia znajduje się w punkcie początek nawiasu, 3, 1,5, zamknięcie nawiasu. W tym punkcie wykres znów przybiera kształt linii prostej i wychodzi w pierwszej ćwiartce poza płaszczyznę układu.

Sprawdzimy, czy funkcja posiada miejsca zerowe.

Rozwiązanie

Wykres funkcji $f$ nie ma punktów wspólnych z osią $X$.

Funkcja $f$ nie posiada miejsc zerowych.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

RYlIfdsIkezQ0

Grafika przedstawia układ współrzędnych z wyznaczoną osią x od minus 6 do 6 i osią y wyznaczoną od minus 3 do trzech. Na układzie współrzędnych wyznaczono funkcję $y=f\left(x\right)$, ,której przebieg rozpoczyna się w ćwiartce trzeciej w okolicach punktu początek nawiasu, 3,5, minus 3, zamknięcie nawiasu i przebiega w formie łuku do punktu początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu. Od punktu tego do punktu początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu funkcja przebiega wzdłuż osi x. Od punktu początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu. funkcja w formie łuku kieruje się ku górnej części grafiki i kończy się w pobliżu punktu początek nawiasu, 3,5, 3, zamknięcie nawiasu.

Ile miejsc zerowych posiada funkcja $f$?

Rozwiązanie

Część wykresu funkcji pokrywa się z osią $X$.

Stąd wniosek, że dla każdego argumentu $x$, takiego, że $x\in ⟨-2, 2⟩$ funkcja ma wartość równą $0$.

Czyli każda liczba należąca do przedziału obustronnie domkniętego $⟨-2, 2⟩$ jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Funkcja $f$ ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.

$f\left(x\right)=0\iff x\in ⟨-2, 2⟩$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}·\left|x-3\right|+3$, gdy $x\in ⟨-4, 10⟩$.

Wyznaczymy jej miejsce zerowe.

Rozwiązanie

Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcji $f$ należy rozwiązać równanie $f\left(x\right)=0$ i sprawdzić, czy otrzymane pierwiastki równania należą do dziedziny funkcji.

$-\frac{1}{2}·\left|x-3\right|+3=0$

$-\frac{1}{2}·\left|x-3\right|=-3 |·\left(-2\right)$

$\left|x-3\right|=6$

$x-3=-6 \vee x-3=6$

$x=-3 \vee x=9$

Otrzymaliśmy dwie liczby, które spełniają równanie $f\left(x\right)=0$.

Sprawdzamy, która z liczb należy do dziedziny funkcji $f$.

Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $⟨-4, 10⟩$.

Zarówno liczba $-3$, jak i liczba $9$ należą do dziedziny funkcji.

Stąd wniosek, że funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe: $-3$ i $9$.

Zapisujemy to symbolicznie $x_{0_1}=-3$ ,  $x_{0_2}=9$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

a) $f\left(x\right)=7-x^2$, gdy $x\in \mathrm{\mathbb{Q}}$,

b) $f\left(x\right)=7-x^2$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}$.

Wyznaczymy miejsca zerowe (o ile istnieją) funkcji $f$.

Rozwiązanie:

Funkcja $f$, w obu podpunktach, opisana jest za pomocą takiego samego wzoru. Różne są tylko dziedziny funkcji.

Wyznaczymy miejsca zerowe funkcji $f$ rozwiązując równanie

$f\left(x\right)=0$.

$7-x^2=0$

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$.

$\left(\sqrt{7}-x\right)\left(\sqrt{7}+x\right)=0$

Iloczyn jest równy zero wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero.

$\sqrt{7}-x=0$ lub $\sqrt{7}+x=0$

Stąd $x_1=\sqrt{7}$, $x_2=-\sqrt{7}$.

Ad. a). Funkcja $f$ nie posiada miejsc zerowych, ponieważ dziedziną funkcji jest zbiór liczb wymiernych.

Ad. b). Funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe, ponieważ dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Są nimi liczby: $-\sqrt{7}$, $\sqrt{7}$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=x\left(x+4\right)\left(3x-2\right)$, gdy $x\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Wyznaczymy miejsca zerowe (o ile istnieją) funkcji $f$.

Rozwiązanie:

W celu wyznaczenia miejsc zerowych funkcjimiejsce zerowe funkcjimiejsc zerowych funkcji $f$ rozwiążemy równanie

$f\left(x\right)=0$.

$x\left(x+4\right)\left(3x-2\right)=0$

Iloczyn jest równy zero wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero.

$x=0$ lub $x+4=0$ lub $3x-2=0$

Stąd $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=\frac{2}{3}$.

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór liczb całkowitych, czyli funkcja posiada dwa miejsca zerowe.

