• Rozpoznasz, które bryły są ostrosłupami, w tym ostrosłupami prostymi.

• Zastosujesz umiejętność rzutowania do tworzenia szkicu ostrosłupa, który ułatwi Ci zaplanowanie rozwiązania zadania.

• Podasz warunki, które definiują ostrosłupy proste w sposób równoważny.

• Określisz własności ostrosłupów prawidłowych.

• Wykorzystasz związki między poszczególnymi długościami odcinków w ostrosłupie.

• stworzysz strategię rozwiązania, dzięki której wyznaczysz długości wskazanych odcinków.

Ostrosłupem nazywamy taki wielościanwielościanwielościan, którego podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku, który nie należy do płaszczyzny podstawy.

Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest prostokąt o bokach pozostających w stosunku dwa do jednego, a spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się z jednym z wierzchołków podstawy. Oblicz sumę długości krawędzi bocznych tego ostrosłupa, jeżeli wiadomo, że jego wysokość ma długość $18 \mathrm{cm}$ i jest trzykrotnie dłuższa od krótszego boku prostokąta podstawy.

Rozwiązanie:

Zwróćmy uwagę na fakt, że najbardziej istotnym elementem charakteryzującym nasz ostrosłup jest informacja o jego spodku wysokości. Jeżeli pokrywa się z jednym z wierzchołków podstawy, to jedna z krawędzi bocznych ostrosłupa jest jednocześnie jego wysokością. Wykonujemy odpowiedni szkic do zadania:

R12OHJHxrj69x

Najlepszym rozwiązaniem jest ustawienie ostrosłupa w taki sposób aby żadne krawędzie, a ni krawędzi podstawy ani krawędzie boczne nie pokrywały się ze sobą. Również każdy z punktów powinien mieć swoje własne miejsce, tak aby możliwe było opisanie każdej krawędzi i każdego kąta wewnątrz wielościanu. Ilustracja przedstawia ostrosłup o podstawie prostokąta A B C D. Wierzchołek ostrosłupa oznaczono literą S. Spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się z punktem A.

Zauważmy, że z definicji prostej prostopadłej do płaszczyzny wynika, że ściany ostrosłupa $SAB$ oraz $SAD$ są trójkątami prostokątnymi. Ponadto z treści zadania mamy dane długości $\left|SA\right|=18$, $\left|AD\right|=18:3=6$ oraz $\left|AB\right|=2·\left|AD\right|=12$.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa odpowiednio dla $∆SAB$ oraz $∆SAD$ otrzymujemy:

${\left|BS\right|}^2={18}^2+{12}^2$

${\left|BS\right|}^2=468$

$\left|BS\right|=6\sqrt{13}$

oraz analogicznie

${\left|DS\right|}^2={18}^2+6^2$

${\left|DS\right|}^2=360$

$\left|DS\right|=6\sqrt{10}$

Pozostaje obliczenie długości krawędzi $SC$ ostrosłupa. W tym celu wróćmy do analizy własności bryły. Zauważmy, że rzutem prostokątnym prostej $SB$ na płaszczyznę podstawy jest prosta $AB$ oraz kąt $ABC$ jest prosty. Z twierdzenia o trzech prostych prostopadłychtwierdzenie o trzech prostych prostopadłychtwierdzenia o trzech prostych prostopadłych wynika zatem, że kąt $SBC$ jest prosty, czyli $∆SBC$ jest prostokątny

Inaczej uzasadnić tę samą własność można, dorysowując prostopadłościan zawierający nasz ostrosłup.

R10Gxima7wqZA

Ilustracja przedstawia prostopadłościan, w którym wierzchołki dolnej podstawy to A B C D, a wierzchołki górnej podstawy to S $B\text{'}$ $C\text{'}$ $D\text{'}$. W prostopadłościan wpisano ostrosłup czworokątny, którego podstawa pokrywa się z podstawą prostopadłościanu, a wierzchołek znajduje się w wierzchołku S. Pomiędzy ukośną krawędzią boczną graniastosłupa a jego krawędzią podstawy zaznaczono kąt prosty.

