2. Pole koła, pole pierścienia kołowego

RXmXKQa0hEMV7

Już w starożytności genialny twórca i myśliciel – Archimedes – zaznaczył swój wkład w rozwój matematyki. W traktacie „O mierzeniu okręgu” pokazał, że pole koła jest równe polu trójkąta równoramiennego, którego podstawą jest odcinek o długości równej obwodowi koła, a wysokością jest promień koła.
Problemem starożytnej matematyki greckiej była również kwadratura koła - czyli skonstruowanie kwadratu, którego pole jest równe polu danego koła.
Czy problem szkoły pitagorejskiej udało się rozwiązać, czy też okazało się to niemożliwe?
W tym materiale zajmiemy się zastosowaniem wzoru na pole koła, aby pogłębiać wiedzę i analizować starożytne problemy geometrii.

Koło

RBG3Q91VBXxVo1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Koło

Definicja: Koło

Kołem o środku w punkcie $S$ i promieniu r nazywamy zbiór tych punktów płaszczyzny, których odległość od punktu $S$ jest mniejsza bądź równa $r$ .

R13wGbahCLVk01

Rysunek koła o środku w punkcie S i promieniu r. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$K (S, r)$ – koło o środku w punkcie $S$ i promieniu $r$

Pole koła

R1KdDOjF7dRRw11

Ważne!

Pole koła o promieniu $r$ jest równe iloczynowi liczby $π$ i kwadratu promienia.

P = π r^{2}

RwNi0fi4MXsuS1

Rysunek koła o promieniu r. Zapis: P równa się pi razy r do potęgi drugiej. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczanie pola koła

Przykład 1

Oblicz pole koła o promieniu $4 dm$ .
Do wzoru na pole koła wstawiamy $r = 4$ .

P = π \cdot 4^{2} = 16 π

Pole koła jest równe $16 π {dm}^{2}$ .

Przykład 2

Obwód małego znaku zakazu wynosi $60 π cm$ . Oblicz, ile ${cm}^{2}$ blachy potrzeba na jego wykonanie.

Rw5tP0uzPY7C71

Rysunek o kształcie koła znaku zakazu skrętu w prawo. Obwód koła czerwony, na białym tle przekreślona na czerwono, czarna zgięta pod kątem prostym strzałka, skierowana w prawo. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczymy najpierw promień koła, w kształcie którego jest znak – korzystamy ze wzoru na obwód koła.

L = 2 π r

60 π = 2 π r | : 2 π

r = 30

Korzystamy ze wzoru na pole koła.

P = π r^{2}

P = π \cdot 3 0^{2}

P = 900 π

Przyjmijmy $π \approx 3, 14$ , wtedy

P \approx 900 \cdot 3, 14 = 2826

Na wykonanie małego znaku zakazu potrzeba około $2826 {cm}^{2}$ blachy.

Przykład 3

Pole powierzchni jednego okrągłego konfetti jest równe $4 π {mm}^{2}$ . Ile takich konfetti można wyciąć z kwadratowej kartki papieru o boku długości $1, 2 cm$ ?
Obliczamy najpierw średnicę $d$ koła, w kształcie którego jest konfetti.

4 π = π r^{2}

r^{2} = 4

r = 2

bo $r > 0$ . Mamy

d = 2 r

d = 4

Ponieważ $1, 2 cm = 12 mm$ , zatem w kwadracie o boku $12 mm$ zmieści się $9$ kół o średnicy $4 mm$ każde.
Z kwadratowej kartki można wyciąć $9$ konfetti.

Przykład 4

Hania, Lena i Zosia wybrały się do pizzerii. Hania zamówiła małą pizzę z pomidorami o średnicy $15 cm$ , a Lena i Zosia wspólną dużą pizzę z szynką o średnicy $30 cm$ .
Ile razy pizza Leny i Zosi jest większa od pizzy Hani?

Rozwiązanie:

Pizza Hani ma średnicę $d_{1} = 15 cm$ , czyli

d_{1} = 2 r_{1}

2 r_{1} = 15

r_{1} = 7, 5

Zatem pole pizzy Hani wynosi:

P_{1} = π r_{1}^{2}

P_{1} = π {(7, 5)}^{2} = 56, 25 π

Analogicznie obliczymy pole drugiej pizzy.

d_{2} = 2 r_{2}

2 r_{2} = 30

r_{2} = 15

zatem

P_{2} = π r_{2}^{2}

P_{2} = π \cdot 15^{2} = 225 π

Aby obliczyć, ile razy pizza Leny i Zosi jest większa od pizzy Hani wykonamy działanie:

\frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{225 π}{56, 25 π} = 4

Pizza Leny i Zosi jest $4$ razy większa od pizzy Hani.

