Wykorzystaj odpowiednią własność ostrosłupa.

Tak, jego podstawą jest wielokąt o $36$ wierzchołkach.

Wykorzystaj odpowiednią własność ostrosłupa.

Nie, gdyż liczba krawędzi ostrosłupa zawsze jest parzysta.

Wykorzystaj odpowiednie własności ostrosłupów.

1. Tak. Np. jest to ostrosłup, którego podstawą jest pięciokąt foremny.

2. Tak. Takim ostrosłupem jest np. ostrosłup, którego podstawą jest pięciokąt foremny.

3. Tak. Takim ostrosłupem jest ostrosłup pochyły, którego podstawą jest kwadrat.

Zastosuj odpowiedni wzór na pole powierzchni rombu. Połowa dłuższej przekątnej tworzy z wysokością ostrosłupa i dłuższą krawędzią boczną trójkąt o kątach $30°$, $60°$, $90°$, tak samo jak połowa krótszej podstawy z wysokością ostrosłupa i krótszą krawędzią boczną.

Skoro krótsza krawędź boczna $q$ jest nachylona do podstawy pod kątem $60°$, to trójkąt $ABC$ jest równoboczny. Skoro dłuższa krawędź boczna jest nachylona pod kątem $30°$ do podstawy, to połowa dłuższej przekątnej podstawy jest równa wysokości trójkąta równobocznego $CDE$.

Połowę dłuższej przekątnej podstawy $p$ obliczymy ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego $DEC$: $\frac{p}{2}=24\frac{\sqrt{3}}{2}$.

R1P9LdFJx3YUQ

Rysunek przedstawia ostrosłup czworokątny, w którym narysowano trójkąt równoboczny, który jest przekrojem tego ostrosłupa utworzonym z dwóch krótszych krawędzi bocznych AC i BC i krótszej przekątnej podstawy AB. Narysowano drugą przekątną czworokąta, która jest nachylona do krawędzi ściany bocznej pod kątem $30°$.

Zatem dłuższa przekątna podstawy ma długość $p=24\sqrt{3} \mathrm{cm}$.

Odcinek $CS$ to połowa odcinka $CE$, czyli ma długość $12 \mathrm{cm}$. Jest on wysokością w trójkącie równobocznym $ABC$, skąd wyznaczymy długość $AB$ krótszej przekątnej:

Stąd

Zatem pole podstawy jest równe

Zauważ, że wysokość ściany bocznej wraz z połową krawędzi podstawy i krawędzią boczną tworzą trójkąt prostokątny.

Przekątna podstawy ostrosłupa jest równa $8\sqrt{2} \mathrm{cm}$. Wysokość ściany bocznej wyznaczymy z odpowiedniego trójkąta prostokątnego:

skąd

Pole powierzchni całkowitej:

$8^2+4\cdot \frac{8\cdot 2\sqrt{5}}{2}=64+32\sqrt{5} \left({\mathrm{cm}}^2\right)$.

Zauważ, że ośmiościan foremny ma osiem ścian w kształcie trójkątów równobocznych.

Pole to jest równe sumie pól ośmiu trójkątów równobocznych o krawędzi $8 \mathrm{cm}$.

Pole ośmiościanu jest równe

Do obliczenia pola ściany bocznej wykorzystaj wzór na pole trójkąta i fakt, że wysokość ściany bocznej tworzy z połową długości podstawy i wysokością ostrosłupa trójkąt prostokątny.

Wyznaczymy wysokość ściany bocznej z trójkąta prostokątnego:

${146}^2+{115}^2=h^2$, stąd $h=\sqrt{34541}\approx \mathrm{185,85}\approx 186 \left(\mathrm{m}\right)$.

Pole powierzchni bocznej: $P\approx 4·\frac{1}{2}·230·186=85560 \left({\mathrm{m}}^2\right)$.

R3quu41yPhe2o

Zauważmy, że odcinek $AE$ stanowi połowę przekątnej kwadratu o podstawie długości $8 \mathrm{cm}$, zatem jego długość to $4\sqrt{2} \mathrm{cm}$. Korzystając z własności trójkąta o kątach $30°$, $60°$ i $90°$ otrzymujemy, że wysokość ostrosłupa jest równa $\frac{4\sqrt{6}}{3} \mathrm{cm}$.

Objętość ostrosłupa jest równa $V=\frac{1}{3}·8^2·\frac{4\sqrt{6}}{3}=\frac{256\sqrt{6}}{9} \left({\mathrm{cm}}^3\right)$.

RfJPHAy6qtIGo

Wysokość ostrosłupa to połowa długości wysokości jego ściany bocznej, czyli jest równa $10\mathrm{ cm}$.

Odcinek $CD$ wynosi $\frac{20\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$, oraz jest trzecią częścią wysokości trójkąta podstawy ostrosłupa. Stąd długość $a$ krawędzi podstawy jest równa $a=60\mathrm{ cm}$.

Pole podstawy jest równe $P_p=\frac{{60}^2\sqrt{3}}{4}=900\sqrt{3} \left({\mathrm{cm}}^2\right)$. Objętość ostrosłupa wynosi $V=\frac{1}{3}\cdot 900\sqrt{3}\cdot 10=3000\sqrt{3}\left({\mathrm{cm}}^3\right)$.

Oblicz objętości obu brył i sprawdź ile wynosi ich suma.

Objętość graniastosłupa wynosi $V_g=4\cdot 4\cdot 5=80\mathrm{ }\left({\mathrm{m}}^3\right)$.

Objętość ostrosłupa jest równa $V_o=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 9=108 \left({\mathrm{m}}^3\right)$.

Objętość pojemnika w kształcie ostrosłupa jest większa.

Oba naczynia mają razem pojemność $188\mathrm{ }{\mathrm{m}}^3$, więc do ich napełnienia wystarczy $200\mathrm{ }{\mathrm{m}}^3$ gazu.