3. Objętość ostrosłupa

R1RJdTsEIkkEp

Wyobraźmy sobie, że pewien architekt stworzył plany nowoczesnej budowli znajdującej się w centrum stolicy Polski. Budowla ta ma kształt ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego. Podczas prezentacji swojego pomysłu przed władzami miasta, pewien z pracowników natknął się na niespotykane wcześniej słowo - kubatura budynku. Zaciekawiony, zapytał architekta co ono oznacza. Czy Ty znasz odpowiedź na to pytanie? Aby rozwiać wszelkie wątpliwości, przytoczmy słowa awangardowego architekta.

„Najprościej rzecz ujmując, kubaturą budynku nazywamy jego objętość. Wyraża się ją w metrach sześciennych”.

W tym materiale nauczysz się wyznaczać objętość ostrosłupa.

Wzór na objętość ostrosłupa

Wytnij z kartki siatkę dwóch ostrosłupów o tej samej podstawie i równej wysokości, ale różnych spodkach wysokości.

Możesz wyciąć siatki zamieszczone poniżej.

RMb3B9uSF2mwB

Ilustracja przedstawia siatkę ostrosłupa o podstawie czworokąta. Składa się ona z kwadratu i czterech różnych trójkątów.

RkDgwUWldTSVq

Ilustracja przedstawia siatkę ostrosłupa o podstawie czworokąta. Składa się ona z kwadratu i czterech takich samych trójkątów równoramiennych.

Wytnij otwory w podstawach i sklej modele brył.

Rg6wx4T0ttAM3

Zdjęcie przedstawia dwa modele ostrosłupów, o podstawie czworokąta wykonane z papieru. W podstawach ostrosłupów wycięto prostokątne otwory. Wnętrze ostrosłupów jest puste. — Źródło: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Do środka jednego z ostrosłupów wsyp ryż, a potem przesyp do drugiego.

Co zauważyłeś?
Miarą czego jest ryż wewnątrz ostrosłupów?
Od czego zależy, a od czego nie zależy objętość ostrosłupa?

Przykład 1

Rysunek przedstawia siatkę ostrosłupa.

R459uMsUlBRlt

Korzystając z tej siatki, wykonaj modele trzech jednakowych ostrosłupów. Zbuduj z nich sześcian.

Ile razy objętość tego sześcianu jest większa od objętości każdego z ostrosłupów?

Ważne!

Objętość ostrosłupa jest równa trzeciej części iloczynu pola podstawy przez wysokość.

V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H

$V$ - objętość

$P_{p}$ - pole podstawy

$H$ - wysokość

R1QGX6vRJpicW1

Rysunek ostrosłupa o podstawie czworokąta z wysokością h. Podstawa została wyróżniona kolorem błękitnym. Czworokątem w podstawie jest trapez, wysokość tej bryły pada na podstawę tego czworokąta. Krawędzie boczne tej bryły mają różne długości. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczanie objętości ostrosłupa

Przykład 2

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość $6 cm$ , a miara jednego z kątów ostrych jest równa $30 °$ . Wysokość ostrosłupa jest czterokrotnością krótszej przyprostokątnej podstawy. Obliczymy objętość ostrosłupa.

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, w którym miara jednego z kątów ostrych jest równa $30 °$ . O takim trójkącie wiemy, że przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta $30 °$ jest dwukrotnie krótsza od przeciwprostokątnej, a druga przyprostokątna jest $\sqrt{3}$ razy od niej większa.

R1cUQXnWlJg4z1

Rysunek dwóch trójkątów prostokątnych o kątach 30 stopni, 60 stopni, 90 stopni. Pierwszy trójkąt ma przyprostokątne długości a, a pierwiastek z trzech i przeciwprostokątną równą 2a. Bok a leży naprzeciwko kąta 30 stopni. Drugi trójkąt ma przyprostokątne długości 3 cm i trzy pierwiastki z trzech oraz przeciwprostokątną długości 6 cm. Bok 3 cm leży naprzeciwko kąta 30 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zatem przyprostokątne trójkąta, będącego podstawą ostrosłupa, są równe $3 cm$ i $3 \sqrt{3} cm$ . Obliczamy pole podstawy ostrosłupa.