Są nimi liczby: $-4$, $0$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=x^2+6x-{\left(x+3\right)}^2+9$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}$.

Wykażemy, że funkcja $f$ posiada nieskończenie wiele miejsc zerowych.

Rozwiązanie:

Przekształcimy tożsamościowo wzór opisujący funkcję $f$.

$f\left(x\right)=x^2+6x-{\left(x+3\right)}^2+9$

Zastosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$.

$f\left(x\right)=x^2+6x-\left(x^2+6x+9\right)+9$

Opuszczamy nawias pamiętając o zmianie znaków jednomianów.

$f\left(x\right)=x^2+6x-x^2-6x-9+9$

Przeprowadzamy redukcję wyrazów podobnych.

$f\left(x\right)=0$

Po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy oraz przeprowadzeniu redukcji wyrazów podobnych otrzymaliśmy

$f\left(x\right)=0$.

Funkcja $f$ dla każdej liczby rzeczywistej przyjmuje wartość $0$.

Stąd wniosek, że każda liczba należąca do dziedziny funkcji jest jej miejscem zerowym.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\frac{2·\left(x-4\right)\left(x-2\sqrt{2}\right)}{2x^2-16}$

Wyznaczymy dziedzinę tej funkcji oraz sprawdzimy, która z liczb: $4$ czy $2\sqrt{2}$ jest jej miejscem zerowym.

Rozwiązanie:

Wyznaczmy dziedzinę funkcji $f$. Pamiętamy, że mianownik ułamka musi być liczbą różną od zera.

Mianownik ułamka musi być liczbą różną od zera. Rozwiązujemy równanie, które jest zapisane w mianowniku.

$2x^2-16\ne 0$

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$2·\left(x^2-8\right)\ne 0$

Obie strony równania podzieliliśmy przez $2$.

$x^2-8\ne 0$

Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$.

$\left(x-2\sqrt{2}\right)\left(x+2\sqrt{2}\right)\ne 0$

Iloczyn jest równy zero wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero. Zatem, aby mianownik był różny od zera, każdy z czynników musi być różny od zera.

$\left(x-2\sqrt{2}\right)\ne 0\wedge \left(x+2\sqrt{2}\right)\ne 0$

Otrzymaliśmy dwa rozwiązania.

$x\ne 2\sqrt{2}\wedge x\ne -2\sqrt{2}$

Wyznaczyliśmy dziedzinę funkcji $f$.

$D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2\sqrt{2},2\sqrt{2}\right\}$

W celu wyznaczenia miejsc zerowych rozwiążemy równanie $f\left(x\right)=0$.

$\frac{2·\left(x-4\right)\left(x-2\sqrt{2}\right)}{2x^2-16}=0$

Ułamek jest równy $0$ wtedy, gdy licznik tego ułamka jest równy $0$.

$2·\left(x-4\right)\left(x-2\sqrt{2}\right)=0$

Iloczyn jest równy $0$ wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy $0$.

$x-4=0 \vee x-2\sqrt{2}=0$

Otrzymaliśmy dwa rozwiązania równania. Sprawdzamy, która z otrzymanych liczb należy do dziedziny funkcji $f$.

$x=4 \vee x=2\sqrt{2}$

Do dziedziny funkcji $f$ należy liczba $4$, a nie należy liczba $2\sqrt{2}$.

Możemy zapisać, że funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe. Jest nim liczba $4$.

$x_0=4$

Odpowiedź:

Tylko liczba $4$ jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)={\left(x+2\right)}^2-x\left(x+1\right)-3x$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}$.

Wykażemy, że funkcja $f$ nie ma miejsc zerowych.

Rozwiązanie:

Przekształcimy tożsamościowo wzór opisujący funkcję $f$.

$f\left(x\right)={\left(x+2\right)}^2-x\left(x+1\right)-3x$

Zastosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$.

$f\left(x\right)=x^2+4x+4-x\left(x+1\right)-3x$

Wykonamy mnożenie jednomianu przez sumę algebraiczną.

$f\left(x\right)=x^2+4x+4-x^2-x-3x$

Przeprowadzimy redukcję wyrazów podobnych.

$f\left(x\right)=4$

Po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy oraz przeprowadzeniu redukcji wyrazów podobnych otrzymaliśmy

$f\left(x\right)=4$.

Funkcja $f$ dla każdej liczby rzeczywistej przyjmuje wartość $4$.

Stąd wniosek, że funkcja $f$ nie posiada miejsc zerowych.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\frac{3ax-6}{x^2+5}$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}$.

Wyznaczymy $a$ tak, aby miejscem zerowym funkcji $f$ była liczba $\left(-2\right)$.