Ponieważ w tym prostopadłościanie krawędź $BC$ jest prostopadła do płaszczyzny $ABS$, to jest prostopadła do każdego odcinaka zawartego w tej płaszczyźnie, w szczególności do odcinka $BS$. Ponownie możemy zatem wykorzystać twierdzenie Pitagorasa w $∆SBC$:

${\left|SC\right|}^2={\left|BS\right|}^2+{\left|BC\right|}^2$

${\left|SC\right|}^2=468+36$

$\left|SC\right|=6\sqrt{14}$

Ostatecznie suma długości krawędzi bocznych danego ostrosłupa jest równa

$\left|AS\right|+\left|BS\right|+\left|CS\right|+\left|DS\right|=18+6\sqrt{13}+6\sqrt{14}+6\sqrt{10}=$$=6·\left(3+\sqrt{10}+\sqrt{13}+\sqrt{14}\right)$

Zauważmy, że w rozwiązaniu tego zadania najbardziej istotnym krokiem było zauważenie, że ściana $SBC$ jest trójkątem prostokątnym. Warto zapamiętać, że w takim ostrosłupie również ściana $SDC$ jest trójkątem prostokątnym, czego dowodzimy analogicznie, jak w przypadku trójkąta $SBC$.

Podstawą ostrosłupa jest romb o boku $16$ i kącie ostrym $\alpha =45°$. Spodek wysokości ostrosłupa jest punktem przecięcia się przekątnych podstawy. Wiedząc, że długość wysokości ostrosłupa jest równa długości dłuższej przekątnej podstawy ostrosłupa, oblicz pole jednej ściany bocznej ostrosłupa.

Rozwiązanie:

Podstawą ostrosłupa jest romb, a więc jego boki są równej długości, przekątne zaś dzielą się na połowy, są do siebie wzajemnie prostopadłe i są dwusiecznymi kątów wewnętrznych rombu.

R5jSIKCdmOhKz

Ilustracja przedstawia ostrosłup o podstawie rombu A B C D. Wierzchołek ostrosłupa oznaczono literą S a spodek wysokości oznaczono literą O. Przez punkt O przechodzą przekątne rombu. Pomiędzy jedną z przekątnych a wysokością zaznaczono kąt prosty. Kąt ostry pomiędzy krawędziami podstawy podpisano literą alfa.

Zauważmy jednak, że szkic takiej bryły jest identyczny ze szkicem ostrosłupa o podstawie kwadratu. Aby lepiej zapamiętać, że podstawa jest rombem o kącie $45°$, narysujmy obok ten czworokąt bez zniekształceń rzutowych.

R1T7iSgsKIbny

Ilustracja przedstawia romb A B C D , w którym zaznaczono obie przekątne. Kąt ostry pomiędzy bokami ma wartość 45 stopni.

Ważna jest dla nas dłuższa przekątna rombu, bo równa jest wysokości ostrosłupa. Zauważmy, że długość odcinka $AC$ można obliczyć korzystając z twierdzenia cosinusówtwierdzenie cosinusówtwierdzenia cosinusów dla trójkąta $ACD$, którego kąt rozwarty ma miarę $135°$.

${\left|AC\right|}^2={\left|AD\right|}^2+{\left|DC\right|}^2-2\left|AD\right|·\left|DC\right|·\cos 135°$

${\left|AC\right|}^2=256+256-2·16·16·\left(-\cos 45°\right)$

${\left|AC\right|}^2=512+512·\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\left|AC\right|=\sqrt{512+256\sqrt{2}}$

Wysokość $SO$ ostrosłupa jest zatem równa $\sqrt{512+256\sqrt{2}}$ i tworzy kąty proste z każdą prostą podstawy przechodząca przez punkt $O$. Aby obliczyć wysokość ściany bocznej ostrosłupa (potrzebną do wyznaczenia jej pola), wystarczy zatem obliczyć długość promienia okręgu wpisanego do rombu. Możemy to zrobić wyznaczając połowę wysokości rombu.

Rgw6Ria7LmoT7

Ilustracja przedstawia romb A B C D , w którym zaznaczono wysokość DG oraz krótszą przekątną DB. Kąt ostry pomiędzy bokami ma wartość 45 stopni.

Korzystamy z wartości sinusa kąta $45°$ w $∆AGD$, pamiętając, że bok rombu ma długość $16$. Promień okręgu wpisanego w romb jest równy $r=\frac{1}{2}·16\sin 45°=\frac{1}{2}·8\sqrt{2}=4\sqrt{2}$ Korzystamy teraz z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $SOG$.