P_{p} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \sqrt{3}

P_{p} = 4,5 \sqrt{3} {cm}^{2}

Wysokość ostrosłupa jest równa czterokrotności krótszej przyprostokątnej podstawy, ma zatem długość

4 \cdot 3 cm = 12 cm

Obliczamy objętość ostrosłupa.

V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H

V = \frac{1}{3} \cdot 4,5 \sqrt{3} \cdot 12

V = 18 \sqrt{3} {cm}^{3}

Odpowiedź:

Objętość ostrosłupa jest równa $18 \sqrt{3} {cm}^{3}$ .

Znając objętość ostrosłupa i pole jego podstawy, można obliczyć jego wysokość.

Przykład 3

Wazon ma kształt ostrosłupa, którego podstawą jest prostokąt o polu $150 {c m}^{2}$ . W wazonie mieści się litr wody. Obliczymy jaką wysokość ma ten wazon.
Zapisujemy pojemność wazonu w ${cm}^{3}$ .

1 l = 1 {dm}^{3} = 1000 {cm}^{3}

Korzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa i obliczamy jego wysokość.

V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H

1000 = \frac{1}{3} \cdot 150 \cdot H

H = \frac{3000}{150}

H = 20 cm

Odpowiedź:

Wysokość wazonu ma $20 cm$ .

Objętość czworościanu foremnego

Obliczymy objętość czworościanu foremnego o krawędzi długości $a$ .

RvB28yB916A5b1

Rysunek czworościanu foremnego o krawędzi długości a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny. Zatem pole podstawy jest równe

P_{p} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} .

Obliczmy teraz wysokość ostrosłupa jako przyprostokątną trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątna jest krawędzią czworościanu, a druga przyprostokątna to $\frac{2}{3}$ wysokości podstawy (czyli wysokości trójkąta równobocznego).

RBGWt832FajXU1

Rysunek czworościanu foremnego o krawędzi długości a oraz wysokości h. W czworościanie kolorem zielonym zaznaczono trójkąt prostokątny, którego krawędziami są: wysokość, krawędź boczna bryły oraz fragment wysokości podstawy. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

H^{2} + {(\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a)}^{2} = a^{2}

H^{2} + \frac{1}{3} a^{2} = a^{2}

H^{2} = \frac{2}{3} a^{2}

H = \sqrt{\frac{2}{3}} a

H = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} a = \frac{\sqrt{6}}{3} a

Obliczamy objętość czworościanu.

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} a

V = \frac{\sqrt{18}}{36} a^{3}

V = \frac{3 \sqrt{2}}{36} a^{3}

V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}

Ważne!

Objętość czworościanu foremnego o krawędzi długości $a$ jest równa

V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}

Przyjmijmy, że długość krawędzi sześcianu jest równa $b$ , zaś $a$ to długość krawędzi czworościanu.

Oprócz czworościanu foremnego w sześcianie można umieścić cztery inne jednakowe czworościany.

Ra7hr5pQW8ZOa

Rysunek przedstawia sześcian o krawędzi długości b. Zaznaczono wszystkie przekątne ścian bocznych tego sześcianu w taki sposób, że tworzą one czworościan. Wszystkie przekątne mają długość a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Objętość każdego z nich jest równa

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} b^{3} = \frac{1}{6} b^{3}

Zatem objętość czworościanu foremnego jest równa

V = b^{3} - 4 \cdot \frac{1}{6} b^{3} = b^{3} - \frac{4}{6} b^{3} = \frac{2}{6} b^{3} = \frac{1}{3} b^{3}

Ponieważ $a$ jest przekątną kwadratu o boku $b$ , zatem $a = b \sqrt{2}$ .

Stąd:

b = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}

V = \frac{1}{3} b^{3} = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{3}

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^{3}}{8} \cdot 2 \sqrt{2}

V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}

Przykład 4

Ustalimy, czy $15 {dm}^{2}$ kartonu wystarczy, aby wykonać pudełko w kształcie czworościanu foremnego o objętości $\frac{9}{4} \sqrt{2} {dm}^{3}$ .