Rozwiązanie:

Rozwiążemy równanie $f\left(-2\right)=0$.

$\frac{3a·\left(-2\right)-6}{{\left(-2\right)}^2+5}=0$

$\frac{-6a-6}{4+5}=0$

$\frac{-6a-6}{9}=0$

Obie strony równania mnożymy przez $9$.

$-6a=6$

Obie strony równania dzielimy przez liczbę $\left(-6\right)$.

$a=-1$

Odpowiedź:

Liczba $\left(-2\right)$ jest miejscem zerowym funkcji $f$ wtedy, gdy $a=-1$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x-2,& \mathrm{gdy} x<3\\ -x+5,& \mathrm{gdy} x\ge 3\end{array}\right.$

Wyznaczymy miejsca zerowe funkcji $f$ (o ile istnieją).

Rozwiązanie:

W celu wyznaczenia miejsca zerowego funkcji $f$ musimy rozwiązać równanie $f\left(x\right)=0$. Funkcja $f$ opisana jest za pomocą dwóch różnych wyrażeń w różnych przedziałach. Rozwiążemy równanie $f\left(x\right)=0$ w każdym z podanych przedziałów.

1. $x\in \left(-\infty , 3\right)\Rightarrow f\left(x\right)=x-2\Rightarrow x-2=0\Rightarrow x=2$.
   Liczba $2\in \left(-\infty , 3\right)$. Stąd liczba $2$ jest miejscem zerowym funkcji $f$.

2. $x\in \left.⟨3, \infty \right)\Rightarrow f\left(x\right)=-x+5\Rightarrow -x+5=0\Rightarrow x=5$.
   Liczba $5\in \left.⟨3, \infty \right)$. Stąd liczba $5$ jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Funkcja $f$ posiada dwa miejsca zerowe: $2$, $5$.

Możemy to zapisać: $x_1=2$, $x_2=5$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}{x}^2-36,& \mathrm{gdy} x\in \left(-\infty , -3\right)\\ \frac{1}{3}x-2,& \mathrm{gdy} x\in \left.⟨-3, \infty \right)\end{array}\right.$

Wyznaczymy miejsca zerowe funkcji $f$ (o ile istnieją).

Rozwiązanie:

W celu wyznaczenia miejsca zerowego funkcji $f$ musimy rozwiązać równanie $f\left(x\right)=0$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą dwóch różnych wzorów w różnych przedziałach. Rozwiążemy równanie $f\left(x\right)=0$ w każdym z podanych przedziałów.

1. $x\in \left(-\infty , -3\right)\Rightarrow f\left(x\right)=x^2-36\Rightarrow x^2-36=0\Rightarrow$
   $\Rightarrow \left(x-6=0 \vee x+6=0\right)\Rightarrow \left(x=6 \vee x=-6\right)$.
   Liczba $-6\in \left(-\infty , -3\right)$, liczba $6\notin \left(-\infty , -3\right)$. Stąd liczba $\left(-6\right)$ jest miejscem zerowym funkcji $f$.

2. $x\in \left.⟨-3, \infty \right)\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{3}x-2\Rightarrow \frac{1}{3}x-2=0\Rightarrow \frac{1}{3}x=2\Rightarrow x=6$.
   Liczba $6\in \left.⟨-3, \infty \right)$. Stąd liczba $6$ jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Funkcja $f$ posiada dwa miejsca zerowe: $-6$, $6$.

Możemy to zapisać: $x_1=-6$, $x_2=6$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x-4,& \mathrm{gdy} x\le -3\\ -x+4,& \mathrm{gdy} x\in \left(-3, 2\right)\\ \left|x\right|-1,& \mathrm{gdy} x\ge 2\end{array}\right.$

Sprawdzimy, która z liczb: $-1$, $1$, $4$ jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Rozwiązanie:

Zadanie rozwiążemy   dwoma sposobami.

Sposób 1:

Wyznaczymy miejsca zerowe funkcji $f$ metodą algebraiczną. Rozwiążemy równanie $f\left(x\right)=0$.

Funkcja $f$ opisana jest trzema wzorami w trzech różnych przedziałach. Rozwiążemy równanie

$f\left(x\right)=0$ w każdym z podanych przedziałów.

1. $x\in \left(-\infty , -3\right.⟩\Rightarrow f\left(x\right)=x-4\Rightarrow x-4=0\Rightarrow x=4$.
   Liczba $4\notin \left(-\infty , -3\right.⟩$. Stąd liczba $4$ nie jest miejscem zerowym funkcji $f$.

