3. Pole i obwód koła - podsumowanie - Długość okręgu i pole koła

Rlevgh0mDdufg

3. Pole i obwód koła - podsumowanie

Ile obrotów wykonuje koło rowerowe, jeżeli kolarz ma do pokonania podczas wyścigu Tour de Pologne 2020 trasę $891, 3 km$ ? Którą pizzę wybrać, aby zjeść jak najwięcej, a zapłacić jak najmniej? Po zapoznaniu się z tym materiałem, dotyczącym obliczania pola i obwodu koła, bez problemu odpowiesz na powyższe pytania.

Koło na płaszczyźnie

Przypomnijmy definicję koła na płaszczyźnie.

koło

Definicja: koło

Kołem o środku w punkcie $O$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległości od punktu $O$ są mniejsze lub równe $r$ .

Na poniższym rysunku przedstawiono koło o środku w punkcie $O$ i promieniu $r$ .

R11tz3lbsocPQ

Ilustracja przedstawia koło o środku w punkcie O i o promieniu r. Obszar ograniczony obwodem koła jest zaznaczony kolorem.

Jeżeli przez $r$ oznaczymy długość promienia koła, to obwód $l$ i pole $P$ koła wyrażamy za pomocą wzorów:

RnATQcoxsT6Mc

Ilustracja koło, w którym wykreślono promień r oraz średnicę d. Obok rysunku zapisano dwa wzory. Wzór na obwód koła: l równa się dwa pi razy r. Wzór na pole koła: P równa się pi raz r indeks górny dwa koniec indeksu.

Średnica $d$ koła jest dwa razy większa od długości promienia koła $r$ , więc zachodzi zależność $d = 2 r$ .

Przykład 1

Obliczymy obwód i pole koła, jeżeli jego średnica ma długość $12 cm$ .

Rozwiązanie:

Z treści zadania wiemy, że $d = 12 cm$ .

Ponieważ $d = 2 r$ , zatem do wyznaczenia długości promienia $r$ rozwiązujemy równanie:

$2 r = 12$ , czyli $r = 6 cm$ .

Zatem:

$l = 2 π \cdot 6 cm = 12 π cm$ ,

$P = π \cdot {(6 cm)}^{2} = 36 π {cm}^{2}$ .

Ponieważ $r = \frac{d}{2}$ , zatem obwód i pole koła możemy zapisać za pomocą wzorów:

$l = 2 π \cdot r = 2 π \cdot \frac{d}{2} = π \cdot d$ ,

$P = π \cdot {(\frac{d}{2})}^{2} = π \cdot \frac{d^{2}}{4}$ .

Przykład 2

Obliczymy obwód i pole koła, jeżeli jego średnica ma długość $10 cm$ .

Rozwiązanie:

Z treści zadania wiemy, że $d = 10 cm$ . Otrzymujemy więc:

$l = π \cdot 10 cm = 10 π cm$ ,

$P = π \cdot {(\frac{10}{2} cm)}^{2} = 25 π {cm}^{2}$ .

Przykład 3

Obliczymy:

a) pole koła o obwodzie $30 π$ ,

b) obwód koła o polu $144 π$ .

Rozwiązanie:

Ad a) Z zadania wynika, że $l = 30 π$ .

Zatem $2 π \cdot r = 30 π$ , czyli $r = 15$ .

Obliczamy pole koła:

$P = π \cdot 15^{2} = 225 π$ .

Ad b) Z zadania wynika, że $P = 144 π$ .

Zatem $π \cdot r^{2} = 144 π$ , czyli $r = 12$ .

Obliczamy obwód koła:

$l = 2 π \cdot 12 = 24 π$ .

Przykład 4

Obliczymy obwód „czterolistnej koniczyny” z rysunku.

R168q6eXygOHN

Ilustracja przedstawia kwadrat o bokach równych sześć narysowany linią przerywaną. Wewnątrz kwadratu narysowano figurę w kształcie czterolistnej koniczyny. Jej wierzchołki pokrywają się z wierzchołkami kwadratu. Każdy z czterech listków składa się z dwóch łuków zwróconych ku sobie. Zaznaczono kolorem wnętrze liści.

Zauważmy, że wystarczy obliczyć obwody dwóch kół.

Z rysunku możemy odczytać, że średnica jednego koła ma długość $6$ , zatem promień ma długość $3$ .

Szukany obwód wynosi:

$l = 2 \cdot 2 π \cdot 3 = 12 π$ .