Aby to ustalić, musimy znaleźć pole powierzchni czworościanu.

Znając objętość czworościanu, obliczymy najpierw długość $a$ jego krawędzi.

V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}

\frac{9}{4} \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}

a^{3} = \frac{9}{4} \sqrt{2} : \frac{\sqrt{2}}{12}

a^{3} = \frac{9 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{12}{\sqrt{2}}

a^{3} = 27

a = \sqrt[3]{27}

a = 3 dm

Obliczamy pole powierzchni czworościanu.

P = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}

P = \sqrt{3} \cdot 3^{2}

P = 9 \sqrt{3}

P = 9 \sqrt{3} = 15,5884 . . . .

P \approx 15, 5884 {d m}^{2}

Odpowiedź:

Ponieważ $15,5884 \dots > 15$ , zatem $15 {dm}^{2}$ kartonu nie wystarczy na wykonanie pudełka.

RsK9opKpoI5AX

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

R11mBYRJHVgF1

Wysokość ostrosłupa prawidłowego jest równa

12

, a krawędź jego podstawy ma długość

2

. Oblicz objętość poniższych ostrosłupów o różnych podstawach.
Uzupełnij lukę w odpowiedzi. Kliknij w nią, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną liczbę. Podstawą tego ostrosłupa jest trójkąt.
Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 1.

\sqrt{10}

, 2.

6 \sqrt{2}

, 3.

16

, 4.

2 \sqrt{2}

, 5.

4

, 6.

17 \sqrt{3}

, 7.

24

, 8.

24 \sqrt{3}

, 9.

\sqrt{3}

, 10.

4 \sqrt{2}

, 11.

8 \sqrt{3}

, 12.

4 \sqrt{3}

, 13.

\sqrt{26}

, 14.

16 \sqrt{2}

.Podstawą tego ostrosłupa jest czworokąt.
Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 1.

\sqrt{10}

, 2.

6 \sqrt{2}

, 3.

16

, 4.

2 \sqrt{2}

, 5.

4

, 6.

17 \sqrt{3}

, 7.

24

, 8.

24 \sqrt{3}

, 9.

\sqrt{3}

, 10.

4 \sqrt{2}

, 11.

8 \sqrt{3}

, 12.

4 \sqrt{3}

, 13.

\sqrt{26}

, 14.

16 \sqrt{2}

.Podstawą tego ostrosłupa jest sześciokąt.
Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 1.

\sqrt{10}

, 2.

6 \sqrt{2}

, 3.

16

, 4.

2 \sqrt{2}

, 5.

4

, 6.

17 \sqrt{3}

, 7.

24

, 8.

24 \sqrt{3}

, 9.

\sqrt{3}

, 10.

4 \sqrt{2}

, 11.

8 \sqrt{3}

, 12.

4 \sqrt{3}

, 13.

\sqrt{26}

, 14.

16 \sqrt{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W każdym przypadku obliczamy najpierw pole podstawy ostrosłupa, a następnie mnożymy je przez jedną trzecią wysokości ostrosłupa.

Pole podstawy $P$ jest równe $P = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ . Objętość jest równa $V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot \sqrt{3} = 4 \sqrt{3}$ .
Pole podstawy jest równe $4$ , zatem objętość wynosi $V = \frac{4 \cdot 12}{3} = 16$ .
Pole podstawy jest równe $P = 6 \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{4} = 6 \sqrt{3}$ , a zatem objętość wynosi $V = \frac{6 \sqrt{3} \cdot 12}{3} = 24 \sqrt{3}$ .