RoNyke1smdOME

Ilustracja przedstawia ostrosłup o podstawie rombu A B C D. Wierzchołek ostrosłupa oznaczono literą S a spodek wysokości oznaczono literą O. Przez punkt O przechodzą przekątne rombu. Pomiędzy jedną z przekątnych a wysokością zaznaczono kąt prosty. Kąt ostry pomiędzy krawędziami podstawy podpisano literą alfa. W ścianie B C S zaznaczono wysokość SG, gdzie G jest spodkiem tej wysokości. Następnie połączono punkt O z punktem G, dzięki czemu z powstał trójkąt S O G, w którym wysokość ściany bocznej jest przeciwprostokątną a wysokość ostrosłupa i odcinek OG przyprostokątnymi.

${\left|SG\right|}^2={\left|SO\right|}^2+{\left|OG\right|}^2$

${\left|SG\right|}^2=\left(512+256\sqrt{2}\right)+{\left(4\sqrt{2}\right)}^2$

${\left|SG\right|}^2=512+256\sqrt{2}+32$

$\left|SG\right|=\sqrt{544+256\sqrt{2}}$

Teraz możemy już obliczyć pole ściany bocznej. $P=\frac{1}{2}·16·\sqrt{544+256\sqrt{2}}=32\sqrt{34+16\sqrt{2}}$

Zauważmy, że tym razem kluczowym elementem rozwiązania zadania było obliczenie wysokości ściany bocznej ostrosłupa. Niestety częstym błędem jest założenie, że ściana boczna jest trójkątem równoramiennym, a co za tym idzie, że punkt $G$ jest środkiem odcinka $BC$. Wynika to właśnie z niejednoznaczności rysunku rzutowego ostrosłupa o podstawie rombu i „utożsamianiu” go z rysunkiem ostrosłupa o podstawie kwadratu.

Ostrosłupem prostym nazywamy taki ostrosłup, którego wszystkie krawędzie boczne są tej samej długości.

Następujące warunki są równoważne.

• Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są tej samej długości.

• Spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa.

• Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny jego podstawy pod tym samym kątem.

Dany jest ostrosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $6$ oraz $8$. Wysokość tego ostrosłupa jest równa $15$. Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa.

Rozwiązanie:

Zwróćmy uwagę na fakt, że omawiany ostrosłup jest prosty. Oznacza to, że spodek wysokości $S$ tego ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie. Ponieważ jednak podstawą jest trójkąt prostokątny, to punkt $S$ znajduje się dokładnie w połowie przeciwprostokątnej. Wykonujemy odpowiedni szkic do zadania:

RGrrNznBxFbRY

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup o podstawie $ABC$ i wierzchołku W. W podstawie znajduje się trójkąt o kącie prostym przy wierzchołku B. Z wierzchołka W opuszczono wysokość ostrosłupa, której spodek leży w punkcie S na krawędzi $AC$.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla $∆ABC$ otrzymujemy długość przeciwprostokątnej trójkąta podstawy $ABC$:

${\left|AC\right|}^2={\left|AB\right|}^2+{\left|BC\right|}^2$

${\left|AC\right|}^2=6^2+8^2$

$\left|AC\right|=10$

Korzystamy ponownie z faktu, że ostrosłup jest prosty. Oznacza to, że wszystkie jego krawędzie boczne są równej długości. Pozostaje obliczenie długości krawędzi $AW$ ostrosłupa. W tym celu ponownie możemy wykorzystać twierdzenie Pitagorasa w $\mathrm{\Delta }ASW$ pamiętając, że promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest tu połową przeciwprostokątnej podstawy:

${\left|AW\right|}^2={\left|AS\right|}^2+{\left|SW\right|}^2$

${\left|AW\right|}^2=5^2+{15}^2$

${\left|AW\right|}^2=25+225$

$\left|AW\right|=\sqrt{250}$

$\left|AW\right|=5\sqrt{10}$.

Ostatecznie suma długości wszystkich krawędzi danego ostrosłupa jest równa

$\left|AW\right|+\left|BW\right|+\left|CW\right|+\left|AB\right|+\left|AC\right|+\left|BC\right|=3·5\sqrt{10}+6+8+10=$$=15\sqrt{10}+24$

Zauważmy, że w rozwiązaniu tego zadania wykorzystaliśmy trójkąt prostokątny zawierający wysokość ostrosłupa, promień okręgu opisanego na jego podstawie i krawędź boczną ostrosłupa. Warto zapamiętać ten krok, gdyż bardzo często jest on wykorzystywany w przypadku ostrosłupów prostych.