Przykład 5

Obliczymy, ile pełnych obrotów wykona koło rowerowe o średnicy $28$ cali podczas wyścigu Tour de Pologne na trasie $891, 3 km$ . Do obliczeń przyjmiemy, że $1 cal = 2, 54 cm$ oraz $π = 3, 14$ .

Z zadania wynika, że:

$d = 28 cal = 28 \cdot 2, 54 cm = 71, 12 cm$ .

Zatem obwód koła wynosi:

$l = π \cdot 71, 12 cm = 3, 14 \cdot 71, 12 cm = 223, 3168 cm$ .

Po zamianie długości wyścigu z kilometrów na centymetry, mamy:

$891, 3 km = 89130000 cm$ .

Zatem liczba obrotów, jaką musi wykonać koło rowerowe, wynosi:

$89130000 : 223, 3168 \approx 399120$ .

Na trasie wyścigu koło rowerowe wykona $399120$ pełnych obrotów.

Przykład 6

Wyznaczymy pole pierścienia kołowego z rysunku:

RhGpg6lJUMhRj

Ilustracja przedstawia pierścień, czyli obszar między większym a mniejszym okręgiem, a okręgi te są współśrodkowe. Zaznaczono kolorem obszar pierścienia, czyli obszar wewnątrz dużego okręgu i na zewnątrz małego okręgu. Promień małego okręgu ma długość 2 centymetry, a średnica dużego okręgu ma długość 12 centymetrów.

Do wyznaczenia pola pierścienia kołowego wystarczy obliczyć pole koła o średnicy $12$ , a następnie odjąć od niego pole koła o promieniu $2$ , czyli $P = P_{1} - P_{2}$ .

Wprowadźmy oznaczenia:

$r_{1} = \frac{12}{2} cm = 6 cm$ oraz $r_{2} = 2 cm$ .

Zatem:

$P_{1} = π \cdot 6^{2} = 36 π {cm}^{2}$ ,

$P_{2} = π \cdot 2^{2} = 4 π {cm}^{2}$ .

Pole pierścienia kołowego wynosi:

$P = 36 π {cm}^{2} - 4 π {cm}^{2} = 32 π {cm}^{2}$ .

Przykład 7

Obliczymy, o ile procent zmieni się pole koła, jeżeli jego średnicę wydłużymy o $20 %$ .

Wprowadźmy oznaczenia:

$d_{1}$ – średnica koła przed wydłużeniem,

$P_{1}$ – pole koła o średnicy $d_{1}$ ,

$d_{2}$ – średnica koła po wydłużeniu,

$P_{2}$ – pole koła o średnicy $d_{2}$ .

Zatem:

$d_{2} = 120 % \cdot d_{1} = 1, 2 d_{1}$

$P_{1} = π \cdot {(\frac{d_{1}}{2})}^{2} = \frac{{d_{1}}^{2}}{4} π$

$P_{2} = π \cdot {(\frac{d_{2}}{2})}^{2} = π \cdot {(\frac{1, 2 d_{1}}{2})}^{2} = π \cdot \frac{9}{25} {d_{1}}^{2}$

$\frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{π \cdot \frac{9 {d_{1}}^{2}}{25}}{π \cdot \frac{{d_{1}}^{2}}{4}} = \frac{36}{25} = 144 %$ .

Ponieważ pole $P_{2}$ stanowi $144 %$ pola $P_{1}$ , zatem pole koła po zwiększeniu jego średnicy o $20 %$ zwiększyło się o $44 %$ .

Przykład 8

Który wariant zamówienia pizzy jest bardziej opłacalny?

RgoNXlqpiCfLc

Ilustracja przedstawia dwie pizze z lewej strony większą, z prawej mniejszą.

$I$ : duża pizza o promieniu $50 cm$ za $38 zł$ ,

$II$ : mała pizza o promieniu $25 cm$ za $19 zł$ .

Wprowadźmy oznaczenia:

$r_{1} = 50 cm$ ,

$r_{2} = 25 cm$ .

Zatem

$P_{1} = π \cdot {(50 cm)}^{2} = 2500 π {cm}^{2}$ ,

$P_{2} = π \cdot {(25 cm)}^{2} = 625 π {cm}^{2}$ .

Zauważmy, że $P_{1} = 4 \cdot P_{2}$ , a cena dużej pizzy jest $2$ razy większa od ceny małej pizzy, zatem bardziej opłacalny jest zakup dużej pizzy.

Polecenie 1

Uruchom grę, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

Rozwiąż poniższy test składający się z dwunastu pytań.