R9y4mXps6Jh0E

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

R1AgrjSA6ayXc

Wysokość ostrosłupa jest równa

18 cm

Oblicz objętość tego ostrosłupa w podanych przypadkach, a następnie wpisz odpowiednie liczby tak, aby odpowiedzi były poprawne. Podstawą tego ostrosłupa jest prostokąt o bokach długości

4 cm

10 cm

.
Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi

V =

Tu uzupełnij

{cm}^{3}

.Podstawą tego ostrosłupa jest trójkąt prostokątny równoramienny, w którym suma długości przyprostokątnych jest równa

2 \sqrt{5} cm

.
Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi

V =

Tu uzupełnij

{cm}^{3}

.Podstawą tego ostrosłupa jest romb o przekątnych długości

7 cm

8 cm

.
Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi

V =

Tu uzupełnij

{cm}^{3}

.Podstawą tego ostrosłupa jest równoległobok, w którym jeden z boków ma długość

6 cm

, a wysokość poprowadzona do tego boku jest równa

4 cm

.
Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi

V =

Tu uzupełnij

{cm}^{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$V = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 10 \cdot 18 = 240 ({cm}^{3})$
Przyprostokątne są tej samej długości równej $\sqrt{5} cm$ . Pole podstawy wynosi więc $\frac{5}{2} {cm}^{2}$ .
Objętość
$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot {(\sqrt{5})}^{2} \cdot 18 = 15 {cm}^{3}$
Pole podstawy jest równe $P = \frac{7 \cdot 8}{2} = 28 {cm}^{2}$ . Zatem objętość wynosi
$V = \frac{1}{3} \cdot 28 \cdot 18 = 168 {cm}^{3}$
$V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 4 \cdot 18 = 144 {cm}^{3}$

Ćwiczenie 5

Wyznacz objętość ostrosłupa prawidłowego przedstawionego na rysunku.

RZCrhnFekXeKO1

Rysunek ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości trzy i długości krawędzi podstawy pierwiastek z trzech. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R7rC3OsUjoWHi

$0,75 \sqrt{3}$
$2,25 \sqrt{3}$
$3$
$27 \sqrt{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

RjNHAndCdQoBy

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ze wzoru na objętość ostrosłupa wyznaczymy jego wysokość.

H = \frac{3 V}{P_{p}} = \frac{3 \cdot 80}{6 \cdot 8} = 5 (mm)

Połowa każdej z przekątnych $p$ prostokąta ma długość, którą wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa

{(\frac{p}{2})}^{2} = 3^{2} + 4^{2}

skąd

\frac{p}{2} = 5 (mm)

Krawędź boczną ostrosłupa wyznaczymy z odpowiedniego trójkąta prostokątnego.

d^{2} = 5^{2} + 5^{2}

Jej długość jest równa $5 \sqrt{2} mm$ .

R1QpD6WUnwrV4

Ćwiczenie 7

$1 : 3$
$1 : 6$
$2 : 3$
$2 : 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

RgSgmdpAutV6Z

Oblicz objętość czworościanu foremnego w podanych przypadkach.
Uzupełnij lukę w odpowiedzi. Kliknij w nią, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną liczbę. Krawędź tego czworościanu ma długość

2

.
Odpowiedź: Objętość czworościanu wynosi 1.

1 \frac{2}{3}

, 2.

2 \frac{1}{2}

, 3.

\frac{320 \sqrt{2}}{3}

, 4.

\sqrt{14}

, 5.

\frac{5 \sqrt{3}}{3}

, 6.

3 \sqrt{3}

, 7.

\frac{\sqrt{2}}{12}

, 8.

103 \sqrt{3}

, 9.

\sqrt{10}

, 10.

\frac{421}{48} \sqrt{3}

, 11.

\frac{2 \sqrt{3}}{9}

, 12.

112

, 13.

2 \sqrt{6}

, 14.

\frac{3 \sqrt{5}}{5}

, 15.

\frac{2 \sqrt{2}}{3}

, 16.

\frac{7 \sqrt{3}}{4}

, 17.

1,5 \sqrt{3}

, 18.

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

, 19.

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

, 20.

\frac{729}{12} \sqrt{2}

.Wysokość ściany bocznej tego czworościanu jest równa

3

.
Odpowiedź: Objętość czworościanu wynosi 1.

1 \frac{2}{3}

, 2.

2 \frac{1}{2}

, 3.

\frac{320 \sqrt{2}}{3}

, 4.