Ćwiczenie 1

Tymon i Kuba zamówili w pizzerii okrągłą pizzę o średnicy $32 cm$ , która została podzielona na osiem takich samych kawałków. Tymon zjadł pięć kawałków pizzy, a Kuba trzy kawałki. O ile ${cm}^{2}$ większa była porcja, którą zjadł Tymon od porcji Kuby?

R10aGM2VA0Pg6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$r = \frac{32}{2} = 16$
$P = π r^{2}$
$P = π \cdot 16^{2} = 256 π$
$P_{T} = \frac{5}{8} \cdot 256 π = 160 π$
$P_{K} = \frac{3}{8} \cdot 256 π = 96 π$
$P_{T} - P_{K} = 160 π - 96 π = 64 π \approx 64 \cdot 3, 14 \approx 201$

Odpowiedź: Porcja, którą zjadł Tymon była o około $201 {cm}^{2}$ większa od porcji, którą zjadł Kuba.

Przykład 5

Pani Kwiatkowska wygospodarowała w swoim ogrodzie dwie rabaty: pierwszą w kształcie prostokąta o bokach długości $3 m$ i $2 m$ oraz drugą, w kształcie koła o promieniu $1 m$ . W której rabacie pani Kwiatkowska może posadzić więcej bratków?

Rozwiązanie:

Obliczymy pole prostokątnej rabaty.

P_{▭} = a \cdot b

P_{▭} = 3 \cdot 2 = 6

Pole prostokątnej rabaty wynosi zatem $6 m^{2}$ .
Obliczymy pole okrągłej rabaty.

P_{○} = π r^{2}

P_{○} = π \cdot 1^{2} \approx 3, 14 \cdot 1 = 3, 14

Pole okrągłej rabaty wynosi zatem $3, 14 m^{2}$ .
Pani Kwiatkowska posadzi więcej bratków w rabacie w kształcie prostokąta.

Ćwiczenie 2

Na działce w kształcie kwadratu o boku $25 m$ Pani Bratkowska wygospodarowała rabatę o kształcie koła o promieniu $2 m$ . Jakim procentem działki jest rabata?

RWpoCKWGpOody

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$P_{dz} = 25^{2} = 625$
$P_{r} = π \cdot 2^{2} = 4 π \approx 4 \cdot 3, 14 = 12, 58$
$\frac{12, 58}{625} \cdot 100 % \approx 0, 02 \cdot 100 % = 2 %$

Odpowiedź: Rabata stanowi około $2 %$ działki.

Przykład 6

Adam i Karol chcą zamówić pizzę na kolację. Adam twierdzi, że bardziej opłaca się zamówić największą pizzę o średnicy $60 cm$ za $70$ złotych. Karol twierdzi, że bardziej opłaca się kupić dwie pizze, z których każda ma średnicę $40 cm$ i kosztuje $35$ złotych. Który z nich ma rację?

Rozwiązanie

Aby sprawdzić, która opcja bardziej się opłaca, obliczymy pola, jakie mają pizze. Zauważmy, że w obu przypadkach rachunek wyniesie tyle samo, więc wystaczy porównać pola pizz.

Pierwsza pizza ma średnicę $d_{1} = 60$ , przy czym
$d_{1} = 2 r_{1}$ .
Przekształcamy równość, podstawiamy liczby i otrzymujemy promień pizzy.

r_{1} = \frac{d_{1}}{2} = \frac{60}{2} = 30

Teraz obliczymy pole pizzy.

P_{1} = π {(r_{1})}^{2} = 900 π

Pizze w drugiej opcji mają średnicę $d_{2} = 40$ , przy czym
$d_{2} = 2 r_{2}$ .
Przekształcamy równość, podstawiamy liczby i otrzymujemy promień pizzy.

r_{2} = \frac{d_{2}}{2} = \frac{40}{2} = 20

Teraz obliczymy pole jednej pizzy.

P_{2} = π {(r_{2})}^{2} = 400 π

Nie zapominamy o tym, że w drugim przypadku zamówione zostałyby dwie pizze.

P_{c} = 2 P_{2} = 2 \cdot 400 π = 800 π

$P_{1} > P_{c}$ , zatem to Adam ma rację.