R1YHWm4f6yBx1

Uzupełnij luki, wpisując odpowiednie liczby.

Pole koła o promieniu $r = 13$ wynosi Tu uzupełnij $π$ .
Obwód koła o promieniu $r = 25$ wynosi Tu uzupełnij $π$ .
Pole koła o promieniu $r = 10$ jest większe od pola koła o promieniu $r = 5$ o Tu uzupełnij $π$ .
Pole koła o promieniu $r = 7$ jest mniejsze od pola koła o promieniu $r = 12$ o Tu uzupełnij $π$ .
Pole koła o średnicy $d = 18$ wynosi Tu uzupełnij $π$ .
Obwód koła o średnicy $d = 30$ wynosi Tu uzupełnij $π$ .
Pole koła o promieniu $d = 8$ jest mniejsze od pola koła o średnicy $d = 18$ o Tu uzupełnij $π$ .
Obwód koła o promieniu $r = 13$ jest większe od obwodu koła o średnicy $d = 14$ o Tu uzupełnij $π$ .
Jeśli zwiększymy promień koła trzykrotnie, to jego pole zwiększy się Tu uzupełnij razy.
Jeśli zmniejszymy promień koła czterokrotnie, to jego obwód zmniejszy się Tu uzupełnij razy.
Pole pierścienia składającego się z kół o promieniach $r = 8$ oraz $r = 12$ wynosi Tu uzupełnij $π$ .
Pole pierścienia składającego się z kół o promieniach $r = 12$ oraz $r = 20$ wynosi Tu uzupełnij $π$ .

RA2tgkBrGDCiq1

Polecenie 2

W kwadracie o boku $8$ umieszczono $4$ jednakowe koła, styczne do boków kwadratu, jak na poniższym rysunku.

a) Oblicz pole zacieniowanej części kwadratu.

b) Jaki procent całego pola kwadratu stanowi suma pól tych $4$ kół? Do obliczeń przyjmij, że $π = 3, 14$ .

R1EhgMhIZvB38

Ilustracja przedstawia kwadrat, w którego każdą ćwiartkę wpisano identyczne koło. Zaznaczono obszar kwadratu wycięty przez koła.

Ad a) Wprowadźmy oznaczenia:

$P_{1}$ – pole kwadratu,

$P_{2}$ – pole jednego koła,

$P_{}$ – pole zacieniowanego obszaru.

Zauważmy, że $P = P_{1} - 4 \cdot P_{2}$ .

Zatem:

$P_{1} = 8^{2} = 64$ ,

$P_{2} = π \cdot 2^{2} = 4 π$ ,

$P = 64 - 4 \cdot 4 π = 64 - 16 π$ .

Ad b) Jeżeli przyjmiemy, że $π = 3, 14$ , to:

$4 \cdot P_{2} = 4 \cdot 4 π = 16 \cdot 3, 14 = 50, 24$ .

Zatem

$\frac{4 \cdot P_{2}}{P_{1}} = \frac{50, 24}{64} = 78, 5 %$ .

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Rq7L7puhfToqf

Obwód koła o polu $24 π$ wynosi:

$4 \sqrt{6} π$
$2 \sqrt{6} π$
$8 π$

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiono pierścień kołowy.

RFx7X4gIbZZkL

Ilustracja przedstawia pierścień. Promień większego koła ma promień o długości 10, a szerokość pierścienia (czyli odległość między brzegami kół) wynosi cztery.

Rug12FwGTEp9Z

Korzystając z rysunku, wstaw w tekst odpowiednie liczby.

$6$ , $64$ , $100$ , $4$ , $36$ , $10$

Promień mniejszego koła jest równy .............
Pole mniejszego koła wynosi ............ $π$ .
Pole pierścienia kołowego jest równe ............ $π$ .

Ćwiczenie 3

R1B53rfYpJFnV

Połącz w pary pole koła z odpowiadającym mu obwodem.

$P = \frac{25}{49} π$
$P = 0, 01 π$
$P = 1, 44 π$
$P = \frac{1}{25} π$

Ćwiczenie 4

R1Mey3Or1dMQn

Uzupełnij wartości obwodów i pól kół dla podanych długości promieni.

1) $r = 12$
$l =$ ............ $π$
$P =$ ............ $π$
2) $r = 36$
$l =$ ............ $π$
$P =$ ............ $π$
3) $r = 40$
$l =$ ............ $π$
$P =$ ............ $π$
4) $r = 69$
$l =$ ............ $π$
$P =$ ............ $π$

Ćwiczenie 5

R4aGzSXydgdfx

Jeżeli promień koła zmniejszymy dwukrotnie, to:

jego obwód zmaleje $2$ razy.
pole koła po zmniejszeniu promienia będzie stanowiło $50 %$ pola koła wyjściowego.
stosunek obwodów tych kół będzie wynosić $4 : 1$ .
jego pole zmaleje $4$ razy.