\sqrt{14}

, 5.

\frac{5 \sqrt{3}}{3}

, 6.

3 \sqrt{3}

, 7.

\frac{\sqrt{2}}{12}

, 8.

103 \sqrt{3}

, 9.

\sqrt{10}

, 10.

\frac{421}{48} \sqrt{3}

, 11.

\frac{2 \sqrt{3}}{9}

, 12.

112

, 13.

2 \sqrt{6}

, 14.

\frac{3 \sqrt{5}}{5}

, 15.

\frac{2 \sqrt{2}}{3}

, 16.

\frac{7 \sqrt{3}}{4}

, 17.

1,5 \sqrt{3}

, 18.

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

, 19.

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

, 20.

\frac{729}{12} \sqrt{2}

.Pole ściany bocznej tego czworościanu jest równe

\frac{\sqrt{3}}{4}

.
Odpowiedź: Objętość czworościanu wynosi 1.

1 \frac{2}{3}

, 2.

2 \frac{1}{2}

, 3.

\frac{320 \sqrt{2}}{3}

, 4.

\sqrt{14}

, 5.

\frac{5 \sqrt{3}}{3}

, 6.

3 \sqrt{3}

, 7.

\frac{\sqrt{2}}{12}

, 8.

103 \sqrt{3}

, 9.

\sqrt{10}

, 10.

\frac{421}{48} \sqrt{3}

, 11.

\frac{2 \sqrt{3}}{9}

, 12.

112

, 13.

2 \sqrt{6}

, 14.

\frac{3 \sqrt{5}}{5}

, 15.

\frac{2 \sqrt{2}}{3}

, 16.

\frac{7 \sqrt{3}}{4}

, 17.

1,5 \sqrt{3}

, 18.

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

, 19.

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

, 20.

\frac{729}{12} \sqrt{2}

.Pole powierzchni tego czworościanu jest równe

81 \sqrt{3}

.
Odpowiedź: Objętość czworościanu wynosi 1.

1 \frac{2}{3}

, 2.

2 \frac{1}{2}

, 3.

\frac{320 \sqrt{2}}{3}

, 4.

\sqrt{14}

, 5.

\frac{5 \sqrt{3}}{3}

, 6.

3 \sqrt{3}

, 7.

\frac{\sqrt{2}}{12}

, 8.

103 \sqrt{3}

, 9.

\sqrt{10}

, 10.

\frac{421}{48} \sqrt{3}

, 11.

\frac{2 \sqrt{3}}{9}

, 12.

112

, 13.

2 \sqrt{6}

, 14.

\frac{3 \sqrt{5}}{5}

, 15.

\frac{2 \sqrt{2}}{3}

, 16.

\frac{7 \sqrt{3}}{4}

, 17.

1,5 \sqrt{3}

, 18.

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

, 19.

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

, 20.

\frac{729}{12} \sqrt{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Skorzystamy ze wzoru na objętość czworościanu foremnego: $V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}$ .
Stąd
$V = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot 2^{3} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ .
Wysokość $h$ ściany bocznej wyraża się wzorem $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ , wobec tego $3 = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .
Stąd obliczamy $a = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \sqrt{3}}{3} = 2 \sqrt{3}$ . Podstawiamy wyznaczone $a$ do wzoru na objętość czworościanu.
$V = \frac{\sqrt{2} a^{3}}{12} = \frac{\sqrt{2} {(2 \sqrt{3})}^{3}}{12} = 2 \sqrt{6}$ .
Ściana boczna jest trójkątem równobocznym. Ze wzoru na pole trójkąta równobocznego, obliczamy długość krawędzi czworościanu.
$\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ , więc $a = 1$ . Obliczamy objętość czworościanu.
$V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3} = \frac{\sqrt{2}}{12}$ .
Pole powierzchni jednej ściany jest równe $\frac{1}{4} \cdot 81 \sqrt{3}$ .
Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego $P = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ , wyznaczymy długość $a$ krawędzi.
$\frac{1}{4} \cdot 81 \sqrt{3} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ , więc $a = 9$ . Objętość czworościanu to
$V = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot 9^{3} = \frac{729}{12} \sqrt{2}$ .