Przykład 7

Obliczymy, czy większy promień ma kolorowa nalepka w kształcie koła o polu $16 π {cm}^{2}$ , czy czarno‑biała nalepka w kształcie koła o obwodzie $10 π cm$ ?

Rozwiązanie

Najpierw obliczymy promień kolorowej nalepki o danym polu.

P_{1} = π r_{1}^{2}

π r_{1}^{2} = 16 π

r_{1}^{2} = 16

r_{1} = 4

bo $r_{1} > 0$ .
Analogicznie obliczymy promień czarno‑białej nalepki o danym obwodzie.

L_{2} = 2 π r_{2}

2 π r_{2} = 10 π

r_{2} = 5

bo $r_{2} > 0$ .

Ponieważ $5 > 4$ , zatem druga nalepka ma większy promień.

Przykład 8

Obliczymy pole zaznaczonej części figury.
Przyjmiemy, że pole jednej kratki jest równe $1$ .

Rrfkhn5fPDClc

Ilustracja przedstawia kwadrat o boku długości cztery, wewnątrz którego umieszczono niezamalowane koło, którego średnica ma długość cztery. Wewnątrz tego niezamalowanego koła umieszczono dwa zamalowane koła, których średnicę mają długość dwa. Mniejsze koła mają ze sobą jeden punkt wspólny. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozwiązanie:

Najpierw obliczymy pole mniejszego okręgu o promieniu $1$ .

P_{1} = π r_{1}^{2}

P_{1} = π \cdot 1^{2} = 1 π

Pole okręgu o promieniu $r_{2} = 2$ jest równe:

P_{2} = π r_{2}^{2}

P_{2} = π \cdot 2^{2} = 4 π

Pole kwadratu o boku $4$ jest równe:

P_{K} = 4^{2} = 16

Pole zamalowanej części ( $P_{Z}$ ) obliczymy ze wzoru:

P_{Z} = P_{K} - P_{2} + 2 P_{1}

P_{Z} = 16 - 4 π + 2 π = 16 - 2 π

Pole zamalowanej części jest równe $16 - 2 π$ .

Ważne!

Pierścieniem kołowym nazywamy część płaszczyzny, która jest ograniczona przez dwa współśrodkowe okręgi.

R1FGHVDLKbPSx

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole pierścienia kołowego obliczamy ze wzoru:

$P = π R^{2} - π r^{2} = π (R^{2} - r^{2})$

Ćwiczenie 3

Promień mniejszego z kół na rysunku jest równy $11$ , a większego $17$ .

R1PXNNIH7c2Y51

Rysunek pierścienia kołowego. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RUBtZtZKBdZ0y

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 9

Obliczymy pole zaznaczonego pierścienia.

RciXMF503lca1

Ilustracja przedstawia pierścień kołowy. Wewnętrzne, niezamalowane koło ma średnicę o długości cztery. Długość odcinka między kołem zewnętrznym a wewnętrznym wynosi trzy. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozwiązanie:

Z rysunku odczytujemy, że promień $r$ mniejszego koła jest równy $2$ .
Promień $R$ drugiego koła jest równy:

R = 2 + 3 = 5

Pole pierścienia kołowego obliczymy ze wzoru:

P = π (R^{2} - r^{2})

P = π (5^{2} - 2^{2}) = π (25 - 4) = 21 π

Pole pierścienia jest równe $21 π$ .

Przykład 10

Wokół klombu w kształcie koła o średnicy $10 m$ ogrodnik wykonał brukowany chodnik o szerokości $1, 5 m$ . Obliczymy, jaką powierzchnię ma chodnik.

Rozwiązanie:

Powierzchnię chodnika obliczymy korzystając ze wzoru na pole pierścienia kołowego.

P = π (R^{2} - r^{2})

Promień klombu wynosi $r = 5 m$ .
Promień okręgu utworzonego przez klomb wraz z chodnikiem wynosi $R = 5 + 1, 5 = 6, 5 m$ .
Zatem

P = π (6, 5^{2} - 5^{2}) = π (42, 25 - 25) = 17, 25 π

17, 25 \cdot 3, 14 \approx 54

Chodnik ma powierzchnię około $54 m^{2}$ .