Rozważmy ostrosłup, którego podstawą jest romb niebędący kwadratem a spodek wysokości znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych rombu. Pokażemy, że nie jest to ostrosłup prosty.

Rozwiązanie:

RbLy2H0RihAkf

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup o podstawie rombu. Długość krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast wysokość ostrosłupa oznaczono wielką literą H. Spodek wysokości ostrosłupa połączono z dwoma wierzchołkami tej samej krawędzi podstawy. Powstał trójkąt o bokach długości a, $\frac{d_1}{2}$ oraz $\frac{d_2}{2}$.

Niech $d_1$ i $d_2$ oznaczają przekątne rombu będącego podstawą ostrosłupa. Skoro nie jest on kwadratem, to $d_1\ne d_2$. Rozważmy trójkąty prostokątne, w których jedną z przyprostokątnych jest wysokość ostrosłupa a drugą połowa przekątnej podstawy. Mamy więc różne trójkąty prostokątne o wspólnej przyprostokątnej, w których drugie przyprostokątne są różnej długości. Oznacza to, że przeciwprostokątne w tych trójkątach są różnej długości. Rozważane przeciwprostokątne są krawędziami bocznymi ostrosłupa. Skoro są one równej długości, to ostrosłup, którego podstawą jest romb nie jest ostrosłupem prostym.

Ostrosłupem prawidłowym nazywamy taki ostrosłup prosty, którego podstawa jest wielokątem foremnym.

Różnica między polem okręgu opisanego na sześciokącie foremnym a polem okręgu wpisanego w ten sześciokąt wynosi $\pi$. Sześciokąt jest podstawą ostrosłupa o wysokości $2$. Znajdziemy długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa.

Rozwiązanie:

Spójrzmy na podstawę ostrosłupa

R1UBT3CaPHMN0

Na ilustracji przedstawiono sześciokąt foremny w który wpisano okrąg oraz na którym opisano okrąg. Okręgi są współśrodkowe. Sześciokąt podzielono na sześć przystających trójkątów równobocznych o boku długości a. Środek okręgu połączono z wierzchołkiem sześciokąta leżącym na okręgu i odcinek oznaczono wielką literą R. Stanowi on bok trójkąta równobocznego. Małą literą r oznaczono odcinek wychodzący ze środka okręgu, prostopadły do boku sześciokąta. Stanowi on również wysokość trójkąta równobocznego na jakie podzielono sześciokąt.

Z własności sześciokąta foremnego wiemy, że $R=a$ oraz $r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Mamy więc, że $\pi a^2-\pi {\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{4}\pi$. Z treści zadania wiemy, że $\frac{a^2}{4}\pi =\pi$. Oznacza to, że krawędź podstawy ma długość $2$. Zatem krawędź boczna ostrosłupa to przeciwprostokątna w trójkącie równoramiennym o przyprostokątnej $2$. Krawędź boczna ma więc długość $2\sqrt{2}$.

wielościanem nazywamy bryłę przestrzenną, której wszystkie ściany są wielokątami

twierdzenie określające związek między kątem wewnętrznym trójkąta i bokami tego trójkąta. W dowolnym trójkącie kwadrat długości jednego z boków jest równy sumie kwadratów długości pozostałych dwóch boków pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinusa kąta między nimi zawartego

Twierdzenie pozwalające ustalić prostopadłość prostych w przestrzeni. Jeżeli prosta $b$ jest rzutem prostokątnym prostej $a$ na daną płaszczyzną, to prosta $c$ leżąca w tej płaszczyźnie jest prostopadła do prostej $a$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej $b$.

jest to warunek konieczny i wystarczający na to, by na czworokącie można było opisać okrąg. Na czworokącie wypukłym można opisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar kątów przeciwległych czworokąta są równe i wynoszą $180°$

twierdzenie określające warunki wystarczające, by trójkąty prostokątne były podobne; jeżeli dwa trójkąty prostokątne mają kąt ostry tej samej miary, to są do siebie podobne

twierdzenie pozwalające ustalić związek między bokami i kątami trójkąta oraz promieniem okręgu na nim opisanego. W dowolnym trójkącie stosunek długości jego boku do sinusa kąta leżącego na przeciw jest stały i równy średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie

wielokąt, którego wszystkie boki są równej długości i wszystkie kąty wewnętrzne są równej miary

ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym wszystkie krawędzie mają tę samą długość