Ćwiczenie 9

Wysokość ostrosłupa jest równa $H$ . Podstawą ostrosłupa jest trapez równoramienny o podstawach długości $3 H$ oraz $H$ . Obwód podstawy jest równy $2 H (2 + \sqrt{2})$ . Wykaż, że objętość tego ostrosłupa jest mniejsza od $H^{3}$ .

R1coqXC4xN7Wl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zacznij od obliczenia pola podstawy, które jest równe polu pewnych dwóch takich samych kwadratów. Następnie oblicz objętość bryły i przyrównaj wynik do $H^{3}$ .

Pole podstawy ostrosłupa jest równe sumie pól dwóch kwadratów o boku $H$ każdy, czyli $2 \cdot H^{2}$ .

Objętość ostrosłupa jest więc równa:

V = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot H^{2} \cdot H = \frac{2}{3} \cdot H^{3} < H^{3}

Ćwiczenie 10

Dwa jednakowe ostrosłupy prawidłowe czworokątne o krawędzi podstawy długości $5 cm$ połączono podstawami tak jak na poniższym rysunku.

R17fmvyXs9PKM

Rysunek przedstawia dwa takie same ostrosłupy prawidłowe czworokątne, połączone podstawami. Wierzchołki A, B, C i D to wierzchołki wspólnej podstawy tych ostrosłupów. Wierzchołek E jest piątym wierzchołkiem pierwszego ostrosłupa, a wierzchołek F jest piątym wierzchołkiem drugiego ostrosłupa. Przekrojem osiowym tej bryły jest romb. — Źródło: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

RRbkw32Ji9Cfb

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Otrzymana bryła to ośmiościan. Jego objętość jest równa sumie objętości danych ostrosłupów. Pole podstawy takiego ostrosłupa jest równe $25 {cm}^{2}$ , a jego wysokość $20 cm$ . Objętość jednego ostrosłupa jest równa:

V = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot 20 = \frac{500}{3} ({cm}^{3})

a zatem objętość ośmiościanu jest równa $\frac{1000}{3} {cm}^{3}$ .

Ćwiczenie 11

R6qhLO3VemITy

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Korzystając ze wzoru na objętość ostrosłupa, otrzymamy $125 = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot H$ .

Stąd $H = 15$ .

Ćwiczenie 12

RZgtYsFGt6YQQ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Korzystając ze wzoru na objętość ostrosłupa otrzymamy związek

169 = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot 10

Stąd pole podstawy

P_{p} = 50, 7 {cm}^{2}

Ćwiczenie 13

RML85iIFXqQcL

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Skorzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa.

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 3 \sqrt{3}

Stąd wyznaczymy długość krawędzi podstawy $a = 1 cm$ .

Ćwiczenie 14

RoSaN7jl2j7sA

$3 cm$
$12 cm$
$18 cm$
$14 cm$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Niech $P$ oznacza pole podstawy każdej z brył. Wówczas $8 \cdot S = \frac{2}{3} \cdot S \cdot H$ , stąd $H = 12 cm$ .

Ćwiczenie 15

RIp6LlxPOGkxT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Czworościan ma sześć krawędzi, więc długość jednej z nich równa jest $3 cm$ .

Korzystając ze wzoru na objętość czworościanu foremnego.

V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}

V = \frac{\sqrt{2} \cdot 27}{12} = \frac{9 \sqrt{2}}{4}

Ćwiczenie 16

RAFWOzewl2Yop

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Niech $a$ będzie długością krawędzi podstawy, zaś $b$ długością krawędzi bocznej.

Z warunków zadania $a + b = 8$ , zaś $\frac{b}{a} = \frac{3}{1}$ , więc $a = 2 cm$ , $b = 6 cm$ .