2. $x\in \left(-3, 2\right)\Rightarrow f\left(x\right)=-x+4\Rightarrow -x+4=0\Rightarrow x=4$.
   Liczba $4\notin \left(-3, 2\right.⟩$. Stąd liczba $4$ nie jest miejscem zerowym funkcji $f$.

3. $x\in \left.⟨2, \infty \right)\Rightarrow f\left(x\right)=\left|x\right|-1\Rightarrow \left|x\right|-1=0\Rightarrow \left|x\right|=1\Rightarrow \left(x=-1 \vee x=1\right)$.
   Liczba $-1\notin \left.⟨2, \infty \right)$. Stąd liczba $-1$ nie jest miejscem zerowym funkcji $f$.
   Liczba $1\notin \left.⟨2, \infty \right)$. Stąd liczba $1$ nie jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Stąd wniosek – funkcja $f$ nie posiada miejsc zerowych, czyli żadna z podanych liczb nie może być miejscem zerowym funkcji $f$.

Sposób 2:

Obliczamy wartość funkcji dla każdego z  podanych argumentów.

Liczba $-1\in \left(-3, 2\right)$. Jeżeli liczba $-1$ jest miejscem zerowym funkcji $f$, to wartość funkcji dla tego argumentu musi być równa zero.

Podstawiamy liczbę $-1$ do drugiej części wzoru.

$-\left(-1\right)+4=1+4=5$

Otrzymaliśmy wartość funkcji różną od zera. Stąd wniosek, że liczba $-1$ nie jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Liczba $1\in \left(-3, 2\right)$. Jeżeli liczba $1$ jest miejscem zerowym funkcji $f$, to wartość funkcji dla tego argumentu musi być równa zero. Podstawiamy liczbę $1$ do drugiej części wzoru.

$-1+4=3$

Otrzymaliśmy wartość funkcji różną od zera. Stąd wniosek, że liczba $1$ nie jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Liczba $4\in \left.⟨2, \infty \right)$. Jeżeli liczba $4$ jest miejscem zerowym funkcji $f$, to wartość funkcji dla tego argumentu musi być równa zero.

Podstawiamy liczbę $4$ do trzeciej części wzoru.

$\left|4\right|-1=4-1=3$

Otrzymaliśmy wartość funkcji różną od zera. Stąd wniosek, że liczba $4$ nie jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Sprawdziliśmy, że żadna z podanych liczb nie jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{-x},& \mathrm{gdy} x\le 0\\ \left|x+3\right|-2,& \mathrm{gdy} x\in \left(0, 3\right)\\ \frac{1}{9}{x}^2-1,& \mathrm{gdy} x\ge 3\end{array}\right.$

Wyznaczymy miejsca zerowe funkcji $f$ (o ile istnieją).

Rozwiązanie:

W celu wyznaczenia miejsca zerowego funkcji $f$ musimy rozwiązać równanie $f\left(x\right)=0$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą trzech różnych wyrażeń w różnych przedziałach.

Rozwiążemy równanie $f\left(x\right)=0$ w każdym z podanych przedziałów.

1. $x\in \left(-\infty , 0\right.⟩\Rightarrow f\left(x\right)=\sqrt{-x}\Rightarrow \sqrt{-x}=0\Rightarrow x=0$.
   Liczba $0\in \left(-\infty , 0\right.⟩$. Stąd liczba $0$ jest miejscem zerowym funkcji $f$.

2. $x\in \left(0, 3\right)\Rightarrow f\left(x\right)=\left|x+3\right|-2\Rightarrow \left|x+3\right|-2=0\Rightarrow \left|x+3\right|=2\Rightarrow$
   $\Rightarrow \left(x+3=-2 \vee x+3=2\right)\Rightarrow \left(x=-5 \vee x=-1\right)$.
   Liczba $-5\notin \left(0, 3\right)$ oraz liczba $-1\notin \left(0, 3\right)$. Stąd żadna z tych liczb nie jest miejscem zerowym funkcji $f$.

3. $x\in \left.⟨3, \infty \right)\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{9}{x}^2-1\Rightarrow \frac{1}{9}{x}^2-1=0\Rightarrow x^2-9=0\Rightarrow$
   $\Rightarrow \left(x-3\right)\left(x+3\right)=0\Rightarrow \left(x-3=0 \vee x+3=0\right)\Rightarrow \left(x=3 \vee x=-3\right)$.
   Liczba $-3\notin \left.⟨3, \infty \right)$. Stąd liczba $-3$ nie jest miejscem zerowym funkcji $f$.
   Liczba $3\in \left.⟨3, \infty \right)$. Stąd liczba $3$ jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe: $0$, $3$.

Możemy to zapisać: $x_1=0$, $x_2=3$.

argument, dla którego wartość funkcji jest równa zero