Ćwiczenie 6

Na rysunku dane są $4$ koła. Największe koło ma promień o długości $r$ , a długość promienia każdego następnego koła jest $2$ razy krótsza od długości promienia poprzedniego koła. Wiemy, że suma pól tych kół wynosi $\frac{85}{64} π$ . Wyznacz długość promienia najmniejszego koła.

R1ZRlS1nmE1xU

Ilustracja przedstawia cztery koła osadzone na jednej prostej. Od lewej mamy największe koło, każde kolejne jest coraz mniejsze.

Korzystając z warunków podanych w zadaniu, wprowadźmy następujące oznaczenia:

$r_{1} = r$

$r_{2} = \frac{1}{2} r$

$r_{3} = \frac{1}{4} r$

$r_{4} = \frac{1}{8} r$

Pola tych kół możemy odpowiednio zapisać za pomocą wzorów:

$P_{1} = π \cdot r^{2}$

$P_{2} = π \cdot {(\frac{1}{2} r)}^{2} = \frac{1}{4} π \cdot r^{2}$

$P_{3} = π \cdot {(\frac{1}{4} r)}^{2} = \frac{1}{16} π \cdot r^{2}$

$P_{4} = π \cdot {(\frac{1}{8} r)}^{2} = \frac{1}{64} π \cdot r^{2}$

Zapiszemy równanie na sumę tych pól:

$π \cdot r^{2} + π \cdot \frac{1}{4} r^{2} + π \cdot \frac{1}{16} r^{2} + \frac{1}{64} π \cdot r^{2} = \frac{85}{64} π$

$π \cdot r^{2} \cdot \frac{85}{64} = \frac{85}{64} π$ , więc $r = 1$ .

Promień najmniejszego koła ma długość:

$\frac{1}{8} \cdot r = \frac{1}{8} \cdot 1 = \frac{1}{8}$

Ćwiczenie 7

R1tlNTI112Shb

Rozwiąż krzyżówkę.

Odcinek w kole łączący środek koła z dowolnym punktem na jego brzegu.
Zbiór punktów odległych o nie więcej niż ustaloną odległość od pewnego punktu.
Nazwa stałej równej stosunkowi obwodu koła do długości jego średnicy.
Odcinek łączący dwa dowolne punkty, które leżą na brzegu koła, przechodzący przez jego środek.

1
2
3
4

R1HkKLeAHi5eE

Ćwiczenie 8

W pierścieniu kołowym z rysunku, cięciwa większego koła ma długość $12$ i jest styczna do mniejszego koła. Uzasadnij, że pole pierścienia można wyrazić bez użycia długości promieni wyznaczających go kół.

RybKxfHqF0xCP

Ilustracja przedstawia pierścień, w którym wykreślono cięciwę łączącą dwa punktu większego koła. Cięciwa ta ma długość 12 i znajduje się całkowicie wewnątrz pierścienia. Jest styczna do małego koła.

Narysujmy promienie tych kół i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RFm4382pfx3QP

Ilustracja przedstawia pierścień, w którym wykreślono cięciwę większego koła znajdującą się całkowicie wewnątrz pierścienia. Cięciwa ma długość 12 i jest styczna do małego koła. W małym kole poprowadzono promień do punktu styczności z cięciwą i zaznaczono między promieniem a cięciwą kąt prosty. Wykreślono promień dużego koła, który domyka trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne to promień małego koła i połowa cięciwy, a przeciwprostokątna to promień dużego koła.

Wykorzystamy własność, że styczna do koła jest prostopadła do promienia w punkcie styczności.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, mamy:

$r^{2} + 6^{2} = R^{2}$ , czyli $36 = R^{2} - r^{2}$ .

Pole $P$ pierścienia kołowego z rysunku obliczymy ze wzoru $P = π \cdot R^{2} - π \cdot r^{2}$ .

Po przekształceniu wyrażenie to zapisujemy w postaci:

$P = π \cdot (R^{2} - r^{2}) = 36 π$ .

Zatem, bez wyznaczania długości promieni, otrzymaliśmy pole pierścienia kołowego z rysunku.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2. Pole koła, pole pierścienia kołowego

Długość okręgu i pole koła