Wysokość ostrosłupa wyznaczymy z twierdzenia Pitagorasa

H^{2} = 6^{2} - 2^{2} = 32

$H = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$ . Objętość ostrosłupa wynosi:

V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{4} \cdot 4 \sqrt{2} = 8 \sqrt{6}

Ćwiczenie 17

RqrGTK38FnyDc

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekształcając wzór na objętość ostrosłupa, wyznaczamy pole jego podstawy:

P_{p} = \frac{3 V}{H} = \frac{3 \cdot 8 \sqrt{3}}{1} = 24 \sqrt{3}

Pole sześciokąta foremnego wyraża się wzorem: $P_{p} = \frac{6 a^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Zatem porównując oba wyrażenia, otrzymujemy równanie: $24 \sqrt{3} = \frac{6 a^{2} \sqrt{3}}{4}$ , skąd $a = 4$ .

Z trójkąta prostokątnego o bokach długości $4 cm, 1 cm$ , wyznaczamy długość krawędzi bocznej

d^{2} = 1^{2} + 4^{2}

skąd $d = \sqrt{17}$ .

Ćwiczenie 18

RGzUs3WDgbZP4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z warunków zadania $P_{b} = 4 \cdot P_{p}$ . Otrzymujmy równanie: $4 \cdot \frac{6 \cdot h}{2} = 4 \cdot 36$ , skąd wysokość ściany bocznej jest równa $h = 12 cm$ . Z trójkąta prostokątnego o bokach długości $12 cm, 3 cm$ i $H$ wyznaczymy wysokość $H$ ostrosłupa:

H^{2} = 1 2^{2} - 3^{2}

Stąd

H = 3 \sqrt{15} cm

Zatem

V = \frac{36 \cdot 3 \sqrt{15}}{3} = 36 \sqrt{15} ({cm}^{3})

Ćwiczenie 19

Prostopadłościan ma wymiary $6$ , $6$ i $8$ . Krawędzie ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, który nie jest czworościanem foremnym, mają długości równe długościom przekątnych ścian prostopadłościanu.

Oblicz objętość ostrosłupa. Ile różnych rozwiązań ma to zadanie?

R1EQ7YC5CUdVS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekątne ścian tego prostopadłościanu mają długości

d_{1} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10

d_{2} = \sqrt{6^{2} + 6^{2}} = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2}

Ostrosłup ma $6$ krawędzi, ale trzy z nich są krawędziami podstawy i są równe, a trzy są krawędziami bocznymi i też są sobie równe. Są dwie możliwości: albo krawędzie postawy mają długość $10$ , a krawędzie boczne $6 \sqrt{2}$ , albo na odwrót. W pierwszym przypadku wysokość prostopadłościanu jest równa

H_{1} = \sqrt{{(6 \sqrt{2})}^{2} - {(\frac{2}{3} \cdot \frac{10 \sqrt{3}}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{116}{3}} = \frac{2 \sqrt{29}}{\sqrt{3}}

Zaś w drugim

H_{2} = \sqrt{{(10)}^{2} - {(\frac{2}{3} \cdot \frac{6 \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2})}^{2}} = \sqrt{76} = 2 \sqrt{19}

Objętość ostrosłupa w tych przypadkach wynosi:

V_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{100 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2 \sqrt{29}}{\sqrt{3}} = \frac{50 \sqrt{29}}{3}

V_{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(6 \sqrt{2})}^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 2 \sqrt{19} = \frac{1}{3} \cdot 18 \sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{19} = 12 \sqrt{57}

Ćwiczenie 20

R1KsFED5vlzIa

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Objętość ta jest równa sumie objętości dwóch jednakowych ostrosłupów prawidłowych czworokątnych. W każdym z nich zarówno krawędzie podstawy, jak i krawędzie boczne mają długość $5 cm$ . Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa $h = \frac{5 \sqrt{3}}{2} cm$ . Obliczamy wysokość $H$ ostrosłupa.

H^{2} = {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} - {(2 \frac{1}{2})}^{2}

H = \frac{5 \sqrt{2}}{2}

Zatem objętość ośmiościanu wynosi

V = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} = \frac{125 \sqrt{2}}{3}

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2. Pole powierzchni ostrosłupa

4. Powtórzenie - ostrosłupy