R2vJSSsJ9Gocf

Ćwiczenie 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RR51NG0ipmrLY

Ćwiczenie 5

Połącz w pary długość średnicy i pole koła. d, równa się, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, PI indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, PI, 3. P, równa się, dwa PI indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. P, równa się, PI indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. P, równa się, PI, 6. P, równa się, cztery PI d, równa się, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, PI indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, PI, 3. P, równa się, dwa PI indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. P, równa się, PI indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. P, równa się, PI, 6. P, równa się, cztery PI d, równa się, dwa PI Możliwe odpowiedzi: 1. P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, PI indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, PI, 3. P, równa się, dwa PI indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. P, równa się, PI indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. P, równa się, PI, 6. P, równa się, cztery PI d, równa się, cztery PI Możliwe odpowiedzi: 1. P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, PI indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, PI, 3. P, równa się, dwa PI indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. P, równa się, PI indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. P, równa się, PI, 6. P, równa się, cztery PI d, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, PI indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, PI, 3. P, równa się, dwa PI indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. P, równa się, PI indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. P, równa się, PI, 6. P, równa się, cztery PI d, równa się, PI Możliwe odpowiedzi: 1. P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, PI indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, PI, 3. P, równa się, dwa PI indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. P, równa się, PI indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. P, równa się, PI, 6. P, równa się, cztery PI

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RKmGqyCmZTy3r

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

R1QZ9FcluqHxJ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

R1EEc8qddTelP

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

RiLvNRFmzXrNG

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Przyjmij, że pole zielonego kwadratu jest równe $1$ .

R1DCdc8cW0yfJ1

Rysunek przedstawia kwadrat i koło umieszczone na siatce. Kwadrat zajmuje jedną kratkę, koło ma średnicę o długości sześciu kratek. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RoDJITf40FWup

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RtczGMl7Zryzj

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

R1bMKTxIEUHvY

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Najpierw obliczymy promień koła. Wiemy, że jego średnica $d$ wynosi $18$ , więc
$d = 2 r$ ,
$r = \frac{d}{2} = 9$ .
Z treści zadania wynika, że pole kwadratu i koła są równe, co możemy zapisać jako
$P_{□} = P_{○}$ .
Podstawiamy wzory i obliczamy długość boku kwadratu, którą w równaniu oznaczymy literą $a$ .
$a^{2} = π r^{2}$
Podstawiamy liczby do otrzymanej równości.
$a^{2} = 81 π$
$a = 9 \sqrt{π}$
Mając długość boku kwadratu, obliczamy jego obwód.
$L_{□} = 4 a = 36 \sqrt{π}$

Ćwiczenie 13

R1G1QuaPvU8Cl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Najpierw obliczymy promień pierwszego koła.
$π {(r_{1})}^{2} = 16 π | : π$
$r_{1} = 4$
Możemy teraz obliczyć obwód pierwszego koła.
$L_{1} = 2 π r_{1} = 8 π$
Następnie obliczymy promień drugiego koła.
$π {(r_{2})}^{2} = 169 π | : π$
$r_{2} = 13$
Możemy teraz obliczyć obwód drugiego koła.
$L_{2} = 2 π r_{2} = 26 π$
Obliczamy stosunek obwodów kół.
$\frac{L_{1}}{L_{2}} = \frac{8 π}{26 π} = \frac{4}{13}$

RbkntGGYp6oeL

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

RKfKZH8RbsS0L

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeżeli koło i kwadrat mają równe pola, to prawdziwa jest równość
$π r^{2} = a^{2}$ .
Z równości tej otrzymujemy
$a = r \sqrt{π}$ .
Długość obwodu koła wynosi
$L_{○} = 2 π r$ .
Obwód kwadratu wynosi
$L_{□} = 4 a = 4 r \sqrt{π}$ .
Możemy teraz obliczyć stosunek obwodu koła do obwodu kwadratu.
$\frac{L_{○}}{L_{□}} = \frac{2 π r}{4 r \sqrt{π}} \cdot \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}} = \frac{\sqrt{π}}{2}$

R1EiCMGB0c2w2

Ćwiczenie 16

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

ROTMgtvxTFev3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

Oblicz pole zacieniowanej figury przedstawionej na rysunku.

R1e5kxYpQ04mz

Grafika przedstawia kwadrat o długości boku pięć. Z każdego rogu kwadratu wycięto ćwiartkę koła o promieniu długości dwa. Powstała wówczas nowa figura. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RhcjS7LMwN56h

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

1. Długość okręgu

3. Pole i obwód koła - podsumowanie